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Examen de admisin
UNI 2011-I1Solucionario
Academias Pamer 1Pg.
EXAMEN DE ADMISIN UNI 2011 - I1
MATEMTICA
1. Sea p(x) un polinomio con coeficientes rea-les cuya grfica se muestra a continuacin:
Indique la sucesin correcta despus de veri-ficar la veracidad o falsedad de las siguientesproposiciones.
I. p(x) tiene grado 3.II. p(x) tiene solo 2 preguntas complejas.III. Existe c tal que p(x+c) no tiene ra-
ces complejas.A) VVV B) VVFC) VFF D) FFVE) FFF
2. Al dividir un polinomio p(x) entre x41 se obtu-vo como residuo: 3x2+ nx2+ mx 2; si ade-
ms se sabe que, el resto de dividir p(x) entre(x2 1) es 5x 4, entonces el valor de mn es:A) 4 B) 2C) 1/2 D) 1/4E) 4
3. Halle el valor de x en la siguiente ecuacin:log xlogx log x 6 = 0
D como respuesta la suma de las soluciones.A) 10,01 B) 99,99C) 100,01 D) 999,99
E) 1 000, 01
4. Halle el valor de:
( ) ( ) ( ) ( )= + + +
+ + +3 3
1 1 1 1M 11 log 10e 1 Ln 30 1 log 3e log e
A)( )log 3
10 B)( )Ln 3
10
C)( )Ln 33 D) Ln(3)
E) 1
5. Considere la matriz: =
1 4 kA 1 k 4
1 k k
Determine el conjunto de valores de k paraque A sea invertible.
A) { } k \ 0 B) k
C) { } k \ 4 D) = k 4E) =k 0
6. Al resolver el sistema =
= 2
|z 3i| 2
y x 1donde z = x iy es un nmero complejo; lasuma de las ordenadas de los puntos solu-cin es:
A) 9 B) 8 C) 7D) 6 E) 5
7. Sea { }= + + 1 1 1 2 2 2S (x,y)/a x by C,a x b y C ,x 0,y 0La regin admisible de un problema de pro-gramacin lineal.Indique la secuencia correcta despus de de-terminar si la proposicin es verdadera (V) ofalsa (F).I. Si se modifica S, obtenindose
{= + + 1 1 1 1 2 2 2S (x,y) / a x b y C ,a x b y C ,}+ 3 3 3a x b y C ,x 0,y 0 , la solucin
no cambia, en un problema de maximi-zacin.
II. Si f(x,y) es la funcin objetivo, y(xo, yo) esla solucin en S y (x1, y1) es la solucin enS1 entonces, en un problema de mini-
mizacin se tendr f(xo, yo) f(x1, y1).III. En general S1, la nueva regin admisible,puede o no variar en relacin a S.
A) F F V B) F V V C) F F FD) V V F E) V F V
8. Sea una ecuacin de rectngulos R1, R2, ...,
Rk ... donde el k-simo rectngulo tiene lado
+1 1y ;k k 3 entonces, la suma de las reas de
todos los rectngulos es igual a:
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A) 1 B) 11/18C) 7/6 D) 1/3E) 1/6
9. Indique la alternativa correcta despus dedeterminar si cada proposicin es verdadera(V) o falsa (F) segn el orden dado:I. Existen 8 nmeros de 3 cifras tales que al
ser divididos entre 37 dan un residuoigual a la cuarta parte del cociente.
II. Sean a,b ; si (a+x)(bx)=ab, enton-
ces se tiene que x=0.III. Si D=dc+r con 1, enton-
ces el conjunto ( ){ }x / D x d x c r+ = + + Zes unitario.
A) VVV B) VVFC) FFV D) FVFE) FFF
10. Qu cantidad de desinfectante (en litros) al80% se debe mezclar con 80 litros del mismo
desinfectante al 50% para obtener un desin-fectante al 60%?
Indique adems el porcentaje de desinfec-tante al 50% en la solucin final.
A) 40 y 33,33% B) 40 y 66,67%
C) 60 y 33,33% D) 60 y 66,67%
E) 66,67 y 60%
11. Un empresario firma una letra por S/. 48 000a ser pagada en 8 meses al 7% de descuento
anual. Luego de transcurridos 3 meses deci-de cancelar la letra, pues debe viajar pararadicar en Australia. Calcule la diferenciaentre la cantidad que recibi y cancel elempresario en nuevos soles, sabiendo que elacreedor cobra una comisin del 0,2% so-bre el valor nominal, si se cancela al final.
A) 740 B) 742
C) 744 D) 746
E) 748
12. Sean 4A 1a1= , aB 1101= y 5C 1a24a= .Determine la suma en cifras de C en basedecimal.A) 7 B) 9 C) 11D) 13 E) 15
13. El nmero N = 3b . 5a (con a 1) tiene tresdivisores ms que M = 2a . 53. Determine lasuma de las inversas de los divisores de M.
A) 1,564 B) 1,852 C) 2,184D) 1,248 E) 1,384
14. Determine la cantidad de fracciones propiase irreducibles que estn comprendidas entre9/33 y 45/47 tales que la suma de sus trmi-nos sea 90.
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7
15. Sea + + + + + 2 ab 6 ab 12 ab 20 ab ... 72 abun nmero natural, cuya cantidad de divisores
es impar. Cuntos valores puede tomar ab ?A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
16. El mnimo comn mltiplo de dos nmeros dis-tintos es al mximo comn divisor de ellos como35 es a 1. Si el nmero mayor es 3 017, determi-ne la suma de las cifras del nmero menor.
A) 12 B) 13 C) 14D) 5 E) 16
17. Sean los conjuntos{ }A = x / x x M
{ }B = x / x + x M Entonces los valores de M tales queA B = son:
A) { }M 0 B) 1 1M ;2 2
C) [ ]M 1; 1 D) [M 0,
E) M ,
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18. Dadas las siguientes proposiciones:I. "Si existe n tal que n2 < 0, entonces
existe n tal que n 3 = 0"II. "Si para todo x se tiene 2x 0 , en-
tonces existe x 1; 1 tal que ex < 0"III. "Si existe n tal que n2 < 0, entonces
existe x tal que ex < 0"Indique la secuencia correcta despus de de-terminar si es verdadera (V) o falsa (F).A) VVV B) VFV C) FVVD) VVF E) FFF
19. Halle el conjunto solucin del sistema deinecuaciones:
1+ x + 2 x 1 x 0
A) [0,+ B) 0,+
C) 0, 1 D) [ ]0, 1
E) [1, +
20. Sean las funciones:24f(x)= x 8 64 x
g(x) = (x3) sgn(x),donde sgn es la funcin signo. Luego, el n-mero de elementos de {(x, f(g(x)))} es:
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
21. En la figura, O es el centro del crculo trigo-
nomtrico. Si OA = 1 u y = 3tan3
, calcule
el rea de la regin sombreada (en u2).
A)79 B)
56 C)
67
D)78 E)
89
22. En la circunferencia trigonomtrica de la fi-
gura mostrada, el arco ;2
, calcule el
rea de la regin sombreada = AM .
A) ( ) 1 1 cos2 2 cos
B) ( ) 2 cos1 cos
C) ( ) 1 2 cos2 1 cos D) ( )
+
1 2 cos2 1 cos
E) ( ) + 1 1 cos2 2 cos
23. Si ( ) ( )= =4x 3xtan a y tan b7 7 , entonces alsimplificar:
( )= 2 2 xE (1 a b ) tan(x) tan 7se obtiene:
A) a b B) a 2 b2
C) a + b D) ab
E) a/b
24. Si: 5x ; 4 , determine el rango de la funcin:
= + f(x) 1 2 senx cos x
A) 20;2
B) 0;1
C) 0; 2 D) 0; 3
E) +0; 2 1
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25. Para 0 < x < 1, resolver la ecuacin
1arccotx arctan1 x
=
A) 1 52+ B) 1 4
2+
C) 1 32+ D) 1 2
2+
E) 2 22+
26. Sea 02
< < tal que:
5 5 51log (tan ) log (tan 6) log 92
+ + =
Determine el valor de 2sec
A) 24 12 3 B) 22 12 3
C) 20 12 3 D) 18 12 3
E) 12 12
27. Si A, B y C son los ngulos de un tringulo
1,2; 2,3 y 3 son las longitudes de sus ladosopuestos a dichos ngulos respectivamente ysean A = L, calcule el valor de la expresinsiguiente:
sen(A B) sen(A C) sen(B C)D
53 cos A 42 cos B 35 cos C+ + + + +=
+ +
A)L4 B)
L6 C)
L8
D)L
10 E)L12
28. Cul es la ecuacin de la circunferencia cuyocentro est sobre la recta y + x = 0. Adems,
pasa por los puntos (3,4) y (3 2, 7) ?
