12 Jun 2008 . 16:48

Clculo Numrico / Mtodos Numricos

Sistemas linearesMtodo Iterativo de Gauss-Seidel

. 11:22

Jacobi-Richardson

O mtodo de Jacobi Richardson reescreve o sistema Ax = b na forma:

x = Bx+gCom B = -(L* + R*), g = b*

obtendo o processo iterativox(k+1) = Bx(k) +g.

Que pode ser ento descrito como:

x(k+1) = -L*x(k) - R*x(k) + b*.

. 11:22

Jacobi-Richardson Se escrevemos varivel por varivel, obtemos:

-R*x(k)

-R*x(k)-L*x(k)

-R*x(k)-L*x(k)...

-L*x(k)

. 11:22

Jacobi-Richardson

Note que quando vamos calcular x2(k+1), j sabemos x1(k+1) .

Note que quando vamos calcular x3(k+1), j sabemos x1(k+1) e x2(k+1) .

-R*x(k)-L*x(k)

-R*x(k)-L*x(k)

Em geral, j sabemos os valores de x que multiplicam L*.

. 11:22

Gauss-Seidel

Como x1(k+1) uma melhor aproximao de x1 do que x1(k) , por que no us-lo no clculo de x2(k+1) ?

Como x1(k+1) e x2(k+1) so melhores aproximaes de uma melhor aproximao de x1 e x2 do que x1(k) e x2(k) , por que no us-los no clculo de x3(k+1) ?

Em geral, por que no usar as novas aproximaes nos termos determinados pela multiplicao com L* ?

Essa a idia do mtodo de Gauss-Siedel.

. 11:22

Gauss-Seidel

x(k+1) = -L*x(k) - R*x(k) + b*.Jacobi-Richardson

x(k+1) = -L*x(k+1) - R*x(k) + b*.Gauss-Siedel

. 11:22

Convergncia

O mtodo converge se:

O critrio das linhas for atendido:

ou, se a matriz for estritamente diagonal dominante ou, se o critrio de Sassenfeld for atendido:

elementos depois doelemento da diagonal

elementos antes da diagonal associado

. 11:22

Notas

Dado um sistema Ax=b, pode ser que o mtodo de Jacobi-Richardson seja convergente, mas no o mtodo de Gauss-Siedel, e vice-versa

Se ||B|| no for muito menor que 1, a convergncia pode ser lenta.

Uma permutao conveniente das linhas ou colunas de A antes de dividir cada equao pelo coeficiente da diagonal principal pode reduzir significativamente ||B||.

. 11:22

Notas

A convergncia independe de x(0).

Obviamente, o nmero de iteraes at a obteno de uma soluo de erro adequado depende ser quanto menor quanto mais prximo estiver x(0) da soluo.

Em geral tomam-se as condies iniciais:

x(0) = (0 0 0... 0)t para o mtodo de Gauss-Siedel x(0) = b* para o mtodo de Jacobi-Richardson.

Na implementao computacional, Gauss-Siedel necessita um nico vetor para as variveis. Jacobi-Richardson necessita dois.

. 11:22

Exemplo

Obtemos o sistema de trabalho dividindo os elementos de cada linha pelo elemento da diagonal (inclusive os elementos de b):

. 11:22

Exemplo (soluo)

verificando convergncia:

A matriz no estritamente diagonal dominante, no podemos concluir nada sobre a convergncia por este critrio.

Se a matriz no estritamente diagonal dominante, o critrio das linhas tambm no satisfeito.

Nos resta o critrio de Sassenfeld:

critrio de Sassenfeldrespeitado.

. 11:22

Exemplo (soluo)

As iteraes so definidas por:

usando o vetor nulo como soluo inicial, temos, para a primeira iterao:

. 11:22

Exemplo (soluo)

Continuando o processo:

E podemos para na iterao 4 pois: