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Teoria dos Jogos

Prof. Maurício Bugarin ECO/UnB

2015-II

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

•  Capítulo 2: Jogos Estáticos com Informação Completa (Cap 1 do Gibbons)

•  Capítulo 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta (Cap. 3 do Gibbons) –  1. Forma Normal e o Conceito de Equlíbrio de Nash Bayesiano

•  (1. A, B, C) –  2. Aplicações

•  Duopólio de Cournot •  Provisão Voluntária de Controle de Mal Público •  Leilões selados de primeiro preço •  Leilões selados de segundo preço •  Guerra de Nervos com informação incompleta

Cap. 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta

Roteiro

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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Definição-Um jogo bayesiano na forma normal (ou estratégica) é:

( ) ( ) ( )( )NiiNiiNii uApTNJ ∈∈∈= ,,,,

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Exemplo-Leilão selado de primeiro preço

T1=T2=[0, ω] =V1=V2

Valores v1 e v2 são duas variáveis aleatórias independentes e distribuídas entre 0 e ω:

F1(v)=prob(v1≤v); F2(v)=prob(v2≤v)

fi(v)=Fʹ′i(v), i=1,2, p(v1, v2)=p1(v1).p2(v2)=f1(v1).f2(v2)

A1=[0, ω]=L1; A2=[0, ω]=L2: lances

li: Vi→Li uma estratégia de i

J=(2; T1,T2; p; A1,A2; u1, u2)

3

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Exemplo-Leilão selado de primeiro preço

( ) ( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

=−

>−

=

)()(se0

)()(se2

)()()(se)(

,,)(),(

2211

2211111

2211111

2122111

vlvl

vlvlvlvvlvlvlv

vvvlvlu

( ) ( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

=−

<−

=

)()(se0

)()(se2

)()()(se)(

,,)(),(

2211

2211222

2211222

2122112

vlvl

vlvlvlvvlvlvlv

vvvlvlu

Utilidade ex-post

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Leilão selado de primeiro preço

( ) ( ) ( ) iiiiiTt

iiiiiii dttatsuttptsaUii

−−−

∈

−− ∫−−

= ;),(|;,

( )( )( )( )⎩

⎨⎧

>

<=

122

12222 se0

se1λ

λδ

vlvl

vl ( )( )( )( )⎩

⎨⎧

≠

==

122

12222 se0

se1λ

λδ

vlvl

vl

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 222

1

02222

1122111211 10

2;, dvvfvlvlvvlvvlU ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−= δδ

λδλλ

Utilidade ínterim:

= v1 −λ1( )δ l2 v2( )( ) f2 v2( )dv2 +v1 −λ12

"

#$

%

&'δ l2 v2( )( )

0

1

∫ f2 v2( )dv20

1

∫

= v1 −λ1( ) δ l2 v2( )( ) f2 v2( )dv2 +12v1 −λ1( ) δ l2 v2( )( )

0

1

∫ f2 v2( )dv20

1

∫

4

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Leilão selado de primeiro preço

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 222

1

02222

1122111211 10

2;, dvvfvlvlvvlvvlU ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−= δδ

λδλλ

Utilidade ínterim:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

1

0222

1

022

112222211 2

dvvfvlvdvvfvlv δλ

δλ

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫−+−1

0222

1

022112222211 2

1 dvvfvlvdvvfvlv δλδλ

= v1 −λ1( )Pr λ1 > l2 (v2 ){ }+12v1 −λ1( )Pr λ1 = l2 (v2 ){ }

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Leilão selado de primeiro preço

Equilíbrio de Nash bayesiano.

Um equilíbrio da Nash bayesiano desse jogo é um par de estratégias (l1, l2), em que li: Vi→[0, ω], satisfazendo:

(i) Para cada realização do tipo do agente 1, v1∈V1, l1(v1) é a solução (λ1) do seguinte problema de maximização:

( ) { } ( ) { })(Pr21)(Pr 2211122111max

1

vlvvlv =−+>− λλλλλ

(ii) Para cada realização do tipo do agente 2, v2∈V2, l2(v2) é a solução (λ2) do seguinte problema de maximização:

( ) { } ( ) { })(Pr21)(Pr 1122211222max

2

vlvvlv =−+>− λλλλλ

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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Simplificações e resolução.

(a) Dada a simetria do jogo com relação aos jogadores, procuramos um equilíbrio simétrico, ou seja, um equilíbrio no qual os dois jogadores escolhem a mesmo função estratégia: l1=l2=l.

(b) Supomos que quanto maior for o valor vi, ou seja, quanto mais valor o jogador i atribuir ao objeto, maior será seu lance em equilíbrio, ou seja, a função l é estritamente crescente. Além disso, supomos que l é diferenciável.

Leilão selado de primeiro preço

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Simplificações e resolução.

