Simetria Molecular e Teoria de Grupo Prof. Fernando R. Xavier
UDESC 2018
Uma idéia intuitiva...
2
Por que estudar simetria e teoria de grupo?
• A química estuda íons, moléculas e suas transformações;
• A química quântica investiga as propriedades moleculares, sem
experimentação;
• A teoria de grupo proporciona uma ligação entre simetria molecular e as
propriedades moleculares, simplificando e/ou evitando os cálculos da
química quântica.
• Para tal, um fiel companheiro do estudante
deve ser um kit de modelo molecular…
3
• A principal fonte de informações experimentais sobre os estados
energéticos permitidos em átomos e moléculas, para serem comparadas
com dados teóricos obtidos da mecânica quântica é a espectroscopia.
Exemplos: Transições eletrônicas (UV-Visível);
Modos vibracionais (Infravermelho).
• A teoria de grupo faz a ligação entre a teoria
quântica moderna e alguns modelos de ligação
química presentes nos compostos de
coordenação (complexos).
4
Elementos e operações de simetria
• Para a química, os objetos de interesse são íons e moléculas e a partir
destes devemos identificar e quantificar os elementos de simetria.
São elementos de simetria:
Planos de reflexão (σ) Centros de inversão (i) Eixos de rotação (C)
5
*A
A
A
• Um elemento de simetria é encontrado quando uma operação de
simetria é efetuada. Toda operação de simetria leva a molécula em
questão a uma situação equivalente ou indistinguível da configuração
inicial.
Exemplo:
*A
A
A
Configuração idêntica à inicial
- Operação identidade (E) -
360°
Giro de 360° segundo um eixo.
*A
A
A
120°
Giro de 120° segundo um eixo.
Configuração equivalente à inicial
6
• Conclusão: Toda molécula possui pelo menos 1 eixo de rotação – Este
elemento de simetria é dito como identidade (E).
Os eixos de ordem (Cn): São caracterizados pela relação 2π/n onde “n” é
o número de rotações possíveis para a formação de arranjos indistinguíveis.
*A
A
A *A
A
A
*A
A
A
Exemplo: C3 = 2π/3 ou 360°/3 = 120°
120°
C3+
120°
C3+
120°
C3+
120°
C3-
7
8
Exemplos de eixos de rotação
Exercícios: Encontrar todos os possíveis eixos de rotação nas moléculas
abaixo:
H2O NH3 BF3
[PtCl4]2-
1,4-diflouorobenzeno NHF2
1 C2 2 C3; 3 C2 2 C3
1 C4; 1 C2; 2 C2’ ; 2 C2’’ 3 C2 Não há
9
Planos especulares de simetria (σ): São encontrados quando planos
imaginários interceptam uma dada molécula e, cada metade, é a imagem
especular da outra.
Classificação:
σv – Ocorre quando o plano é
traçado no sentido vertical à
molécula.
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Planos especulares de simetria (σ)
σh – Ocorre quando o plano é
traçado no sentido horizontal à
molécula. Neste caso, existem nσv ┴
ao plano σh.
σh
σd
σd – Ocorre quando o plano é
traçado no sentido vertical à
molécula e bissecta dois eixos C2
perpendiculares.
11
C4
σv
Exercícios: Encontrar todos os possíveis planos de simetria nas moléculas
abaixo:
H2O NH3 BF3
[PtCl4]2-
1,4-diflouorobenzeno NHFCl
σv ; σv’ 3 σv ; σh 3 σv
2 σv; 2 σd; σh 3 σv Não há
12
Centro de inversão (i): Esta operação de simetria projeta cada átomo da
molécula em questão através de um ponto imaginário (i) e, caso a molécula
resultante for indistinguível da molécula inicial esta possui cento de
inversão.
13
14
Exemplos de centros de inversão
Exercícios: Verificar se as moléculas em questão possuem centro de
inversão.
H2O C2H2 BF3
[PtCl4]2-
1,4-diflouorobenzeno [CoCl6]4-
Não há Não há i
i i i
15
É na verdade uma operação de simetria combinada. Consiste em efetuar uma
rotação Cn e, em seguida, uma reflexão (plano especular) perpendicular à esta
rotação. Também é conhecida como operação de roto-reflexão.
Exemplo: Operação de roto-reflexão para um composto tetraédrico.
Obs.: Somente ao final do conjunto de operações, o arranjo atômico deve ser
indistinguível do inicial.
16
Eixo de rotação impróprio (S):
17
Eixos de rotação imprópria e operações equivalentes
Casos especiais:
• A operação S1 não é considerada
pois consiste em C1 seguido de
reflexão. Este conjunto tem o mesmo
significado de um plano de simetria.
• A operação S2 também não é
considerada pois consiste em C2
seguido de reflexão. Este conjunto
tem o mesmo significado do centro
de inversão (i).
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Exercícios: Verificar se as moléculas em questão possuem eixo de rotação
impróprio (Sn).
H2O CH4 BF3
[PtCl4]2-
1,4-diflouorobenzeno [CoCl6]4-
Não há 2 S3 6 S4
6 S4; 8 S6 2 S4 Não há
19
A determinação do grupo de ponto
• O termo grupo de ponto traduz o fato de que cada operação de simetria
realizada não altera o centro de gravidade da molécula em questão. Este
grupo é encontrado com base coleção de operações de simetria
possíveis para uma molécula.
• O nome do grupo de ponto é dado pelo símbolo de Shoenflies.
20
Exemplos:
H2O
Elementos de simetria:
E, C2, σv, σ v’
Grupo de ponto: C2v
BF3
Elementos de simetria:
E, 2C3, 3C2, σh, 2S3, 3σv
Grupo de ponto:D3h
CH4
Elementos de simetria:
E, 8C3, 3C2, 6S4, 6σd
Grupo de ponto: Td
21
P1. Existem dois ou mais eixos Cn com n ≥ 3 não coincidentes?
P2. Selecione o Cn de maior ordem; Então, existem nC2 ⊥ ao Cn de
maior ordem?
Grupos Quirais - Sombreado
[PtCl4]2-
Elementos de simetria:
E, 2C4, 5C2, i, 2S4, σh,
2σv, 2σd
Grupo de ponto: D4h
H3BO3
Elementos de simetria:
E, 2C3, σh, S3, S35
Grupo de ponto:C3h
NHF2
Elementos de simetria:
E, σ
Grupo de ponto: Cs
Exemplos:
22
P1. Existem dois ou mais eixos Cn com n ≥ 3 não coincidentes?
P2. Selecione o Cn de maior ordem; Então, existem nC2 ⊥ ao Cn de
maior ordem?
Grupos Quirais - Sombreado
NHFCl
Elementos de simetria:
E
Grupo de ponto: C1
[Co(en)3]3+
Elementos de simetria:
E, 2C3, 3C2
Grupo de ponto:D3
[CoCl6]4-
Elementos de simetria:
E, 8C3, 6C2, 6C4, 3C2, i,
6S4, 8S6, 3σh, 6σd
Grupo de ponto: Oh
Exemplos:
23
P1. Existem dois ou mais eixos Cn com n ≥ 3 não coincidentes?
P2. Selecione o Cn de maior ordem; Então, existem nC2 ⊥ ao Cn de
maior ordem?
Grupos Quirais - Sombreado
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HClBrC-CHClBr ()
Elementos de simetria:
E, i
Grupo de ponto: Ci
P(C6H5)3
Elementos de simetria:
E, C3, C32
Grupo de ponto:C3
H2C=C=CH2
Elementos de simetria:
E, 2S4, C2, 2C2’, 2σd
Grupo de ponto: D2d
Exemplos:
P1. Existem dois ou mais eixos Cn com n ≥ 3 não coincidentes?
P2. Selecione o Cn de maior ordem; Então, existem nC2 ⊥ ao Cn de
maior ordem?
Grupos Quirais - Sombreado
Exercício: Encontrar os elementos de simetria e verificar o grupo de ponto
da molécula de etano nas formas estrelada e eclipsada.
CH3CH3
Elementos de simetria:
E, 2C3, 3C2, 3σd, i, 2S6
Grupo de ponto: D3d
CH3CH3
Elementos de simetria:
E, 2C3, 3C2, σh, 3σv,
2S3
Grupo de ponto: D3h
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Grupos de alta simetria: Lineares
• Para encontrarmos o grupo de ponto de moléculas lineares, precisamos
de uma atenção extra na observação dos elementos de simetria
presentes.
