Simulacao termo-fluido-estrutura de corpos imersos emfluidos newtonianos

Romulo D. C. Santos1, Sılvio M. A. Gama1 e Ramiro R. G. Camacho2

1. CMUP, Departamento de Matemtica - Faculdade de Ciencias, Universidade do Porto2. Instituto de Engenharia Mecanica, Universidade Federal de Itajuba - IEM/UNIFEI/Brasil

E-mails: damasclin@gmail.com , smgama@fc.up.pt , ramirez@unifei.edu.br

1 IntroducaoEm muitas aplicacoes nas areas da matematica, fısica e engenharia a dinamica dos fluidos esta pre-sente. Metodos classicos de modelacao de escoamentos com fronteiras de geometrias simples oucomplexas exigem a utilizacao de metodos de malhas, cuja implementacao de pode resultar numcusto computacional elevado. Para evitar isto, surgiu o Metodo da Fronteira Imersa (MFI), desen-volvido por Charles S. Peskin (1977), destinado inicialmente a modelacao computacional do fluxosanguıneo no interior da valvula cardıaca. Este modelo permite simular o escoamento com umamalha fixa e ortogonal (Euleriana) acoplada a uma outra malha (Lagrangiana), que representa ainterface da fronteira com o fluido. Neste projeto de investigacao, utiliza-se de forma acoplada oModelo Fısico Virtual (MFV), destinado a modelacao do termo fonte, o que permite calcular a forcainterfacial, simulando o escoamento em torno do corpo imerso. A motivacao neste trabalho e estenderos resultados de Zhang [1] e Elghnam [2], considerando os efeitos termicos e de turbulencia para umfluido incompressıvel, nao-isotermico, bidimensional com conveccao forcada para corpos rıgidos,podendo estes serem estacionarios ou rotativos. Na presente investigacao, e utilizado o MFI/MFVpara simular escoamentos com o numero de Reynolds variando no intervalo, 102 ≤ Re ≤ 104, emtorno de cilindros rotativos e aquecidos, com possibilidade de uma aplicacao em maquinas de fluxopara o perfil isolado de uma grade linear. Ao longo desta investigacao, esta sendo implementado tresdiferentes metodologias para a modelagem da turbulencia: Medias de Reynolds Transiente (URANS- Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes Equations), Modelagem Hıbrida da Turbilencia (DES- Detached Eddy Simulation) e Simulacoes de Grandes Escalas (LES - Large Eddy Simulation). Parao calculo da viscosidade turbulenta, foi utilizado o modelo sub-malha de Smagorinsky para a meto-dologia LES e o modelo Spalart-Almarras (S-A) para URANS e DES. As metodologias LES e DESsao usadas como aproximacao bidimensional. Parte dos resultados apresentados aqui foram obtidospara simulacoes com o modelo sub-malha de Smagorinsky.

2 MODELO MATEMATICO2.1 Equacoes de Navier-Stokes FiltradasO domınio de calculo nesta investigacao, e estudado como se estivesse ocupado somente por fluido,sendo sua forma retangular; independente da geometria do corpo imersa, a modelacao ocorre atravesde um termo fonte de forca adicionado as equacoes do movimento e da energi. O escoamento emodelado pelas equacoes de Navier-Stokes, considerando as seguintes hipoteses: Fluido newtoni-ano incompressıvel; o corpo imerso (que e o cilındro) e descrito pelo MFV em vez da imposicaodireta das condicoes de contorno da velocidade e temperatura; o efeito da variacao da densidadeocorre devido as mudancas de temperaturas considerando apenas a forca gravitacional (Hipotese deBoussinesq); o termo de geracao de energia e desprezado, onde nem os efeitos do calor interno saoconsiderados (como por exemplo, a absorcao ou emissao de radiacao) nem a umidade que pode serresponsavel pela troca de calor latente; nao ha forca Coriolis, nem efeitos de rotacao para o sistemade coordenadas. As equacoes de conservacao da massa, quantidade de movimento e energia, podemser escritas na forma adimensional a seguir, como

∇ ·V = 0 , (1)

∂V

∂t+∇ · (VV) = −

1

ρ∇P +

1

Re∇2V (ν + νt)Riθ +

∫Γ

F (xk, t) δ (x− xk) dxk︸ ︷︷ ︸f

, (2)

∂θ

∂t+∇ · (Vθ) =

(1

RePr

)∇2θ +

∫Γ

Q (xk, t) δ (x− xk) dxk︸ ︷︷ ︸q

. (3)

As equacoes acima sao resolvidas na malha Eulerina e o acoplamento com a malha Lagrangianae realizado pelo termo fonte da forca f , que e diferente de zero somente na interface imersa. Deforma analoga, o termo q e o termo fonte de energia de interacao entre o fluido e a fronteira imersa,responsavel por fazer o corpo ’sentir’ a presenca da interface solida aquecida. Os termos adimensi-onais V, P e θ sao, respectivamente, o campo de velocidades, pressao e temperatura. Sao tambemde grande importancia, os numeros adimensionais de Reynolds (Re), Prandtl (Pr), Grashof (Gr)e Richardson (Ri = Gr/Re2). A forma discretizada das Eqs. (1)–(3) sao derivadas pelo metodo dediferencas finitas com Ruge-Kutta de segunda ordem para a equacao da quantidade de movimento eAdams-Bashforth de segunda ordem para equacao da temperatura. O metodo do passo fracionado eaplicado para a correcao da pressao.

3 INTERFACE SOLIDO-FLUIDOA forca que o fluido exerce sobre a superfıcie do corpo imerso e avaliada pelo MFV, a densidade deforca ~F e calculada sobre um ponto Lagrangiano, usando os termos da equacao de Navier-Stokes. Aforca Lagrangiana e expressa por

F (xk, t) = ρ∂V

∂t(xk, t) + ρ (∇ ·V)V (xk, t) +

(−∇ ·

[(ν + νt)

(∇V +∇TV

)])+∇p (xk, t) .

(4)Os diferentes termos do lado direito da Eq. (4), sao denominados respectivamente de forca deaceleracao, forca inercial, forca viscosa e forca de pressao. Essas quatro componentes da densi-dade de forca sao calculadas sobre um volume de controle centrado em um ponto Lagrangiano. Paracalcular os termos de densidade de forca Lagrangiana e necessario conhecer a priori os campos develocidade e pressao. Estes campos sao calculados sobre a malha Euleriana, enquanto os termos deforca devem ser calculado sobre a interface. Para resolver esse problema os campos Eulerianos saointerpolados sobre pontos Lagrangianos auxiliares.

4 MODELACAO DA TURBULENCIAAs equacoes de Navier-Stokes sao capazes de simular a fısica dos fenomenos envolvidos com umaboa convergencia numerica para uma extensa variedades de problemas em engenharia. Entretanto enecessario resolver todos os graus de liberdade do escoamento, o que e caro computacionalmente.Neste processo, as equacoes governantes sao devidamente filtradas, produzindo o fechamento daturbulencia. Na presente investigacao, e utilizado os modelos de turbulencia de Smagorinsky e deSpalart-Allmaras, descrito a seguir.

4.1 Modelo sub-malha de SmagorinskyNeste modelo e utilizado o modelo de turbulencia proposto por Smagorinsky (1963), para a me-todologia LES. Este modelo sub-malha e baseado no balanco entre a producao de energia cineticaturbulenta e a dissipacao isotropica da energia turbulenta. A viscosidade turbulenta e calculada emfuncao da taxa de deformacao (Sij) e da escala de comprimento (`):

vt = (Cs`)2√

2SijSij, (5)

onde Cs = 0.18 e a constante de Smagorinsky e ` =√

∆x∆y e o comprimento da escala sub-malha.

