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Lógica Proposicional

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Lógica Proposicional Até agora estudamos a Lógica de

maneira informal. A Lógica formal é o estudo de formas

de argumento, isto é, regras abstratas de raciocínio comum em vários argumentos.

Iniciaremos nosso estudo formal com a Lógica Proposicional. Abordaremos a sintaxe e a semântica seguindo o seguinte roteiro de estudo:

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Lógica Proposicional(Roteiro de Estudo) Sintaxe: (Cap 3 - Livro do J. Nolt)

Linguagem da Lógica Proposicional Formas de Argumento Formalização

Regras de Inferência Não-Hipotéticas Hipotéticas Derivadas

Sistema Formal Semântica: (Cap 2 - Livro do Chang e Lee)

Semântica dos operadores e interpretação Satisfatibilidade, validade e consequência

lógica Método de prova: Tabela Verdade Formas Normais

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Formas de Argumento Exemplos:1 . Hoje é segunda-feira ou sexta-feira. . Hoje não é segunda-feira. Hoje é sexta-feira.

2 . Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou.

. Não foi Rembrandt quem a pintou. Michelângelo pintou a Mona Lisa.

3 . Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável.

. Ele não é menor de 18 anos. Ele é um irresponsável.

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Formas de Argumento Os 3 argumentos são da seguinte forma:

. P ou Q

. Não é o caso que P Q

As letras P e Q representam sentenças declarativas: (símbolos sentenciais).P pode representar: Hoje é segunda-feira.Q pode representar: Hoje é terça-feira.

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Formas de Argumento

Com essa representação, a forma anterior representa o argumento 1 do exemplo.

Os argumentos 1, 2 e 3 são variantes gramaticais ou instâncias da forma:. P ou Q. Não é o caso que P Q

Esta forma de argumento (ou regra) é conhecida como silogismo disjuntivo.

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Formas de Argumento A lógica trata de formas de argumentos

consistindo de letras sentenciais combinadas com as expressões: Não é o caso que E Ou Se ... então Se e somente se

Estas expressões são chamadas de operadores ou conectivos lógicos.

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Formas de Argumento

Conectivo Não é o caso que

Essa expressão prefixa uma sentença para formar uma nova sentença a qual chamamos a negação da primeira.Exemplo: A sentença

'Não é o caso que ele é fumante‘ é a negação da sentença 'Ele é fumante'.

Variações gramaticais da negação: ´Ele é não-fumante’, ´Ele não é fumante’ e ´Ele não fuma’.

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Formas de Argumento

Conectivo E Uma composição constituindo-se de

duas sentenças ligadas por 'e' chama-se conjunção.

Exemplo: Chove e faz calor

A conjunção também pode ser expressa por palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo', ...

”Chove mas faz calor”

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Formas de Argumento

Conectivo Ou Um enunciado composto

consistindo de duas sentenças ligadas por 'ou' chama-se disjunção.

Exemplo: Chove ou faz calor

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Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Enunciados do tipo se... então ...

chamam-se condicionais.

O enunciado subsequente ao 'se' chama-se o antecedente e o subsequente ao 'então' chama-se o conseqüente.

Forma do condicional:Se antecedente então consequenteEx: ‘Se sinto frio então visto o casaco '.

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Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Se antecedente então consequente

O antecedente é condição suficiente para ocorrência do consequente

O consequente é condição necessária para ocorrência do antecedente

Exemplo: Se é Juiz então é advogado

o fato de ser juiz é suficiente para ser advogado

para alguém ser juiz é necessário que seja advogado, mas não é o suficiente

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Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Exemplo: Que condições são

necessárias para um aluno ser aprovado em lógica?

Se aluno foi aprovado então assistiu aula,é estudioso, fez muitos exercícios de lógicatem um bom método de estudo

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Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Exemplo: Que condições são

necessárias para um aluno ser aprovado em lógica?

Se aluno foi aprovado então assistiu aula,é estudioso, fez muitos exercícios de lógicatem um bom método de estudo

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Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Exemplo:

‘O fogo é uma condição necessária para a fumaça´ ou‘Se houver fumaça haverá fogo’

Exemplo:‘Se chover então molha a rua´ é suficiente chover para você deduzir que a

rua fica molhada o fato da rua ficar molhada não garante que

choveu

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Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Uma condicional também pode ser

expressa na ordem inversa.

‘Visto o casaco se sentir frio‘

mantém a semântica de

‘ Se sentir frio, visto o casaco’‘ Se sentir frio então visto o casaco’

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Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Variações gramaticais da condicional:

(P e Q sentenças quaisquer) Se P então Q P implica em Q; P, logo Q P só se Q; P somente se Q P apenas se Q; P só quando Q Q se P ; Q segue de P P é condição suficiente para Q Q é condição necessária para P

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Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Variações gramaticais da condicional:

Exemplo: Se chove então molha a rua. Chover implica em molhar a rua. Chove somente se molha a rua Se chove, logo molha a rua Molha a rua, se chove Chover é condição suficiente para molhar a

rua Molhar a rua é condição necessária para

chover

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Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Os advérbios só, somente e apenas tem significados

diferentes dependendo do local em que aparecem na sentença. Representam uma implicação e o conseqüente sempre aparece depois do advérbio

Sentença SignificadoJoão ama apenas Maria Se João ama alguma coisa,

essa coisa é MariaApenas João ama Maria Se alguma coisa ama Maria,

essa coisa é JoãoJoão apenas ama Maria Se João tem alguma relação

com Maria, essa relação é amor

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Formas de Argumento

Conectivo Se ... então Exercício. Identifique antecedente e

conseqüente das seguintes proposições:

1. Se a chuva continuar o rio vai transbordar.2. Maria vende o carro, se comprar a casa. 3. Maria vende o carro só se comprar a casa.4. Os abacates só estão maduros quando estão

escuros e macios.

