TÉCNICO EM AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
CURSO BÁSICO DE TRIGONOMETRIA
Eng. Diogo Pedriali
Rev. 00 Mogi Guaçu – São Paulo – Brasil
Fevereiro de 2019
© Copyright 2019 – Diogo Pedriali
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA ................................................................... 2
2 LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO........................................................ 3
2.1 Nomenclatura dos catetos ......................................................................... 3
2.2 Propriedades do triângulo retângulo .......................................................... 4
2.3 Teorema de Pitágoras ............................................................................... 4
2.4 Tipos de triângulo ...................................................................................... 5
2.5 Funções trigonométricas básicas .............................................................. 6
3 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO ............................................................................ 7
3.1 Seno .......................................................................................................... 8
3.2 Cosseno .................................................................................................... 8
3.3 Tangente ................................................................................................... 9
3.4 Lei dos Senos .......................................................................................... 10
3.5 Lei dos Cossenos .................................................................................... 11
3.6 Lei das Tangentes ................................................................................... 11
4 RESUMO DE FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS ............................................. 12
5 PERÍMETRO ....................................................................................................... 13
6 ÁREA .................................................................................................................. 14
7 VOLUME ............................................................................................................. 16
8 EXERCÍCIOS ...................................................................................................... 17
8.1 Geometria Plana ...................................................................................... 17
8.2 Área e Volume de um Cubo .................................................................... 18
8.3 Área e Volume de um Cilindro ................................................................. 20
8.4 Resolução de Triângulos Retângulos ...................................................... 21
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 27
TRIGONOMETRIA
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1 INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA
A Trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações entre os
comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo. A abordagem da trigonometria
penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a
trigonometria esférica.
Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida")
O Triângulo Retângulo é um triângulo onde um dos ângulos existentes entre
seus lados medem 90 graus.
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°,
então os outros dois ângulos medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são
denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo
possui dois ângulos complementares.
A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos tecnológicos,
tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e,
consequentemente, nas ciências naturais.
Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias
impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
Figura 1 - Triângulo Retângulo
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2 LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes
são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto.
O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.
Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
Hipotenusa (hypoteinusa: hypó "por baixo" + teino "eu estendo")
Cateto (do grego cathetós "perpendicular")
Para padronizar o estudo da Trigonometria, é adotado as seguintes notações:
2.1 Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação
ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado
oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo
C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
Figura 2 - Tabela de notação do triângulo retângulo
Figura 3 - Nomenclatura dos catetos
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2.2 Propriedades do triângulo retângulo
Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos
complementares.
Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado
maior) e outros dois lados que são os catetos.
Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num
vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é
perpendicular ao lado oposto ao vértice.
2.3 Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da
Matemática, ele descreve uma das relações existentes nos triângulos retângulos.
“A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.
Figura 4 - Determinação de altura de triângulo retângulo
Figura 5 - Fórmula do Teorema de Pitágoras
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2.4 Tipos de triângulo
Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus
lados:
Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos
internos:
Equilátero Isósceles Escaleno
Retângulo Obtusângulo Acutângulo
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2.5 Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados
do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da
trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.
Tomando um triângulo retângulo XYZ, com hipotenusa “a” medindo 1 unidade,
então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto “CO” e o cosseno do
mesmo é o seu cateto adjacente “CA”. Portanto a tangente do ângulo analisado será
a razão entre seno e cosseno desse ângulo.
Figura 6 - Relação de funções trigonométricas básicas
Figura 7 - Fórmulas de Seno, Cosseno e Tangente
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3 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
O Círculo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização das
proporções entre os lados dos triângulos retângulos.
Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na
origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por
duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas
se cortam (intersecção).
Existem dois sentidos de marcação dos arcos no círculo: o sentido positivo,
chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal
do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no
sentido contrário ao anterior.
Na figura abaixo, é disponibilizado o Círculo Trigonométrico e seus
componentes:
O eixo dos cossenos também é conhecido como abscissa e o eixo dos senos
pode ser chamado também de ordenada.
Figura 8 - Círculo Trigonométrico
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3.1 Seno
Dado um triângulo retângulo, o seno de um dos seus 2 ângulos agudos é a
proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da
hipotenusa, calculada pela divisão de um valor pelo outro.
