Sistema Formal Um Sistema Formal para a lógica
proposicional é uma 2-tupla < L, R >, onde: L: linguagem proposicional R: conjunto de regras de inferências
Derivação de uma fórmula Representação: ├
Uma derivação (ou prova, ou demonstração) de uma fórmula a partir de um conjunto de fórmulas (premissas), é uma seqüência < 1, 2, 3, ..., n> de fórmulas, tal que: 1. n = 2. Cada i, 1 i n, pode ser:
Uma premissa, Uma hipótese ou Obtida de fórmulas anteriores da seqüência pela aplicação
de uma regra de inferência.
Derivação de uma fórmula Se é derivada no Sistema Formal a
partir de 0(zero) premissas, então, é dito ser um Teorema do Sistema.
├
Um teorema é uma fórmula para a qual existe uma prova.
Exemplos: 1) ├ P (P v Q)
1. | P H p/ PC 2. | P v Q 1 vI 3. P (P v Q) 1-2 PC
Exemplos: 2) ├ P ((P Q) Q)
1. | P H p/ PC 2. | | P Q H p/ PC 3. | | Q 1, 2 MP 4. | (P Q) Q 2- 3 PC 5. P ((P Q) Q) 1- 4 PC
Exemplos: 3) ├ P ↔ ~~ P
1. | P H (p/ PC) 2. | | ~P H (p/ RAA) 3. | | P ^ ~P 1, 2 ^I 4. | ~~P 2, 3 RAA 5. P ~~P 1-4 PC 6. | ~~P H (p/ PC) 7. | P 6 ~E 8. ~~P P 6 -7 PC 9. P ↔ ~~P 5,8 ↔ I
Exemplos: 4) ├ P P
1. | P H (p/ PC) 2. P P 1-1 PC
Exemplos: 5) ├ (PQ) (~Q~P)
1. | P Q H (p/ PC) 2. | | ~Q H (p/ PC) 3. | | ~P 1,2 MT 4. | ~Q ~P 2-3 PC 5. (PQ) (~Q~P) 1-4 PC
Um Outro Sistema Formal: Existem infinitos Sistemas Formais.
Vamos chamar o que estamos vendo de S1
S1 = <L, R>
L: linguagem proposicionalR: conjunto das regras de inferência
Um Outro Sistema Formal: Superficialmente veremos um outro
sistema formal para a lógica proposicional (vamos chama-lo S2). Esse é o Sistema de Hilbert
O nosso objetivo será, através de S2 observar uma outra formulação da Lógica Proposicional.
Sistema Hilbert Características de S2:
Usa apenas dois conectivos lógicos ~ e → Ex: Para escrever P ^ Q escreve-se ~(P→~Q)
Usa apenas uma regra de inferência – Modus Ponens (MP)
Sistema Hilbert (Características)
É formado pela 3-tupla {L, A, R}
S2 = < L, A, R >, onde:
L: Linguagem ProposicionalR: { MP } A: Conjunto de todas as fórmulas obtidas dos
três seguintes esquemas de axiomas:
Sistema Hilbert (Axiomas)
A1: ( )
A2: ( ( )) (( ) ( ))
A3: (~ ~) ((~ ) )
Sistema Hilbert A derivação (ou prova) de uma fórmula
em S2 é feita da mesma forma que em S1, onde usa-se apenas os três axiomas, e uma regra de inferência, MP (Modus Ponens).
Exemplos 1 - Mostre nos dois sistemas a
derivação do teorema: ├ α α para qualquer fórmula α
No S1: ├ α α
1. | α H p/ PC2. α α 1-1 PC
Exemplos No S2: ├ α α 1. (α((αα)α))((α(αα))(αα)) A2
2. (α((αα) α)) A1
3. (α(αα)) (αα) 1c/2 MP 4. (α(αα)) A1
5. αα 3c/4 MP
Exemplos Padrões que foram usados na derivação ├ α α
no S2 :
Em 1 e 2 os axiomas A2 e A1, com o padrão: = α = α α
= α
Em 4 usamos o axioma A1 com o padrão: = α = α
Exemplos2 - Prove ├ (~) para qualquer
No S1:
1. | ~ H (p/ PC)2. | | ~ H (p/ RAA)3. | | 1,2 MP4. | | ~^ 2,3 ^I5. | ~~ 1-4 RAA6. | 5 ~E7. (~) 1-6 PC
Exemplos No S2: ├ (~)
1. (~((~~)~))((~(~~))(~~)) (A2) 2. (~((~~)~)) (A1) 3. (~(~~))(~~) (1 e 2 p/ MP) 4. ~(~~) (A1) 5. ~~ (3 e 4 p/ MP) 6. (~~)((~)) (A3) 7. (~) (5 e 6 p/MP)
Exemplos Padrões que foram usados na derivação
├ (~) no S2 :
Em 1. Axioma A2 ( = ~; = (~~); = ~)Em 2. Axioma A1 ( = ~; = (~~)Em 4. Axioma A1 ( = ~; = ~)Em 6. Axioma A3 ( = ; = )
Observar que S1 e S2 são “equivalentes”.
Teoremas da Coerência e Completude Um Sistema Formal S é coerente (sound) e
completo se:
├ se e somente se |═ Derivação ↔ implicação
lógica
Teorema 1: (Sondness ou coerência)
Se |-- então |= Ou seja, todo teorema (derivação) é uma tautologia (fórmula válida)
Teorema 2: (completude)
Se |= então |--
Ou seja, toda tautologia (formúla válida) é um teorema (derivação)
Teoremas da Coerência e Completude
Teoremas da Coerência e Completude Esses teoremas mostram que temos
duas maneiras independentes, mas mutuamente consistentes de definir a noção de verdade lógica: Através da noção de teorema
(sintaticamente) Através da noção de tautologia
(semânticamente)
Semântica da Lógica Proposicional Vimos até agora uma formulação sintática
(noções puramente sintáticas) da lógica proposicional:
Linguagem Regras, teoremas, provas
Vamos ver agora uma formulação funcional da Lógica Proposicional (semântica):
Linguagem Função/atribuição de valores-verdade (Verdadeiro ou
Falso)
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