Exemplo 1: Encontrar os elementos de simetria e verificar o grupo de ponto
da molécula de HCl
HCl
Elementos de simetria:
E, Cφ, ∞σv,
Grupo de ponto: C∞v ∞σv
Cφ
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• Para encontrarmos o grupo de ponto de moléculas lineares, precisamos
de uma atenção extra na observação dos elementos de simetria
presentes.
Exemplo 2: Encontrar os elementos de simetria e verificar o grupo de ponto
da molécula de CO2.
CO2
Elementos de simetria:
E, ∞C2’, 2Cφ, i, ∞σv, 2Sφ
Grupo de ponto: D∞h
∞C2’
Cφ
i
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Grupos de alta simetria: Lineares
Grupos de alta simetria: Cúbicos
• Grupos de ponto Ih, Oh e Td são muito comuns em química, e, para cada um
destes há um subgrupo puramente rotacional (I, O e T). Nestes subgrupos todas
as operações de reflexão são destruídas.
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• O grupo Th está relacionado com o grupo T porém com a presença de centro de
inversão e consequentes planos de reflexão e rotações impróprias.
Tetraédrico (Td) Octaédrico (Oh)
Icosaédrico (Ih)
29
Grupos de alta simetria: Cúbicos
30
Grupos de alta simetria: Cúbicos
[Ca(THF)6]2+(T)
( I )
[Fe(py)6]2+(Th)
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Teoria de Grupo - Definições
• Em matemática, um grupo é definido por uma coleção de elementos os quais
estão relacionados entre si por um conjunto específico de regras.
• Para efeito de nosso estudo, trataremos um grupo como sendo o conjunto de
operações de simetria que pertencem a uma determinada molécula.
• Por definição, grupos podem ser finitos ou infinitos, contendo então um número de
elementos finito ou infinito, respectivamente.
• Levando em consideração grupos de simetria, grande partes destes são finitos,
com alguns pouco exemplos de grupos infinitos. Aos grupos finitos é definida
também uma propriedade importe: A ordem do grupo (h).
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Teoria de Grupo: Propriedades e representações
• Como dito anteriormente, todos os grupos matemáticos, incluindo grupos de
ponto, devem respeitar um conjunto de propriedades. Consideremos o exemplo
abaixo:
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Propriedades de um grupo
34
Propriedades de um grupo
• Informações importantes sobre aspectos de simetria e grupos de ponto estão
reunidas em tabelas de caracteres. Para compreendermos a construção e uso
destas, devemos considerar um modelo matemático matricial.
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Representação matricial de operações de simetria
• Cada operação de simetria pode ser expressa como uma transformação
matricial, como no exemplo a seguir:
[Novas coordenadas] = [matriz transformação] × [ antigas coordenadas]
36
37
• Exemplo de verificação de representações matriciais:
C2 σv (xz)
σvʼ(yz)
38
Caracteres
• Um caractere, definido somente para uma matriz quadrada, é o traço desta matriz
ou, em outras palavras a soma dos números de sua diagonal do canto superior
esquerdo para o inferior direito. Para o grupo de ponto C2v os seguintes
caracteres podem ser obtidos:
• Este conjunto de caracteres formam uma representação, ou seja uma versão
resumida das matrizes de representação.
• Esta representação é chamada de representação redutível pois, é formada de
representações mais fundamentais ditas representações irredutíveis.
39
Representações redutíveis e irredutíveis
• Cada matriz transformação do grupo C2v pode ser diagonalizada em bloco, ou
seja, “quebrada” em matrizes 1×1.
• Estas representações irredutíveis (cada linha abaixo) dão então origem a
representação redutível geral (Γ).
40
A tabela de caracteres
• Um conjunto completo de representações irredutíveis para um dado grupo de
ponto é chamado de tabela de caracteres. Cada grupo de ponto possui uma
tabela única.
• O restante das informações presentes serão apresentadas a seguir considerando
as propriedades dos caracteres de representação irredutível para um determinado
grupo de ponto em questão.
