Equivalentes Thévenin, Equivalentes Adjuntos e
Equações de Trânsito de Energia
Daniel Filipe Cabral Maré da Silva Dias
Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Júri
Presidente: Prof. Doutor Paulo José da Costa Branco
Orientador: Prof. Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus
Co-Orientador: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira
Vogal: Prof. Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro
Novembro de 2009
i
Agradecimentos
Agradeço à Professora Doutora Célia de Jesus e ao Professor Doutor Luís Marcelino
Ferreira por me terem confiado este trabalho e pela orientação e ajuda disponibilizada ao longo
da realização do mesmo.
Um obrigado especial à minha família, principalmente aos meus pais e irmão, pelo
apoio incondicional transmitido ao longo da minha vida, bem como por proporcionarem todas
as condições necessárias para que os meus objectivos pessoais e académicos pudessem ser
atingidos.
A todos os meus amigos (vocês sabem quem são) pela paciência, amizade, ajuda e
boa disposição que sempre demonstraram, pois tiveram e continuarão a ter um papel
importantíssimo na minha vida.
Por último, agradeço igualmente a todas as pessoas que, directa ou indirectamente,
tornaram esta “viagem académica” inesquecível (bons e maus momentos), que culminou na
realização deste trabalho. Acreditem que não teria tido metade da piada sem vocês9
ii
(Página em branco)
iii
Resumo
O trabalho começa por apresentar um estudo teórico efectuado sobre o trânsito de
energia, estabilidade de tensão, o teorema de Thévenin e o teorema de Tellegen aplicado às
redes adjuntas. São apresentados alguns métodos existentes sobre esses temas, servindo
como base bibliográfica.
De seguida segue-se a abordagem aos métodos de análise utilizados na dissertação,
com especial atenção aos dois modelos de equivalentes de Thévenin, onde cada um
representa uma situação de funcionamento (situação de curto-circuito e situação de
funcionamento normal de um sistema de energia eléctrica), e correspondente cálculo de tensão
aos seus terminais. Para além destes, também são apresentados o modo de calcular o trânsito
de energia (programa MATPOWER) e o método escolhido para indicar o colapso de tensão
(���������). São efectuados dois tipos de perturbação através de simulação: de carga num
barramento e num ramo. O primeiro é testado em três sistemas de energia eléctrica (3, 6 e 39
barramentos), de modo a confrontar as duas situações de funcionamentos e os seus
respectivos modelos de equivalentes Thévenin com a solução do trânsito de energia escolhido
e obter conclusões sobre os mesmos. O segundo é efectuado apenas no sistema de 39
barramentos, por ser o mais complexo. Essas perturbações acontecem nos barramentos e
ramos críticos de cada sistema, de modo a obter resultados mais precisos.
Palavras-chave: Estabilidade de Tensão, Sistemas de Energia Eléctrica, Teorema de
Tellegen, Teorema de Thévenin, Trânsito de Energia.
iv
(Página em branco)
v
Abstract
The work begins with a theoretical study about power flow, voltage stability, Thevenin’s
theorem and Tellegen’s theorem applied to adjoint networks. Some existing methods are
presented on these issues, serving as a bibliographic database.
Next follows the approach of the methods of analysis used in this dissertation, with
special attention to the two models of Thevenin equivalent, where each one represents an
operating situation (situation of short circuit and normal operating conditions of an electrical
power system), and corresponding calculation of voltage at its terminals. In addition to these, it
is also shown how to calculate the power flow (software MATPOWER) and the method chosen
to indicate the voltage collapse (���������). There are two types of disturbances carried out by simulation: at a load bus and at a
branch. The first is tested in three electrical power systems (3, 6 and 39 buses), in order to
compare the two operation situations and their respective equivalent Thevenin models with the
solution of the chosen power flow and obtain conclusions about them. The second is analyzed
only in the 39 bus system, because it is the most complex one. These disturbances occur on
the critical buses and branches of each system, in order to obtain more accurate results.
Keywords: Electrical Power Systems, Power Flow, Tellegen’s Theorem, Thevenin’s Theorem,
Voltage Stability.
vi
(Página em branco)
vii
Índice
Agradecimentos ................................................................................................................ i
Resumo ............................................................................................................................ iii
Abstract ............................................................................................................................. v
Índice .............................................................................................................................. vii
Lista de Figuras .............................................................................................................. xi
Lista de Tabelas .............................................................................................................. xv
Lista de Símbolos ......................................................................................................... xvii
Lista de Abreviaturas .................................................................................................... xxi
1. Introdução ................................................................................................................ 1
1.1 Motivação .................................................................................................................................. 1
1.2 Objectivos .................................................................................................................................. 2
1.3 Estrutura da Dissertação .......................................................................................................... 3
2. Princípios Fundamentais Teóricos .......................................................................... 5
2.1 Trânsito de Energia .................................................................................................................. 5
2.2 Estabilidade de Tensão ............................................................................................................. 7
2.2.1 Métodos existentes ................................................................................................................. 7
2.3 Teorema de Thévenin ............................................................................................................. 10
2.3.1 Métodos existentes ............................................................................................................... 11
2.4 Teorema de Tellegen e Redes Adjuntas ................................................................................ 15
2.4.1 Cálculo de sensibilidades de tensão ...................................................................................... 15
2.4.2 Representação simbólica da rede adjunta ............................................................................. 17
3. Modelos de Análise ................................................................................................. 19
3.1 Trânsito de Energia ................................................................................................................ 19
3.1.1 Método de Newton-Raphson ................................................................................................ 20
3.1.2 Descrição do algoritmo de leitura ......................................................................................... 22
3.2 Indicador de Proximidade de Colapso de Tensão ................................................................ 22
3.2.1 Descrição do algoritmo ......................................................................................................... 25
3.3 Modelo 1 – Equivalente Thévenin para a situação de curto-circuito ................................. 26
viii
3.3.1 Impedância equivalente de carga .......................................................................................... 27
3.3.2 Análise computacional ......................................................................................................... 27
3.4 Modelo 2 – Equivalente Thévenin para a situação de funcionamento normal .................. 28
3.4.1 Descrição do algoritmo de injecção de corrente ................................................................... 30
3.5 Cálculo da Tensão entre os Terminais dos Equivalentes Thévenin .................................... 32
3.5.1 Descrição dos algoritmos ...................................................................................................... 33
4. Estudo de Perturbações .......................................................................................... 37
4.1 Objectivos ................................................................................................................................ 37
4.2 Análise inicial .......................................................................................................................... 38
4.2.1 Sistema de 3 barramentos ..................................................................................................... 38
4.2.2 Sistema de 6 barramentos ..................................................................................................... 40
4.2.3 Sistema de 39 barramentos ................................................................................................... 42
4.3 Barramentos e ramos críticos ................................................................................................ 47
4.3.1 Sistema de 3 barramentos ..................................................................................................... 47
4.3.2 Sistema de 6 barramentos ..................................................................................................... 48
4.3.3 Sistema de 39 barramentos ................................................................................................... 49
4.4 Perturbações de Carga num Barramento ............................................................................. 51
4.4.1 Sistema de 3 barramentos ..................................................................................................... 51
4.4.2 Sistema de 6 barramentos ..................................................................................................... 56
4.4.3 Sistema de 39 barramentos ................................................................................................... 61
4.5 Perturbações num Ramo ........................................................................................................ 66
4.5.1 Cálculo dos equivalentes de Thévenin ...................................................................................... 66
4.5.2 Curto-circuito entre os terminais do equivalente ...................................................................... 66
4.5.3 Circuito aberto entre os terminais do equivalente ..................................................................... 68
4.6 Conclusões ............................................................................................................................... 69
5. Conclusão ............................................................................................................... 71
5.1 Síntese de Resultados .............................................................................................................. 71
5.2 Utilidade dos Modelos Equivalentes ...................................................................................... 73
5.3 Perspectivas de Trabalho Futuro .......................................................................................... 73
Bibliografia .................................................................................................................... 75
Anexos ............................................................................................................................ 77
Anexo A: Sistema de 3 barramentos .................................................................................................. 77
A.1 Dados iniciais do sistema...................................................................................................... 77
A.2 Circuitos OrCAD PSpice ...................................................................................................... 77
ix
A.3 Injecção de corrente .............................................................................................................. 79
Anexo B: Sistema de 6 barramentos ................................................................................................... 80
B.1 Dados iniciais do sistema...................................................................................................... 80
B.2 Circuitos OrCAD PSpice ...................................................................................................... 81
B.3 Injecção de corrente .............................................................................................................. 82
Anexo C: Sistema de 39 barramentos ................................................................................................ 83
C.1 Dados iniciais do sistema...................................................................................................... 83
C.2 Circuitos OrCAD PSpice ...................................................................................................... 85
C.3 Injecção de corrente .............................................................................................................. 90
x
(Página em branco)
xi
Lista de Figuras
FIGURA 2.1 – ESQUEMA UNIFILAR DE UM BARRAMENTO GENÉRICO (SISTEMA COM � BARRAMENTOS). ........ 6
FIGURA 2.2 – CURVAS: A) P-V; B) Q-V. ........................................................................................................ 8
FIGURA 2.3 – REPRESENTAÇÃO DE UMA REDE COM 2 BARRAMENTOS. .......................................................... 8
FIGURA 2.4 – REPRESENTAÇÃO: A) BARRAMENTO DE CARGA DO SISTEMA; B) REDE �; C) REDE ADJUNTA
�. ......................................................................................................................................................... 9
FIGURA 2.5 – ESQUEMA EQUIVALENTE DE THÉVENIN................................................................................. 10
FIGURA 2.6 – APLICAÇÃO DO TEOREMA DA SOBREPOSIÇÃO NO CÁLCULO DAS CORRENTES DE CURTO-
CIRCUITO. ........................................................................................................................................... 11
FIGURA 2.7 – ESQUEMA EQUIVALENTE DE THÉVENIN APLICADO AO ESTADO 2 DO TEOREMA DA
SOBREPOSIÇÃO, PARA CÁLCULO DAS CORRENTES DE CURTO-CIRCUITO. ............................................. 11
FIGURA 2.8 – FASES DO PROCESSO DO CÁLCULO DO EQUIVALENTE DE THÉVENIN NO BARRAMENTO 16: A)
SUBSISTEMA UNIFILAR; B) SUBSISTEMA MONOFÁSICO EQUIVALENTE; C) ESQUEMA EQUIVALENTE EM
� DO RAMO ENTRE OS BARRAMENTOS 16 - 17. .................................................................................... 13
FIGURA 2.9 – ESQUEMA EQUIVALENTE DE 2 BARRAMENTOS. ...................................................................... 14
FIGURA 2.10 – REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA DOS ELEMENTOS DA REDE ADJUNTA: A) ADMITÂNCIA � ; B)
FONTE DE CORRENTE DEPENDENTE; C) FONTE DE TENSÃO DEPENDENTE; D) CURTO-CIRCUITO; E) FONTE
DE CORRENTE INDEPENDENTE UNITÁRIA. ........................................................................................... 17
FIGURA 2.11 – REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA DE 3 BARRAMENTOS COM INDICAÇÃO DOS BARRAMENTOS E
RAMOS. ............................................................................................................................................... 18
FIGURA 2.12 – REPRESENTAÇÃO EM CIRCUITO DA REDE ADJUNTA PARA O CÁLCULO DE SENSIBILIDADES NO
BARRAMENTO 3. ................................................................................................................................. 18
FIGURA 3.1 – FLUXOGRAMA DO PROCESSO ITERATIVO PARA O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. ............... 21
FIGURA 3.2 – FLUXOGRAMA DO FICHEIRO DE LEITURA DOS DADOS OBTIDOS PELO MATPOWER. ............ 22
FIGURA 3.3 – LINHA DE TRANSMISSÃO TÍPICA DE UM SISTEMA ELÉCTRICO. ................................................ 23
FIGURA 3.4 – LINHA DE TRANSMISSÃO COM OS PARÂMETROS. .................................................................... 23
FIGURA 3.5 – FLUXOGRAMA DO FICHEIRO DE CÁLCULO DO ���������.................................................... 25
FIGURA 3.6 – DISPOSITIVO VAC. ................................................................................................................ 27
FIGURA 3.7 – DISPOSITIVO VPRINT1. ........................................................................................................ 28
FIGURA 3.8 – DISPOSITIVO IPRINT. ........................................................................................................... 28
FIGURA 3.9 – RELAÇÃO CORRENTE/TENSÃO PARA UM EXEMPLO DE UMA RESISTÊNCIA DE 2�, QUE
REPRESENTA A LEI DE OHM. ............................................................................................................... 29
FIGURA 3.10 – INJECÇÃO DE CORRENTE NO VALOR DE 1 �: A) NO BARRAMENTO �; B) ENTRE OS