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Formas de Argumento

Conectivo Se e somente se

Os enunciados formados com a expressão ...se e somente se... são chamados bicondicionais.

Um bicondicional pode ser considerado como uma conjunção de dois condicionais.

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Formas de Argumento

Conectivo Se e somente se P se e somente se Q P se Q e P somente se Q Se Q então P e P somente se Q Se Q então P e Se P então Q Se P então Q e Se Q então P

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Formas de Argumento

Conectivo Se e somente seExemplo:

'T é um triângulo se e somente se T é um polígono de três lados.‘

Equivale:T é um triângulo se T é um polígono de três lados; e T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados.

Que equivale:Se T é um polígono de três lados então T é um triângulo; e se T é um triângulo então T é um polígono de três lados.

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Formas de Argumento

Conectivo Se e somente se

'T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados'.

equivale a:

'Se T é um triângulo então T é um polígono de 3 lados'.

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Formas de Argumento

Formalização Para facilitar o reconhecimento e a

comparação de formas de argumento, cada operador lógico é representado por um símbolo especial: Não é o caso que: ~ ou ┐ E: ^ ou & Ou: v Se ... então: Se e somente se:

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Formas de Argumento

Formalização O Silogismo disjuntivo é simbolizado:

. P v Q

. ~P Q

Ou assim,

{ P v Q , ~P} ├ Q

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Formas de Argumento

Formalização

{ P v Q , ~P} ├ Q

o traço de asserção (afirmação), ├ ,significa dizer que Q é deduzido (provado) apenas dos enunciados (premissas) P v Q e ~P.

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Formas de Argumento Formalização

A linguagem consistindo das letras sentenciais e dos operadores lógicos juntamente com as regras a serem empregadas chama-se a Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional.

O objetivo fundamental do Cálculo /Lógica:Mostrar a Validade de certas formas de argumento.

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Formas de Argumento Formalização

Uma forma de argumento é válida se todas as suas instâncias são válidas.

Uma forma de argumento é inválida se pelo menos uma de suas instâncias é inválida.

Uma instância de uma forma de argumento (um argumento particular) é válida somente quando é impossível que a sua conclusão seja falsa enquanto suas premissas são verdadeiras. Caso contrário ela é inválida.

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Formas de Argumento Formalização

Mesmo para uma forma de argumento válida, nem todas as instâncias são corretas. Exemplo:

O argumento da Monalisa (exemplo 2) tem a forma válida mas é incorreto‘ Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou’ é uma premissa Falsa.

O Silogismo disjuntivo é uma forma de argumento válida, pois para qualquer instância ocorre que: se as suas premissas forem verdadeiras, a sua conclusão será verdadeira.

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Formas de Argumento Formalização

Observe a seguinte forma de argumento: . Se P então Q. . Q. P

Ou: {P Q, Q} |-- P

Essa forma é inválida, pois a seguinte instância é notoriamente inválida:

Se você está dançando na Lua então você está vivo.Você está vivo.Você está dançando na Lua.

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Formas de Argumento Formalização

Exemplo de formalização: Simbolize o argumento que segue.

A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até Sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira.

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Solução: 1[A proposta de auxílio está no correio]. 2[Se os

árbitros a receberem até Sexta-feira, eles a analisarão]. Portanto, 3[eles a analisarão] porque 4[se a proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira]. (C,S,A)

C: A proposta de auxílio está no correio.S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.A: Os árbitros analisarão a proposta.

{C, SA, CS} |-- A 1 + 2 + 4

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Fórmula bem formada – wff – well-formed formula Qualquer letra sentencial é uma wff.

Se Φ é uma wff, então ~Φ também o é.

Se Φ e Ψ são wff, então (Φ &Ψ), (Φ v Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) também o são.

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Exercícios:1) Quais das expressões seguintes

são fórmulas (wff's) e quais não são:

a) ~~~Rb) (~R)c) PQd) ~(PQ)e) ~(~P ^ ~Q)

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Exercícios:2) Formalize os seguintes argumentos usando as

letras sentenciais indicadas. Utilize os indicadores de inferência para facilitar.

a) Se Deus existe, então a vida tem significado. Deus existe. Portanto, a vida tem significado.

c) Como hoje não é Quinta-feira, deve ser Sexta-feira. Hoje é Quinta-feira ou Sexta-feira.

d) Hoje é um fim de semana se somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado.

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Exercícios:d) "Hoje é quarta-feira ou sexta-

feira. Mas não pode ser quarta-feira, pois o consultório do médico estava aberto esta manhã, e aquele consultório está sempre fechado às quartas. Portanto, hoje deve ser sexta-feira."

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Exercícios:Q: hoje é quarta-feiraX: hoje é sexta-feiraC: consultório aberto

{Q v X, (C ^(Q -> ~C))} |- X