Simulac¸ao termo-fluido-estrutura de corpos imersos em˜ … · 2017-06-19 · responsavel pela...
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Simulac ¸˜ ao termo-fluido-estrutura de corpos imersos em fluidos newtonianos Rˆ omulo D. C. Santos 1 , S´ ılvio M. A. Gama 1 e Ramiro R. G. Camacho 2 1. CMUP, Departamento de Matemtica - Faculdade de Ciˆ encias, Universidade do Porto 2. Instituto de Engenharia Mecˆ anica, Universidade Federal de Itajub´ a - IEM/UNIFEI/Brasil E-mails: [email protected] , [email protected] , [email protected] 1 Introduc ¸˜ ao Em muitas aplicac ¸˜ oes nas ´ areas da matem´ atica, f´ ısica e engenharia a dinˆ amica dos fluidos est´ a pre- sente. M´ etodos cl´ assicos de modelac ¸˜ ao de escoamentos com fronteiras de geometrias simples ou complexas exigem a utilizac ¸˜ ao de m´ etodos de malhas, cuja implementac ¸˜ ao de pode resultar num custo computacional elevado. Para evitar isto, surgiu o M´ etodo da Fronteira Imersa (MFI), desen- volvido por Charles S. Peskin (1977), destinado inicialmente ` a modelac ¸˜ ao computacional do fluxo sangu´ ıneo no interior da v´ alvula card´ ıaca. Este modelo permite simular o escoamento com uma malha fixa e ortogonal (Euleriana) acoplada a uma outra malha (Lagrangiana), que representa a interface da fronteira com o fluido. Neste projeto de investigac ¸˜ ao, utiliza-se de forma acoplada o Modelo F´ ısico Virtual (MFV), destinado ` a modelac ¸˜ ao do termo fonte, o que permite calcular a forc ¸a interfacial, simulando o escoamento em torno do corpo imerso. A motivac ¸˜ ao neste trabalho ´ e estender os resultados de Zhang [1] e Elghnam [2], considerando os efeitos t´ ermicos e de turbulˆ encia para um fluido incompress´ ıvel, n˜ ao-isot´ ermico, bidimensional com convecc ¸˜ ao forc ¸ada para corpos r´ ıgidos, podendo estes serem estacion´ arios ou rotativos. Na presente investigac ¸˜ ao, ´ e utilizado o MFI/MFV para simular escoamentos com o n´ umero de Reynolds variando no intervalo, 10 2 ≤ Re ≤ 10 4 , em torno de cilindros rotativos e aquecidos, com possibilidade de uma aplicac ¸˜ ao em m´ aquinas de fluxo para o perfil isolado de uma grade linear. Ao longo desta investigac ¸˜ ao, est´ a sendo implementado trˆ es diferentes metodologias para a modelagem da turbulˆ encia: M´ edias de Reynolds Transiente (URANS - Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes Equations), Modelagem H´ ıbrida da Turbilˆ encia (DES - Detached Eddy Simulation) e Simulac ¸˜ oes de Grandes Escalas (LES - Large Eddy Simulation). Para o c´ alculo da viscosidade turbulenta, foi utilizado o modelo sub-malha de Smagorinsky para a meto- dologia LES e o modelo Spalart-Almarras (S-A) para URANS e DES. As metodologias LES e DES s˜ ao usadas como aproximac ¸˜ ao bidimensional. Parte dos resultados apresentados aqui foram obtidos para simulac ¸˜ oes com o modelo sub-malha de Smagorinsky. 2 MODELO MATEM ´ ATICO 2.1 Equac ¸˜ oes de Navier-Stokes Filtradas O dom´ ınio de c´ alculo nesta investigac ¸˜ ao, ´ e estudado como se estivesse ocupado somente por fluido, sendo sua forma retangular; independente da geometria do corpo imersa, a modelac ¸˜ ao ocorre atrav´ es de um termo fonte de forc ¸a adicionado ` as equac ¸˜ oes do movimento e da energi. O escoamento ´ e modelado pelas equac ¸˜ oes de Navier-Stokes, considerando as seguintes hip´ oteses: Fluido newtoni- ano incompress´ ıvel; o corpo imerso (que ´ e o cil´ ındro) ´ e descrito pelo MFV em vez da imposic ¸˜ ao direta das condic ¸˜ oes de contorno da velocidade e temperatura; o efeito da variac ¸˜ ao da densidade ocorre devido as mudanc ¸as de temperaturas considerando apenas a forc ¸a gravitacional (Hip´ otese de Boussinesq); o termo de gerac ¸˜ ao de energia ´ e desprezado, onde nem os efeitos do calor interno s˜ ao considerados (como por exemplo, a absorc ¸˜ ao ou emiss˜ ao de radiac ¸˜ ao) nem a umidade que pode ser respons´ avel pela troca de calor latente; n˜ ao h´ a forc ¸a Coriolis, nem efeitos de rotac ¸˜ ao para o sistema de coordenadas. As equac ¸˜ oes de conservac ¸˜ ao da massa, quantidade de movimento e energia, podem ser escritas na forma adimensional a seguir, como ∇· V =0 , (1) ∂ V ∂t + ∇· (VV)= - 1 ρ ∇P + 1 Re ∇ 2 V (ν + ν t ) Riθ + Z Γ F (x k ,t) δ (x - x k ) dx k | {z } f , (2) ∂θ ∂t + ∇· (Vθ )= 1 ReP r ∇ 2 θ + Z Γ Q (x k ,t) δ (x - x k ) dx k | {z } q . (3) As equac ¸˜ oes acima s˜ ao resolvidas na malha Eulerina e o acoplamento com a malha Lagrangiana ´ e realizado pelo termo fonte da forc ¸a f , que ´ e diferente de zero somente na interface imersa. De forma an´ aloga, o termo q ´ e o termo fonte de energia de interac ¸˜ ao entre o fluido e a fronteira imersa, respons´ avel por fazer o corpo ’sentir’ a presenc ¸a da interface s´ olida aquecida. Os termos adimensi- onais V,P e θ s˜ ao, respectivamente, o campo de velocidades, press˜ ao e temperatura. S˜ ao tamb´ em de grande importˆ ancia, os n´ umeros adimensionais de Reynolds (Re), Prandtl (Pr ), Grashof (Gr ) e Richardson (Ri = Gr / Re 2 ). A forma discretizada das Eqs. (1)–(3) s˜ ao derivadas pelo m´ etodo de diferenc ¸as finitas com Ruge-Kutta de segunda ordem para a equac ¸˜ ao da quantidade de movimento e Adams-Bashforth de segunda ordem para equac ¸˜ ao da temperatura. O m´ etodo do passo fracionado ´ e aplicado para a correc ¸˜ ao da press˜ ao. 3 INTERFACE S ´ OLIDO-FLUIDO A forc ¸a que o fluido exerce sobre a superf´ ıcie do corpo imerso ´ e avaliada pelo MFV, a densidade de forc ¸a ~ F ´ e calculada sobre um ponto Lagrangiano, usando os termos da equac ¸˜ ao de Navier-Stokes. A forc ¸a Lagrangiana ´ e expressa por F (x k ,t)= ρ ∂ V ∂t (x k ,t)+ ρ (∇· V) V (x k ,t)+ -∇ · h (ν + ν t ) ∇V + ∇ T V i + ∇p (x k ,t) . (4) Os diferentes termos do lado direito da Eq. (4), s˜ ao denominados respectivamente de forc ¸a de acelerac ¸˜ ao, forc ¸a inercial, forc ¸a viscosa e forc ¸a de press˜ ao. Essas quatro componentes da densi- dade de forc ¸a s˜ ao calculadas sobre um volume de controle centrado em um ponto Lagrangiano. Para calcular os termos de densidade de forc ¸a Lagrangiana ´ e necess´ ario conhecer a priori os campos de velocidade e press˜ ao. Estes campos s˜ ao calculados sobre a malha Euleriana, enquanto os termos de forc ¸a devem ser calculado sobre a interface. Para resolver esse problema os campos Eulerianos s˜ ao interpolados sobre pontos Lagrangianos auxiliares. 4 MODELAC ¸ ˜ AO DA TURBUL ˆ ENCIA As equac ¸˜ oes de Navier-Stokes s˜ ao capazes de simular a f´ ısica dos fenˆ omenos envolvidos com uma boa convergˆ encia num´ erica para uma extensa variedades de problemas em engenharia. Entretanto ´ e necess´ ario resolver todos os graus de liberdade do escoamento, o que ´ e caro computacionalmente. Neste processo, as equac ¸˜ oes governantes s˜ ao devidamente filtradas, produzindo o fechamento da turbulˆ encia. Na presente investigac ¸˜ ao, ´ e utilizado os modelos de turbulˆ encia de Smagorinsky e de Spalart-Allmaras, descrito a seguir. 