BARRAMENTOS � E �. ........................................................................................................................... 29
FIGURA 3.11 – FLUXOGRAMA SIMPLIFICADO DO FICHEIRO QUE CALCULA OS NOVOS VALORES DE POTÊNCIA
DE CARGA ENTRE O BARRAMENTO � E A TERRA. .................................................................................. 30
FIGURA 3.12 – FLUXOGRAMA SIMPLIFICADO DO FICHEIRO QUE CALCULA OS NOVOS VALORES DE POTÊNCIA
DE CARGA ENTRE OS BARRAMENTOS � E �. .......................................................................................... 31
xii
FIGURA 3.13 – FLUXOGRAMA DE UM CASO GENÉRICO DE ANÁLISE DE UMA PEQUENA VARIAÇÃO NAS
POTÊNCIAS DE CARGA. ........................................................................................................................ 31
FIGURA 3.14 – CIRCUITO SIMPLIFICADO COM OS PARÂMETROS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E UMA
IMPEDÂNCIA DE CARGA. ..................................................................................................................... 32
FIGURA 3.15 – O PARALELO ENTRE AS CARGAS �0 E � ! CORRESPONDE À CARGA ��. ............................. 32
FIGURA 3.16 – FLUXOGRAMA DO CÁLCULO DOS PARÂMETROS EQUIVALENTES DE THÉVENIN. ................... 34
FIGURA 3.17 – FLUXOGRAMA DO FICHEIRO QUE CALCULA A TENSÃO � ! APLICADA A UM BARRAMENTO. 34
FIGURA 3.18 – FLUXOGRAMA DO FICHEIRO QUE CALCULA A TENSÃO � ! APLICADA A UM RAMO. ............ 35
FIGURA 4.1 – ESQUEMA UNIFILAR DO SISTEMA DE 3 BARRAMENTOS. ......................................................... 39
FIGURA 4.2 – ESQUEMA UNIFILAR DO SISTEMA DE 6 BARRAMENTOS. ......................................................... 40
FIGURA 4.3 – ESQUEMA UNIFILAR DO SISTEMA DE 39 BARRAMENTOS. ....................................................... 43
FIGURA 4.4 – VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �3PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 3 E COM POTÊNCIA REACTIVA CONSTANTE. ............................... 52
FIGURA 4.5 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �3PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 3 E COM POTÊNCIA REACTIVA CONSTANTE. ............................... 52
FIGURA 4.6 – VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �3PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 3 E COM POTÊNCIA ACTIVA CONSTANTE. ............................... 53
FIGURA 4.7 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �3PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 3 E COM POTÊNCIA ACTIVA CONSTANTE. ............................... 53
FIGURA 4.8 - VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �3PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DAS
POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 3. ......................................................................... 54
FIGURA 4.9 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �3PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DAS
POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 3. ......................................................................... 55
FIGURA 4.10 – PERCENTAGEM DE ERRO DOS DOIS MODELOS NO CÁLCULO DO MÓDULO DA TENSÃO �3. .... 55
FIGURA 4.11 – VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �5PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 5 E COM POTÊNCIA REACTIVA CONSTANTE. ............................... 57
FIGURA 4.12 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �5PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 5 E COM POTÊNCIA REACTIVA CONSTANTE. ............................... 57
FIGURA 4.13 – VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �5PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 5 E COM POTÊNCIA ACTIVA CONSTANTE. ............................... 58
FIGURA 4.14 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �5PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 5 E COM POTÊNCIA ACTIVA CONSTANTE. ............................... 58
FIGURA 4.15 – VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �5PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DAS
POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 5. ......................................................................... 59
FIGURA 4.16 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �5PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DAS
POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 5. ......................................................................... 60
FIGURA 4.17 – PERCENTAGEM DE ERRO DOS DOIS MODELOS NO CÁLCULO DO MÓDULO DA TENSÃO �5. .... 60
FIGURA 4.18 – VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �12PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 12 E COM POTÊNCIA REACTIVA CONSTANTE. ............................. 62
xiii
FIGURA 4.19 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �12PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 12 E COM POTÊNCIA REACTIVA CONSTANTE. ............................. 62
FIGURA 4.20 – VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �12PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 12 E COM POTÊNCIA ACTIVA CONSTANTE. ............................. 63
FIGURA 4.21 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �12PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DA
POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 12 E COM POTÊNCIA ACTIVA CONSTANTE. ............................. 63
FIGURA 4.22 – VALORES DOS MÓDULOS DA TENSÃO �12PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO DAS
POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 12. ....................................................................... 64
FIGURA 4.23 – VALORES DOS ARGUMENTOS DA TENSÃO �12PARA OS TRÊS MODELOS COM A VARIAÇÃO
DAS POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 12. ................................................................ 65
FIGURA 4.24 – PERCENTAGEM DE ERRO DOS DOIS MODELOS NO CÁLCULO DO MÓDULO DA TENSÃO �12. .. 65
FIGURA 4.25 – VARIAÇÃO DE � ! DE MODO A QUE O RAMO 35 TENDA PARA CURTO-CIRCUITO USANDO: A)
MODELO 1; B) MODELO 2. .................................................................................................................. 67
FIGURA 4.26 – VARIAÇÃO DE � ! DE MODO A QUE O RAMO 35 TENDA PARA CURTO-CIRCUITO USANDO: A)
MODELO 1; B) MODELO 2. .................................................................................................................. 67
FIGURA 4.27 – VARIAÇÃO DE � ! DE MODO A QUE O RAMO 35 TENDA PARA CIRCUITO ABERTO USANDO: A)
MODELO 1; B) MODELO 2. .................................................................................................................. 68
FIGURA 4.28 – VARIAÇÃO DE � ! DE MODO A QUE O RAMO 35 TENDA PARA CIRCUITO ABERTO USANDO: A)
MODELO 1; B) MODELO 2. .................................................................................................................. 68
FIGURA ANEXO.1 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE �$%�&��'� NO BARRAMENTO 3. 78
FIGURA ANEXO.2 - CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE ���&��'� NO BARRAMENTO 3. .... 78
FIGURA ANEXO.3 – INJECÇÃO DE CORRENTE NO VALOR DE 1 � NO BARRAMENTO 3. .................................. 79
FIGURA ANEXO.4 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE �$%�&��'� NO BARRAMENTO 5. 81
FIGURA ANEXO.5 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE ���&��'� NO BARRAMENTO 5. ... 82
FIGURA ANEXO.6 – INJECÇÃO DE CORRENTE NO VALOR DE 1 � NO BARRAMENTO 5. .................................. 82
FIGURA ANEXO.7 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE �$%�&��'� NO BARRAMENTO 12.
........................................................................................................................................................... 86
FIGURA ANEXO.8 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR DE ���&��'� NO BARRAMENTO 12. . 87
FIGURA ANEXO.9 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR �$%�&��'� ENTRE OS BARRAMENTOS
12 E 11. ............................................................................................................................................... 88
FIGURA ANEXO.10 – CIRCUITO PSPICE PARA A OBTENÇÃO DO VALOR ���&��'� ENTRE OS BARRAMENTOS
12 E 11. ............................................................................................................................................... 89
FIGURA ANEXO.11 – INJECÇÃO DE CORRENTE NO VALOR DE 1 � NO BARRAMENTO 12. .............................. 90
FIGURA ANEXO.12 – INJECÇÃO DE CORRENTE ENTRE OS BARRAMENTOS 12 E 11. ...................................... 90
xiv
(Página em branco)
xv
Lista de Tabelas
TABELA 4-1 – RESULTADOS DOS BARRAMENTOS DO SISTEMA. ................................................................... 39
TABELA 4-2 – RESULTADOS DOS RAMOS DO SISTEMA. ................................................................................ 39
TABELA 4-3 – CORRENTES INJECTADAS NOS BARRAMENTOS. ..................................................................... 40
TABELA 4-4 – CORRENTES TRANSITADAS NOS RAMOS. ............................................................................... 40
TABELA 4-5 – RESULTADOS DOS BARRAMENTOS DO SISTEMA. ................................................................... 41
TABELA 4-6 – RESULTADOS DOS RAMOS DO SISTEMA. ................................................................................ 41
TABELA 4-7 – CORRENTES INJECTADAS NOS BARRAMENTOS. ..................................................................... 42
TABELA 4-8 – CORRENTES TRANSITADAS NOS RAMOS. ............................................................................... 42
TABELA 4-9 – RESULTADOS DOS BARRAMENTOS DO SISTEMA. ................................................................... 43
TABELA 4-10 – RESULTADOS DOS RAMOS DO SISTEMA. .............................................................................. 44
TABELA 4-11 – CORRENTES INJECTADAS NOS BARRAMENTOS. ................................................................... 46
TABELA 4-12 – CORRENTES TRANSITADAS NOS RAMOS. ............................................................................. 46
TABELA 4-13 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NOS BARRAMENTOS PARA O CASO INICIAL. ..................... 48
TABELA 4-14 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NO RAMO 2. ..................................................................... 48
TABELA 4-15 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NOS BARRAMENTOS PARA O CASO INICIAL. ..................... 48
TABELA 4-16 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NO RAMO 3. ..................................................................... 49
TABELA 4-17 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NOS BARRAMENTOS PARA O CASO INICIAL. ..................... 49
TABELA 4-18 – INDICADORES DE ESTABILIDADE NO RAMO 35. ................................................................... 50
TABELA 4-19 – VARIAÇÃO DA POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 3, COM POTÊNCIA REACTIVA
CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 51
TABELA 4-20 – VARIAÇÃO DA POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 3, COM POTÊNCIA ACTIVA
CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 53
TABELA 4-21 – VARIAÇÃO DAS POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 3. ................................ 54
TABELA 4-22 – VARIAÇÃO DA POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 5, COM POTÊNCIA REACTIVA
CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 56
TABELA 4-23 – VARIAÇÃO DA POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 5, COM POTÊNCIA ACTIVA
CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 57
TABELA 4-24 – VARIAÇÃO DAS POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 5. ................................ 59
TABELA 4-25 – VARIAÇÃO DA POTÊNCIA ACTIVA NO BARRAMENTO 12, COM POTÊNCIA REACTIVA
CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 61
TABELA 4-26 – VARIAÇÃO DA POTÊNCIA REACTIVA NO BARRAMENTO 12, COM POTÊNCIA ACTIVA
CONSTANTE. ....................................................................................................................................... 63
TABELA 4-27 – VARIAÇÃO DAS POTÊNCIAS ACTIVA E REACTIVA NO BARRAMENTO 12. .............................. 64
TABELA ANEXO-1 – DADOS DO CIRCUITO. .................................................................................................. 77
TABELA ANEXO-2 – DADOS DO CIRCUITO. .................................................................................................. 81
TABELA ANEXO-3 – DADOS DO CIRCUITO. .................................................................................................. 85
xvi
(Página em branco)
xvii
Lista de Símbolos
( Símbolo que denota a derivada da grandeza cujo símbolo se lhe segue
∆ Símbolo que denota variação ou perturbação da grandeza cujo símbolo se lhe segue
^ Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes a �+ e �+,
~ Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes a �. e �.,
∗ Símbolo que denota conjugado da grandeza cujo símbolo lhe é anterior
′ Símbolo que denota transposto da grandeza cujo símbolo lhe é anterior
1 Erro do modelo
2 Frequência angular
3 Argumento
34 Argumento no barramento � 35 Argumento no barramento � Ф Argumento da impedância de carga �
745 Susceptância do barramento � para � � Capacitância
845 Condutância do barramento � para � � Vector das correntes nos ramos
� Corrente
�9: Corrente entre os terminais e !
�: Corrente de base
�;; Corrente de curto-circuito
� Corrente de emissão
�4 Corrente injectada no barramento � �45 Corrente transitada do barramento � para � �5 Corrente injectada no barramento � �< Corrente no ramo para a rede �
�=<, Corrente no ramo para a rede �+,
�><, Corrente no ramo para a rede �.,
�? Corrente de Norton
� Corrente de recepção
� Unidade imaginária
@< Matriz Jacobiano
Índice do ramo que se está a analisar
AB Conjunto de índices dos ramos correspondentes a geradores
AC Conjunto de índices dos ramos correspondentes a cargas activas
A? Conjunto de índices dos ramos da rede passiva
AD Índice do ramo que corresponde ao gerador de referência
xviii
E Indutância
F Índice do ramo que sofre a perturbação
� Rede original (usualmente a rede do sistema de energia eléctrica)
�+ Rede adjunta da rede �
�+, Rede adjunta de índice F da rede �
�., Rede adjunta de índice F da rede �
G Conjunto de índices dos ramos da rede cuja tensão se quer observar
�. I. Por unidade
� Potência activa
�J Potência activa de carga
� Potência activa de emissão
�B Potência activa de geração
�< Potência activa correspondente ao ramo
�� Potência activa de perdas
� Potência activa de recepção
K Potência reactiva
KJ Potência reactiva de carga
K Potência reactiva de emissão
KB Potência reactiva de geração
K� Potência reactiva de perdas
K Potência reactiva de recepção
L Resistência
& Potência aparente
&: Potência (aparente) de base
&; Potência (aparente) de carga
&JM Potência (aparente) de carga inicial
&B Potência (aparente) de geração
&45 Potência (aparente) transitada do barramento � para � &< Potência complexa correspondente ao ramo
N Vector das tensões nos ramos
� Tensão
�9: Tensão entre os terminais e !
�: Tensão de base
�4 Tensão no barramento � �4M Tensão pré-defeito no barramento � �5 Tensão no barramento � �< Tensão no ramo
�O<, Tensão adjunta do ramo para a rede �+,
�P<, Tensão adjunta do ramo para a rede �.,
xix
�Q Tensão do barramento de emissão
�RS Tensão de Thévenin
T Reactância
TB Reactância do gerador
�: Admitância de base
�< Admitância do ramo
� Impedância
�9: Impedância entre os terminais e !
�: Impedância de base
�; Impedância de carga
�UV Impedância de defeito
�M Impedância de carga inicial
� Impedância de carga ligada ao barramento de recepção
�Q Impedância de carga ligada ao barramento de emissão
�RS Impedância de Thévenin
xx
(Página em branco)
xxi
Lista de Abreviaturas
IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc.
PSERC Power Systems Engineering Research Center
SEE Sistema de Energia Eléctrica
TE Trânsito de Energia
VCPI Voltage Collapse Proximity Indicator
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Capítulo 1 1. Introdução
1.1 Motivação
Os sistemas de energia eléctrica (SEE) em regime permanente são habitualmente
estudados através das equações de trânsito de energia, sendo que o seu interesse
normalmente não está na solução de todas as correntes e tensões mas sim na corrente ou
tensão de uma pequena parte da rede. Assim, e dada a necessidade de se melhorar a rapidez
de cálculo de tensões e correntes destes sistemas, é conveniente conseguir-se substituir
grande parte da rede por um circuito simples equivalente.
É neste contexto que, na procura de alternativas à solução das equações do trânsito de
energia para uma pequena parte do sistema, aparecem as aplicações do teorema de Thévenin
e do teorema de Tellegen aliado à tecnologia das redes adjuntas em modelos equivalentes
como possíveis opções válidas.
O teorema de Thévenin desempenha um papel de grande importância no estudo de
sistemas lineares. Sabendo que os SEE são essencialmente de natureza não linear, a dúvida
reside no correcto funcionamento do teorema de Thévenin neste tipo de sistemas, para além
do habitual cálculo de curto-circuitos (usado com grandes garantias devido à linearidade dos
seus cálculos).
Entre os teoremas de análise de circuitos, o teorema de Tellegen é incomum, pois
depende unicamente das leis de Kirchhoff e da topologia da rede. Este teorema pode ser
portanto aplicado a todos os sistemas eléctricos que obedeçam às leis de Kirchhoff, sejam
estes lineares/não lineares e variantes/invariantes no tempo.