(c) Como o lance l é estritamente crescente, dado o valor λi, i=1,2:

Pr[l2(v2)=λ1]= Pr[l1(v1)=λ2]=0, qualquer que seja a realização de vi.

λi

Aj

0 ω

ω

l- 1(λi) Vj

l

Figura 1: Estratégia l Estritamente Crescente

Leilão selado de primeiro preço

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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

( ) { } ( ) { })(Pr21)(Pr 2211122111max

1

vlvvlv =−+>− λλλλλ

( ) { })(Pr 2111max1

vlv >− λλλ

( ) { })(Pr 1222max2

vlv >− λλλ

λ1max v1 −λ1( )F l−1(λ1)( )

λ2max v2 −λ2( )F l−1(λ2 )( )

Leilão selado de primeiro preço

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

−F l−1(λ1)( )+ v1 −λ1( ) "F l−1(λ1)( ) l−1( )"(λ1) = 0

−F l−1 l(v1)( )( )+ v1 − l(v1)( ) "F l−1 l(v1)( )( ) l−1( )"(l(v1)) = 0

( ) ( ) 1111 )())(( −− ʹ′=ʹ′ vlvll

Leilão selado de primeiro preço

λ1max v1 −λ1( )F l−1(λ1)( )

−F v1( )+ v1 − l(v1)( ) "F v1( ) l−1( )"(l(v1)) = 0

−F v1( )+ v1 − l(v1)( )"F v1( )"l (v1)

= 0

l(v1)

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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Leilão selado de primeiro preço

−F v1( )+ v1 − l(v1)( )"F v1( )"l (v1)

= 0

−F v1( ) "l (v1)+ v1 "F v1( )− l(v1 "F v1( ) = 0

v1 !F v1( ) = F v1( ) !l (v1)+ l v1( ) !F v1( )

vf v( ) =0

v1

∫ F v1( )l v1( )

l v1( ) = 1F v1( )

vf v( )dv =0

v1

∫ E v2 | v2 < v1[ ]

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

v12+ k

2)( 11

vvl =

Leilão selado de primeiro preço

l v1( ) = 1F v1( )

vf v( )dv =0

v1

∫ E v2 | v2 < v1[ ]

Distribuição uniforme em [0,1]

F v1( ) = v1; f v( ) =1

l v1( ) = 1v1

vdv+ k =0

v1

∫

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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Verificação: Fixe

2)( 11

vvl =

( )22

22vvl =

( ) ( ) 11111211 2)(max

1

λλλλλ

−=− − vlv

Conclusão: Num equilíbrio de Nash bayesiano simétrico, temos, para i=1,2:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

→

2)(

]1,0[]1,0[: i

iiii v

vlvl!

Leilão selado de primeiro preço

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Propriedades

Eficiente de Pareto

Não dá ao leiloeiro a maior receita possível com informação completa

Maior receita possível:

Receita esperada:

Mas é possível maior receita com informação incompleta?

Leilão selado de primeiro preço

12

1

0 01

1

2 dvdvvv

∫ ∫

12

1

0 0

11

22 dvdvvv∫ ∫

1

1

0 021

1

2 dvdvvv

∫ ∫= 11

1

012 dvvv∫=

1

0

31

32 ⎥

⎦

⎤=v

32

=

1

1

0 02

11

22 dvdvv v

∫ ∫= 11

1

01 dvvv∫=

1

0

31

3 ⎥⎦

⎤=v

31

=

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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

T1=T2=[0,1] =V1=V2

Valores v1 e v2 são duas variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas entre 0 e 1:

F1(v)=prob(v1≤v)=v; F2(v)=prob(v2≤v)=v

fi(v)=Fʹ′i(v)=1, i=1,2

p(v1, v2)=p1(v1).p2(v2)=f1(v1).f2(v2)= 1

A1=[0,1]=L1; A2=[0,1]=L2: lances

li: Vi→Li uma estratégia de i

Leilão selado de segundo preço

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

( ) ( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

=−

>−

=

)()(se0

)()(se2

)()()(se)(

,,)(),(

2211

2211111

2211111

2122111

vlvl

vlvlvlvvlvlvlv

vvvlvlu

( ) ( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

=−

>−

=

)()(se0

)()(se2

)()()(se)(

,,)(),(

2211

2211221

2211221

2122111

vlvl

vlvlvlvvlvlvlv

vvvlvlu

Leilão selado de primeiro preço

Leilão selado de segundo preço

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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Estratégia (fracamente) dominante: li(vi)=vi

Caso 1. Suponha que v1>l2(v2)

Caso 2. Suponha que v1<l2(v2)

Caso 3. Suponha que v1=l2(v2)

Equilíbrio de Nash: l1(v1)=v1, l2(v2)=v2

Leilão selado de segundo preço

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Observações:

Equilíbrio forte: independe da distribuição dos tipos, valores não precisam ser privados

Lances mais agressivos

Mas regra de pagamento mais “leve”

Resultado: Retorno esperado para o leiloeiro?