4.1 Modelo sub-malha de Smagorinsky Neste modelo ´ e utilizado o modelo de turbulˆ encia proposto por Smagorinsky (1963), para a me- todologia LES. Este modelo sub-malha ´ e baseado no balanc ¸o entre a produc ¸˜ ao de energia cin´ etica turbulenta e a dissipac ¸˜ ao isotr´ opica da energia turbulenta. A viscosidade turbulenta ´ e calculada em func ¸˜ ao da taxa de deformac ¸˜ ao (S ij ) e da escala de comprimento (‘): v t =(C s ‘) 2 q 2 S ij S ij , (5) onde C s =0.18 ´ e a constante de Smagorinsky e ‘ = √ ΔxΔy ´ e o comprimento da escala sub-malha. 4.2 Modelo de Spalart-Allmaras Spalart e Allmaras (1994) propuseram um novo modelo (S-A) do tipo URANS a uma equac ¸˜ ao de transporte para o c´ alculo da viscosidade turbulenta. A equac ¸˜ ao para a viscosidade turbulenta ´ e cons- tru´ ıda usando principalmente considerac ¸˜ oes emp´ ıricas de diferentes tipos de escoamentos, an´ alise dimensional, aplicando o princ´ ıpio da relatividade de Galileu para a viscosidade turbulenta. Este modelo tem sido usado com bastante sucesso na simulac ¸˜ ao de escoamentos em torno de corpos com aerodinˆ amica. O modelo de Spalart-Allmaras (S-A) usa uma vari´ avel de trabalho ˜ ν dada pela se- guinte equac ¸˜ ao de transporte ∂ ˜ ν ∂t + ∂ ( u j ˜ ν ) ∂x j = c b1 ˜ S ˜ ν - c w f w " ˜ ν d w # 2 + 1 σ " ∂ ∂x j (ν +˜ ν ) ∂ ˜ ν ∂x j + c b2 ∂ ˜ ν ∂x j ∂ ˜ ν ∂x j # , (6) onde os termos do lado direito representam, respectivamente: a produc ¸˜ ao de viscosidade turbulenta, termo de destruic ¸˜ ao que produz a viscosidade turbulenta junto ` a parede, termo de difus˜ ao da vis- cosidade turbulenta e molecular, sendo o ´ ultimo termo, que representa a dissipac ¸˜ ao da viscosidade turbulenta. 5 M ´ ETODO NUM ´ ERICO As equac ¸˜ oes governantes, Eq. (1) e Eq. (2), foram discretizadas no espac ¸o usando o m´ etodo de diferenc ¸as finitas centradas e no tempo pelo m´ etodo de Runge-Kutta de segunda ordem. O sistema linear para a correc ¸˜ ao para a correc ¸˜ ao de press˜ ao ´ e resolvido usando o MSI (Modified Strongly Implicit Procedure). Nas demais faces do dom´ ınio foram impostas condic ¸˜ oes de Neumann para a ve- locidade, e para a correc ¸˜ ao de press˜ ao, foi imposto derivada nula na entrada e zero das demais faces. O acoplamento press˜ ao-velocidade ´ e realizado pelo m´ etodo dos passos fracionados, que consiste em resolver o seguinte sistema de equac ¸˜ oes: u n+1 i - u n i Δt = - 1 ρ ∂p n ∂x i - ∂ ( u i u j ) n ∂x j + ∂ ∂x j " (ν + ν t ) ∂u n i ∂x j + ∂u n j ∂x i !# + f n i , (7) ∂ 2 ϕ n+1 ∂x j ∂x j = ρ Δt ∂ ¯ u n+1 ∂x j , (8) u n+1 i =¯ u n+1 i - Δt ρ ∂ϕ n+1 ∂x i , (9) p n+1 = p n + ϕ n+1 . (10) 6 RESULTADOS Nesta sec ¸˜ ao s˜ ao apresentados apenas dois resultados preliminares, utilizando o MFI/MFV com o modelo sub-malha de Smagorinsky/LES, considerando as hip´ oteses j´ a mencionadas para o escoa- mento em torno de um cilindro circular rotativo aquecido com Re = 300 e α =1, 5, e outro cilindro estacion´ ario, com Re = 10 3 . Figura 1: (a) Campo de Temperatura para um cilindro circular rotativo aquecido com Re = 300 e α =1, 5, (b) Campo de Vorticidade, (c) Modelo de Turbulˆ encia - Smagorinsky/LES e (d) Zoom das Linhas de corrente pr´ oximas ao cilindro. Figura 2: (a), (b), (c) Desenvolvimento do campo de temperatura para um cilindro circular estacion´ ario para Re = 10 3 , (d) Campo de Vorticidade, (e) Modelo de Turbulˆ encia - Smagorinsky/LES e (f) Linhas de corrente pr ´ oximas ao cilindro. Referˆ encias [1] Zhang, N., Z. C. Zheng, and S. Eckels. ”Study of heat-transfer on the surface of a circular cylin- der in flow using an immersed-boundary method.”International Journal of Heat and Fluid Flow 29.6 (2008): 1558–1566. [2] Elghnam, Reda I. ”Experimental and numerical investigation of heat transfer from a heated ho- rizontal cylinder rotating in still air around its axis.”Ain Shams Engineering Journal 5.1 (2014): 177–185. [3] Peskin, Charles S. ”Numerical analysis of blood flow in the heart.”Journal of computational phy- sics 25.3 (1977): 220-252. [4]Smagorinsky, J. (1963). General circulation experiments with primitive equations. Monthly We- ather Review 91, 99164. [5] Spalart, P. R. and S. R. Allmaras. ”A one-equation turbulence model for aerodynamic flows.”30th aerospace sciences meeting and exhibit. 1992.
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Simulacao termo-fluido-estrutura de corpos imersos emfluidos newtonianos
Romulo D. C. Santos1, Sılvio M. A. Gama1 e Ramiro R. G. Camacho2
1. CMUP, Departamento de Matemtica - Faculdade de Ciencias, Universidade do Porto2. Instituto de Engenharia Mecanica, Universidade Federal de Itajuba - IEM/UNIFEI/Brasil
E-mails: [email protected] , [email protected] , [email protected]
1 IntroducaoEm muitas aplicacoes nas areas da matematica, fısica e engenharia a dinamica dos fluidos esta pre-sente. Metodos classicos de modelacao de escoamentos com fronteiras de geometrias simples oucomplexas exigem a utilizacao de metodos de malhas, cuja implementacao de pode resultar numcusto computacional elevado. Para evitar isto, surgiu o Metodo da Fronteira Imersa (MFI), desen-volvido por Charles S. Peskin (1977), destinado inicialmente a modelacao computacional do fluxosanguıneo no interior da valvula cardıaca. Este modelo permite simular o escoamento com umamalha fixa e ortogonal (Euleriana) acoplada a uma outra malha (Lagrangiana), que representa ainterface da fronteira com o fluido. Neste projeto de investigacao, utiliza-se de forma acoplada oModelo Fısico Virtual (MFV), destinado a modelacao do termo fonte, o que permite calcular a forcainterfacial, simulando o escoamento em torno do corpo imerso. A motivacao neste trabalho e estenderos resultados de Zhang [1] e Elghnam [2], considerando os efeitos termicos e de turbulencia para umfluido incompressıvel, nao-isotermico, bidimensional com conveccao forcada para corpos rıgidos,podendo estes serem estacionarios ou rotativos. Na presente investigacao, e utilizado o MFI/MFVpara simular escoamentos com o numero de Reynolds variando no intervalo, 102 ≤ Re ≤ 104, emtorno de cilindros rotativos e aquecidos, com possibilidade de uma aplicacao em maquinas de fluxopara o perfil isolado de uma grade linear. Ao longo desta investigacao, esta sendo implementado tresdiferentes metodologias para a modelagem da turbulencia: Medias de Reynolds Transiente (URANS- Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes Equations), Modelagem Hıbrida da Turbilencia (DES- Detached Eddy Simulation) e Simulacoes de Grandes Escalas (LES - Large Eddy Simulation). Parao calculo da viscosidade turbulenta, foi utilizado o modelo sub-malha de Smagorinsky para a meto-dologia LES e o modelo Spalart-Almarras (S-A) para URANS e DES. As metodologias LES e DESsao usadas como aproximacao bidimensional. Parte dos resultados apresentados aqui foram obtidospara simulacoes com o modelo sub-malha de Smagorinsky.
2 MODELO MATEMATICO2.1 Equacoes de Navier-Stokes FiltradasO domınio de calculo nesta investigacao, e estudado como se estivesse ocupado somente por fluido,sendo sua forma retangular; independente da geometria do corpo imersa, a modelacao ocorre atravesde um termo fonte de forca adicionado as equacoes do movimento e da energi. O escoamento emodelado pelas equacoes de Navier-Stokes, considerando as seguintes hipoteses: Fluido newtoni-ano incompressıvel; o corpo imerso (que e o cilındro) e descrito pelo MFV em vez da imposicaodireta das condicoes de contorno da velocidade e temperatura; o efeito da variacao da densidadeocorre devido as mudancas de temperaturas considerando apenas a forca gravitacional (Hipotese deBoussinesq); o termo de geracao de energia e desprezado, onde nem os efeitos do calor interno saoconsiderados (como por exemplo, a absorcao ou emissao de radiacao) nem a umidade que pode serresponsavel pela troca de calor latente; nao ha forca Coriolis, nem efeitos de rotacao para o sistemade coordenadas. As equacoes de conservacao da massa, quantidade de movimento e energia, podemser escritas na forma adimensional a seguir, como
∇ ·V = 0 , (1)
∂V
∂t+∇ · (VV) = −
1
ρ∇P +
1
Re∇2V (ν + νt)Riθ +
∫Γ
F (xk, t) δ (x− xk) dxk︸ ︷︷ ︸f
, (2)
∂θ
∂t+∇ · (Vθ) =
(1
RePr
)∇2θ +
∫Γ
Q (xk, t) δ (x− xk) dxk︸ ︷︷ ︸q
. (3)
As equacoes acima sao resolvidas na malha Eulerina e o acoplamento com a malha Lagrangianae realizado pelo termo fonte da forca f , que e diferente de zero somente na interface imersa. Deforma analoga, o termo q e o termo fonte de energia de interacao entre o fluido e a fronteira imersa,responsavel por fazer o corpo ’sentir’ a presenca da interface solida aquecida. Os termos adimensi-onais V, P e θ sao, respectivamente, o campo de velocidades, pressao e temperatura. Sao tambemde grande importancia, os numeros adimensionais de Reynolds (Re), Prandtl (Pr), Grashof (Gr)e Richardson (Ri = Gr/Re2). A forma discretizada das Eqs. (1)–(3) sao derivadas pelo metodo dediferencas finitas com Ruge-Kutta de segunda ordem para a equacao da quantidade de movimento eAdams-Bashforth de segunda ordem para equacao da temperatura. O metodo do passo fracionado eaplicado para a correcao da pressao.
3 INTERFACE SOLIDO-FLUIDOA forca que o fluido exerce sobre a superfıcie do corpo imerso e avaliada pelo MFV, a densidade deforca ~F e calculada sobre um ponto Lagrangiano, usando os termos da equacao de Navier-Stokes. Aforca Lagrangiana e expressa por
F (xk, t) = ρ∂V
∂t(xk, t) + ρ (∇ ·V)V (xk, t) +
(−∇ ·
[(ν + νt)
(∇V +∇TV
)])+∇p (xk, t) .
(4)Os diferentes termos do lado direito da Eq. (4), sao denominados respectivamente de forca deaceleracao, forca inercial, forca viscosa e forca de pressao. Essas quatro componentes da densi-dade de forca sao calculadas sobre um volume de controle centrado em um ponto Lagrangiano. Paracalcular os termos de densidade de forca Lagrangiana e necessario conhecer a priori os campos develocidade e pressao. Estes campos sao calculados sobre a malha Euleriana, enquanto os termos deforca devem ser calculado sobre a interface. Para resolver esse problema os campos Eulerianos saointerpolados sobre pontos Lagrangianos auxiliares.
4 MODELACAO DA TURBULENCIAAs equacoes de Navier-Stokes sao capazes de simular a fısica dos fenomenos envolvidos com umaboa convergencia numerica para uma extensa variedades de problemas em engenharia. Entretanto enecessario resolver todos os graus de liberdade do escoamento, o que e caro computacionalmente.Neste processo, as equacoes governantes sao devidamente filtradas, produzindo o fechamento daturbulencia. Na presente investigacao, e utilizado os modelos de turbulencia de Smagorinsky e deSpalart-Allmaras, descrito a seguir.
4.1 Modelo sub-malha de SmagorinskyNeste modelo e utilizado o modelo de turbulencia proposto por Smagorinsky (1963), para a me-todologia LES. Este modelo sub-malha e baseado no balanco entre a producao de energia cineticaturbulenta e a dissipacao isotropica da energia turbulenta. A viscosidade turbulenta e calculada emfuncao da taxa de deformacao (Sij) e da escala de comprimento (`):
vt = (Cs`)2√
2SijSij, (5)
onde Cs = 0.18 e a constante de Smagorinsky e ` =√
∆x∆y e o comprimento da escala sub-malha.
