Sistemas Lineares
Cálculo Numérico
Prof. Wellington D. Previero
www.pessoal.utfpr.edu.br/previero
Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada.
Sites de Buscas
2
Sites de Buscas Objetivo dos sites de buscas: atribuir a uma página uma
nota com relação a uma dada consulta, bem como retornar os resultados com as páginas com notas maiores em primeiro lugar.
3
Classificação Baseada em Conteúdos
Frequência de palavras Quantidade de vezes que uma determinada palavra
aparece em uma página Web. Aquelas com frequência maior são consideradas mais relevantes.
.
4
Classificação Baseada em Conteúdos
.
5
Classificação Baseada em Conteúdos
Posição no documento classificar páginas com notas maiores se os termos
aparecerem mais próximo do topo da página.
6
Classificação Baseada em Links Externos
Links externos
levar em consideração as informações que outras páginas fornecem a respeito de uma determinada página (quem criou o link e o que disseram a respeito dela);
páginas com conteúdos duvidosos provavelmente não serão mencionadas (não terão links externos).
Classificação Baseada em Links Externos
Contagem Simples de Links
usar como critério de classificação o número total de links que apontam para uma página em questão.
problema: alguém pode criar diversos sites apontando para uma página que queira promover.
o usuário pode estar interessado em resultados que tenham atraído a atenção de páginas populares.
Classificação Baseada em Links Externos
O Filipe é um excelente jogador de futebol! Esse tem futuro!
Classificação Baseada em Links Externos
O Renan também tem futuro. O Israel, o Sandro e Wellington então, entende Jô?
Alex, o que você colocou na caneca?
Classificação Baseada em Links Externos
Google - Pagerank desenvolvido por Larry Page e Sergey Brin; é um método que classificada documentos da web por sua
importânca ou relevância através de um número; essa importância dá pelo número de votos (links) que uma
página recebe; também analisa a página que envia o voto.
Classificação Baseada em Links Externos
Google – Pagerank fórmula:
PR(P) = pagerank da página P
Pi = página Pi que tem link para a página P
c(Pi) = número de links da página Pi
p = fator de amortecimento (damping)
)1()(
)()( p
Pc
PPRpPPR
i
i
Classificação Baseada em Links Externos
Exemplo: p=0.85
)1()(
)()( p
Pc
PPRpPPR
i
i
15.0)(85.0)( CPRAPR
15.02
)(85.0)(
APRBPR
15.0)(2
)(85.0)(
BPR
APRCPR
Sistema com três incógnitas: PR(A), PR(B) e PR(C).Solução: PR(A) = 1,16
PR(B) = 0,64PR(C) = 1,19
Classificação Baseada em Links Externos O sistema pode ter milhões ou bilhões de variáveis;
Métodos para resolução de sistemas lineares: Métodos diretos: Método de Eliminação de Gauss e
Fatoração LU
Métodos iterativos
Sistemas LinearesConsidere o sistema linear
Onde: aij são os coeficientes do sistema
xj são as incógnitas
bj são as constantes
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
......
......
......
2211
22222121
11212111
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sistemas LinearesPodemos escrever o sistema na forma matricial
(Ax=b)
nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
Método de Eliminação de GaussTeorema: Seja Ax=b um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma sequência de operações descritas abaixo, obtemos um novo sistema A’x=b’ equivalente ao sistema Ax=b.
a) trocar duas linhas;
157
82
yx
yx
82
157
yx
yx
Método de Eliminação de Gaussb) multiplicar uma equação por uma constante não nula;
c) adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação;
157
82
yx
yx
157
1624
yx
yx2
157
82
yx
yx
27
82
23 y
yx
2
7
+
Método de Eliminação de GaussConsidere o sistema
4444343242141
3434333232131
2424323222121
1414313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
Método de Eliminação de GaussEtapa k=0
onde:
04
03
02
01
044
043
042
041
034
033
032
031
023
023
022
021
013
013
012
011
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
ii
ijij
bb
aaa
0
00 0,11
)( 21m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=1
04
03
02
01
044
043
042
041
034
033
032
031
024
023
022
021
014
013
012
011
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
01111
11
0210
21121 a
a
aaa
11221
022
122 amaa
111
021
21 a
am
11321
023
123 amaa
11421
024
124 amaa
1121
02
12 bmbb
Linha 2
04
03
12
11
044
043
042
041
034
033
032
031
124
123
122
114
113
112
111
0
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
Linha 1
L11= L0
1
04
03
02
11
044
043
042
041
034
033
032
031
024
023
022
021
114
113
112
111
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa+
)( 31m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=1
04
03
12
11
044
043
042
041
034
033
032
031
124
123
122
114
113
112
111
0
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
01111
11
0310
31131 a
a
aaa
11231
032
132 amaa
111
031
31 a
am
11331
033
133 amaa
11431
034
134 amaa
1131
03
13 bmbb
Linha 3
04
13
12
11
044
043
042
041
134
133
132
124
123
122
114
113
112
111
0
0
b
b
b
b
aaaa
aaa
aaa
aaaa
+
)( 41m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=1
04
13
12
11
044
043
042
041
134
133
132
124
123
122
114
113
112
111
0
0
b
b
b
b
aaaa
aaa
aaa
aaaa
01111
11
0410