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O teorema de Tellegen aplicado à tecnologia das redes adjuntas já é considerado como
uma solução válida e célere para este tipo de problemas (cálculo de tensões e correntes), pois
a sua aplicação já obteve resultados extremamente precisos aquando variados tipos de
perturbação nesses sistemas (variações de tensão, impedâncias, potências, modificações na
estrutura da rede, etc.).
Com o aumento da exigência na qualidade, segurança e condições de funcionamento
das redes de energia eléctrica, assim como os benefícios económicos e os condicionamentos
ambientais, cada vez mais os SEE são operados muito próximo dos seus limites. Assim, é
compreensível que a estabilidade de tensão seja um tema com uma importância considerável
na indústria da energia eléctrica nos últimos anos, o que torna conveniente o seu estudo nesta
dissertação.
Deste modo, torna-se bastante interessante o estudo e desenvolvimento de modelos
equivalentes, como equivalentes de Thévenin e equivalentes adjuntos (usando o teorema de
Tellegen), em sistemas de energia eléctrica, testando-os ao longo de várias perturbações
nomeadamente nos limites de estabilidade de tensão do sistema.
1.2 Objectivos
O principal objectivo desta dissertação consiste no estudo e desenvolvimento de
equivalentes Thévenin e de equivalentes adjuntos em sistemas de energia eléctrica,
comparando os seus resultados com a solução das equações de trânsito de energia. Dado que
nesta dissertação apenas são encontrados modelos equivalentes Thévenin (um para a
situação de curto-circuito e outro para a situação de funcionamento normal dos SEE), somente
estes são confrontados com a solução habitual do trânsito de energia (método de Newton)
quanto à precisão de resultados.
Dado que, num sistema de energia eléctrica, o estudo de uma situação de curto-circuito
é possível por este se encontrar muito próximo da linearidade (as correntes são enormes), é
interessante obter um modelo equivalente Thévenin que se baseie nestes pressupostos. Esse
modelo deve ser então comparado com um outro modelo equivalente Thévenin, que funcione
para a situação de funcionamento normal de um SEE (onde os seus valores estão próximos
dos valores nominais do sistema). É esperado que o modelo para esta última situação, dada a
natureza deste tipo de sistemas (não lineares), obtenha piores resultados do que o modelo
para a situação de curto-circuitos.
A fim de testar os modelos equivalentes Thévenin de ambas as situações, recorre-se a
perturbações de carga num barramento e a perturbações num ramo. Assim, é necessário
utilizar um método de análise de estabilidade de tensão para se encontrar os barramentos e
ramos críticos, de modo a que essas perturbações não provoquem a instabilidade do sistema
(colapso de tensão).
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Com o objectivo de desenvolver os modelos equivalentes, é essencial numa primeira
fase estudar os princípios teóricos destes temas (trânsito de energia, estabilidade de tensão e
teoremas de Thévenin e de Tellegen aplicado às redes adjuntas), nomeadamente o que já foi
feito sobre cada um deles. Assim, nessa primeira análise é realizado um trabalho bibliográfico,
maioritariamente através da biblioteca digital IEEE Xplore (1), e verificados alguns dos métodos
já existentes.
1.3 Estrutura da Dissertação
A dissertação está dividida em cinco capítulos, de modo a proporcionar uma melhor
compreensão do mesmo. No presente capítulo (capítulo 1) é realizada a introdução ao
trabalho efectuado, onde é descrito de uma forma sucinta a motivação e os objectivos desta
dissertação.
O capítulo 2, apesar de não conter contribuições originais, é essencial nesta
dissertação por conter os princípios fundamentais teóricos de todo o trabalho realizado. Este
apresenta ainda todo um trabalho bibliográfico sobre métodos existentes de análise de
estabilidade de tensão e de aplicação do teorema de Thévenin.
No capítulo 3 são apresentados os modelos de análise utilizados no capítulo 4,
nomeadamente o modo de calcular o trânsito de energia escolhido, o método de análise de
estabilidade de tensão de um sistema e os modelos para as duas situações diferentes de
cálculo de equivalentes de Thévenin (situação de curto-circuito e situação de funcionamento
normal), denominados por Modelo 1 e Modelo 2 de modo a facilitar a sua utilização. Estes dois
últimos métodos (principalmente o Modelo 2, por se tratar de uma situação de funcionamento
normal de um SEE), junto com o respectivo cálculo de tensão aos terminais do modelo
equivalente, são as contribuições originais desta dissertação.
No capítulo 4 é realizado um estudo de perturbações em três sistemas de energia
eléctrica (3, 6 e 39 barramentos), de modo a entender o comportamento dos equivalentes
Thévenin para as duas situações distintas relativamente às equações do trânsito de energia.
Para isso, são consideradas determinadas perturbações nos barramentos de cada sistema e
perturbações no ramo crítico do sistema de 39 barramentos, partindo-se sempre de um caso
inicial igualmente estudado.
Por último, o capítulo 5 apresenta conclusões relativas a este trabalho, como a
utilidade/validade do modelo equivalente Thévenin para a situação de funcionamento normal
de um SEE (Modelo 2) proposto e a sua comparação com o modelo equivalente Thévenin na
situação de curto-circuito (Modelo 1). Nesse capítulo perspectiva-se ainda trabalho futuro,
nomeadamente a obtenção de métodos de cálculo de equivalentes adjuntos.
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Capítulo 2 2. Princípios Fundamentais Teóricos
2.1 Trânsito de Energia
Trânsito de Energia (Power Flow) (2), também conhecido por Trânsito de Potência ou
Fluxo de Potência, é a solução em regime estacionário de um sistema de energia eléctrica,
compreendendo os geradores, a rede e as cargas. É um problema essencial em sistemas de
energia eléctrica.
Consiste no cálculo das amplitudes e argumentos das tensões de todos os
barramentos (nós) da rede e das potências activa e reactiva que transitam em todos os ramos
(linhas e transformadores), para condições de geração e carga especificadas e para uma dada
configuração topológica.
O número de barramentos e de ramos dos sistemas eléctricos pode ser muito elevado
(podem atingir dezenas de milhar de barramentos) e as equações que modelam esses
sistemas são equações não lineares, o que torna necessário o recurso a programas
computacionais. Assim, foi procurada a melhor solução para ser usada nesta Dissertação, que
se encontra descrita na secção 3.1.
Na análise dos SEE, em vez de utilizar as respectivas unidades das grandezas
eléctricas (impedâncias, admitâncias, correntes, tensões e potências), é preferível exprimi-las
por valores por unidade ��. I. �, cujos valores base podem ser calculados por:
�:� �� = &:√3 ∙ �:
(2.1)
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�:��� = �:√3 ∙ �:
= �:Z&: (2.2)
�:�&� = &:�:Z (2.3)
O trânsito de energia e a sua solução consiste nos seguintes passos:
• Formulação do modelo matemático representativo do sistema;
• Especificação do tipo de barramento e grandezas referentes a cada um;
• Solução numérica das equações do trânsito de energia, sendo obtidas as amplitudes
e argumentos das tensões em todos os barramentos;
• Cálculo das potências transitadas nos ramos.
Figura 2.1 – Esquema unifilar de um barramento genérico (sistema com � barramentos).
Por definição, a potência injectada num barramento é:
[4 = [B4 − [J4 = �B4 − �J4 + ��KB4 − KJ4� (2.4)
sendo a corrente injectada nesse barramento dada pela equação:
^4 = [4∗_4∗ (2.5)
Relativamente à potência transitada nos ramos, esta é dada por:
[45< = _4 ∙ `^45< a∗ (2.6)
de onde se obtém também a corrente transitada nesses ramos:
^45∗ = b[45<_4 c
∗ (2.7)
Num sistema eléctrico de energia existem três tipos de barramentos:
• Barramento de balanço (referência) – é obrigatório haver pelo menos um barramento
de balanço no sistema, pois é neste barramento que é efectuado o fecho do balanço
energético. As variáveis conhecidas são �J e KJ, as especificadas são � e 3, e as calculadas
são �B e KB .
• Barramento PQ (carga ou geração) – os barramentos de carga são modelados como
barramentos PQ. As variáveis conhecidas são �J e KJ, as especificadas são �B e KB , e as
calculadas são � e 3.
Barramento PV (geração) – os barramentos de geração podem ser modelados como
barramentos PQ ou PV. As variáveis conhecidas são �J e KJ, as especificadas são �B e �, e as
calculadas são KB e 3.
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2.2 Estabilidade de Tensão
A estabilidade de tensão (voltage stability) (3) é a capacidade que um sistema eléctrico
tem de manter a tensão constante em todos os barramentos do sistema, após ter sido
submetido a uma perturbação a partir de uma determinada condição inicial de funcionamento.
Tipicamente, quando a carga num barramento específico ou área aumenta lentamente,
os valores das tensões diminuem gradualmente de início e depois rapidamente até atingirem
um valor limite, a partir do qual o sistema se tona instável. A esse fenómeno dá-se o nome de
colapso de tensão (voltage collapse), podendo resultar em apagões (blackouts).
De modo a evitar o colapso de tensão, deve-se incluir no estudo de um sistema o
cálculo das tensões críticas (limites mínimos das tensões). Assim, conhecendo as condições de
estabilidade de tensão dos barramentos do sistema eléctrico, nomeadamente do mais propício
a chegar mais rapidamente ao limite de estabilidade (barramento mais sensível às variações de
carga), é possível garantir que as tensões mantêm valores mais elevados do que os seus
valores críticos, mantendo o sistema estável.
A não estabilidade das tensões e o colapso das mesmas ameaçam assim o correcto
funcionamento dessas redes, daí o imenso estudo relativamente recente de variados métodos
de análise (dinâmicos e estáticos) para prever o colapso de tensão. Alguns desses métodos
são descritos na secção 2.2.1, ficando para a secção 3.2 uma descrição mais pormenorizada
do método utilizado nesta Dissertação.
2.2.1 Métodos existentes
Apesar da instabilidade de tensão ser um fenómeno dinâmico, têm sido propostos e
amplamente utilizados vários métodos de análise estáticos em diferentes redes de energia nos
últimos anos. Estes são geralmente mais fáceis de implementar, requerendo menos tempo
computacional à custa da perda de exactidão dos resultados. Em contraste, os métodos de
análise dinâmicos conseguem resultados mais precisos, mas exigem modelos mais elaborados
e um tempo computacional maior, daí que sejam menos utilizados.
Dado que o objectivo desta Dissertação não necessita da precisão obtida pelos
métodos de análise dinâmicos, foram pesquisados maioritariamente métodos de análise
estáticos. Os mais interessantes, tendo em vista esse objectivo, são referidos nos parágrafos
seguintes.
O cálculo das curvas P-V e Q-V (4), técnicas clássicas para prever o colapso de
tensão, servem para investigar como é que a tensão do barramento de carga varia com a
variação das potências activa e reactiva, respectivamente. Através desses gráficos, é possível
encontrar facilmente os valores de tensão e potência críticos, que é o ponto onde a curva faz
uma inversão do quadrante superior para o inferior. Tal pode ser verificado na Figura 2.2,
retirada também de (4).
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Figura 2.2 – Curvas: a) P-V; b) Q-V.
Sterling et. al. (5) estudou o colapso de tensão num barramento de carga usando o
conceito da potência máxima transitada entre dois barramentos, que afirma que a potência
transferida para uma carga é máxima quando a impedância de carga �C é igual ao conjugado
da impedância da fonte �Q, ou seja, �C = �Q∗.
Figura 2.3 – Representação de uma rede com 2 barramentos.
A rede de 2 barramentos da Figura 2.3 é aplicada a um circuito equivalente de
Thévenin (secção 2.3) relativamente a um barramento específico, onde �Q é a tensão em
circuito aberto no barramento �, �Q é a impedância equivalente de Thévenin entre o terminal � e
a terra, e �C é a impedância da carga ligada ao barramento �. Usando este circuito equivalente,
o índice de estabilidade de tensão é a relação entre os módulos �C e �Q, que tem um valor
máximo de 1 quando ambas as impedâncias são iguais, indicando a carga máxima nesse
barramento para que o sistema se mantenha estável, ou seja,
�C�Q ≤ 1 (2.8)
Este último método serviu de base para outros, como para Jasmon et. al. (6) e
Moghavvemi et.al. (7). No primeiro é calculado um índice de estabilidade de tensão, E, que
deriva das equações de tensão de um sistema de 2 barramentos e também utiliza o circuito
equivalente de Thévenin do sistema eléctrico relativo ao barramento de carga. Este índice
indica a proximidade dos barramentos de carga ao limite de estabilidade de tensão,
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apresentando inclusivamente melhores resultados. No segundo, é calculado um indicador de
proximidade de colapso de tensão (VCPI – Voltage Collapse Proximity Indicator), que investiga
cada linha do sistema através do cálculo de um indicador que varia entre 0 (sem carga) e 1
(carga máxima). Também utiliza o conceito da potência máxima transitada entre dois
barramentos.
Chang et. al. (8) também apresentou um método que calcula um VCPI para cada
barramento, definido por uma relação entre as variações das potências reactivas dos
geradores e a variação da potência reactiva de carga. O barramento com o maior valor de
VCPI é o nó mais fraco do sistema.
Janischewskyj et. al. (9) definiu uma nova abordagem rápida e simples para a condição
de carga extrema (XLC – Extreme Loading Condition), que pode ser utilizado em grandes
sistemas. O cálculo identifica correctamente o barramento mais fraco (sensível) do sistema.
Parniani et. al. (10) combinou a análise estática com a dinâmica, criando um modelo
que usa uma abordagem estática ao problema da estabilidade de tensão, seguido de
simulações temporais. Esta combinação aproveita as vantagens de ambos os métodos de
análise.
Gubina et. al. (11) usou ainda o teorema de Tellegen (secção 2.4) associado ao
Teorema de Thévenin para calcular um índice de estabilidade de tensão, obtendo resultados
bastante satisfatórios num sistema de teste de dois barramentos e no sistema Belga-Francês
de 32 barramentos. O teorema de Tellegen é usado de modo a simplificar a determinação dos
parâmetros de Thévenin e o respectivo índice (Figura 2.4). Este necessita apenas das
medições da tensão e da corrente para avaliar a estabilidade de tensão do sistema num
determinado barramento.
Figura 2.4 – Representação: a) barramento de carga do sistema; b) rede �; c) rede adjunta �+.
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2.3 Teorema de Thévenin
O Teorema de Thévenin (12) estabelece que um circuito linear terminado em dois
pontos e !, contendo um número qualquer de geradores de tensão, pode ser substituído por
um único gerador de tensão em série com uma impedância ligados entre aqueles dois pontos,
designados por �RS e �RS, respectivamente. Ao conjunto de componentes �RS e �RS dá-se a
designação de Equivalente de Thévenin, como se mostra na Figura 2.5.
Figura 2.5 – Esquema Equivalente de Thévenin.
O gerador de tensão �RS é igual à tensão do circuito aberto medida entre e !, sendo
a impedância �RS igual à impedância do circuito medida entre e ! com os geradores de
tensão curto-circuitados. De notar que, caso hajam, os geradores de corrente são substituídos
por circuitos abertos e os geradores comandados não podem ser anulados.
Como dito anteriormente, este teorema funciona correctamente para sistemas lineares.
Como os SEE são essencialmente de natureza não linear (cálculos do trânsito de energia
exigem soluções de equações algébricas não lineares), a dúvida reside no correcto
funcionamento do Teorema de Thévenin neste tipo de sistemas para o cálculo dos módulos e
argumentos das tensões nos SEE. Actualmente são usados com garantias no cálculo de
correntes de curto-circuito, notando-se nos últimos anos várias investigações na tentativa de
aplicar este teorema à análise da estabilidade de tensão (descrita na secção 2.2), devido à sua
importância neste tipo de sistemas.
Assim, foram estudados e descritos na secção 2.3.1 alguns modelos existentes de
obtenção do esquema equivalente de Thévenin para sistemas de energia eléctrica, tanto para o
cálculo de correntes de curto-circuitos como para análise da estabilidade de tensão, na
tentativa de verificar se este modelo equivalente pode ser utilizado em sistemas não lineares
para cálculo de tensões.
Nas secções 3.3 e 3.4 são descritos os modelos de cálculo do equivalente Thévenin
para as duas situações (situação de curto-circuito e situação de funcionamento normal de um
SEE) utilizados nesta dissertação, ficando para a secção 3.5 o respectivo cálculo da tensão �9:
(utilizado no Capítulo 4).
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2.3.1 Métodos existentes
Curto-circuito (2) designa um percurso de baixa impedância, resultante de um defeito,
através do qual se fecha uma corrente, em geral elevada. Trata-se de uma situação anormal
em Sistemas de Energia Eléctrica que requer acção imediata, face aos danos que dela podem
resultar. Assim, o cálculo das correntes de curto-circuito é uma tarefa fundamental neste tipo
de sistemas.
Para solucionar este problema, é normalmente usado o teorema da sobreposição (2),
considerando-se o estado da rede após o defeito como a sobreposição dos dois estados
representados na Figura 2.6. O estado 1 corresponde à situação pré-defeito, dado pelo
resultado do trânsito de energia que fornece o perfil das tensões pré-defeito em todos os
barramentos do sistema, e inclui todos os geradores reais ligados à rede (não representados).
O estado 2 corresponde à ligação do gerador fictício com a polaridade invertida, sendo que os
geradores reais são apenas representados pelas suas impedâncias internas respectivas.
Figura 2.6 – Aplicação do teorema da sobreposição no cálculo das correntes de curto-circuito.
O estado 2 representa a aplicação do teorema de Thévenin, como pode ser visto na
Figura 2.7, onde �R é a impedância equivalente de Thévenin (�RS) da rede vista do barramento
� quando se anulam as fontes de tensão e/ou corrente, �UV é a impedância de defeito, �4M é a
tensão pré-defeito (obtida no estado 1) e �4;; é a corrente de curto-circuito nesse barramento.
Figura 2.7 – Esquema equivalente de Thévenin aplicado ao estado 2 do teorema da
sobreposição, para cálculo das correntes de curto-circuito.
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Rao et. al. (13) investiga a veracidade dum modelo equivalente de Thévenin na
obtenção de características Q-V em barramentos PQ. Para isso, calcula o trânsito de energia
para um caso base de uma determinada rede eléctrica (são usadas redes de 3, 6, 14 e 39
barramentos), passando a considerar que �RS é a tensão no barramento especificado (onde se
quer achar o equivalente), ou seja, �RS = �eJ. A impedância �RS é calculada nesse próprio
barramento, aproximando os barramentos PQ a fontes de tensão constantes e os barramentos
PV também a fontes de tensão, o que parece funcionar com uma precisão razoável.
Os autores comparam ainda os valores das tensões obtidas através desse modelo
equivalente com as tensões obtidas pelo trânsito de energia normal, variando a potência
reactiva no barramento PQ em estudo. Esses resultados mostram que o erro do modelo
aumenta com o aumento do tamanho do sistema e com o aumento das variações da potência
reactiva.
Gross et. al. (4) também usa o equivalente de Thévenin para obter as características Q-
V de um determinado SEE de 6 barramentos, assim como as características P-V. O modelo
equivalente é calculado com base num estudo inicial de um trânsito de energia convergente
aplicado a essa rede (caso 0), onde o sistema esteja próximo da instabilidade de tensão. Após
esse estudo (nomeadamente o cálculo da matriz de admitâncias do sistema �:fg), o barramento
especificado é substituído por um gerador de tensão equivalente. Todos os geradores são
modelados como fontes de tensão em série com uma reactância TB, sendo os seus módulos
computados a partir do limite superior de variação e os seus argumentos a partir do caso base.
Essas fontes de tensão são então transformadas em fontes de corrente, cuja admitância é
absorvida numa matriz de admitâncias actualizada. As cargas em cada barramento também
são convertidas em admitâncias, produzindo a matriz de admitâncias final, que é a inversa da
matriz de impedâncias h�i. O circuito equivalente de Thévenin é então formado, podendo ser
visto para qualquer barramento.
Este método tende a ser conservador, prevendo o colapso da tensão em níveis de
carga mais baixos do que os encontrados por trânsito de energia normal (resultado desejável).
Assim, apresentou resultados satisfatórios na procura do colapso de tensão, encontrando
valores de carga em barramentos PQ com erros inferiores a 10% relativamente aos
verdadeiros valores críticos. Nos barramentos PV apresentou resultados um pouco piores.
Sterling et. al. (5) e Jasmon et. al. (6) voltam a usar o equivalente de Thévenin para
analisar a estabilidade de tensão. Em ambos os casos a tensão �RS é a tensão em circuito
aberto no barramento em causa. Relativamente à impedância �RS, Sterling et. al. (5) considera
que, para uma rede com � barramentos, a impedância equivalente de Thévenin entre um
barramento � e a terra é dada por �44∠k4., enquanto que Jasmon et. al. (6) não dá indicação de
como calcula essa impedância, pois o seu índice de estabilidade de tensão apenas precisa do
�RS.
Wang et. al. (14) calcula um equivalente de Thévenin através de fasores (vectores de
rotação) sincronizados, que incluem toda a informação sobre as variações no estado do
sistema, para analisar quando é que existe instabilidade de tensão. Assim, usa os fasores
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sincronizados do barramento escolhido e os barramentos ligados ao mesmo através de ramos
do sistema, que são medidos através do sistema WAMS (Wide Area Measurement System),
para encontrar o circuito equivalente de Thévenin visto do barramento em causa.
Para exemplificar este método é usado o sistema de 39 barramentos New England
(estrutura da rede de 39 barramentos no Anexo C), escolhendo o barramento 16 (ligado aos
barramentos 15, 17, 19, 21 e 24) como exemplo de estudo (Figura 2.8a).
Figura 2.8 – Fases do processo do cálculo do equivalente de Thévenin no barramento 16: a)
Subsistema unifilar; b) Subsistema monofásico equivalente; c) Esquema equivalente em � do
ramo entre os barramentos 16 - 17.
Após simplificação do subsistema para um esquema monofásico equivalente (Figura
2.8b), é necessário processar cada ramo isoladamente. Assim, tenta-se encontrar o parâmetro
�lmn analisando a Figura 2.8c:
�oZ = `�o?mn − �o?mpa �?mpq?mn⁄ (2.9)
�om = �oZ + �2 ∙ smpqmn ∗ �o?mn (2.10)
�olmn = �o?mn + �om ∙ �lmn′ (2.11)
Relacionando estas equações, obtém-se:
�olmn = �o?mn + �lmn′ ∙ tu 1�?mpqmn + �
2 ∙ smpqmnv ∗ �o?mn − �o?mp�?mpqmnw (2.12)
Decompondo a equação em partes real e imaginária, passamos a lidar com duas
equações e quatro variáveis incógnitas, incluindo a parte real e imaginária de �olmn e �olmn.
Dado que para calcular esses quatro parâmetros, é necessário mais duas equações, é
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necessário recorrer a medições com pelo menos dois tempos diferentes. Considerando-se
erros de medição, os parâmetros equivalentes devem ser calculados pelo método dos mínimos
quadrados através de múltiplas medições em sistemas reais. Quando os fasores sincronizados
são medidos continuamente, o método recursivo dos mínimos quadrados é necessário para
ajustar a variação da curva de parâmetros equivalentes.
Após a solução dos parâmetros equivalentes �olmn e �olmn, finalmente consegue-se
calcular o parâmetro �lmn, através da transformação estrela-triângulo:
�lmn = �lmn′ + �?mpqmn + �2 ∙ smpqmn ∗ �lmn′ ∗ �?mpqmn (2.13)
Os outros ramos podem ser calculados da mesma forma que o descrito em cima.
Assim, o esquema equivalente de dois barramentos da Figura 2.9 é encontrado através das
equações:
�xy = �lmn ∕∕ �lm{ ∕∕ �lm| ∕∕ �lZ} ∕∕ �lZm (2.14)
�oxy = b�olmn�lmn + �olm{�lm{ + �olm|�lm| + �olZ}�lZ} + �olZm�lZmc ∙ �xy (2.15)
Figura 2.9 – Esquema equivalente de 2 barramentos.
Tsai et. al. (15) também usa o método dos mínimos quadrados para desenvolver um
modelo equivalente de Thévenin visto de um barramento específico, baseando esse modelo na
análise da variação das condições do sistema. Esse modelo é utilizado no problema da
estabilidade de tensão, nomeadamente na solução económica UVLS (Undervoltage load
shedding), sendo testada no sistema eléctrico de Taiwan (TPS – Taiwan’s power system) e no
sistema de 39 barramentos New England.
O modelo equivalente de Thévenin volta a ser usado para análise da estabilidade de
tensão, desta vez por Yu et. al. (16). Considerando que tanto os parâmetros do circuito
equivalente como os da impedância da carga não são constantes, dependendo da estrutura
topológica da rede, fontes de potências reactivas, etc., chega à conclusão que os parâmetros
do equivalente de Thévenin devem ser monitorizados temporalmente. Apesar do método
apresentar algum mérito, como a rapidez, tem também defeitos: caso o intervalo de tempo
monitorizado seja grande, os parâmetros podem apresentar variações; caso seja curto, pode
causar equações lineares com soluções instáveis. As simulações são efectuadas no sistema
IEEE de 118 barramentos, mostrando que o modelo é viável e eficaz.
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Bahadornejad et. al. (17) desenvolve um método para estimar a impedância de
Thévenin que se baseia no processamento de sinais sobre os dados medidos nos barramentos
de carga. Foi mostrado que a relação entre as mudanças entre a tensão e corrente na carga,
relativamente às mudanças na admitância da carga, podem ser usadas para estimar a
impedância do sistema equivalente de Thévenin. Os passos necessários são claramente
demonstrados, sendo o método validado através da simulação de um sistema eléctrico de 4
barramentos e da sua aplicação ao sistema de energia eléctrica australiano.
2.4 Teorema de Tellegen e Redes Adjuntas
O Teorema de Tellegen (18) exprime uma relação entre grandezas de ramos de duas
redes adjuntas, i.e. redes com o mesmo grafo. Na sua forma forte, e considerando as redes �
e �+ como sendo adjuntas, exprime a ortogonalidade entre as tensões duma rede e as
correntes da outra:
~�� ∙ � = 0 (2.16)
em que N� é o vector das tensões nos ramos na rede �+ e � é o vector das correntes nos ramos
na rede � (o apóstrofo denota transposição).
Deduzindo a equação (2.16) e considerando agora que a rede � é perturbada
(resultando variações ∆N e ∆�), obtém-se:
�̂� ∙ ∆~ − ~�� ∙ ∆� = 0 (2.17)
que é a forma do Teorema de Tellegen usada na sequência.
A precisão deste teorema aplicado às redes adjuntas foi demonstrada pelo Prof. Doutor
Luís Marcelino Ferreira e/ou pela Prof. Doutora Célia Jesus (co-orientador e orientador desta
dissertação, respectivamente) em artigos de revista, como (19) e (20), e de conferência, como
(21) e (22), tendo inclusivamente servido como base para a dissertação de Doutoramento da
Prof. Doutora (18) e consequentemente para dissertações de Mestrado como (23), (24), (25) e
(26).
2.4.1 Cálculo de sensibilidades de tensão
As variações de tensão correspondem a valores complexos. Assim, são utilizadas dois
tipos de redes adjuntas: uma para a parte real representada pelo símbolo circunflexo e outra
para a parte imaginária representada pelo símbolo til.
Consideram-se cinco conjuntos de índice de ramos:
• AD: índice do ramo correspondente ao gerador de referência;
• A?: conjunto de índices dos ramos da rede passiva;
• AC: conjunto de índices dos ramos correspondentes a cargas activas;
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• AB: conjunto de índices dos ramos correspondentes a geradores;
• G: conjunto de índices dos ramos da rede cuja tensão se quer observar.
Tendo como o propósito o cálculo das sensibilidades da tensão no ramo F (número do
ramo que sofreu a perturbação), a quantidade escolhida é a variação de tensão nesse ramo,
com F ∈ G. O índice corresponde ao número do ramo que se está a analisar, sendo os
valores das tensões �< e correntes �< determinados com recurso ao cálculo do Trânsito de
Energia.
Como ponto de partida supõe-se que o sistema de energia eléctrica está num ponto de
operação definido pelas quantidades � (tensão nos ramos), � (admitâncias da rede passiva), &
(potência activa e reactiva das cargas) e � (potência fornecida pelos geradores). Dentro destas
quantidades há aquelas que podemos considerar como quantidades independentes, sendo
designadas por parâmetros, perturbações ou variáveis de controlo. Exemplos destas
quantidades independentes são a tensão do gerador de referência, as cargas activas e
reactivas, a tensão especificada para os geradores e a potência activa fornecida pelos
geradores. Quanto às linhas, transformadores e baterias de condensadores (elementos
passivos), as correspondentes quantidades independentes são consideradas como
combinações de admitâncias ou impedâncias.