41
Propriedades dos caracteres de uma representação irredutível
42
43
44
• A tabela de caracteres possui 4 colunas (4 classes de operações de simetria) logo
deverá ter também 4 grupos de representações irredutíveis. Assim as
propriedades 3 e 4 serão respeitadas.
A1
B1
B2
Até então para a molécula de água (C2v) temos:
Mas...
?! ?!
45
• Como a soma dos produtos de caracteres de duas representações deve ser igual
a zero (propriedade 6), o produto de A1 com uma representação desconhecida
deverá ser 1 para dois caracteres e -1 para os outros dois para que a
propriedade 6 seja satisfeita.
E C2 σv (xz) σvʼ (yz)
A1 1 1 1 1
A2 ? ? ? ?
• O caractere para a operação identidade deverá ser 1 (propriedade 4).
• Como duas representações não podem ser idênticas χ(E) = χ(C2) = 1 e
χ(σxz) = χ(σxz) = -1. Nesta configuração a ortogonalidade com B1 e B2 é mantida.
E C2 σv (xz) σvʼ (yz)
A1 1 1 1 1
A2 1 1 -1 -1
46
Outro exemplo: NH3 (C3v)
• Considere o eixo de rotação C3 ao longo do eixo z:
47
• A matriz transformação para C3 não pode ser bloco-diagonalizada em matrizes
1×1, uma vez que valores diferentes de zero estão presentes fora da diagonal.
• Neste caso é dito que as coordenadas x e y são dependentes entre si. Neste caso
são feitas duas diagonalizações independentes conforme a figura abaixo:
48
• Feito isso a soma dos valores das diagonais podem ser feitas como no exemplo
do grupo de ponto C2v anterior porém em duas etapas:
• A matriz 2×2 (coordenadas x e y) correspondem a representação E. Enquanto a
matriz 1×1 (z) corresponde a representação A1 (totalmente simétrica). Assim como
no exemplo anterior (grupo C2v) a representação A2 é gerada pelas propriedades
dos caracteres de um grupo.
49
50
Propriedades adicionais da tabela de caracteres
1. Operações de simetria que estão na mesma
classe (C3 e C32, por exemplo) aparecem
agrupadas na tabela de caracteres.
2. Eixos de rotação não coincidentes são apresentados de forma independe
utilizando a seguinte notação: Cn (eixo de maior ordem); Cnʼ (eixo passa por vários
átomos) e Cnʼʼ (eixo passa entre os átomos).
51
3. Um plano de reflexão é perpendicular ao eixo de rotação de maior ordem é
definido como σh. Planos paralelos ao eixo de maior ordem são ditos σv ou σd.
4. Expressões listadas a direita dos caracteres indicam propriedades de simetria do
grupo de ponto para os eixos x, y e z, funções matemáticas e rotações sobre os
eixos (Rx, Ry e Rz).
52
Exemplos:
O eixo x e suas direções (+) e (-) se
encaixam na representação do orbital
(px) com o nó definido pelo plano yz.
A função xy, com sinais alternados
nos quatro quadrantes dentro do
plano xy se encaixam no orbital dxy.
• O orbital s (totalmente simétrico) é sempre descrito pela primeira representação
do grupo (A).
53
6. As representações irredutíveis são rotuladas de acordo com as seguintes regras:
a) Caracteres simétricos (1) e caracteres antissimétricos (-1);
b) As letras são designadas de acordo com a dimensão da representação
irredutível (o caractere da operação identidade).
c) O índices subscritos 1 e 2 designam a representação simétrica ou
antissimétrica, respectivamente, ao eixo de rotação C2 perpendicular ao
eixo principal.
54
Exemplo: [Pt(Cl)4]2-
• Caso não hajam eixos C2
perpendiculares, devem ser
considerados os planos verticais σv:
55
d) O índices subscritos g (gerade) e u (ungerade) designam a representação simétrica
ou antissimétrica, respectivamente, quanto ao centro de inversão da molécula.