No círculo trigonométrico, o seno de um ângulo qualquer pode ser visualizado
na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo vertical.
3.2 Cosseno
Dado um triângulo retângulo, o cosseno de um dos seus 2 ângulos agudos é a
proporção entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento
da hipotenusa, calculada pela divisão de um valor pelo outro.
No círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo qualquer pode ser
visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo horizontal.
Figura 9 - Representação de Seno
Figura 10 - Representação de Cosseno
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3.3 Tangente
Dado um triângulo retângulo, a tangente de um dos seus 2 ângulos agudos é a
proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do
cateto adjacente a ele, calculada pela divisão de um valor pelo outro.
No círculo trigonométrico, o valor da tangente de um ângulo qualquer pode ser
visualizado na reta vertical que tangencia este círculo no ponto em que ele corta o
eixo horizontal do lado direito.
Nesta reta tangente ao círculo trigonométrico, o valor da tangente
trigonométrica de qualquer ângulo é representado pelo segmento que vai do ponto
em que ela corta o eixo horizontal até o ponto em que ela corta a reta que contém o
raio do círculo trigonométrico para o ângulo considerado.
Para avaliar este valor, deve-se compará-lo com o raio do círculo
trigonométrico que, por definição, é igual a 1.
Observa-se que, enquanto o seno e o cosseno são sempre menores do que o
raio do círculo trigonométrico e, portanto, menores do que 1, a tangente
trigonométrica pode ser tanto menor quanto maior do que 1.
Figura 11 - Representação de Tangente
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3.4 Lei dos Senos
A lei dos senos para um triângulo arbitrário diz:
ou equivalentemente:
Onde R é o raio da circunferência onde o triângulo arbitrário está inscrito.
Figura 12 - Triângulo arbitrário
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3.5 Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos (também conhecida como fórmula dos cossenos) é uma
extensão do teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários:
ou equivalentemente:
O Teorema de Pitágoras é um caso particular da Lei dos Cossenos, quando o
cosseno de 90° é igual a 0.
3.6 Lei das Tangentes
Com base em um triângulo arbitrário, como representado na figura 12, dá se
relação de fórmulas da lei das tangentes, como exibido abaixo:
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4 RESUMO DE FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
Seno
Cosseno
Tangente
Pitágoras
Secante
Cotangente
Cosecante
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5 PERÍMETRO
Define-se Perímetro como sendo a medida do contorno de um objeto
bidimensional, ou seja, a soma de todos os lados de uma figura geométrica.
Figura Fórmula Variáveis
Círculo R é o raio
Triângulo a,b e c são os lados do
triângulo
Quadrado a é comprimento de um
dos lados
Retângulo h é a altura e w é a largura do retângulo
Polígono Equilátero
n é o número de lados e a é o comprimento de um
dos lados
Polígono de Ângulos Iguais
n é o número de lados e b é a distância entre o
centro do polígono e um dos vértices do mesmo
Polígono Qualquer
a é comprimento dos lados do polígono
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6 ÁREA
Área é um conceito matemático que pode ser definida como a quantidade de
espaço bidimensional, ou seja, o tamanho de uma superfície.
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro
quadrado (m²) e os seus múltiplos e submúltiplos.
Figura Fórmula Variáveis
Triângulo equilátero
é comprimento de um lado do
triângulo.
Triângulo
é metade do perímetro, , e é o
comprimento de cada um dos lados.
Triângulo e são quaisquer dois lados, e é
o ângulo entre eles.
Triângulo
e são a base e altura (medida
perpendicularmente à base),
respectivamente.
Quadrado é o comprimento de um dos lados
do quadrado.
Retângulo e são o comprimento de cada um
dos lados do retângulo.
Losango e são o comprimento de cada
uma das diagonais do losango.
Paralelogramo é o comprimento da base e é a
altura medida na perpendicular.
Trapezóide
e são os lados paralelos e a
distância (altura) entre os lados
paralelos.
Hexágono regular
é o comprimento de um dos lados
do hexágono.
Octógono regular
é o comprimento de um dos lados
do octógono
Polígono regular
é o comprimento de um dos lados e
o número de lados.