Considerando variações incrementais nas quantidades independentes referidas: ∆�V,
∆&, ∆|�|, ∆� e ∆�. Como consequência dessas variações incrementais nas variáveis
independentes, ocorrem variações incrementais nas quantidades dependentes � (variações
∆�). O que se pretende é relacionar essas variações incrementais de tensão com as variáveis
incrementais das quantidades independentes, ou seja, chegar a fórmulas de sensibilidade.
Após um processo de modelação desenvolvido em (18), obtêm-se as equações (2.18)
e (2.19) para o cálculo de sensibilidades de tensão no ramo F para as duas redes adjuntas:
L��∆�,� = −L���=M, ∙ ∆�M� + � L���O<, ∙ �< ∙ ∆�<�<∈��
+ � L� ��O<,∗�< ∙ ∆&<�<∈��
+ � L� � 2 ∙ �=<, ∙ �<�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< ∙ ∆�<�<∈��
− � L� � �=<, ∙ �<�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< ∙ ∆|�<|Z�<∈��
� � F ∈ G
(2.18)
�F�∆�,� = −�F��>M, ∙ ∆�M� + � �F��P<, ∙ �< ∙ ∆�<�<∈��
− � �F ��P<,∗�< ∙ ∆&<�<∈��
+ � �F � 2 ∙ �><, ∙ �<�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< ∙ ∆�<�<∈��
− � �F � �><, ∙ �<�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< ∙ ∆|�<|Z�<∈��
� � F ∈ G
(2.19)
As quantidades adjuntas referentes à rede �+, são definidas por:
�OM, = 0 (2.20)
�=<, − �< ∙ �O<, = 0, ∈ A? (2.21)
17
�=<, + �O<,∗ ∙ �<∗�< = 0, ∈ AC (2.22)
�O<, − �=<, ∙ �< ∙ �<∗�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< − �=<,∗ ∙ �<∗ ∙ �<∗�< ∙ �<∗ − �<∗ ∙ �< = 0, ∈ AB (2.23)
�=,, = 1 (2.24)
sendo as quantidades adjuntas da rede �., dadas por:
�PM, = 0 (2.25)
�><, − �< ∙ �P<, = 0, ∈ A? (2.26)
�><, − �P<,∗ ∙ �<∗�< = 0, ∈ AC (2.27)
�P<, − �><, ∙ �< ∙ �<∗�<∗ ∙ �< − �<∗ ∙ �< + �><,∗ ∙ �<∗ ∙ �<∗�< ∙ �<∗ − �<∗ ∙ �< = 0, ∈ AB (2.28)
�>,, = 1 (2.29)
2.4.2 Representação simbólica da rede adjunta
As redes adjuntas �+, e �., são topologicamente equivalentes à rede de energia
eléctrica �, apresentando o mesmo grafo. Apresentam cinco tipos de ramos, representados na
Figura 2.10:
a) A rede passiva das redes adjuntas é idêntica à rede passiva do sistema de energia
eléctrica �, logo a mesma configuração e as mesmas impedâncias para os elementos
constituintes – Equações (2.21) e (2.26);
b) Os ramos das redes adjuntas correspondentes aos ramos de carga da rede �
(barramentos PQ) – Equações (2.22) e (2.27);
c) Os ramos das redes adjuntas correspondentes aos geradores da rede �
(barramentos PV) – Equações (2.23) e (2.28);
d) O ramo das redes adjuntas correspondente ao ramo do gerador de referência da rede
� – Equações (2.20) e (2.25);
e) O ramo de observação das redes adjuntas corresponde ao ramo da rede � cuja
variação de tensão se pretende calcular – Equações (2.24) e (2.29).
Figura 2.10 – Representação simbólica dos elementos da rede adjunta: a) Admitância �<; b) fonte de corrente dependente; c) fonte de tensão dependente; d) curto-circuito; e) fonte de
corrente independente unitária.
18
Assim, considerando o sistema de 3 barramentos do Anexo A e o seu respectivo
esquema unifilar apresentado na Figura 2.11, a representação simbólica da rede adjunta para o
cálculo de sensibilidades no barramento 3 é apresentado na Figura 2.12.
De notar que, em ambas as figuras, os barramentos do circuito estão representados
pelos números dentro de rectângulos e os ramos pelos restantes números. O ramo 7 é o ramo
que se quer observar, não pertencendo verdadeiramente ao circuito, como se observa pela
Figura 2.11.
Figura 2.11 – Representação do sistema de 3 barramentos com indicação dos barramentos e ramos.
Figura 2.12 – Representação em circuito da rede adjunta para o cálculo de sensibilidades no barramento 3.
19
Capítulo 3 3. Modelos de Análise
3.1 Trânsito de Energia
O programa computacional para resolver o trânsito de energia (TE) escolhido foi o
MATPOWER (27) (versão 3.2), que usa a linguagem de programação MatLab (versão
7.6.0.324 – R2008a) e foi desenvolvido por investigadores da PSERC (Power Systems
Engineering Research Center).
Trata-se de uma ferramenta grátis de simulação de trânsito de energia para
investigadores e estudantes, que contém um pacote de ficheiros MatLab para resolver trânsitos
de energia. Como foi concebido para proporcionar o melhor desempenho possível, mantendo o
código simples de compreender e modificar (topologia da rede e/ou restrições impostas), foi a
melhor opção para ser usada nesta dissertação.
O MATPOWER disponibiliza cinco diferentes métodos de resolução de TE:
• Método de Newton;
• Método Fast-Decoupled (Variante XB);
• Método Fast-Decoupled (Variante BX);
• Método de Gauss-Seidel;
• Método DC.
O método utilizado por defeito no MATPOWER é o método de Newton (28), que
também foi o usado nos cálculos do Capítulo 4. Este encontra-se explicado detalhadamente
na secção seguinte.
20
3.1.1 Método de Newton-Raphson
O código que está implementado pode ser consultado através do ficheiro newtonpf.m
do pacote MATPOWER.
O processo iterativo do cálculo (com iterações) das tensões, cujo fluxograma está
representado na Figura 3.1, obedece aos seguintes passos:
1. Estimar valores iniciais das tensões nos barramentos;
2. Calcular os erros de fecho ∆�4 e ∆K4 entre os valores especificados e calculados das
potências activa e reactiva, dados pelas seguintes equações:
�4;9�; = �B4 − �J4 = � �4 ∙ �5 ∙ �845 ∙ '��`34 − 35a + 745 ∙ ���`34 − 35a��
5�m, � = 1, … , � (3.1)
K4;9�; = KB4 − KJ4 = � �4 ∙ �5 ∙ �845 ∙ ���`34 − 35a − 745 ∙ '��`34 − 35a��
5�m, � = 1, … , � (3.2)
∆�4< = �4g� − �4;9�; (3.3)
∆K4< = K4g� − K4;9�; (3.4)
3. Calcular o Jacobiano h@<i h@<i = �% �@ E � (3.5)
Esta matriz tem dimensão 2�� − 1� × 2�� − 1� e é assimétrica, onde � corresponde ao
número de barramentos.
Os elementos são obtidos da seguinte forma para � ≠ �: %45 = E45 = �4 ∙ �5 ∙ �845 ∙ ���`34 − 35a − 745 ∙ '��`34 − 35a� (3.6)
�45 = −@45 = �4 ∙ �5 ∙ �845 ∙ '��`34 − 35a + 745 ∙ ���`34 − 35a� (3.7)
Para � = � tem-se:
%44 = −K4 − 744 ∙ �4Z (3.8)
�44 = �4 + 844 ∙ �4Z (3.9)
@44 = �4 − 844 ∙ �4Z (3.10)
E44 = K4 − 744 ∙ �4Z (3.11)
Estas sub-matrizes têm dimensões variadas de acordo com o sistema, nomeadamente
ao número de barramentos �K e ��.
h%i − h��°�K + �°��� × ��°�K + �°���i (3.12)
h�i − h��°�K + �°��� × ��°�K�i (3.13)
h�i − h��°�K� × ��°�K + �°���i (3.14)
hEi − h�°�K × �°�Ki (3.15)
4. Calcular os acréscimos ∆3 e ∆�:
�∆�<∆K<� = h@<i × � ∆3<∆�< �<⁄ � (3.16)
5. Para os barramentos do tipo �K, actualizar os valores da amplitude e argumento da
tensão, através da seguinte equação:
21
�4<�m = �4< + ∆�4< (3.17)
34<�m = 34< + ∆34< (3.18)
6. Para os barramentos do tipo ��, actualizar o valor do argumento e calcular a potência
reactiva injectada:
K4 = � �4 ∙ �5 ∙ �845 ∙ ���`34 − 35a − 745 ∙ '��`34 − 35a��
5�m (3.19)
7. Caso a potência reactiva esteja fora dos limites máximo e mínimo impostos pelo
gerador, reclassificar o barramento como falso �K. Na iteração seguinte calcula-se a potência
reactiva (usando os valores especificados da tensão para todos os barramentos ��): se estiver
dentro dos limites o barramento volta a ser classificado como ��.
8. Repetir todo o processo até se atingir a convergência, que é atingida quando os
valores absolutos dos erros de fecho ∆�4 e ∆K4 se tornarem inferiores a uma tolerância 1
arbitrariamente pequena.
|∆�4|, |∆K4| < 1 (3.20)
Figura 3.1 – Fluxograma do processo iterativo para o método de Newton-Raphson.
22
3.1.2 Descrição do algoritmo de leitura
De modo a ler os dados obtidos pelo MATPOWER e poder utilizá-los, foi criado um
ficheiro em MATLAB com o nome leitura.m, cujo fluxograma do algoritmo pode ser visto na
Figura 3.2.
Figura 3.2 – Fluxograma do ficheiro de leitura dos dados obtidos pelo MATPOWER.
3.2 Indicador de Proximidade de Colapso de
Tensão
Após o estudo dos métodos de análise referidos em 2.2.1, foi escolhido o de
Moghavvemi et. al. (7) devido à sua simplicidade matemática e computacional
(comparativamente com outros métodos, a solução é encontrada rapidamente), aliada à sua
23
eficiência comprovada em prever o fenómeno de colapso de tensão. A sua explicação mais
detalhada encontra-se nos parágrafos seguintes.
Um sistema eléctrico é uma rede que contem componentes, tais como geradores,
linhas de transmissão, cargas e controladores de tensão. Assim, considera-se a linha da Figura
3.3 como uma das linhas de um sistema interligado.
Figura 3.3 – Linha de transmissão típica de um sistema eléctrico.
Tendo como base o conceito usado por Sterling et. al. (5), a carga da linha é tratada
como a potência que é transitada nessa linha específica, vista no ponto de recepção (ao invés
de ser a carga total no barramento).
A sua representação pode ser vista na Figura 3.4, onde �g é a amplitude da tensão do
barramento de emissão, �g∠3 é a impedância da linha e �∠ф é a impedância da carga
correspondente, com
ф = ¡ �qm�K �⁄ � (3.21)
Transformadores ou outros tipos de controladores de tensão são incluídos na
impedância da linha �g.
Figura 3.4 – Linha de transmissão com os parâmetros.
Considera-se o caso mais frequente, onde apenas o módulo da impedância de carga
� varia enquanto ф mantém-se constante. Este pressuposto não reduz significativamente a
precisão, mas simplifica o problema em mão.
24
Com o aumento da exigência da carga, � diminui e a corrente � aumenta, o que leva a
uma queda de tensão no ponto de recepção:
� = �g¢h��g ∙ '��3 + � ∙ '��ф�Z + ��g ∙ ���3 + � ∙ ���ф�Zi (3.22)
� = � ∙ � = ��g ∙ �g¢h1 + �� �g⁄ �Z + 2 ∙ �� �g⁄ � ∙ '���3 − ф�i (3.23)
Assim, a potência activa no barramento de recepção � pode ser calculada por:
� = � ∙ � ∙ '��ф = �gZ �g⁄1 + �� �g⁄ �Z + 2 ∙ �� �g⁄ � ∙ '���3 − ф� ∙ ��g ∙ '��ф (3.24)
De maneira semelhante, é possível calcular as perdas de potência activa na linha:
�� = �Z ∙ �g ∙ '��3 = �gZ �g⁄1 + �� �g⁄ �Z + 2 ∙ �� �g⁄ � ∙ '���3 − ф� ∙ '��3 (3.25)
A potência activa máxima transitada para o barramento de recepção pode ser obtida
usando a condição fronteira (� (�⁄ = 0, que leva a � �g = 1⁄ . Substituindo � �g = 1⁄ nas
equações de � e ��, obtém-se a potência activa máxima transitada ��,9£� e a potência de
perdas activas máxima na linha ���,9£�: ��,9£� = �gZ
�g ∙ '��ф4 ∙ '�� u�3 − ф�2 vZ
(3.26)
���,9£� = �gZ�g ∙ '��3
4 ∙ '�� u�3 − ф�2 vZ (3.27)
Os indicadores de proximidade de colapso de tensão (VCPI) são então calculados,
baseados no trânsito de energia máximo. De notar que os valores � e �� são obtidos através
do cálculo de trânsito de energia convencional.
��������� = ���,9£� = ��gZ�g ∙ '��ф
4 ∙ '�� u�3 − ф�2 vZ
(3.28)
�������gg� = �����,9£� = ���gZ�g ∙ '��3
4 ∙ '�� u�3 − ф�2 vZ
(3.29)
Com o aumento do trânsito de energia na linha de transmissão, os valores de
��������� e �������gg� vão crescer gradualmente até atingirem o valor 1. Quanto mais
próximos desse valor, mas próximo está o sistema da instabilidade de tensão. Assim, o ramo
com o maior valor indica que o barramento do lado da recepção é o que está mais próximo do
colapso de tensão.
Apesar do �������gg� ser mais sensível junto do limite de colapso de tensão (prevendo
com mais precisão esse limite), o programa MATPOWER não guarda os valores das potências
de perdas provenientes da solução do trânsito de energia, necessárias para o cálculo do índice
(apenas imprime no ecrã a solução).