A) x2 + y2 = 5 B) x2 + y2 = 9C) x2 + y2 = 15 D) x2 + y2 = 16E) x2 + y2 = 25
29. En un cono circular, recto la generatriz mide12 cm y una cuerda de la circunferencia dela base mide 16 cm. Si la distancia del centro
de dicha circunferencia a la cuerda es 4 cm,entonces el volumen del cono (en cm3)es:
A) 6403
B) 6413
C) 6423
D) 6433
E) 6443
30. Considere dos esferas tangentes exteriormente,cuyos radios miden 1 cm y 3 cm respectiva-mente. Calcule el volumen (en cm3) del conocircular recto circundcrito a las dos esferas.
A)80
B)81
C) 82D) 83 E) 84
31. En una pirmide regular de base cuadrangu-lar, el punto medio de la altura dista en unacara lateral y de una arista lateral 6 u y 8 u respec-tivamente. Calcule al altura (en u) de la pirmide.
A) 6 2 B) 12 2 C) 18 2
D) 24 2 E) 34 2
32. En la figura C, es un cilindro circular recto de
radio R y altura h. Si en C, se inscribe unprisma regular cuadrangular y luego en esteprisma se inscribe un cilindro circular rectoC2, y as se repite el proceso obteniendo loscilindros C3, C4, C5, ... Si el cilindro C21 estal que su rea total es 3 veces su rea lateral,entonces el rea lateral de C1 es:
A)( )
240
R
2B)
( ) 2
30R
2C)
( ) 2
20R
2
D)( )
215
R
2E)
( ) 2
10R
2
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33. En la figura ABCDEF... es un polgono regu-lar cuyo lado mide 2 cm. Calcule PF (en cm).
B
A F
E
DC
P
A) 4 3 B) 2 13C) 3 6 D) 6 2
E) 4 6
34. Dos circunferencias C1 y C2 de centro O y O'
respectivamente, son tangentes exteriormente
en T. Desde O se traza una tangente a C2 en P
y desde O' se traza una tangente a C1 en Q (OP
no se interseca con O ' Q). Si se tiene que PQ
se interseca con O O' en T, entonces la relacinde los radios de dichas circunferencias es:
A) 13
B) 12
C) 1 D) 2
E) 3
35. En un rectngulo ABCD, M y N son puntos me-
dios de los lados BC y CD respectivamente,
tales que AM = 2 2 cm y BN = 17 cm. Si Pes el punto de interseccin de los segmentos AM y
BN, entonces el valor de PM + PN en cm es:
A) +2 2 175
B) +2 2 2 175
C) +3 2 175
D) +2 2 3 175
E) +3 2 3 175
36. En una circunferencia de 10 cm de radio, doscuerdas se cortan de manera que el producto delos segmentos que cada una determina sobre ses 1296 cm4. Determine a qu distancia (en cm)del centro, se halla el punto de interseccin.A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
37. Los dimetros AByCD de una circunferen-cia son perpendiculares. Si E BD , AEinterseca a CD en el punto F y FD = 1 cm,
entonces la longitud de la circunferencia cir-cunscrita al tringulo FED (en cm) es:
A) 2 B) 2 2 C) 2 3
D) 3 2 E) 3 3
38. El volumen y el rea lateral de un prisma rectode base triangular son 50 m3 y 200 m2 respec-tivamente. Calcular el radio (en m) de la cir-cunferencia inscrita en la base del prisma.
A) 0,25 B) 0,5 C) 1
D) 2 E) 3
39. En un tringulo ABC en el espacio, la altura
relativa a AC es 5 3 cm. Sus vrtices A y Cestn en un plano horizontal P y el vrtice B esexterior a P de modo que el diedro B AC B'(B' es la proyeccin de B sobre P) mide 37.Si AB' = 10 cm, entonces la longitud de AB(en cm) es:
A) 10 B) 10,6 C) 127
D) 5 6 E) 6 5
40. Las diagonales de un trapecio dividen a steen cuatro tringulos. Si las reas de los trin-gulos adyacentes a las bases son A1 y A2, en-tonces el rea total del trapecio en funcin deA1 y A2 es:
A) + +1 2 1 2A A A A B) 1 22 A A
C) 1 2A A D) ( )+2
1 2A A
E) + 1 2 1 2A A A A
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Examen de admisin
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SOLUCIONARIO UNI 2011 - I1
MATEMTICAS
RESOLUCIN 1
TEMA: Funciones Polinomiales
Ubicacin de incgnita
Valor de verdad
Anlisis de los datos o grficos
La grfica corresponde a un polinomio de gradoimpar, no lineal, que interseca en un nmero imparal eje de abcisas, por tanto y = P(x) tiene almenos una raz real.
