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POSTULADOS DA LGEBRA DE BOOLE Leis Bsicas: Comutativa A + B + C = B + A + C A . B . C = A . C . B Associativa A + (B + C) = (A + B) + C A . (B . C) = (A . B) . C Distributiva A . (B + C) = A . B + A . C A + (B . C) = (A + B).(A + C) Absoro A + A . B = A

A + A . B = A + B A . (A + B) = A

Circuitos Combinacionais: So circuitos cuja sadadepende apenas dos valores dasentradas.

Circuitos Sequenciais: So circuitos cuja sada depende tantodo valor atual das entradas quanto dovalor anterior da sada.

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Exemplos: 1) Simplificar utilizando a lgebra de Boole S = A . C + B . D + A . C + A . B . C utilizando a prop.distributiva: S = C . (A + A + A . B) + B . D como A + A = 1 S = C . (1 + A . B) + B . D como 1 + A . B = 1 S = C + B . D 2) Dada a tabela-verdade abaixo, fornea a equao lgica e simplifique-a atravs da lgebra de Boole A B C S S = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C 0 0 0 1 0 0 1 1 S = A.B(C + C) + B.C(A + A) + A.B (C + C) 0 1 0 1 0 1 1 0 S = A.B + B.C + A.B 1 0 0 1 1 0 1 1 S = B.C + B.(A + A) = B.C + B aplicando a distributiva 1 1 0 1 1 1 1 0 S = (B + B).(B + C) S = B + C S = A.B.C + A. B. C S = S = A. B. C + A. B. C aplicando os teorema de Morgan S = A. B. C + A. B. C = (A. B. C) . (A. B. C) S = (A + B + C). (A + B + C) = (A + B + C).(A + B + C) S = A.A + A.B + A.C + A.B + B.B + B.C + A.C + B.C + C.C S = B.(A + A) + B + C.(A + A) + B.C + C S = B + B + C + B.C + C S = B + C + B.C S = B. (1 + C) + C S = B + C

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TEOREMA DA DUALIDADE Este teorema aplicado s relaes booleanas. 1 Trocar cada operao OR por uma operao AND 2 Trocar cada operao AND por uma operao OR 3 Complementar qualquer 0 ou 1 que aparecer na expresso Exemplos: A + 0 = A ! A . 1 = A A . (B + C) = A . B + A. C ! A + (B . C) = (A + B).(A + C) A + B = A . B ! A . B = A + B EXERCCIOS 1) Implementar um circuito lgico para S = A . B + A . B Simplifique essa equao booleana e de o circuito lgico equivalente 2 ) Idem para a equao lgica: S = (A + B). (A + B)

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3) Simplificar as equaes: S = A . B + B. A. C S = A . (A + B) 4) A tripulao de um avio consiste de 2 pilotos e um engenheiro. Projete um circuito com chaves que so acionadas quando um membro da tripulao deixa sua poltrona, e que gera um sinal de alarme sempre que o engenheiro deixa seu posto ou sempre que os dois pilotos deixam seus postos simultaneamente. (Resposta: S = A. B + C)

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5) Simplifique as equaes abaixo:

i) (A + B) . (A + C) + B . C ii) B . C . D + C . B + A . D

iii) A . D + A . B . C + A . D + A . B . C

iv) A . B + A . B . C

v) A . B + A . B . C . D + A . B . C . D

vi) A . B . C + A . ( A . C + B . C)

vii) D . (B + C . D) + B . D

viii) A . B . C . D + A . B . C . D

6) Um tcnico em um laboratrio qumico possui quatro produtos qumicos A, B, C e D que devem ser guardados em um ou outro depsito. Por convenincia, necessrio mover um ou mais produtos de um depsito para outro de tempos em tempos. A natureza dos produtos tal que perigoso guardar B e C juntos, a no ser que A esteja no mesmo depsito. Tambm perigoso guardar C e D juntos se A no estiver no depsito. Projete -um circuito lgico para acionar uma sirene sempre que existir uma combinao perigosa no depsito. (Resposta: S = A. B. C + A. C. D)

Respostas:

i) A + B . C ii) C . (D + B)

iii) D + B . C

iv) B . ( A + C)

v) A . B

vi) B . (A . C + A . C)

vii) D

viii) B . C . D

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MAIS PORTAS LGICAS Circuito Anti-Coincidncia (OR-EXCLUSIVE, OU-EXCLUSIVO, XOR) A B S 0 0 0 0 1 1 S = A . B + A . B = A + B 1 0 1 1 1 0 Smbolo:

Circuito Coincidncia (NOR-EXCLUSIVE, NO OU-EXCLUSIVO, XNOR) A B S 0 0 1 0 1 0 S = A . B + A . B = A B = A + B 1 0 0 1 1 1 Smbolo:

Para saber as sadas desses circuitos para 3 entradas (A, B, e C), devemos analisar as entradas duas a duas: Circuito XOR Circuito XNOR A B C S A B C S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Observao: relao entre circuitos XOR e XNOR Para nmero par de entrada: A + B = A B Para nmero impar de entrada: A + B + C = A B C

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MTODO DA SOMA DE PRODUTOS

1) Localizar cada sada 1 na tabela-verdade e escrever o produto fundamental 2) Fazer a soma (operao OR) dos produtos fundamentais.