41141 a
a
aaa
11241
042
142 amaa
111
041
41 a
am
11341
043
143 amaa
11441
044
144 amaa
1141
04
14 bmbb
Linha 4
14
13
12
11
144
143
142
134
133
132
124
123
122
114
113
112
111
0
0
0
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
+
)( 32m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=2
14
13
12
11
144
143
142
134
133
132
124
123
122
114
113
112
111
0
0
0
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
02222
22
1321
32232 a
a
aaa
222
132
32 a
am
22332
133
233 amaa
22432
134
234 amaa
2232
13
23 bmbb
Linha 3
14
23
22
21
144
143
142
234
233
224
223
222
214
213
212
211
0
00
0
b
b
b
b
aaa
aa
aaa
aaaa
Linha 1L2
1= L11
Linha 2L2
2= L12
14
13
22
21
144
143
142
134
133
132
224
223
222
214
213
212
211
0
0
0
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
+
)( 42m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=2
14
23
22
21
144
143
142
234
233
224
223
222
214
213
212
211
0
00
0
b
b
b
b
aaa
aa
aaa
aaaa
02221
22
1421
42242 a
a
aaa
222
142
42 a
am
22342
143
243 amaa
22442
144
244 amaa
2242
14
24 bmbb
Linha 4
24
23
22
21
244
243
234
233
224
223
222
214
213
212
211
00
00
0
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
+
)( 43m
Método de Eliminação de GaussEtapa k=3
24
33
32
31
244
243
334
333
323
323
322
313
313
312
311
00
00
0
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
03333
33
2432
43343 a
a
aaa
333
243
43 a
am
33443
244
344 amaa
3343
24
34 bmbb
Linha 4
34
33
32
31
344
334
333
324
323
322
314
313
312
311
000
00
0
b
b
b
b
a
aa
aaa
aaaa
24
23
22
21
244
243
234
233
224
223
222
214
213
212
211
00
00
0
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
Linha 1L3
1= L21
Linha 2L3
2= L22
Linha 3L3
3= L23
+
Método de Eliminação de GaussAssim, o sistema original
é equivalente
4444343242141
3434333232131
2424323222121
1414313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
344
344
334
3343
333
324
3243
3232
322
314
3143
3132
3121
311
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
Método de Eliminação de GaussExercício 1: Resolva o sistema linear utilizando o método de Eliminação de Gauss.
5234
6223
7322
10432
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Método de Eliminação de GaussEtapa k=0 Etapa k=1
51234
62123
73212
104321 ......
35151050
2410840
135430
104321 ......
Método de Eliminação de Gauss
Solução:
Etapa k=3Etapa k=2
2
0
1
0
4
3
2
1
x
x
x
x
340
320
310
320
310
38
00
00
135430
104321 ......
5000
00
135430
104321
25
320
310
38
.
.
.
.
.
.
Método de Eliminação de Gauss Algoritmo
Qual o papel de cada etapa k no método de Eliminação de Gauss?
Quantas etapas são necessárias no método de Eliminação de Gauss num sistema nxn?
Laço de Repetição: k variando de 1 até n-1
Método de Eliminação de Gauss Algoritmo
Em cada etapa k, as linhas abaixo da diagonal principal são atualizadas. Numa etapa k, quais linhas serão atualizadas? Laço de repetição: i variando de (k+1) até n.
Para cada linha i, deve-se calcular o multiplicador m para que todos os elementos j sejam atualizados, coluna por coluna.
Para a linha i, quais colunas serão atualizadas? Laço de repetição: j variando de k até n.
Método de Eliminação de Gauss AlgoritmoPara k=1 até n-1
Para i=k+1 até n m=aik/akk
Para j=k até n aij = aij - m* akj
Fim bi = bi – m* bk
FimFim
•Resumo:
k = quantidade de etapas (de 1 até n-1)
i = linhas alteradas na etapa k (de k+1 até n)Para cada linha deve ser calculado o multplicador m
j = elementos que serão alterados na linha i na etapa k (de k até n)Atualizar o coeficiente aij
Atualizar a constante bi
Método de Eliminação de GaussVamos agora desenvolver o algoritmo para resolver o sistema triangular superior:
4444
3434333
2424323222
1414313212111
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
Método de Eliminação de Gauss
4444
3434333
2424323222
1414313212111
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
44
444444 a
bxbxa
33
434333434333 a
xabxbxaxa
22
424323222424323222
)(
a
xaxabxbxaxaxa
Método de Eliminação de Gauss
4444
3434333
2424323222
1414313212111
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
11
414313212111414313212111
)(
a
xaxaxabxbxaxaxaxa
Método de Eliminação de Gauss
11
414313212111414313212111
)(
a
xaxaxabxbxaxaxaxa
Assim temos:
44
444444 a
bxbxa
33
434333434333 a
xabxbxaxa
22
424323222424323222
)(
a
xaxabxbxaxaxa
Sistema Triangula Superior
ininiiiiii bxaxaxa ...11,
De modo geral, num sistema nxn o valor de xi é determinado por:
ii
niniiiii a
xaxabx
)...( 11
Sistema Triangular Superior Algoritmo
xn = bn/ann
Para i = n-1 até 1 soma = 0
Para j = i+1 até n soma = soma + aij* xj
Fim xi = (bi-soma)/aii
Fim
nn
nn a
bx
.
.
.
ii
niniiiii a
xaxabx
)...( 11,
.
.
.
11
121211
)...(
a
xaxabx nn
11
111
)(
nn
nnnnn a
xabx
Método de Eliminação de Gauss Estratégia de Pivotamento
O algoritmo para o método de Eliminação de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores
em cada iteração.
O termo akk é denominado pivô.
O que acontece se o pivô for nulo?
kk
ikik a
am
Método de Eliminação de Gauss
Pivotamento Parcial no início de cada etapa k, escolher como pivô o elemento
de maior módulo entre os coeficientes aik, i=k,...,n; trocar as linhas k e i se for necessário.