Leilão selado de segundo preço

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1

0 02

1

2 dvdvvv

∫ ∫ 1

1

0 0

22

1

22 dvv

v

∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦

⎤= 1

1

0

21 dvv∫=

1

0

31

3 ⎥⎦

⎤=v

31

=

11

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Receita esperada para o leiloeiro?

Leilão selado de segundo preço

12

1

0 02

1

2 dvdvvv

∫ ∫ 1

1

0 0

22

1

22 dvv

v

∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦

⎤= 1

1

0

21 dvv∫=

1

0

31

3 ⎥⎦

⎤=v

31

=

Leilão selado de primeiro preço

12

1

0 0

11

22 dvdvvv∫ ∫ 1

1

0 02

11

22 dvdvv v

∫ ∫= 11

1

01 dvvv∫=

1

0

31

3 ⎥⎦

⎤=v

31

=

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Receita esperada para o leiloeiro?

Resultado geral: Teorema de equivalência de receitas

Suponha que os valores dos jogadores sejam independentes e identicamente distribuídos num mesmo intervalo e que os jogadores são neutros com relação ao risco. Então qualquer ENB simétrico estritamente crescente de um leilão padrão em que o jogador de tipo 0 tem pagamento esperado 0 leva ao mesmo retorno esperado para o leiloeiro.

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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

T1=T2=[0,+∞) =V1=V2

Valores v1 e v2 são duas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas entre 0 e +∞:

F1(v)=prob(v1≤v)=1-e-v=F2(v)=prob(v2≤v)

fi(v)=Fʹ′i(v)=e-v, i=1,2,

Custo da espera: c reais por unidade de tempo

A1=[0 ,+∞)=L1; A2=[0,+∞)=L2: lances

si: Vi→Li uma estratégia de i

J=(2; T1,T2; p; A1,A2; u1, u2)

Guerra de Nervos com informação incompleta

( ) ( )2121,

vvevvp +−=

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

J=(2; T1,T2; p; A1,A2; u1, u2)

Guerra de Nervos com informação incompleta

u1 a1,a2( ), v1,v2( )( ) =

v1 − ca2 se a1 > a2v12− ca1 se a1 = a2

−ca1 se a1 < a2

"

#

$$

%

$$

u2 a1,a2( ), v1,v2( )( ) =

v2 − ca1 se a1 < a2v22− ca2 se a1 = a2

−ca2 se a1 > a2

"

#

$$

%

$$

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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

J=(2; T1,T2; p; A1,A2; u1, u2)

Guerra de Nervos com informação incompleta

s(v2)<λ1 ⇔ v2<s- 1(λ1)

( )( )

( )22122

021 )()()(

11

11

dvvfcdvvfvcsvs

s

∫∫∞+

−

−

−+−λ

λ

λ

( ) ( )

( )22122

0222

01

11

11

11

)()()()( dvvfcdvvfvscdvvfvs

ss

∫∫∫+∞

−

−−

−−λ

λλ

λ

( )( )( )

( )( )( )11

1220

211

1 1)()(1

1

λλλλ

−− −−− ∫−

sFcdvvfvscsFvs

U1(λ1, s2; v1)=

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )11

111

11

1 10 λλλλ −−− −−−− sFcSFsSFcsFv

Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

J=(2; T1,T2; p; A1,A2; u1, u2)

Guerra de Nervos com informação incompleta

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )11

111

11

1 10 λλλλ −−− −−−− sFcSFsSFcsFv

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 011

11

111

11

11

11

11

11

1 =ʹ′

++−ʹ′

−ʹ′ −−−−−−−− λλλλλλλλλ ssfcscFcssfscsssfv

( )( ) 111 λλ =−ss ( ) ( )

( )( )1111 1

λλ

−−

ʹ′=

ʹ′

sss

( )( ) ( )( )( ) ( )( )1111

11

1 1 λλλ −−− =−ʹ′ sfvcsFss

( ) ( )( )111

1 11

vFvfv

cvs

−=ʹ′ ( ) ( )

( )dvvFvvf

cvs

v

∫ −=

1

01 1

1

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Aula 11 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

F1(v)=prob(v1≤v)=1-e-v=F2(v)=prob(v2≤v)

fi(v)=Fʹ′i(v)=e-v, i=1,2

Propriedades:

-  Quem dá mais valor ao objeto vence

-  Mas há espera => ineficiência

-  É possível que, ex-post, o vencedor tenha utilidade negativa!

-  Justificativa: “Já esperei até aqui, vale a pena esperar um pouco mais…”

Guerra de Nervos com informação incompleta

( ) ( )( )111

1 11

vFvfv

cvs

−=ʹ′

( )2

1 2vc

vs =

( ) ( )( )dvvFvvf

cvs

v

∫ −=

1

01 1

1