Exemplo: A B C S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 " A . B . C 1 0 0 0 1 0 1 1 " A . B . C 1 1 0 1 " A . B . C 1 1 1 1 " A . B . C S = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C Mintermos A funo tambm pode ser especificada em termos de Mintermos. Neste caso, na funo f(A,B,C) cada varivel possui um peso comeando pelo valor 1 para a varivel direita e dobrando esse valor para as outras variveis. No exemplo acima temos 3 variveis (A, B e C). S = f (A, B, C) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C Neste caso a varivel C = 1, a varivel B = 2 e a varivel A = 4. Agora vamos somar os pesos onde a varivel no estiver complementada: f (A, B, C) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C 3 5 6 7 podemos especificar em termos de mintermos: f(A, B, C) = m3 + m5 + m6 + m7 ou f(A, B, C) = !m (3, 5, 6, 7) ou simplificando f(A, B, C) = !(3, 5, 6, 7) Note que na funo as seqncias das variveis devem ser mantidas. Tendo a funo em termos de mintermos, a funo lgica (soma de produtos) pode ser obtida fazendo o caminho inverso.

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MTODO DO PRODUTO DE SOMAS

3) Localizar cada sada 0 na tabela-verdade e escrever a soma fundamental 4) Fazer o produto (operao AND) das somas fundamentais.

Exemplo: A B C S 0 0 0 0 " A + B + C 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 " A + B + C 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 " A + B + C 1 1 1 1 S = (A + B + C) . (A + B + C) . (A + B + C) Maxtermos A funo tambm pode ser especificada em termos de Maxtermos. Neste caso, na funo f(A,B,C) cada varivel, tambm, possui um peso comeando pelo valor 1 para a varivel direita e dobrando esse valor para as outras variveis. No exemplo acima temos 3 variveis (A, B e C). S = f(A, B, C) = (A + B + C) . (A + B + C) . (A + B + C) Neste caso a varivel C = 1, a varivel B = 2 e a varivel A = 4. Agora vamos somar os pesos onde a varivel estiver complementada: f(A, B, C) = (A + B + C) . (A + B + C) . (A + B + C) 0 3 6 podemos especificar em termos de maxtermos: f(A, B, C) = M0 . M3 . M6 ou f(A, B, C) = " M (0, 3, 6) ou simplificando f(A, B, C) = " (0, 3, 6) Note que na funo as seqncias das variveis devem ser mantidas. Tendo a funo em termos de maxtermos, a funo lgica (produto de somas) pode ser obtida fazendo o caminho inverso.

Notar que nestemtodo as variveisso invertidas

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Exemplo: 1) Escrever na forma da soma de produtos e especifique em mintermos: f(A, B, C) = A + B + C

2) Escrever na forma de produto de somas e especifique em termos de Maxtermos A B C S 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

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CONDIES IRRELEVANTES (DONT CARE) Nos sistemas reais existem condies que nunca ocorrem. A estas condies damos o nome de condies irrelevantes. Por exemplo, considere uma caixa dgua monitorada por 2 sensores (A e B). Quando tiver gua em um sensor, o mesmo acusa o nvel lgico 1, se no tiver gua teremos o nvel lgico 0. Voc tem que construir um sistema para ligar uma bomba dgua para encher a caixa sempre que ela estiver vazia e desligar quando ela estiver cheia.

Pelo desenho nota-se que impossvel haver gua no sensor A e no haver gua no sensor B, como esta condio nunca ocorre dizemos que uma condio irrelevante. Na tabela verdade indicamos a condio irrelevante atribuindo um X na sada. Para minimizar o circuito este X pode assumir o valor 0 ou 1.

A B Sada para encher a caixa Sada para esperar o nvel de gua descer 0 0 1 1 0 1 1 0 " ???? 1 0 X X " condio Irrelevante 1 1 0 0 MAPAS DE KARNAUGH

Utilizado para simplificar uma equao booleana. um mtodo grfico alternativo lgebra de Boole.

PARA 2 VARIVEIS (A e B)

C onsidere a seguinte tabela verdade:

A B S 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1

Por lgebra de Boole: S = A . B + A . B S = A (B + B) S = A

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MAPA DE KARNAUGH Preenchendo o Mapa

Pela tabela verdade, quando A=0 e B=0 a sada ser 0. Ento no mapa procuramos a interseco da coluna A=0 com a linha B=0 e preenchemos este espao com a sada correspondente (0). Do mesmo modo so preenchidos os outros espaos do mapa de Karnaugh. Desta forma, o mapa fica preenchido da seguinte forma:

Com o mapa de Karnaugh preenchido, devemos circundar as vizinhanas adjacentes que possuem os valores "1s". Feito isso, eliminamos a varivel que muda de estado para obtermos a resposta:

PARA TRS VARIColocamos, agora, de uabaixo mostra um exema resposta:

0 1 0 1

A 0 1 B 0 1

VEIS: a minimizao atravs do mapa de Karnaugh idntica. m lado do mapa as variveis A e B e do outro a varivel C. A figura plo completo, passando da tabela-verdade para o mapa e deste para

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. PARA 4 VARIVEIS: teremos as variveis A e B de um lado e as variveis C e D de

outro. Exemplo:

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Podemos juntar as vizinhanas em potncia de 2, ou seja: 2, 4, 8, 16. Minimizar a equao booleana:

Podemos preencher diretamente o mapa de Karnaugh. Para o primeiro termo onde A=1, B=1 e D=1, independente de C, a sada ser 1. Para o segundo termo a sada ser 1 quando B=C=1, independente de A e D. Fazendo isso para os quatro termos teremos:

No exemplo anterior vimos um caso de sobreposio no mapa, pois a sada alta para as entradas A=B=C=D=1 pertence tanto ao octeto (em marron) quanto dupla (em azul). Esta sobreposio deve sempre ser feita para obtermos uma equao mais simplificada. Tambm podemos enrolar o mapa, imaginando que o lado direito vizinho ao lado esquerdo e que a parte superior do mapa vizinha da parte inferior. Veja o exemplo abaixo:

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Mtodo de Karnaugh:

1 - Inserir os "1s" no mapa de Karnaugh para cada produto fundamental que produz uma sada 1 na tabela verdade. 2 - Circundar octetos, quadras e pares. Enrolar e sobrepor para obter os maiores grupos possveis. 3 - Circundar os "1s" isolados. 4 - Eliminar grupos redundantes. 5 - Escrever a equao.

Grupos redundantes

So grupos nos quais todos os seus elementos fazem parte de outros agrupamentos. Exemplo:

Condies que no importam (don't care)

Como j definido anteriormente so condies de entrada que nunca ocorrem, portanto a sada nunca aparece. Esta condio indicada com um X na tabela-verdade e no mapa de Karnaugh. Como essas entradas no ocorrem podemos considerar a sada tanto como nvel "0" quanto nvel "1", fazendo com que haja o maior agrupamento possvel no mapa:

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Mapa de Karnaugh para 5 e 6 variveis

O mesmo processo utilizado para a construo do mapa de Karnaugh para cinco ou seis variveis. Agora, porm, vamos considerar uma linha central vertical para o mapa de cinco variveis. Para o mapa de seis variveis, alm da linha central vertical teremos uma linha central horizontal. Isto porque os quadrculos situados simetricamente em relao a estas linhas centrais sero adjacentes e portanto podem ser usados para marcar as vizinhanas. Veja os exemplos abaixo:

. Note no desenho acima que no circundamos os quatro 1s que aparecem na ltima linha, isso porque eles precisariam ser simtricos em relao linha central vertical. .

Bibliografia: IDOETA Captulos 03, 04 e 05 MALVINO VOL.1 Captulo 2

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Exerccios:

1) Simplifique, atravs do mapa de Karnaugh, as seguintes equaes:

a) S = A + B . C + A . B . C + C b) S = A . B . C + A . C . D + A . C + A . B . C + A . B . C

2) Simplificar atravs do mapa de Karnaugh:

a) f(A, B, C, D) = #(1, 3, 4, 5, 7, 8, 13) b) f(A, B, C) = "(0, 1, 2)

c) f(A, B, C, D) = "(0, 1, 2, 3, 6, 9, 10, 14)

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3) Simplificar os seguintes mapas de Karnaugh

. .

4) Dada a tabela-verdade abaixo, escreva a equao booleana correspondente: A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 .

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5) A tabela abaixo mostro um cdigo especial conhecido como cdido GRAY. Para cada entrada binria A, B, C e D h uma correspondente sada no cdigo GRAY. Qual a equao simplificada para as sadas Y0, Y1, Y2, Y3. A B C D Y3 Y2 Y1 Y0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 Respostas: 1) a) S = 1 b) S = A . B + A . C . D + A . C 2) a) S = A . D + C . D + A . B . C b) S = B . C + B . D + A . C . D + A . C . D c) S = A + B . C 3) a) S = A . B + B . C . D + A . C b) S = B . D + C . D + B . D

c) S = B . C . D . E + A . C . D . E + A . B . C . E + B . C . D . E + A . C . D . E

4) S = A . B . D + A . C . D + A . B . C + A . C . D + B . C . D 5) Y3 = A Y2 = A.B + A.B Y1 = B.C + B.C Y0 = C.D + C.D