I. Falso (F)
No necesariamente el grado es tres.
II. Falso (F)
No necesariamente. Tiene una cantidad parde races imaginarias, que al menos es 2.
III. Falso (F)
y = p(x+c) se obtiene desplazando "c" uni-dades, a lo largo del eje de abcisas, la grficade y = p(x).
Observacin:
En este problema se est considerando que loscomplejos son los imaginarios, cabe recordar quelos complejos incluyen reales e imaginarios.
Conclusiones y respuesta:
Rpta: FFF
Respuesta: E)FFF
RESOLUCIN 2TEMA: Polinomios
Ubicacin de incgnita
Calcular el valor de mn
Anlisis de los datos o grficos
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 3 21
22
P x x 1 q x 3x nx mx 2
P x x 1 q x 5x 4
= + + +
= +
Operacin del problema
1. Aplicando la frmula, teorema o propiedadPara eliminar los cocientes hacemos:
x 1 x 1= =
2. Solucin del problema:
( ) ( )
( ) ( )
P 1 m n 1 P 1 1
P 1 n m 5 P 1 9
= + + =
= =
Igualando:
m n 0 n m 4
m 2 n 2
+ = =
= =
Conclusiones y respuesta:
( )2n 1m 24
= =
Respuesta: D) 14
RESOLUCIN 3
TEMA: Logaritmos
Ubicacin de incgnita
El valor de "x"
Anlisis de los datos o grficos
Log xLogx Logx 6 = 0
Operacin del problema
( )( ) ( )2
Log x Log x 6 0=
Factorizando:
1 2
Log x 3 Log x 2x 1000 x 0,01
= =
= =
Conclusiones y respuesta:
Nos piden:
1 2x x 1000,01+ =
Respuesta: E) 1 000,01
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Examen de admisin
UNI 2011-I1Solucionario
Academias Pamer 7Pg.
RESOLUCIN 4TEMA: Logaritmos
Ubicacin de incgnita
El valor de: "M"
Anlisis de los datos o grficos
( )( ) ( ) ( )
( )( )
3 3
1 1 1 1M 11 Log 10e 1 Ln 30 1 Log 3e Log e
= + + ++ + +
Operacin del problema
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
3 3
3
1 1
M Log 3 Log 10e Ln e Ln 301 1 1
Log10 Log 3e Log e
= + ++ +
++
( ) ( ) ( )( )
( )3 3
1 1 1 1M 1Log 30e Ln 30e Log 30e Log e
= + + +
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
30e 30e 30e eM Log 3 Log e Log 10 Log 3 1= + + +
( ) ( )eM Log 3 Ln 3= =
Conclusiones y respuesta:
Ln(3)
Respuesta: D) Ln(3)
RESOLUCIN 5TEMA: Matrices
Ubicacin de incgnita
Los valores de "k"
Anlisis de los datos o grficos
La matriz "A" es invertibleOperacin del problema
Aplicacin de frmula, teorema o pro-
piedad:
Para que la matriz "A" sea invertible: | A| 0
Solucin del problema:
=
1 4 k|A| 1 k 4 0
1 k k
Segn la regla de Sarrus:
+ + + +
2 2 2
2
(k 16 k ) (k 4k 4k) 0
(k 4) 0 k 4
Conclusin y respuesta:
{ } k \ 4
Respuesta: C) { } k \ 4
RESOLUCIN 6TEMA: Nmeros complejos
Ubicacin de incgnita
Suma de las ordenadas de los puntos solucin
Anlisis de los datos o grficos
=
=
= +
2
|z 3i| 2......(I)
y x 1.......(II)
z x yi
Operacin del problema
De la ecuacin (I):
+ = + = 2 2 2|x (y 3)i| 2 x (y 3) 2 ...( )
De la ecuacin (II):
= 2x y 1..........( )
Reemplazando ( ) en ( ) :
Si: y-1+(y-3)2=22 y=1 x=0
Si: y-1+(y-3)2=22 y=4 x= = 3 x 3
Los puntos solucin son: (0;1);( 3 ;4);( 3 ;4)
Conclusin y respuesta:
1 + 4 + 4 = 9
Respuesta: A) 9
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Examen de admisin
UNI 2011-1I Solucionario
Academias Pamer8Pg.