4.2 Modelo de Spalart-AllmarasSpalart e Allmaras (1994) propuseram um novo modelo (S-A) do tipo URANS a uma equacao detransporte para o calculo da viscosidade turbulenta. A equacao para a viscosidade turbulenta e cons-truıda usando principalmente consideracoes empıricas de diferentes tipos de escoamentos, analisedimensional, aplicando o princıpio da relatividade de Galileu para a viscosidade turbulenta. Estemodelo tem sido usado com bastante sucesso na simulacao de escoamentos em torno de corpos comaerodinamica. O modelo de Spalart-Allmaras (S-A) usa uma variavel de trabalho ν dada pela se-guinte equacao de transporte
∂ν
∂t+∂(ujν)
∂xj= cb1Sν − cwfw
[ν
dw
]2
+1
σ
[∂
∂xj(ν + ν)
∂ν
∂xj+ cb2
∂ν
∂xj
∂ν
∂xj
], (6)
onde os termos do lado direito representam, respectivamente: a producao de viscosidade turbulenta,termo de destruicao que produz a viscosidade turbulenta junto a parede, termo de difusao da vis-cosidade turbulenta e molecular, sendo o ultimo termo, que representa a dissipacao da viscosidadeturbulenta.
5 METODO NUMERICOAs equacoes governantes, Eq. (1) e Eq. (2), foram discretizadas no espaco usando o metodo dediferencas finitas centradas e no tempo pelo metodo de Runge-Kutta de segunda ordem. O sistemalinear para a correcao para a correcao de pressao e resolvido usando o MSI (Modified StronglyImplicit Procedure). Nas demais faces do domınio foram impostas condicoes de Neumann para a ve-locidade, e para a correcao de pressao, foi imposto derivada nula na entrada e zero das demais faces.O acoplamento pressao-velocidade e realizado pelo metodo dos passos fracionados, que consiste emresolver o seguinte sistema de equacoes:
un+1i − uni
∆t= −
1
ρ
∂pn
∂xi−∂(uiuj
)n∂xj
+∂
∂xj
[(ν + νt)
(∂uni∂xj
+∂unj∂xi
)]+ fni , (7)
∂2ϕn+1
∂xj∂xj=
ρ
∆t
∂un+1
∂xj, (8)
un+1i = un+1
i −∆t
ρ
∂ϕn+1
∂xi, (9)
pn+1 = pn + ϕn+1 . (10)
6 RESULTADOSNesta secao sao apresentados apenas dois resultados preliminares, utilizando o MFI/MFV com omodelo sub-malha de Smagorinsky/LES, considerando as hipoteses ja mencionadas para o escoa-mento em torno de um cilindro circular rotativo aquecido com Re = 300 e α = 1, 5, e outro cilindroestacionario, com Re = 103.
Figura 1: (a) Campo de Temperatura para um cilindro circular rotativo aquecido com Re = 300 e α = 1, 5, (b) Campode Vorticidade, (c) Modelo de Turbulencia - Smagorinsky/LES e (d) Zoom das Linhas de corrente proximas ao cilindro.
Figura 2: (a), (b), (c) Desenvolvimento do campo de temperatura para um cilindro circular estacionario para Re = 103,(d) Campo de Vorticidade, (e) Modelo de Turbulencia - Smagorinsky/LES e (f) Linhas de corrente proximas ao cilindro.
Referencias[1] Zhang, N., Z. C. Zheng, and S. Eckels. ”Study of heat-transfer on the surface of a circular cylin-
der in flow using an immersed-boundary method.”International Journal of Heat and Fluid Flow29.6 (2008): 1558–1566.
[2] Elghnam, Reda I. ”Experimental and numerical investigation of heat transfer from a heated ho-rizontal cylinder rotating in still air around its axis.”Ain Shams Engineering Journal 5.1 (2014):177–185.
[3] Peskin, Charles S. ”Numerical analysis of blood flow in the heart.”Journal of computational phy-sics 25.3 (1977): 220-252.
[4] Smagorinsky, J. (1963). General circulation experiments with primitive equations. Monthly We-ather Review 91, 99164.
[5] Spalart, P. R. and S. R. Allmaras. ”A one-equation turbulence model for aerodynamic flows.”30thaerospace sciences meeting and exhibit. 1992.