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Polígono regular
é o raio do círculo circunscrevente,
o raio do círculo interior, e é o
número de lados.
Polígono regular
é o apótema (raio do círculo interior
ao polígono) e é o perímetro do
polígono.
Círculo
é o raio e o diâmetro.
Setor circular e são, respectivamente, o raio e
ângulo (em radianos).
Elipse e são o semi eixo maior e semi
eixo menor, respectivamente.
Área total da superfície do
cilindro e são o raio e altura do cilindro.
Superfície lateral do cilindro
e são o raio e altura do cilindro.
Superfície total do cone
e são o raio e a distância do
vértice ao círculo base,
respectivamente.
Superfície total da esfera
e são o raio e o diâmetro,
respectivamente.
Superfície total da
pirâmide
é a área da base, o perímetro
da base e a distância do vértice
aos cantos da base.
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7 VOLUME
O Volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo.
Volume tem sua unidade de medida em unidades cúbicas (por exemplo, cm³,
m³, etc). Sua unidade no Sistema internacional de unidades é o metro cúbico (m³).
Figura Fórmula Variáveis
Cubo s é o comprimento de um lado
Paralelepípedo largura, comprimento, altura
Cilíndro r = raio de uma face circular, h =
altura
Esfera
r = raio da esfera
Elipsóide
a, b, c = semi-eixos do elipsóide
Pirâmide
A = área da base, h = altura
Cone
r = raio do círculo na base, h =
altura
Prisma A = área da base, h = altura
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8 EXERCÍCIOS
8.1 Geometria Plana
1) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos:
a) a = 25 e b = 12
b) a = 14 e b = 10
2) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura
igual a 10. Qual a área deste trapézio?
3) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?
4) Temos um triângulo eqüilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a
área deste triângulo?
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8.2 Área e Volume de um Cubo
1) Calcule a área lateral, a área da base, a área total e o volume do cubo cuja
aresta mede 2cm.
2) Calcule o volume do cubo em que cada aresta mede 100cm.
3) Uma caixa de água mede 50cm x 50cm de lados e tem 50cm de altura. Qual
o seu volume? Quantas garrafas de guaraná, de 333ml cada uma, podem ser
enchidas com a água desta caixa?
4) Uma piscina tem 50m de comprimento, 25m de largura, 2m de profundidade.
Qual a área de sua superfície? Qual o volume de água que ela contém,
quando totalmente cheia? Quantas mamadeiras, de 250ml, você poderia
encher com toda a água desta piscina?
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5) Os cubos seguintes têm, respectivamente, arestas 1, 2 e 3.
a) Calcule o volume de cada um dos cubos.
b) O que ocorre com o volume do cubo quando dobramos sua aresta? E
quanto a triplicamos?
6) Determine o valor da aresta do cubo cujo seu volume é igual 729m3.
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8.3 Área e Volume de um Cilindro
2) Calcule a área lateral, a área da base, a área total e o volume do cilindro
eqüilátero conforme a imagem a seguir:
2) Calcule a área lateral, a área da base, a área total e o volume do cilindro reto
conforme a imagem a seguir:
3) Uma peça de madeira tem as dimensões e forma da figura abaixo. Qual é o
volume de madeira empregado para fabricar esta peça?
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8.4 Resolução de Triângulos Retângulos
1) Determine os valores literais indicados nas figuras:
a)
b)
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c)
2) Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.
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3) Determine x nas figuras.
a)
O triângulo ABC é eqüilátero.
b)
O triângulo ABC é eqüilátero.
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c)
4) Determine a diagonal de um quadrado de lado l.
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5) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo,
forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?
6) Na figura indicada calcule AB.
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7) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado 1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do quadrado 3 ?
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REFERÊNCIAS
IEZZI, G. et al. Fundamentos de matemática elementar: geometria Plana. São Paulo: Atual, 1993.
LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Solgraf, 1999.
RICH, B. Teoria e problemas de geometria. Porto Alegre: Bookman, 2003.
WIKIPEDIA. Trigonometria. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria>. Acesso em: 24 jul. 2018.
SILVA, Marcos Noé Pedro da. Teorema de Pitágoras: Brasil escola. Disponível em: <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-pitagoras.htm>. Acesso em: 24 jul. 2018.
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