25
3.2.1 Descrição do algoritmo
Foi criado um ficheiro em MATLAB com o nome vcpi.m que calcula o ��������� para
cada ramo, demonstrando quais as linhas e barramentos que estão mais próximos de colapso
(valores elevados) e se o sistema está próximo da instabilidade. O fluxograma do algoritmo
encontra-se na Figura 3.5.
Figura 3.5 – Fluxograma do ficheiro de cálculo do ���������.
26
3.3 Modelo 1 – Equivalente Thévenin para a
situação de curto-circuito
Em sistemas de energia eléctrica de dimensão reduzida, é possível determinar as
correntes de curto-circuito e os respectivos parâmetros do esquema de Thévenin de forma
expedita, por meio de redução da rede em etapas sucessivas. Isso é possível pois, ao contrário
do que acontece no trânsito de energia, o modelo matemático do sistema é representado por
equações algébricas lineares, não necessitando de métodos iterativos para calcular a solução
não linear.
O método habitual para o cálculo das correntes de curto-circuito para sistemas dessa
dimensão envolve o cálculo das impedâncias do circuito (retêm-se apenas as impedâncias dos
geradores, transformadores e linhas) numa base comum e compostas de acordo com a
respectiva topologia, procedendo-se de seguida à redução da rede até à obtenção da
impedância equivalente de Thévenin vista do ponto de defeito.
O cálculo das correntes de curto-circuito para redes de grande dimensão exige
normalmente, tal como no TE, o recurso a um algoritmo de cálculo computacional (2) das
correntes de curto-circuito usando as matrizes de impedâncias nodais e respectivas matrizes
de admitâncias.
Com base nestes pressupostos, e de modo a verificar o correcto funcionamento do
teorema de Thévenin nos curto-circuitos, foi desenvolvido um modelo de cálculo de equivalente
Thévenin para essa situação que não depende de programas de cálculo computacional
(normalmente o MatLab), mas sim do software OrCAD PSpice, indispensável na vida de um
estudante universitário de engenharia electrotécnica e de computadores.
Assim, no Modelo 1 utiliza-se o software OrCAD PSpice (versão 16.0.0), juntamente
com o PSpice Schematics (versão 16.0.0), aplicado à técnica dos curto-circuitos. Os seguintes
passos são seguidos na construção dos circuitos eléctricos para o cálculo de �RS:
• Substituir as impedâncias entre ramos do sistema por resistências e condensadores
ou bobines (nas respectivas unidades de grandeza eléctrica);
• Substituir os barramentos PQ por impedâncias equivalentes de carga (ver subsecção
3.3.1);
• Colocar os geradores existentes em curto-circuito (ao invés de usar a sua reactância
transitória);
• Colocar um gerador de tensão AC no barramento onde se considera o curto-circuito,
no valor da tensão em pré-defeito desse barramento;
• Encontrar os valores de �RS¥Q�4; e �?¥Q�4; através de duas simulações separadas, e
consequentemente o valor de �RS (ver subsecção 3.3.2).
27
O valor da tensão �RS a usar no esquema equivalente de Thévenin é a diferença de
potencial entre o barramento � e a terra ou entre os barramentos � e � na situação pré-defeito,
consoante o caso.
3.3.1 Impedância equivalente de carga
De modo a substituir-se a carga do tipo potência por uma carga equivalente do tipo
impedância, recorre-se às fórmulas:
_ = ¦ ∙ ^ (3.30)
[ = _ ∙ ^∗ (3.31)
Quando se modelam as cargas neste tipo de cálculo consideram-se como sendo
passivas (elasticidade igual a 2), ou seja, podem ser representadas por impedâncias
constantes. Assim, a impedância equivalente de carga é obtida por:
¦; = _ ∙ _∗[;∗ = |�|Z
[;∗ (3.32)
De notar que as impedâncias equivalentes das cargas têm valores elevados
comparativamente às impedâncias dos elementos da rede, possuindo uma forte componente
resistiva (contrariamente a estas, que possuem uma forte componente reactiva).
3.3.2 Análise computacional
Assumindo que o circuito opera a uma frequência 2 = 314,16 � ¨/� �ª = 50 %«�, é
necessário calcular os valores das resistências e das bobines/condensadores que compõem as
impedâncias do circuito. Assim, e sabendo que:
¦ = L + �T (3.33)
calcula-se a parte real e imaginária das impedâncias do circuito (caso �F ¬��� seja positivo é
uma bobine; caso seja negativo é um condensador), da seguinte maneira:
L = L� ��� ∗ �: (3.34)
E = h�F ¬��� ∗ �:i2 (3.35)
� = 12 ∙ h�F ¬��� ∗ �:i (3.36)
No barramento em que se considera o curto-circuito é colocado um dispositivo VAC
(Figura 3.6), com o valor da tensão pré-defeito nesse barramento (módulo e argumento).
Figura 3.6 – Dispositivo VAC.
28
De modo a obter a impedância equivalente de Thévenin �RS, é necessário realizar-se
duas medições diferentes (29) com o OrCAD PSpice: medição da tensão �RS¥Q�4; e medição da
corrente �?¥Q�4;. A tensão de saída do circuito aberto �RS¥Q�4; é exibida usando o dispositivo
VPRINT1 (Figura 3.7), que deve ter as células AC, MAG e PHASE definidas como “OK”.
Figura 3.7 – Dispositivo VPRINT1.
Para se encontrar a corrente de Norton �?¥Q�4;, é necessário retirar o dispositivo
VPRINT1 do circuito e colocar o dispositivo IPRINT (Figura 3.8) entre os terminais e !. Este
também deve ter as células AC, MAG e PHASE definidas como “OK”.
Figura 3.8 – Dispositivo IPRINT.
Após a simulação dos dois circuitos (não esquecer que é necessário definir a análise
AC Sweet/Noise a varrer um ponto, no valor de 50 %«) e a observação de ambos os ficheiros
de saída do OrCAD PSpice (com os valores de �RS¥Q�4; e �?¥Q�4;calcula-se �RS.
¦RS = �RS¥Q�4; �?¥Q�4; (3.37)
3.4 Modelo 2 – Equivalente Thévenin para a
situação de funcionamento normal
Como é sabido, a lei de Ohm (30) afirma que a tensão sobre os materiais condutores é
directamente proporcional à corrente que flui através do material (Figura 3.9). Assim, a
impedância é definida como a relação entre a amplitude complexa da tensão e a amplitude
complexa da corrente (tal como se observa da equação 3.30):
¦ = _^
29
Figura 3.9 – Relação Corrente/Tensão para um exemplo de uma resistência de 2�, que
representa a Lei de Ohm.
Foi desenvolvido um modelo de cálculo de equivalente Thévenin com base nos
pressupostos da lei de Ohm e na definição de impedância, ao qual foi dado o nome de Modelo
2. Este, ao contrário do Modelo 1, é aplicado na situação de funcionamento normal de um SEE.
Tendo como objectivo injectar potência no barramento onde queremos encontrar o
equivalente, coloca-se uma fonte de corrente no valor correspondente a 1 �F�� entre o
barramentos � e a terra ou entre os barramentos � e �, tal como mostra a Figura 3.10. Assim, à
corrente injectada no barramento � é adicionado o valor de 1 + �0 �, sendo que à corrente
injectada no barramento �, caso haja este barramento, é retirado o valor de 1 + �0 �, ou seja,
adicionado −1 + �0 �.
Figura 3.10 – Injecção de corrente no valor de 1 �: a) no barramento �; b) entre os barramentos � e �.
Resolvendo os trânsitos de energia antes e depois da injecção da corrente, obtendo a
solução das tensões iniciais e finais dos barramentos � e �, consegue-se calcular a impedância
equivalente de Thévenin para os dois casos:
¦RS = _4V4�9� − _44�4;49�∆^ (3.38)
¦RS = ∆_9:V4�9� − ∆_9:4�4;49�∆^ = `_4V4�9� − _5V4�9�a − `_44�4;49� − _54�4;49�a
∆^ (3.39)
De notar que, tal como no Modelo 1, a tensão �RS é a diferença de potencial entre o
barramento � e a terra ou entre os barramentos � e � na situação pré-defeito, consoante o caso.
30
3.4.1 Descrição do algoritmo de injecção de corrente
De modo a injectar potência equivalente a colocar uma fonte de corrente de 1 � entre o
barramento � e a terra ou entre os barramentos � e �, foram criados dois ficheiros com os
nomes sc_i.m (entre o barramento � e a terra) e sc_ij.m (entre os barramentos � e �). Estes
fazem inúmeras iterações, em que durante cada uma são realizados vários casos de variação
dos valores das potências de carga envolvidas (aumento de �; e diminuição de K;; vice-versa;
etc.). No final de cada iteração, é escolhido o melhor caso de variação de modo a conseguir-se
esse valor de corrente injectada nos barramentos.
Para que este e outros programas desenvolvidos nesta Dissertação funcionem com
maior precisão, foram usadas as funções keep.m e round2.m, retiradas de (31). A primeira
mantém as variáveis definidas e limpa o resto, sendo que a segunda arredonda o número para
um número de casas decimais arbitrário.
Nas Figura 3.11 e 3.12 encontram-se os fluxogramas gerais simplificados destes
ficheiros, ficando para a Figura 3.13 o fluxograma de um caso genérico de análise dessas
pequenas variações.
Figura 3.11 – Fluxograma simplificado do ficheiro que calcula os novos valores de potência de carga entre o barramento � e a terra.
31
Figura 3.12 – Fluxograma simplificado do ficheiro que calcula os novos valores de potência de
carga entre os barramentos � e �.
Figura 3.13 – Fluxograma de um caso genérico de análise de uma pequena variação nas
potências de carga.
32
3.5 Cálculo da Tensão entre os Terminais dos
Equivalentes Thévenin
Após o cálculo dos parâmetros equivalentes de Thévenin (através dos dois modelos
descritos), é necessário calcular a tensão �9: (módulo e argumento). Esta é a tensão vista
entre os terminais e ! num circuito que contenha os parâmetros equivalentes de Thévenin
(�RS e �RS) e uma carga do tipo impedância (�9:), como mostra a Figura 3.14. Esses terminais
podem ser um barramento � e a terra (�9: aplicado a um barramento) ou os barramentos � e � (�9: aplicado a um ramo).
Figura 3.14 – Circuito simplificado com os parâmetros equivalentes de Thévenin e uma
impedância de carga.
Dado que o objectivo de se usar o esquema equivalente de Thévenin a um barramento
é o de calcular a tensão aos terminais de um barramento consoante a variação da sua potência
de carga &J, é necessário determinar o valor da impedância de carga �9: correspondente a
essa variação. Assim, sabendo que a impedância de carga para o caso inicial �M corresponde à
potência de carga inicial &JM (como visto na subsecção 3.3.1) e ainda que a impedância de
carga �J corresponde à nova potência de carga &J, conclui-se que �J equivale a �9: em
paralelo com �M (Figura 3.15):
¦J = ¦M ∕∕ ¦9: (3.40)
Figura 3.15 – O paralelo entre as cargas �M e �9: corresponde à carga �J.
33
Deste modo, a impedância �9: é calculada através de:
¦9: = ¦J1 − ®¦J¦M¯ (3.41)
Conhecidos todos os parâmetros da Figura 3.14, a tensão �9: entre o barramento � e a
terra é encontrada do seguinte modo:
_9: = _RS ∙ ¦9:¦RS + ¦9: (3.42)
Quando se trata do esquema equivalente de Thévenin entre dois barramentos (a um
ramo), o objectivo já não é o de calcular a tensão aos seus terminais consoante as variações
das suas potências de carga, mas sim fazer alterações na própria rede do sistema,
perturbando-a.
De modo a perturbar a rede do sistema, considerando o circuito da Figura 3.14, deve-
se variar a impedância de carga �9: para que esta tenda para zero (ramo em curto-circuito) ou
para infinito (ramo em circuito aberto).
Assim, e considerando �9:M como a impedância inicial do ramo do circuito, para colocar
o ramo entre os terminais e ! em curto-circuito são colocados vários (�) ramos em paralelo a
esses terminais. Esses ramos têm o mesmo valor de impedância que �9:M , o que faz diminuir a
impedância de carga �9: progressivamente:
¦9:� = ¦9:M� (3.43)
Para colocar o ramo entre os terminais e ! em circuito aberto, aumenta-se
progressivamente várias (�) vezes o valor da impedância de carga �9:, partindo da impedância
de carga inicial �9:M :
¦9:� = � ∗ ¦9:M (3.44)
O efeito destas perturbações é observado através de gráficos do próprio MatLab da
tensão �9:e da corrente �9: (módulos e argumentos).
3.5.1 Descrição dos algoritmos
Foram criados dois ficheiros em MatLab com os nomes thevenin_i.m e thevenin_ij.m,
que calculam os parâmetros do circuito equivalente de Thévenin para os dois modelos
estudados e a tensão �9: entre os terminais desse circuito. O fluxograma do algoritmo de
cálculo dos parâmetros equivalentes de Thévenin encontra-se na Figura 3.16, ficando para as
Figuras 3.17 e 3.18 os fluxogramas dos cálculos da tensão �9: aplicado a um barramento e a
um ramo, respectivamente. De notar que as impedâncias �¡ℎ_�&��'� e �¡ℎ_¨�ª referem-se às
impedâncias de Thévenin calculadas através do Modelo 1 e do Modelo 2, respectivamente.
34
Figura 3.16 – Fluxograma do cálculo dos parâmetros equivalentes de Thévenin.
Figura 3.17 – Fluxograma do ficheiro que calcula a tensão �9: aplicada a um barramento.
35
Figura 3.18 – Fluxograma do ficheiro que calcula a tensão �9: aplicada a um ramo.
36
(Página em branco)
37
Capítulo 4 4. Estudo de Perturbações
4.1 Objectivos
O principal objectivo deste capítulo é o estudo do comportamento num SEE dos
modelos de cálculo de equivalentes Thévenin obtidos para as duas situações diferentes
(secções 3.3 e 3.4, juntamente com a secção 3.5). Para isso, são utilizados três sistemas de
energia eléctrica como exemplo, cujos dados iniciais se encontram nos Anexos A.1 (3
barramentos), B.1 (6 barramentos) e C.1 (39 barramentos).