RESOLUCIN 7TEMA: Programacin lineal
Ubicacin de incgnita
Valor de verdad
Anlisis de los datos o grficos
{ }= + + 1 2 2 2S (x;y) / a,x b,y c ,a x b y c , x 0,y 0
Operacin del problema
I. Falso (F)
De acuerdo con la regla posicional de lossemiplanos la solucin podra cambiar.
II. Verdadero (V)De acuerdo con la regla posicional del menorsemiplano en la minimizacin
o o 1 1f(x ;y ) f(x ;y )
III. Verdadero (V)La proposicin es perfectamente valida.
Conclusin y respuesta:
FVV
Respuesta: B) FVV
RESOLUCIN 8TEMA: Series
Ubicacin de incgnita
Suma de las reas de todos los rectngulos.
Anlisis de los datos o grficos
=
+k1A
k(k 3)
Operacin del problema
rea total = A1 + A2 + A3 + ...
rea total = + + + + +1 1 1 1 1 ...
1.4 2.5 3.6 4.7 5.8
rea total = ( ) ( )( ) ( )
= = = ++ +
+ + + + +
k 1 k 11 1 1 1 1 13 k k 3 3 k k 11 1 1 1
k 1 k 2 k 2 k 3
Segn la regla telescpica tenemos:
rea total = ( ) + + = = 1 1 1 1 11 1113 2 3 3 6 18
Conclusin y respuesta
rea total = 211 u18
Respuesta: B) 1118
RESOLUCIN 9TEMA: Cuatro Operaciones
Ubicacin de incgnita
Analizar los valores de verdad de cada proposicin.
Operacin del problema
I.
Hay 6 nmeros
falso
II. a;b
( ) ( )a x b x a b+ = .
ab 2x b xa x ab+ =
( ) 2x b a x=
8/6/2019 Solucionario Matemtica - Admision UNI 2011-2 - Pamer
9/21
Examen de admisin
UNI 2011-I1Solucionario
Academias Pamer 9Pg.
Hay 2 soluciones
x 0 x b afalso
= =
III. D dc r con o r c y c 1= + < >
Luego el conjunto:
x 0 =
El conjunto tendr un solo elemento cuando x=0verdadero
Respuesta: C) FFV
RESOLUCIN 10
TEMA:Regla de Mezcla
Ubicacin de incgnita
Sea "x" el volumen del recipiente de 80%.
Operacin del problema
x 80% 80 50% 60%x 80
+ =
+. .
x = 40
Conclusin y respuesta
Piden: x = 40
Adems
=+
80 x100% 66,67%40 80
40y66,67%
Respuesta: B)40 y 66,67%
RESOLUCIN 11TEMA: Descuento
Ubicacin de incgnita
Anlisis de los datos o grficos
Operacin del problema
Aplicacin de frmula, teorema o propiedad
( )Va Vn x 1 R% x t=
Solucin del problema
( )17 8
Va 48000 1 x 45760100 12= =
( )2 7 5Va 48000 1 x 46600100 12= =
Conclusin y respuesta
Piden: ( )46600 45760 96 744+ =
Respuesta: C) 744
RESOLUCIN 12
TEMA: Numeracin
Ubicacin de incgnita
Necesitamos "a" para conocer el valor del numeral C.
Operacin del problema
8/6/2019 Solucionario Matemtica - Admision UNI 2011-2 - Pamer
10/21
Examen de admisin
UNI 2011-1I Solucionario
Academias Pamer10Pg.
Evaluamos para a = 3 en A x B = C
Conclusin y respuesta
C = 1073; cifras 11 =
Respuesta: C) 11
RESOLUCIN 13TEMA: Nmeros primos
Ubicacin de incgnita
Sea SID(M) la suma de inversas de los divisores de M.
Anlisis de los datos o grficos
Necesitamos hallar "a" sabiendo que a 1.
Operacin del problema
b a a 3
N M
3 1
N 3 5 M 2 5
CD CD 3(b 1)(a 1) (a 1) 4 3(a 1)(b 3) 3
a 2 b 4
= =
= +
+ + = + +
+ =
= =
Reemplazo en M = 22 53
3 4
(M)(M) 2 3
2 1 5 1SD 2 1 5 1SID 2,184
M 2 5
= = =
Respuesta: C) 2,184 RESOLUCIN 14TEMA: Fracciones
Ubicacin de incgnita
Piden los valores de x.
Anlisis de los datos o grficos
Sea la fraccin: 9 0 xx
adems la fraccin es
propia e irreductible.
x 90 x PESI con 90 <
Operacin del problema
9 90 x 4533 x 473 90 45 1
11 x 4714 90 9211 x 47
45, ..... x 70, .....
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