4.2 Modelo de Spalart-AllmarasSpalart e Allmaras (1994) propuseram um novo modelo (S-A) do tipo URANS a uma equacao detransporte para o calculo da viscosidade turbulenta. A equacao para a viscosidade turbulenta e cons-truıda usando principalmente consideracoes empıricas de diferentes tipos de escoamentos, analisedimensional, aplicando o princıpio da relatividade de Galileu para a viscosidade turbulenta. Estemodelo tem sido usado com bastante sucesso na simulacao de escoamentos em torno de corpos comaerodinamica. O modelo de Spalart-Allmaras (S-A) usa uma variavel de trabalho ν dada pela se-guinte equacao de transporte

∂ν

∂t+∂(ujν)

∂xj= cb1Sν − cwfw

[ν

dw

]2

+1

σ

[∂

∂xj(ν + ν)

∂ν

∂xj+ cb2

∂ν

∂xj

∂ν

∂xj

], (6)

onde os termos do lado direito representam, respectivamente: a producao de viscosidade turbulenta,termo de destruicao que produz a viscosidade turbulenta junto a parede, termo de difusao da vis-cosidade turbulenta e molecular, sendo o ultimo termo, que representa a dissipacao da viscosidadeturbulenta.

5 METODO NUMERICOAs equacoes governantes, Eq. (1) e Eq. (2), foram discretizadas no espaco usando o metodo dediferencas finitas centradas e no tempo pelo metodo de Runge-Kutta de segunda ordem. O sistemalinear para a correcao para a correcao de pressao e resolvido usando o MSI (Modified StronglyImplicit Procedure). Nas demais faces do domınio foram impostas condicoes de Neumann para a ve-locidade, e para a correcao de pressao, foi imposto derivada nula na entrada e zero das demais faces.O acoplamento pressao-velocidade e realizado pelo metodo dos passos fracionados, que consiste emresolver o seguinte sistema de equacoes:

un+1i − uni

∆t= −

1

ρ

∂pn

∂xi−∂(uiuj

)n∂xj

+∂

∂xj

[(ν + νt)

(∂uni∂xj

+∂unj∂xi

)]+ fni , (7)

∂2ϕn+1

∂xj∂xj=

ρ

∆t

∂un+1

∂xj, (8)

un+1i = un+1

i −∆t

ρ

∂ϕn+1

∂xi, (9)

pn+1 = pn + ϕn+1 . (10)

6 RESULTADOSNesta secao sao apresentados apenas dois resultados preliminares, utilizando o MFI/MFV com omodelo sub-malha de Smagorinsky/LES, considerando as hipoteses ja mencionadas para o escoa-mento em torno de um cilindro circular rotativo aquecido com Re = 300 e α = 1, 5, e outro cilindroestacionario, com Re = 103.

Figura 1: (a) Campo de Temperatura para um cilindro circular rotativo aquecido com Re = 300 e α = 1, 5, (b) Campode Vorticidade, (c) Modelo de Turbulencia - Smagorinsky/LES e (d) Zoom das Linhas de corrente proximas ao cilindro.

Figura 2: (a), (b), (c) Desenvolvimento do campo de temperatura para um cilindro circular estacionario para Re = 103,(d) Campo de Vorticidade, (e) Modelo de Turbulencia - Smagorinsky/LES e (f) Linhas de corrente proximas ao cilindro.

Referencias[1] Zhang, N., Z. C. Zheng, and S. Eckels. ”Study of heat-transfer on the surface of a circular cylin-

der in flow using an immersed-boundary method.”International Journal of Heat and Fluid Flow29.6 (2008): 1558–1566.

[2] Elghnam, Reda I. ”Experimental and numerical investigation of heat transfer from a heated ho-rizontal cylinder rotating in still air around its axis.”Ain Shams Engineering Journal 5.1 (2014):177–185.

[3] Peskin, Charles S. ”Numerical analysis of blood flow in the heart.”Journal of computational phy-sics 25.3 (1977): 220-252.

[4] Smagorinsky, J. (1963). General circulation experiments with primitive equations. Monthly We-ather Review 91, 99164.

[5] Spalart, P. R. and S. R. Allmaras. ”A one-equation turbulence model for aerodynamic flows.”30thaerospace sciences meeting and exhibit. 1992.