Na secção 4.2 é realizado um estudo dos casos iniciais de cada sistema, onde se
indica os valores das amplitudes e argumentos das tensões de todos os barramentos, das
potências activa e reactiva de geração, carga e transitadas em todos os ramos, e ainda os
valores das correntes injectadas em cada barramento e transitadas em cada ramo.
Com o objectivo de avaliar verdadeiramente essas duas situações e os respectivos
modelos de equivalentes Thévenin, é encontrado em 4.3 o ramo crítico e o correspondente
barramento crítico de cada sistema (através do método descrito em 3.2).
Na secção 4.4 estuda-se o efeito de perturbações de carga no barramento crítico,
variando apenas a potência de carga nesse barramento de modo a que o mesmo caminhe para
a instabilidade de tensão. Ao longo dessa variação de potência de carga são anotados os
valores da tensão (módulo e argumento) no barramento, calculados através dos dois modelos
de equivalentes Thévenin já referidos e com o programa MATPOWER (cálculo do trânsito de
energia), de modo a comparar os dois modelos relativamente às equações do trânsito de
energia pelo método de Newton (secção 3.1).
38
Uma vez que a potência de carga é complexa, a tensão depende da combinação da
potência activa e reactiva do barramento em questão. Assim, o ponto de colapso de tensão
será afectado pela forma como variam essas duas potências independentemente e/ou a
combinação das duas, ou seja, pela potência aparente.
Os efeitos previstos dessas variações são, entre outros, a diminuição das tensões nos
barramentos do sistema, principalmente no barramento crítico. O limite de potência de carga
corresponde à última medição da tensão, ou seja, caso seja adicionada mais carga nesse
barramento o sistema passa a ser instável.
O efeito de perturbações no ramo crítico (modificação do mesmo) através dos modelos
de Equivalentes Thévenin, correspondentes às duas situações de funcionamento de um SEE, é
estudado na secção 4.5. Nesta dissertação este tipo de perturbação apenas é exemplificado
num sistema, pois os resultados (curvas dos gráficos) para os outros sistemas são os mesmos
(não há vantagens em repetir-se trabalho). Assim, resolveu-se escolher como exemplo o
sistema New England de 39 barramentos, por ser o sistema de teste com maior número de
barramentos.
De modo a que o ramo crítico tenda para um curto-circuito ou para circuito aberto, são
colocados vários ramos em paralelo entre os terminais e ! ou aumentada a carga �9:
progressivamente, respectivamente, analisando as curvas da tensão �9: e da corrente �9: para
essas alterações. O modo como essas perturbações são calculadas está explicado na secção
3.5.
De notar que, caso o ramo crítico tenda para um curto-circuito, o módulo da tensão �9:
deve tender para zero. O módulo da corrente �9: deve tender para o seu valor máximo, ou seja,
o valor de corrente que passa pela impedância �RS alimentada pela fonte de tensão �RS. No
caso do ramo crítico tender para circuito aberto, o módulo da tensão �9:deve tender para o
valor do módulo da tensão �RS, enquanto o módulo de �9: deve tender para zero.
Por último, as principais conclusões do estudo deste capítulo (resultados
experimentais) são anotadas em 4.6.
4.2 Análise inicial
4.2.1 Sistema de 3 barramentos
Considere-se, como caso inicial, o sistema de energia eléctrica com 3 barramentos (13)
representado na Figura 4.1. Este possui 2 geradores, 1 carga e 3 linhas. A potência aparente
nominal &? tem o valor de 100 ��� e a tensão nominal �? tem o valor de 220 �.
39
Figura 4.1 – Esquema unifilar do Sistema de 3 barramentos.
As características iniciais dos barramentos (número, tipo, tensão, potências activas e
reactivas geradas e de carga) e dos ramos (barramentos de emissão e recepção, resistência,
reactância, susceptância e relação de transformação) estão indicadas no Anexo A.1.
Utilizando o programa MATPOWER, resolve-se o trânsito de energia para o sistema de
3 barramentos. Este, pelo método de Newton, convergiu em 0,10 segundos, apresentando os
resultados referentes aos barramentos e aos ramos nas Tabelas 4-1 e 4-2, respectivamente.
Tabela 4-1 – Resultados dos barramentos do sistema.
Barramento Tensão Geração Carga
nº V (pu) θ (grau) Pg (MW) Qg (MVAr) Pc (MW) Qc (MVAr)
1 1,0200 0,0000 92,36 40,94 0 0
2 1,0100 -0,5195 50,00 12,47 0 0
3 0,9797 -3,2093 0 0 140,00 50,00
Total 142,36 53,42 140,00 50,00
Tabela 4-2 – Resultados dos ramos do sistema.
Ramo De Barr Para Barr Potências Transitadas
Perdas Emissão Recepção
nº nº nº Pe (MW) Qe (MVAr) Pr (MW) Qr (MVAr) Pp
(MW) Qp
(MVAr)
1 1 2 14,00 8,26 -13,95 -10,11 0,05 0,22
2 1 3 78,36 32,68 -76,96 -29,08 1,40 5,60
3 2 3 63,95 22,58 -63,04 -20,92 0,91 3,64
Total 2,36 9,46
Os resultados mostram que a tensão mais baixa ocorre no barramento 3, com o valor
de 0,9797 �. I., e a mais elevada no barramento 1, com o valor de 1,0200 �. I.. A geração activa
total é de 142,36 �´, o que, para uma carga total de 140 ���, corresponde a perdas activas
de 2,36 �´ (1,69 % da carga).
40
No que diz respeito à potência reactiva, verifica-se que a geração é de 53,42 ���� e a
carga de 50 ����. Dado que o valor total das perdas reactivas é de 9,46 ����, conclui-se que
a compensação transversal é de 6,04 ����, o que perfaz um total de geração de 59,46 ����.
As correntes referentes aos barramentos e aos ramos podem ser consultadas nas
Tabelas 4-3 e 4-4, respectivamente.
Tabela 4-3 – Correntes injectadas nos barramentos.
Barramento Corrente
nº I (A) I (pu) θ (grau)
1 259,94 0,991 -23,91
2 133,90 0,510 -14,53
3 398,21 1,517 157,14
Tabela 4-4 – Correntes transitadas nos ramos.
Ramo De Para Correntes Transitadas
Barr Barr Emissão Recepção
nº nº nº Ie (pu) θ (grau) Ir (pu) θ (grau)
1 1 2 0,159 -30,54 0,171 143,56
2 1 3 0,832 -22,64 0,840 156,09
3 2 3 0,671 -19,97 0,678 158,43
Estes resultados mostram que o barramento 3 é o que tem maior corrente injectada em
módulo �1,517 �. I. �, sendo o barramento 2 o que tem menor valor �0,510�. I. �.
4.2.2 Sistema de 6 barramentos
Considere-se, como caso inicial, o sistema de energia eléctrica com 6 barramentos
retirado de (22) e representado na Figura 4.2. Este possui 3 geradores, 3 cargas e 11 linhas. A
potência aparente nominal &? tem o valor de 100 ��� e a tensão nominal �? tem o valor de
220 �.
Figura 4.2 – Esquema unifilar do sistema de 6 barramentos.
41
As características iniciais dos barramentos (número, tipo, tensão, potências activas e
reactivas geradas e de carga) e dos ramos (barramentos de emissão e recepção, resistência,
reactância, susceptância e relação de transformação) estão indicadas no Anexo B.1.
Utilizando o programa MATPOWER, resolve-se o trânsito de energia para o sistema de
6 barramentos. Este, pelo método de Newton, convergiu em 0,09 segundos, apresentando os
resultados referentes aos barramentos e aos ramos nas Tabelas 4-5 e 4-6, respectivamente.
Tabela 4-5 – Resultados dos barramentos do sistema.
Barramento Tensão Geração Carga
nº V (pu) θ (grau) Pg (MW) Qg (MVAr) Pc (MW) Qc (MVAr)
1 1,0500 0,0000 109,06 30,24 0,00 0,00
2 1,0500 -3,7809 50,00 99,33 0,00 0,00
3 1,0700 -4,3979 60,00 107,99 0,00 0,00
4 0,9835 -4,1639 0,00 0,00 70,00 70,00
5 0,9739 -5,1749 0,00 0,00 70,00 70,00
6 0,9985 -5,9970 0,00 0,00 70,00 70,00
Tabela 4-6 – Resultados dos ramos do sistema.
Ramo De Para Potências Transitadas
Perdas Barr Barr Emissão Recepção
nº nº nº Pe (MW) Qe (MVAr) Pr (MW) Qr (MVAr) Pp (MW) Qp (MVAr)
1 1 2 29,56 -13,58 -28,60 15,50 0,96 1,92
2 1 4 43,82 25,32 -42,66 -20,68 1,16 4,65
3 1 5 35,68 18.50 -34,51 -14,10 1,17 4,40
4 2 3 3,04 -8,98 -3,00 9,19 0,04 0,20
5 2 4 33,46 53,12 -31,68 -49,55 1,79 3,58
6 2 5 15,48 21,56 -14,84 -19,65 0,64 1,92
7 2 6 26,61 18,13 -25,96 -16,25 0,66 1,88
8 3 5 19,54 30,56 -18,16 -27,57 1,38 2,99
9 3 6 43,46 68,25 -43,32 -62,53 1,14 5,72
10 4 5 4,34 0,22 -4,30 -0,14 0,04 0,08
11 5 6 1,80 -8,54 -1,72 8,78 0,08 0,24
Total 9,06 27,56
Os resultados mostram que a tensão mais baixa ocorre no barramento 5, com o valor
de 0,9739 �. I., e a mais elevada no barramento 3, com o valor de 1,0700 �. I.. A geração activa
total é de 219,06 �´, o que, para uma carga total de 210 ���, corresponde a perdas activas
de 9,06 �´ (4,31 % da carga).
No que diz respeito à potência reactiva, verifica-se que a geração é de 237,56 ���� e
a carga de 210 ����. Assim, e dado que não existe compensação universal (a susceptância é
nula em todos os ramos dos sistema), o valor total das perdas reactivas é de 27,56 ����.
As correntes referentes aos barramentos e aos ramos podem ser consultadas nas
Tabelas 4-7 e 4-8, respectivamente.
42
Tabela 4-7 – Correntes injectadas nos barramentos.
Barramento Corrente
nº I (A) I (pu) θ (grau)
1 282,87 1,078 -15,50
2 277,94 1,059 -67,06
3 303,00 1,155 -65,34
4 264,15 1,007 130,84
5 266,75 1,016 129,83
6 260,19 0,991 129,00
Tabela 4-8 – Correntes transitadas nos ramos.
Ramo De Para Correntes transitadas
Barr Barr Emissão Recepção
nº nº nº Ie (pu) θ (grau) Ir (pu) θ (grau)
1 1 2 0,310 24,67 0,310 -155,33
2 1 4 0,482 -30,02 0,482 149,98
3 1 5 0,383 -27,41 0,383 152,59
4 2 3 0,090 67,51 0,090 -112,49
5 2 4 0,598 -61,57 0,598 118,43
6 2 5 0,253 -58,11 0,253 121,89
7 2 6 0,307 -38,04 0,307 141,96
8 3 5 0,339 -61,80 0,339 118,20
9 3 6 0,756 -61,91 0,756 118,09
10 4 5 0,044 -7,08 0,044 172,92
11 5 6 0,090 72,89 0,090 -107,11
Estes resultados mostram que o barramento 3 é o que tem maior corrente injectada em
módulo �1,155 �. I. �, sendo o barramento 6 o que tem menor valor �0,991�. I. �.
4.2.3 Sistema de 39 barramentos
Considere-se, como caso inicial, o sistema de energia eléctrica IEEE New England com
39 barramentos retirado dos casos exemplo do MATPOWER (27) e representado na Figura
4.3. Este possui 10 geradores, 19 cargas, 34 linhas e 12 transformadores. A potência aparente
nominal &? tem o valor de 100 ��� e a tensão nominal �? tem o valor de 220 �.
43
Figura 4.3 – Esquema unifilar do sistema de 39 barramentos.
As características iniciais dos barramentos (número, tipo, tensão, potências activas e
reactivas geradas e de carga) e dos ramos (barramentos de emissão e recepção, resistência,
reactância, susceptância e relação de transformação) estão indicadas no Anexo C.1.
Utilizando o programa MATPOWER, resolve-se o trânsito de energia para o sistema de
39 barramentos. Este, pelo método de Newton, convergiu em 0,09 segundos, apresentando os
resultados referentes aos barramentos e aos ramos nas Tabelas 4-9 e 4-10, respectivamente.
Tabela 4-9 – Resultados dos barramentos do sistema.
Barramento Tensão Geração Carga
nº V (pu) θ (grau) Pg (MW) Qg (MVAr) Pc (MW) Qc (MVAr)
1 1,0475 -9,5803 0,00 0,00 0,00 0,00
2 1,0489 -7,0216 0,00 0,00 0,00 0,00
3 1,0304 -9,8686 0,00 0,00 322,00 2,40
4 1,0038 -10,6634 0,00 0,00 500,00 184,00
5 1,0050 -9,4759 0,00 0,00 0,00 0,00
6 1,0073 -8,7736 0,00 0,00 0,00 0,00
7 0,9966 -10,9775 0,00 0,00 233,80 84,00
8 0,9956 -11,4836 0,00 0,00 522,00 176,60
9 1,0281 -11,3081 0,00 0,00 0,00 0,00
10 1,0170 -6,3893 0,00 0,00 0,00 0,00
11 1,0125 -7,2027 0,00 0,00 0,00 0,00
44
12 1,0000 -7,2184 0,00 0,00 8,50 88,00
13 1,0142 -7,1040 0,00 0,00 0,00 0,00
14 1,0117 -8,7739 0,00 0,00 0,00 0,00
15 1,0158 -9,1926 0,00 0,00 320,00 153,00
16 1,0322 -7,7896 0,00 0,00 329,40 32,30
17 1,0339 -8,7870 0,00 0,00 0,00 0,00
18 1,0313 -9,6271 0,00 0,00 158,00 30,00
19 1,0500 -3,1654 0,00 0,00 0,00 0,00
20 0,9910 -4,5769 0,00 0,00 680,00 103,00
21 1,0321 -5,3840 0,00 0,00 274,00 115,00
22 1,0500 -0,9368 0,00 0,00 0,00 0,00
23 1,0450 -1,1350 0,00 0,00 247,50 84,60
24 1,0377 -7,6700 0,00 0,00 308,60 -92,20
25 1,0575 -5,6600 0,00 0,00 224,00 47,20
26 1,0521 -6,9173 0,00 0,00 139,00 17,00
27 1,0379 -8,9291 0,00 0,00 281,00 75,50
28 1,0502 -3,4056 0,00 0,00 206,00 27,60
29 1,0500 -0,6465 0,00 0,00 283,50 26,90
30 1,0475 -4,6023 250,00 144,96 0,00 0,00
31 0,9820 0,0000 573,24 207,32 9,20 4,60
32 0,9831 1,6080 650,00 205,91 0,00 0,00
33 0,9972 2,0517 632,00 108,97 0,00 0,00
34 1,0123 0,6133 508,00 167,00 0,00 0,00
35 1,0493 4,0241 650,00 211,15 0,00 0,00
36 1,0635 6,7167 560,00 100,46 0,00 0,00
37 1,0278 1,1248 540,00 0,68 0,00 0,00
38 1,0265 6,4168 830,00 22,68 0,00 0,00
39 1,0300 -11,1173 1000,00 88,05 1104,00 250,00
Tabela 4-10 – Resultados dos ramos do sistema.
