12 Jun 2008 . 16:48
Clculo Numrico / Mtodos Numricos
Sistemas linearesMtodo Iterativo de Gauss-Seidel
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Jacobi-Richardson
O mtodo de Jacobi Richardson reescreve o sistema Ax = b na forma:
x = Bx+gCom B = -(L* + R*), g = b*
obtendo o processo iterativox(k+1) = Bx(k) +g.
Que pode ser ento descrito como:
x(k+1) = -L*x(k) - R*x(k) + b*.
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Jacobi-Richardson Se escrevemos varivel por varivel, obtemos:
-R*x(k)
-R*x(k)-L*x(k)
-R*x(k)-L*x(k)...
-L*x(k)
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Jacobi-Richardson
Note que quando vamos calcular x2(k+1), j sabemos x1(k+1) .
Note que quando vamos calcular x3(k+1), j sabemos x1(k+1) e x2(k+1) .
-R*x(k)-L*x(k)
-R*x(k)-L*x(k)
Em geral, j sabemos os valores de x que multiplicam L*.
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Gauss-Seidel
Como x1(k+1) uma melhor aproximao de x1 do que x1(k) , por que no us-lo no clculo de x2(k+1) ?
Como x1(k+1) e x2(k+1) so melhores aproximaes de uma melhor aproximao de x1 e x2 do que x1(k) e x2(k) , por que no us-los no clculo de x3(k+1) ?
Em geral, por que no usar as novas aproximaes nos termos determinados pela multiplicao com L* ?
Essa a idia do mtodo de Gauss-Siedel.
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Gauss-Seidel
x(k+1) = -L*x(k) - R*x(k) + b*.Jacobi-Richardson
x(k+1) = -L*x(k+1) - R*x(k) + b*.Gauss-Siedel
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Convergncia
O mtodo converge se:
O critrio das linhas for atendido:
ou, se a matriz for estritamente diagonal dominante ou, se o critrio de Sassenfeld for atendido:
elementos depois doelemento da diagonal
elementos antes da diagonal associado
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Notas
Dado um sistema Ax=b, pode ser que o mtodo de Jacobi-Richardson seja convergente, mas no o mtodo de Gauss-Siedel, e vice-versa
Se ||B|| no for muito menor que 1, a convergncia pode ser lenta.
Uma permutao conveniente das linhas ou colunas de A antes de dividir cada equao pelo coeficiente da diagonal principal pode reduzir significativamente ||B||.
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Notas
A convergncia independe de x(0).
Obviamente, o nmero de iteraes at a obteno de uma soluo de erro adequado depende ser quanto menor quanto mais prximo estiver x(0) da soluo.
Em geral tomam-se as condies iniciais:
x(0) = (0 0 0... 0)t para o mtodo de Gauss-Siedel x(0) = b* para o mtodo de Jacobi-Richardson.
Na implementao computacional, Gauss-Siedel necessita um nico vetor para as variveis. Jacobi-Richardson necessita dois.
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Exemplo
Obtemos o sistema de trabalho dividindo os elementos de cada linha pelo elemento da diagonal (inclusive os elementos de b):
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Exemplo (soluo)
verificando convergncia:
A matriz no estritamente diagonal dominante, no podemos concluir nada sobre a convergncia por este critrio.
Se a matriz no estritamente diagonal dominante, o critrio das linhas tambm no satisfeito.
Nos resta o critrio de Sassenfeld:
critrio de Sassenfeldrespeitado.
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Exemplo (soluo)
As iteraes so definidas por:
usando o vetor nulo como soluo inicial, temos, para a primeira iterao:
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Exemplo (soluo)
Continuando o processo:
E podemos para na iterao 4 pois: