Teoria dos Jogos
Teoria dos Jogos
A teoria dos jogos modela o comportamento estratégico
de agentes
Teoria dos Jogos
A teoria dos jogos modela o comportamento estratégico
de agentesque entendem que suas ações
afetam as ações de outros agentes
Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
Oligopólios
Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
Oligopólios
Cartéis
Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
Oligopólios
Cartéis
Externalidades
Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos
Oligopólios
Cartéis
Externalidades
Estratégias militares
O Que é um Jogo?
O Que é um Jogo?Um jogo consiste de
O Que é um Jogo?Um jogo consiste de
um conjunto de jogadores
O Que é um Jogo?Um jogo consiste de
um conjunto de jogadores
um conjunto de estratégias para cada jogador
O Que é um Jogo?Um jogo consiste de
um conjunto de jogadores
um conjunto de estratégias para cada jogador
payoffs (recompensas), para cada jogador, resultantes das escolhas estratégicas possíveis
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Os jogadores são A e B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Os jogadores são A e B
O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Os jogadores são A e B
O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”
O jogador B tem duas estratégias: “Esquerda” e “Direita”
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Os jogadores são A e B O jogador A tem duas
estratégias: “Alto” e “Baixo”
O jogador B tem duas estratégias: “Esquerda” e “Direita”
A tabela que mostra as recompensas, para cada jogador, de cada uma das quatro possíveis combinações estratégicas é a matriz de payoff
Exemplo de um Jogo de Dois JogadoresJogador B
Jogador A
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador B
Jogador A
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador B
Jogador A
As recompensas do jogador A são apresentadas àesquerda das vírgulas
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador B
Jogador A
As recompensas do jogador A são apresentadas àesquerda das vírgulas
As recompensas do jogador B são apresentadas àdireita das vírgulas
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Uma jogada seria (A,D),
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Uma jogada seria (A,D),onde o primeiro elemento é a estratégia
escolhida pelo Jogador A
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Uma jogada seria (A,D),onde o primeiro elemento é a estratégia
escolhida pelo Jogador Ae o segundo elemento é a estratégia
escolhida pelo Jogador B
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se A jogar Alto e B jogar Direita,
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se A jogar Alto e B jogar Direita,então a recompensa de A é 1
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se A jogar Alto e B jogar Direita,então a recompensa de A é 1
e a recompensa de B é 8
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
E se A jogar Baixo e B jogar Direita,
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
E se A jogar Baixo e B jogar Direita,então a recompensa de A é 2
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
E se A jogar Baixo e B jogar Direita,então a recompensa de A é 2
e a recompensa de B é 1
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Esta é a matrizde payoff dojogo
Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Que jogadas provavelmentevão ocorrer neste jogo?
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
(A,D) seriauma jogadaprovável?
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(A,D) seriauma jogadaprovável?
Se o jogador B jogar Direita,
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(A,D) seriauma jogadaprovável?
Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo
porque isto melhora a recompensa de Ade 1 para 2
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(A,D) seriauma jogadaprovável?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo
porque isto melhora a recompensa de Ade 1 para 2
Então (A,D) não ocorreria
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(A,D) seriauma jogadaprovável?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
(B,D) ocorreria?
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se o jogador B jogar Direita,
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(B,D) ocorreria?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(B,D) ocorreria?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo
Se o jogador A jogar Baixo,
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(B,D) ocorreria?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo
Se o jogador A jogar Baixo,então a melhor resposta do jogador B é Direita
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(B,D) ocorreria?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se o jogador B jogar Direita,então a melhor resposta do jogador A é Baixo
Se o jogador A jogar Baixo,então a melhor resposta do jogador B é Direita
Então (B,D) é uma jogada provável
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(B,D) ocorreria?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
(B,E) ocorreria?
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(B,E) ocorreria?
Se A jogar Baixo
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(B,E) ocorreria?
Se A jogar Baixoentão a melhor resposta de B é Direita
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se A jogar Baixoentão a melhor resposta de B é DireitaEntão (B,E) não é uma jogada provável
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(B,E) ocorreria?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
(A,E) ocorreria?
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se A jogar Alto
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(A,E) ocorreria?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se A jogar Altoentão a melhor resposta de B é Esquerda
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(A,E) ocorreria?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se A jogar Altoentão a melhor resposta de B é Esquerda
Se B jogar Esquerda
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(A,E) ocorreria?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se A jogar Altoentão a melhor resposta de B é Esquerda
Se B jogar Esquerdaentão a melhor resposta de A é Alto
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(A,E) ocorreria?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
Se A jogar Altoentão a melhor resposta de B é Esquerda
Se B jogar Esquerdaentão a melhor resposta de A é AltoEntão (A,E) é uma jogada provável
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
(A,E) ocorreria?
Equilíbrio de Nash
É uma jogada para a qual uma estratégia é a
melhor resposta à outra
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D)
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D)
Mas qual de fato ocorrerá?
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D)
Mas qual de fato ocorrerá?Note que (A,E) é preferível a (B,D) para os dois
jogadores
Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D)
Mas qual de fato ocorrerá?Note que (A,E) é preferível a (B,D) para os dois
jogadoresDeverá então ocorrer apenas (A,E)?
Dilema dos Prisioneiros
Jogo que exemplifica o fato de que resultados Pareto-
preferíveis não necessariamente vão ocorrer
O Dilema dos Prisioneiros
Que jogadas provavelmente ocorrerãoneste jogo?
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
O Dilema dos PrisioneirosClyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Se Bonnie jogar Silenciar então a melhorresposta de Clyde é Confessar
O Dilema dos Prisioneiros
Se Bonnie jogar Silenciar então a melhorresposta de Clyde é Confessar
Se Bonnie jogar Confessar então a melhorresposta de Clyde é Confessar
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
O Dilema dos Prisioneiros
Não importa o que Bonnie escolha: a melhorresposta de Clyde será sempre Confessar
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
O Dilema dos Prisioneiros
Não importa o que Bonnie escolha: a melhorresposta de Clyde será sempre Confessar
Confessar é a estratégia dominantepara Clyde
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
O Dilema dos Prisioneiros
Similarmente, não importa o que Clydeescolha: a melhor resposta de Bonnie será
sempre Confessar
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
O Dilema dos Prisioneiros
Similarmente, não importa o que Clydeescolha: a melhor resposta de Bonnie será
sempre ConfessarConfessar é a estratégia dominante
para Bonnie também
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
O Dilema dos Prisioneiros
Então o único equilíbrio de Nash para estejogo é (C,C),
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
O Dilema dos Prisioneiros
Então o único equilíbrio de Nash para estejogo é (C,C),
muito embora (S,S) traga melhores recompensas para os dois jogadores
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
O Dilema dos Prisioneiros
Então o único equilíbrio de Nash para estejogo é (C,C),
muito embora (S,S) traga melhores recompensas para os dois jogadores
O único equilíbrio de Nash é ineficiente
Clyde
Bonnie(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Quem Joga Quando?
Nos dois exemplos, os jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente
Quem Joga Quando?
Nos dois exemplos, os jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente
Estes são jogos simultâneos
Quem Joga Quando?
Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro
Quem Joga Quando?
Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro
Estes são os jogos sequenciais
Quem Joga Quando?
Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro
Estes são os jogos sequenciais O jogador que joga primeiro é o
líder
Quem Joga Quando?
Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro
Estes são os jogos sequenciais O jogador que joga primeiro é o
líder O jogador que joga depois é o
seguidor
Exemplo de Um Jogo Sequencial
Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash
Exemplo de Um Jogo Sequencial
Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash
e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer
Exemplo de Um Jogo Sequencial
Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash
e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer
Se esse jogo for sequencial, pode ser mais fácil decidir
Exemplo de Um Jogo Sequencial
Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash
e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer
Se esse jogo for sequencial, pode ser mais fácil decidir
se um equilíbrio de Nash terá mais chances de ocorrer do que os outros
Exemplo de um Jogo Sequencial
Tanto (A,E) como (B,D) são equilíbrios deNash quando este jogo é jogado
simultaneamente
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo Sequencial
Tanto (A,E) como (B,D) são equilíbrios deNash quando este jogo é jogado
simultaneamenteE não temos nenhuma maneira de decidir
qual dos equilíbrios é mais provável
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo Sequencial
Se o jogo for jogado sequencialmente
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo Sequencial
Se o jogo for jogado sequencialmentee A for o líder
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo Sequencial
Se o jogo for jogado sequencialmentee A for o líder
podemos expressá-lo na suaforma extensiva
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Exemplo de um Jogo Sequencial
A B
E ED D
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B BA joga primeiroB joga em seguida
Exemplo de um Jogo Sequencial
A B
E ED D
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B B
(A,E) é um equilíbrio de Nash
A joga primeiroB joga em seguida
Exemplo de um Jogo Sequencial
A B
E ED D
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B B
(A,E) é um equilíbrio de Nash(B,D) é um equilíbrio de Nash
A joga primeiroB joga em seguida
Exemplo de um Jogo Sequencial
A B
E ED D
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B B
(A,E) é um equilíbrio de Nash(B,D) é um equilíbrio de NashQual deles tem mais chances de ocorrer?
A joga primeiroB joga em seguida
Exemplo de um Jogo Sequencial
A B
E ED D
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B B
Se A jogar A então B joga E: A ganha 3
A joga primeiroB joga em seguida
Exemplo de um Jogo Sequencial
A B
E ED D
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B B
Se A jogar A então B joga E: A ganha 3Se A jogar B então B joga D: A ganha 2
A joga primeiroB joga em seguida
Exemplo de um Jogo Sequencial
A B
E ED D
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B B
Se A jogar A então B joga E: A ganha 3Se A jogar B então B joga D: A ganha 2Então (A,E) será o único equilíbrio de Nash
A joga primeiroB joga em seguida
Estratégias Puras
Voltemos ao jogo simultâneo com dois equilíbrios de Nash (A,E) e (B,D)
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
O jogador A escolhe A ou B,
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
O jogador A escolhe A ou B,ou seja, ele joga puramente A ou B
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
O jogador A escolhe A ou B,ou seja, ele joga puramente A ou B
Ele não escolhe uma combinação de A e B
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
O jogador A escolhe A ou B,ou seja, ele joga puramente A ou B
Ele não escolhe uma combinação de A e BA e B são as estratégias puras do jogador A
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
Similarmente, E e D são as estratégias puras do jogador B
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
Consequentemente, (A,E) e (B,D) são equilíbrios de Nash com estratégias puras
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
Consequentemente, (A,E) e (B,D) são equilíbrios de Nash com estratégias puras
Todo jogo precisa ter pelo menos um equilíbrio de Nash com estratégias puras?
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
No jogo acima, existe algum equilíbrio de Nash
com estratégias puras?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A
B
E D
Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
(A,E) é um equilíbrio de Nash?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A
B
E D
Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
(A,E) é um equilíbrio de Nash? Não(A,D) é um equilíbrio de Nash?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A
B
E D
Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
(A,E) é um equilíbrio de Nash? Não(A,D) é um equilíbrio de Nash? Não(B,E) é um equilíbrio de Nash?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A
B
E D
Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
(A,E) é um equilíbrio de Nash? Não(A,D) é um equilíbrio de Nash? Não(B,E) é um equilíbrio de Nash? Não(B,D) é um equilíbrio de Nash?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A
B
E D
Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A
B
E D
(A,E) é um equilíbrio de Nash? Não(A,D) é um equilíbrio de Nash? Não(B,E) é um equilíbrio de Nash? Não(B,D) é um equilíbrio de Nash? Não
Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
Este jogo não tem equilíbrio de Nashcom estratégias puras
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A
B
E D
Jogador A
Jogador B
Estratégias Puras
Este jogo não tem equilíbrio de Nashcom estratégias puras
Mas tem com estratégias mistas
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A
B
E D
Jogador A
Jogador B
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com
probabilidade A
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com
probabilidade A
ou jogar Baixo com probabilidade 1A
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com
probabilidade A
ou jogar Baixo com probabilidade 1A Ou seja, ele pode selecionar uma
distribuição de probabilidade (A,1A)
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com
probabilidade A
ou jogar Baixo com probabilidade 1A Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição
de probabilidade (A,1A) Como A está misturando as estratégias puras
Alto e Baixo,
Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com
probabilidade A
ou jogar Baixo com probabilidade 1A Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição de
probabilidade (A,1A) Como A está misturando as estratégias puras Alto e
Baixo, a distribuição de probabilidade (A,1A) é a sua
estratégia mista
Estratégias MistasSimilarmente, o jogador B escolhe jogarEsquerda com probabilidade E
Estratégias MistasSimilarmente, o jogador B escolhe jogarEsquerda com probabilidade E
ou jogar Direita com probabilidade 1E
Estratégias MistasSimilarmente, o jogador B escolhe jogarEsquerda com probabilidade E
ou jogar Direita com probabilidade 1E
Ou seja, ele escolhe a distribuição deprobabilidade (E,1E)
Estratégias MistasSimilarmente, o jogador B escolhe jogarEsquerda com probabilidade E
ou jogar Direita com probabilidade 1E
Ou seja, ele escolhe a distribuição deprobabilidade (E,1E)Como ele está misturando as estratégiaspuras Esquerda e Direita,
Estratégias MistasSimilarmente, o jogador B escolhe jogarEsquerda com probabilidade E
ou jogar Direita com probabilidade 1E
Ou seja, ele escolhe a distribuição deprobabilidade (E,1E)Como ele está misturando as estratégiaspuras Esquerda e Direita,a distribuição de probabilidade (E,1E) éa sua estratégia mista
Estratégias Mistas
Jogador A
Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A
B
E DJogador B
Estratégias Mistas
Jogador A
Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias purasmas tem com estratégias mistas
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A
B
E DJogador B
Estratégias Mistas
Jogador A
Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias purasmas tem com estratégias mistasComo computar o equilíbrio de Nash com estratégias mistas?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A
B
E DJogador B
Estratégias Mistas
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A,A
B,1A
E,E D,1E
Jogador B
Jogador A
Estratégias Mistas
Se B jogar Esquerda, seu payoff esperado é2A + 5(1A)
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,A
B,1A
Estratégias Mistas
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,A
B,1A
Se B jogar Esquerda, seu payoff esperado é2A+5(1A)Se B jogar Direita, seu payoff esperado é4A+2(1A)
Estratégias Mistas
Se 2A+5(1A) > 4A+2(1A)então B jogará apenas Esquerda
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,A
B,1A
Estratégias Mistas
Se 2A+5(1A) > 4A+2(1A)então B jogará apenas EsquerdaMas não existe equilíbrio de Nash com Bjogando apenas Esquerda
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,A
B,1A
Estratégias Mistas
Se 2A+5(1A) < 4A+2(1A)então B jogará apenas Direita
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,A
B,1A
Estratégias Mistas
Se 2A+5(1A) < 4A+2(1A)então B jogará apenas DireitaMas não existe equilíbrio de Nash com Bjogando apenas Direita
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,A
B,1A
Estratégias Mistas
Então, somente existirá equilíbrio de Nashquando B for indiferente entre jogarEsquerda ou Direita,
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,A
B,1A
Estratégias Mistas
Então, somente existirá equilíbrio de Nashquando B for indiferente entre jogarEsquerda ou Direita,o que ocorre quando2A+5(1A) = 4A+2(1A)
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,A
B,1A
Estratégias Mistas
Então, somente existirá equilíbrio de Nashquando B for indiferente entre jogarEsquerda ou Direita,o que ocorre quando2A+5(1A) = 4A+2(1A) A = 3/5
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,A
B,1A
Estratégias Mistas
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
A,
B,53
52
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
Estratégias Mistas
Se A jogar Alto seu payoff esperado é1 E + 0 (1 E) = E
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
Jogador B
Jogador AA,
B,
E,E D,1E
Estratégias Mistas
Se A jogar Alto seu payoff esperado é1 E + 0 (1 E) = E Se A jogar Baixo seu payoff esperado é0 E + 3 (1 E) = 3(1 E)
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,
B,
Estratégias Mistas
Se E > 3(1 E) então A jogará apenas Alto
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,
B,
Estratégias Mistas
Se E > 3(1 E) então A jogará apenas AltoMas não existe equilíbrio de Nash com Ajogando apenas Alto
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,
B,
Estratégias Mistas
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
Jogador B
Jogador A
Se E < 3(1 E) então A jogará apenas Baixo
E,E D,1E
A,
B,
Estratégias Mistas
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
Jogador B
Jogador A
Se E < 3(1 E) então A jogará apenas BaixoMas não existe equilíbrio de Nash com Ajogando apenas Baixo
E,E D,1E
A,
B,
Estratégias Mistas
Para existir equilíbrio de Nash,A precisa ser indiferente entre jogar Altoou Baixo, ou seja
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,
B,
Estratégias Mistas
Para existir equilíbrio de Nash,A precisa ser indiferente entre jogar Altoou Baixo, ou sejaE = 3(1 E)
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,
B,
Estratégias Mistas
Para existir equilíbrio de Nash,A precisa ser indiferente entre jogar Altoou Baixo, ou sejaE = 3(1 E) E = 3/4
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
Jogador B
Jogador A
E,E D,1E
A,
B,
Estratégias Mistas
Então, o equilíbrio de Nash é
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
E, D,43
41
Jogador B
Jogador AA,
B,
Estratégias Mistas
Então, o equilíbrio de Nash éA adotar a estratégia mista (3/5, 2/5)
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
E, D,43
41
Jogador B
Jogador AA,
B,
Estratégias Mistas
Então, o equilíbrio de Nash éA adotar a estratégia mista (3/5, 2/5)e B adotar a estratégia mista (3/4, 1/4)
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)53
52
E, D,43
41
Jogador B
Jogador AA,
B,
Estratégias Mistas
Os payoffs serão (1,2) com probabilidade35
34
920
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
43
41
53
52
9/20
Jogador B
Jogador A
E, D,
A,
B,
Estratégias Mistas
e (0,4) com probabilidade3514
320
(0,4)
(0,5) (3,2)
43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20
Jogador B
Jogador A
E, D,
A,
B,
Estratégias Mistas
e (0,5) com probabilidade25
34
620
(0,4)
(0,5)
43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20
6/20 (3,2)
Jogador B
Jogador A
E, D,
A,
B,
Estratégias Mistas
e (3,2) com probabilidade2514
220
(0,4)43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20
Jogador B
Jogador A
E, D,
A,
B,
Estratégias Mistas
Para A, o payoff esperado do equilíbrio deNash é
1 920
0 320
0 620
3 220
34
.
(0,4)43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20
Jogador B
Jogador A
E, D,
A,
B,
Estratégias Mistas
Para B, o payoff esperado do equilíbrio deNash é
2 920
4 320
5 620
2 220
165
.
(0,4)43
41
53
52
(1,2)9/20 3/20(0,5) (3,2)6/20 2/20
Jogador B
Jogador A
E, D,
A,
B,
Fonte
Hal VarianIntermediate Microeconomics,
5th EditionChapter 28, Game Theory
© 2006 Tradução, Adaptação e Confecção Sergio Da Silva. All rights reserved
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