Superfıcies de revolucao
Superfıcies Quadricas
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela
Instituto de Quımica - UNESPAraraquara, SP
Araraquara, SP - 2017
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Superfıcies de revolucao
1 Superfıcies de revolucao
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Superfıcies de revolucao
Superfıcies de Revolucao
Sao superfıcies criadas pela rotacao de uma curva (geratriz) emtorno de uma reta (o eixo). A regiao delimitada pela superfıcie derevolucao e denominada solido de revolucao .
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Superfıcies de revolucao
Equacao de uma superfıcie de revolucao
Seja P(x , y , z) um ponto da superfıcie. Entao P pertence a umacircunferencia gerada por um ponto Q ao girar a curva C contida noplano yz em torno do eixo de rotacao (na figura, C : F (y , z) = 0).
R(0, 0, z): centro da circunferenciaQ(0, y1, z) ; ponto da curva C
PR = QR ⇒ y21 = x2 + y2
F (y1, z) = 0: equacao da superfıcie
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Superfıcies de revolucao
Elipsoide de revolucao
Rotacao da elipsey2
b2+
z2
c2= 1, x = 0 em torno do eixo z .
R(0, 0, z): centro da circunferenciaQ(0, y1, z) ; ponto da elipse no plano yz
PR = QR ⇒ y21 = x2 + y2
y21
b2+
z2
c2= 1
x2
b2+y2
b2+z2
c2= 1: equacao do elipsoide.
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Superfıcies de revolucao
Observacoes
Se a rotacao for em torno do eixo y a equacao do elipsoide seria
x2
c2+
y2
b2+
z2
c2= 1
.
Se b = c a elipse reduz-se a uma circunferencia
y2
b2+
z2
b2= 1, x = 0
e a superfıcie a uma esfera
x2
b2+
y2
b2+
z2
b2= 1
.
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Superfıcies de revolucao
Exemplo 1:
Rotacao da elipsex2
9+
y2
4= 1, z = 0 em torno do eixo x .
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Superfıcies de revolucao
Hiperboloides de revolucao
Rotacao da hiperboley2
b2− z2
c2= 1, x = 0 em torno do eixo z e do
eixo y .
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Superfıcies de revolucao
Hiperboloides de revolucao: equacoes
Rotacao de F (y , z) =y2
b2− z2
c2− 1 = 0 em torno do eixo-z :
F (y1, z) = 0 sendo y1 = y2 + x2
Hiperboloide de uma folha:x2
b2+
y2
b2− z2
c2= 1
Rotacao de F (y , z) =y2
b2− z2
c2− 1 = 0 em torno do eixo-y :
F (y , z1) = 0 sendo z1 = z2 + x2
Hiperboloide de duas folhas: −x2
b2+
y2
b2− z2
c2= 1
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Superfıcies de revolucao
Exemplo 2:
Rotacao da hiperbolex2
4− y2
5= 1, z = 0 em torno do eixo y :
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Superfıcies de revolucao
Exemplo 2: equacao do hiperboloide
F (x , y) =x2
4− y2
5− 1 = 0
P(x , y , z): ponto na superfıcie
R(0, y , 0): centro da circunferencia gerada pela rotacao de P
Q(x1, y , 0): ponto na curva (hiperbole)
PR = QR: x2 + z2 = x21
F (x1, y) = 0 pois Q pertence a hiperbole
x21
4− y2
5= 1⇒ x2
4− y2
5+
z2
4= 1
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Superfıcies de revolucao
Exemplo 3:
Rotacao da parabola x = y2, z = 0 em torno do eixo x :
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Superfıcies de revolucao
Exemplo 3: equacao do paraboloide
F (x , y) = x − y2 = 0
P(x , y , z): ponto na superfıcie
R(x , 0, 0): centro da circunferencia gerada pela rotacao de P
Q(x , y1, 0): ponto na curva (parabola)
PR = QR: y2 + z2 = y21
F (x , y1) = 0 pois Q pertence a parabola
x − y21 = 0⇒ x − y2 − z2 = 0
oux = y2 + z2
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Superfıcies de revolucao
Exemplo 4: cone de revolucao
Rotacao da reta y = mz , x = 0 em torno do eixo z (eixo do cone):
F (y , z) = y −mz = 0.Como a rotacao se da em torno do eixoz tem-se F (y1, z) = y1 −mz = 0, sendoy2
1 = x2 + y2.Portanto,
x2 + y2 = m2z2
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Superfıcies de revolucao
Exemplo 5: cilindro de revolucao
Rotacao de uma reta r em torno de uma reta s, sendo r e s paralelas:
Seja s o eixo z e Q(0, 0, z). Entao dadoP(x , y , z) pertencente ao cilindro tem-se:
d(P,Q) = a⇔√
x2 + y2 = a
x2 + y2 = a2
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Exemplo 6: cilindro elıptico
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Exemplo 7: cilindro parabolico
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Exemplo 8: paraboloide hiperbolico
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Superfıcies de revolucao
Exercıcios
1) Determine as coordenadas de um ponto generico da circunferenciadescrita pelo ponto Q(2, 3, 5) ao girar em torno do eixo y .
2) Determine a intersecao do plano x = 2 com a circunferencia des-crita pela rotacao do ponto Q(−2,−1, 4) ao girar em torno doeixo z
3) Escrever uma equacao da superfıcie gerada pela rotacao daparabola x = y2, z = 0, em torno de seu eixo. Sugestao:Q(x ,±
√x , 0) sao pontos da parabola.
4) Obter a equacao da superfıcie gerada pela rotacao da curva z =seny , 0 ≤ y ≤ 2π em torno do eixo y . Sugestao: observe quese P(x , y , z) e um ponto da superfıcie, entao Q(0, y , seny) e umponto sobre a curva.
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Superfıcies de revolucao
Exercıcios
5) Mostre que a equacao x2 +y2 +z2−2x−4y +2z +6 = 0 reduz-sea um unico ponto. Determine tal ponto.
6) Encontre uma superficie tal que sua intersecao com planos da
forma x = k da a elipse z2
4 + y2
9 = k2, com planos da forma y = k
da a hiperbole 9x2 − 9z2
4 = k2 e com planos da forma z = k da a
hiperbole 4x2 − 4y2
9 = k2.
7) Encontre a equacao da curva cuja rotacao em torno do eixo xresulta em uma esfera de centro em C (1, 0, 1) e raio 2.
8) Determinar a parametrizacao do arco de circunferencia definidopela intersecao das superfıcies x2 + y2 + z2 = 9 e x + y = 3situado acima do plano xy .
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