Exemplo: trans-1,2-dicloroeteno
e) O índices sobrescritos ( ʼ ) e ( ʼʼ ) indicam uma representação simétrica
ou antissimétrica, respectivamente, quanto ao plano σh. Quando esta
distinção se faz necessária (grupos C3h, C5h, D3h, D5h)
56
Simetria e Teoria de Grupo: Aplicações
1. Predição de polaridade de moléculas: Uma molécula não pode possuir um
momento de dipolo permanente se:
• Possuir um centro de inversão (i);
• Pertencer a qualquer grupo de ponto “D”
• Pertencer os grupos cúbicos “T” ou “O”.
H2O
E, C2, σv, σ’
Grupo de ponto: C2v
Polar
BF3
E, 2C3, 3C2, σh, 2S3, 3σv
Grupo de ponto:D3h
Apolar
CH4
E, 8C3, 3C2, 6S4, 6σd
Grupo de ponto: Td
Apolar
Exemplos:
Ciclobutano
E, 2C4, 5C2, i, 2S4, σh,
2σv, 2σd
Grupo de ponto: D4h
Apolar
57
Definição: Moléculas quirais ou dissimétricas não possuem imagens especulares
sobreponíveis. Como consequência, propriedades químicas destas substâncias
podem ser diferentes.
É importante lembrar que existem moléculas quirais que não possuem carbono
assimétrico. São os chamados atropoisômeros, do grego “sem rotação”.
58
• Substâncias quirais possuem atividade ótica, ou seja, tem a capacidade de
desviar um feixe de luz plano polarizada.
• Mas como saber se uma molécula é
oticamente ativa? Um equipamento
relativamente simples pode revelar tal fato: O
polarímetro.
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2. Predição de quiralidade: Moléculas quirais não possuem eixos de rotação
imprópria (Sn), centro de inversão (i) e planos especulares (σ).
Exemplos quirais
C1
T
O
C3
D3
60
Exemplos não-quirais
C∞v
D∞h
Td
Ih Oh
Th
61
Exemplos não-quirais
Cs
Ci
C3h
C2v
D4h D3d
62
3. Determinação de modos vibracionais:
Exemplo 1: A molécula de água (C2v)
• Cada átomo pode se mover em todas as três direções no espaço: x, y e z. Para
tal, devem ser determinados os graus de liberdade da mesma segundo a tabela
abaixo:
63
• Como á água possui três átomos, deverão haver 9 movimentos distintos.
• Matrizes de transformação devem ser utilizadas para determinar a simetria dos 9
movimentos do grupo C2v: Translação, rotação e vibração. O exemplo abaixo é
para a operação C2.
• Feita a operação de simetria, valores nulos indicam que o átomo em questão
trocou de lugar, entradas diferentes de zero indicam que um átomo
permaneceu em sua posição inicial.
64
• Operações do grupo C2v:
E
• Todos os 9 vetores permanecem inalterados, logo o caractere resultante será 9.
E C2 σv (xz) σvʼ (yz)
Γ 9
Onde os valores de gama (Γ) são as representações redutíveis.
1 2 1 2
65
C2
1 2 1 2
• Quando os vetores permanecem inalterados recebem o valor (1). Quando sofrem
inversão recebem valor (-1).
χ(C2) = (-1) + (-1) + (1) = -1
x y z
E C2 σv (xz) σvʼ (yz)
Γ 9 -1
66
σv (xz)
1 2
χ(σv (xz)) = 3∙(1) + 3∙(-1) + 3∙(1) = 3
x y z
σvʼ (yz)
1 2 1 2
χ(σv (xz)) = (-1) + (1) + (1) = 1
x y z
1 2
67
• Desta forma, os caracteres da representação redutível para o grupo de ponto C2v
são:
E C2 σv (xz) σvʼ (yz)
Γ 9 -1 3 1
• A representação redutível Γ deve então ser reduzida à representações irredutíveis
segundo a expressão abaixo:
• Esta equação traduz o número de vezes que cada representação irredutível
contribui para a formação da representação redutível.
68
• Para a água (C2v), a ordem do grupo é 4 onde consta apenas 1 operação de
simetria em cada classe (E, C2, σv, σʼ).
• A representação redutível para todos os movimentos da água pode ser reduzida
aos termos: 3A1+ A2 + 3B1 + 2B2.
69
• Análise do conjunto de representações: 3A1+ A2 + 3B1 + 2B2
70
Translação:
Rotação:
Vibração:
71
• Acima: Espectro de IV da água gasosa (Spartan ʼ04 © Wavefunction Inc. 2003) mostrando as três
absorções fundamentais. Valores experimentais: 37556 cm-1, 3657 cm-1 e 1595 cm-1. Abaixo: Espectro
de IV da água líquida.
72
Espectroscopia no Infravermelho e Raman: Diferenças básicas
• Absorção de radiação pela vibração
molecular;
Infravermelho Raman
• Espalhamento de luz pela vibração
molecular;
• A molécula não necessita possuir um
momento de dipolo permanente;
• A vibração deve alterar o momento de dipolo
dessa vibração;
• Água pode ser utilizada como solvente; • Água não pode ser utilizada como solvente
pois absorve fortemente no IV;
• Dá um indicativo do grau de covalência da
molécula;
• Dá um indicativo do caráter iônico da
molécula;
73
Espectroscopia no Infravermelho e Raman: Regras de seleção
• Para um modo vibracional ser ativo no infravermelho (IV) ele deve alterar o valor
do momento de dipolo da molécula em questão.
• Para um modo vibracional ser ativo no Raman ele deve alterar a
polarizabilidade da molécula.
74
Mudança de polarizabilidade?! Como assim?!
• Considerando ainda o exemplo do CO2:
Durante o estiramento simétrico do CO2 a polarizabilidade fica menor tanto
quando a molécula é “esticada” ou quando é “comprimida”. Essa alteração
de polarizabilidade torna este modo vibracional Raman-ativo.
Durante o estiramento assimétrico do CO2, de maneira contrária a
polarizabilidade não é alterada e este fato caracteriza um modo vibracional
Raman-inativo.
Resultado: A regra da Exclusão
Para moléculas centrossimétricas vibrações ativas no IV são inativas no
Raman e vice versa. Isso torna as técnicas complementares.
Exemplo: A molécula de água (C2v) Modos vibracionais 2A1ʼ e B1
75
• Para evitar qualquer tipo de confusão, a tabela de caracteres pode auxiliar na
busca por modos vibracionais ativos no IV e no Raman: Caso o modo vibracional
em questão esteja relacionado com as funções x, y e/ou z então este modo será
ativo no IV.
Modos Ativos no IV Ativos no Raman
A1 X OK
B1 OK OK
76
• Caso o modo vibracional em questão esteja relacionado com funções
quadráticas ou produtos de funções, então este modo será ativo no Raman.
Exemplo: A molécula de SO3 (D3h) Modos vibracionais A1ʼ; A2ʼʼ; 2Eʼ
Modos Ativos no IV Ativos no Raman
A1ʼ X OK
Eʼ OK OK
A2ʼʼ OK X
77
Exemplo 2: A molécula de XeF4 (D4h)
1. Determinação dos graus de liberdade:
Número de átomos
Graus de liberdade
Modos translacionais
Modos rotacionais
Modos vibracionais
N (não-linear) 3N 3 3 3N-6
5 (XeF4) 15 3 3 9
2. Determinação dos átomos invariantes e representação redutível:
E
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd
Γ 15
78
C4
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd
Γ 15 1
Obs. Quando os vetores não invertem (180º) mas trocam de coordenada a contribuição é nula.
C2
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd
Γ 15 1 -1
79
C2ʼ
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd
Γ 15 1 -1 -3
C2ʼʼ
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd
Γ 15 1 -1 -3 -1
80
i
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd
Γ 15 1 -1 -3 -1 -3
S4
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd
Γ 15 1 -1 -3 -1 -3 -1
81
σh
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd
Γ 15 1 -1 -3 -1 -3 -1 5
σv
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd
Γ 15 1 -1 -3 -1 -3 -1 5 3
82
σd
E 2C4 C2 2C2ʼ 2C2ʼʼ i 2S4 σh 2σv 2σd
Γ 15 1 -1 -3 -1 -3 -1 5 3 1
• Para o XeF4 (D4h), a ordem do grupo é 10.
• A representação redutível para todos os movimentos da água pode ser reduzida
aos seguintes termos:
Γ = A1g+ A2g + B1g + B2g + Eg + 2A2u + B2u + 3Eu
83
Raman
IV
84
85
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