Ramo De Para Potências Transitadas
Perdas Barra Barra Emissão Recepção
nº nº nº Pe (MW) Qe (MVAr) Pr (MW) Qr (MVAr) Pp (MW) Qp (MVAr)
1 1 2 -118,58 -29,16 119,03 -42,32 0,45 5,30
2 1 39 118,58 29,16 -118,40 -105,76 0,17 4,33
3 2 3 364,68 92,13 -362,98 -100,13 1,71 19,80
4 2 25 -233,71 81,38 237,69 -92,68 3,98 4,89
5 3 4 74,97 113,00 -74,71 -131,65 0,26 4,25
6 3 18 -34,00 -15,27 34,01 -7,31 0,01 0,15
7 4 5 -163,17 -4,22 163,38 -5,94 0,21 3,38
8 4 14 -262,12 -48,13 262,67 43,11 0,56 9,01
9 5 6 -481,11 -53,04 481,58 54,68 0,46 6,03
10 5 8 317,73 58,98 -316,90 -62,06 0,84 11,68
11 6 7 425,96 91,59 -424,84 -85,63 1,13 17,31
12 6 11 -343,51 -36,68 344,33 32,12 0,82 9,61
45
13 7 8 191,04 1,63 -190,89 -7,67 0,15 1,69
14 8 9 -14,22 -106,86 14,40 70,82 0,18 2,91
15 9 39 -14,40 -70,82 14,40 -56,19 0,00 0,06
16 10 11 347,03 72,82 -346,54 -75,07 0,49 5,25
17 10 13 302,97 36,89 -302,61 -40,52 0,36 3,88
18 13 14 296,26 -6,25 -295,49 -2,81 0,77 8,62
19 14 15 32,82 -40,30 -32,79 3,01 0,03 0,33
20 15 16 -287,21 -156,01 288,12 147,57 0,91 9,49
21 16 17 206,05 -41,26 -205,77 30,58 0,29 3,64
22 16 19 -451,29 -55,11 454,37 59,71 3,08 37,55
23 16 21 -329,60 14,07 330,42 -27,35 0,82 13,86
24 16 24 -42,68 -97,57 42,71 90,88 0,03 0,59
25 17 18 192,25 11,49 -192,01 -22,69 0,24 2,86
26 17 27 13,52 -42,07 -13,51 7,69 0,01 0,13
27 21 22 -604,42 -87,65 607,20 108,58 2,79 48,73
28 22 23 42,80 41,91 -42,77 -61,76 0,03 0,40
29 23 24 353,84 -0,22 -351,31 1,32 2,53 40,25
30 25 26 76,65 -17,88 -76,48 -37,47 0,17 1,73
31 26 27 268,49 67,46 -267,49 -83,19 0,99 10,44
32 26 28 -140,82 -21,62 141,61 -55,89 0,79 8,69
33 26 29 -190,18 -25,37 192,10 -67,32 1,91 20,98
34 28 29 -347,61 28,29 349,17 -38,96 1,56 16,79
35 12 11 -2,19 -42,17 2,22 42,96 0,03 0,79
36 12 13 -6,31 -45,83 6,35 46,77 0,04 0,94
37 6 31 -564,04 -109,59 564,04 202,72 0,00 93,13
38 10 32 -650,00 -109,71 650,00 205,91 0,00 96,20
39 19 33 -629,10 -50,24 632,00 108,97 2,90 58,73
40 20 34 -505,49 -116,77 508,00 167,00 2,51 50,23
41 22 35 -650,00 -150,49 650,00 211,15 0,00 60,66
42 23 36 -558,57 -22,62 560,00 100,46 1,43 77,84
43 25 37 -538,34 63,36 540,00 0,68 1,66 64,04
44 2 30 -250,00 -131,19 250,00 144,96 0,00 13,78
45 29 38 -824,77 79,39 830,00 22,68 5,23 102,07
46 19 20 174,73 -9,47 -174,51 13,77 0,22 4,31
Total 42,74 957,35
Os resultados mostram que a tensão mais baixa ocorre no barramento 31 (barramento
de referência), com o valor de 0,9820 �. I., e a mais elevada no barramento 36, com o valor de
1,0635 �. I.. A geração activa total é de 6193,24 �´, o que, para uma carga total de 6150 ���,
corresponde a perdas activas de 42,74 �´ (0,69 % da carga).
No que diz respeito à potência reactiva, verifica-se que a geração é de 1257,19 ���� e
a carga de 1409,50 ����. Dado que o valor total das perdas reactivas é de 957,35 ����,
conclui-se que a compensação transversal é de 805,04 ����, o que perfaz um total de geração
de 2062,23 ����.
46
As correntes referentes aos barramentos e aos ramos podem ser consultadas nas
Tabelas 4-11 e 4-12, respectivamente.
Tabela 4-11 – Correntes injectadas nos barramentos.
Barramento Corrente Barramento Corrente
nº I (A) I (pu) θ (grau) nº I (A) I (pu) θ (grau)
1 0,00 0,000 0,00 21 755,58 2,879 151,85
2 0,00 0,000 0,00 22 0,00 0,000 0,00
3 820,12 3,125 169,70 23 656,88 2,503 159,99
4 1392,95 5,308 149,13 24 814,50 3,104 -171,04
5 0,00 0,000 0,00 25 568,08 2,165 162,44
6 0,00 0,000 0,00 26 349,28 1,331 166,11
7 654,18 2,493 149,26 27 735,68 2,803 156,03
8 1452,51 5,535 149,82 28 519,39 1,979 168,96
9 0,00 0,000 0,00 29 711,77 2,712 173,93
10 0,00 0,000 0,00 30 724,01 2,759 -34,71
11 0,00 0,000 0,00 31 1601,74 6,103 -19,77
12 232,02 0,884 88,30 32 1820,11 6,936 -15,97
13 0,00 0,000 0,00 33 1687,77 6,431 -7,73
14 0,00 0,000 0,00 34 1386,29 5,282 -17,58
15 916,39 3,492 145,25 35 1709,29 6,513 -13,97
16 841,47 3,206 166,61 36 1403,93 5,350 -3,45
17 0,00 0,000 0,00 37 1378,80 5,254 1,05
18 409,25 1,559 159,62 38 2122,75 8,089 4,85
19 0,00 0,000 0,00 39 490,39 1,869 111,59
20 1821,37 6,940 166,81
Tabela 4-12 – Correntes transitadas nos ramos.
Ramo De Para Correntes Transitadas
Barra Barra Emissão Recepção
nº nº nº Ie (pu) θ (grau) Ir (pu) θ (grau)
1 1 2 1,166 156,60 1,204 12,55
2 1 39 1,166 -23,40 1,541 127,11
3 2 3 3,586 -21,20 3,654 154,71
4 2 25 2,359 -167,82 2,412 15,64
5 3 4 1,316 -66,30 1,508 108,91
6 3 18 0,362 145,95 0,337 2,50
7 4 5 1,626 167,86 1,627 -7,39
8 4 14 2,655 158,93 2,631 -18,09
9 5 6 4,816 164,23 4,812 -15,25
10 5 8 3,216 -19,99 3,243 157,44
11 6 7 4,325 -20,91 4,349 157,63
12 6 11 3,430 165,13 3,416 -12,53
13 7 8 1,917 -11,47 1,919 166,21
47
14 8 9 1,083 86,09 0,703 -89,81
15 9 39 0,703 90,19 0,563 64,51
16 10 11 3,487 -18,24 3,502 160,57
17 10 13 3,001 -13,33 3,010 165,27
18 13 14 2,922 -5,90 2,921 170,68
19 14 15 0,514 42,07 0,324 176,06
20 15 16 3,218 142,30 3,136 -34,91
21 16 17 2,036 3,53 2,012 179,67
22 16 19 4,404 165,25 4,365 -10,65
23 16 21 3,196 174,65 3,212 -0,65
24 16 24 1,032 105,84 0,968 -72,50
25 17 18 1,863 -12,21 1,875 163,63
26 17 27 0,427 63,40 0,150 -159,28
27 21 22 5,918 166,37 5,875 -11,08
28 22 23 0,570 -45,34 0,719 123,57
29 23 24 3,386 -1,10 3,385 172,55
30 25 26 0,744 7,47 0,809 146,98
31 26 27 2,631 -21,02 2,699 153,80
32 26 28 1,354 164,35 1,450 18,13
33 26 29 1,824 165,49 1,939 18,67
34 28 29 3,321 -178,75 3,346 5,72
35 12 11 0,422 85,75 0,425 -94,25
36 12 13 0,463 90,62 0,465 -89,38
37 6 31 5,704 160,23 6,103 -19,77
38 10 32 6,482 164,03 6,936 -15,97
39 19 33 6,011 172,27 6,431 -7,73
40 20 34 5,235 162,42 5,282 -17,58
41 22 35 6,354 166,03 6,513 -13,97
42 23 36 5,350 176,55 5,350 -3,45
43 25 37 5,126 -178,95 5,254 1,05
44 2 30 2,692 145,29 2,759 -34,71
45 29 38 7,891 -175,15 8,089 4,85
46 19 20 1,667 -0,06 1,767 179,94
Os resultados mostram que o barramento 38 é o que tem maior corrente injectada em
módulo �8,089 �. I. �, existindo vários com correntes injectadas muito próximas de zero.
4.3 Barramentos e ramos críticos
4.3.1 Sistema de 3 barramentos
Tendo em conta o sistema no caso inicial, foi calculado o indicador de proximidade de
colapso de tensão `���������a para cada ramo. Os resultados encontram-se na Tabela 4-13.
48
Tabela 4-13 – Indicadores de estabilidade nos barramentos para o caso inicial.
Ramo De Para
VCPI (power)
Barr Barr
nº nº nº
1 1 2 0,0439
2 1 3 0,2154
3 2 3 0,1704
Observando que o ramo com o indicador mais elevado (��������� mais próximo de 1)
é o que liga os barramentos 1 e 3 (ramo 2) e sabendo que o barramento do lado da recepção é
o crítico, conclui-se que o barramento 3 é o crítico e o ramo 2 é o ramo crítico. Isto já seria de
esperar, visto que o barramento 3 é o único no sistema que possui potência de carga. Assim, o
estudo da secção 4.4 irá incidir sobre as variações da carga no barramento 3.
Na Tabela 4-14 encontram-se os valores do indicador deste ramo para o caso inicial e
para os casos críticos das variações de potência no barramento 3.
Tabela 4-14 – Indicadores de estabilidade no ramo 2.
·¸¹ º¸¹
VCPI
(power) (MW) (MVAr)
Caso Inicial 140 50
0,2154
»·¸¹ 934 50 0,9956
»º¸¹ 140 606 0,9986
»[¸¹ 710 280 0,9982
4.3.2 Sistema de 6 barramentos
Tendo em conta o sistema no caso inicial, foi calculado o indicador de proximidade de
colapso de tensão `���������a para cada ramo. Os resultados encontram-se na Tabela 4-15.
Tabela 4-15 – Indicadores de estabilidade nos barramentos para o caso inicial.
Ramo De Para
VCPI (power) Barr Barr
nº nº nº
1 1 2 0,1276
2 1 4 0,2910
3 1 5 0,3368
4 2 3 0,0058
5 2 4 0,2379
6 2 5 0,2751
49
7 2 6 0,2096
8 3 5 0,3284
9 3 6 0,2585
10 4 5 0,0587
11 5 6 0,0076
Observando que o ramo com o indicador mais elevado (��������� mais próximo de 1)
é o que liga os barramentos 1 e 5 (ramo 3) e sabendo que o barramento do lado da recepção é
o crítico, conclui-se que o barramento 5 é o crítico e o ramo 3 é o ramo crítico correspondente.
Deste modo, o estudo da secção 4.4 irá incidir sobre as variações da carga no barramento 5.
Na Tabela 4-16 encontram-se os valores do indicador deste ramo para o caso inicial e
para os casos críticos das variações de potência no barramento 5.
Tabela 4-16 – Indicadores de estabilidade no ramo 3.
·¸¼ º¸¼
VCPI
(power) (MW) (MVAr)
Caso Inicial 70 70
0,3368
»·¸¼ 462 70 0,9522
»º¸¼ 70 380 0,9999
»[¸¼ 276 276 0,9922
4.3.3 Sistema de 39 barramentos
Tendo em conta o sistema no caso inicial, foi calculado o indicador de proximidade de
colapso de tensão `���������a para cada ramo. Os resultados encontram-se na Tabela 4-17.
Tabela 4-17 – Indicadores de estabilidade nos barramentos para o caso inicial.
Ramo De Para
VCPI (power) Ramo
De Para VCPI
(power) Barr Barr Barr Barr
nº nº nº nº nº nº
1 1 2 0,0732 24 16 24 0,0214
2 1 39 0,1251 25 17 18 0,0358
3 2 3 0,1404 26 17 27 0,0029
4 2 25 0,0673 27 21 22 0,2008
5 3 4 0,1161 28 22 23 0,0244
6 3 18 0,0076 29 23 24 0,2422
7 4 5 0,0428 30 25 26 0,0768
8 4 14 0,0837 31 26 27 0,1040
9 5 6 0,0298 32 26 28 0,0981
10 5 8 0,0907 33 26 29 0,1881
11 6 7 0,0994 34 28 29 0,0952
50
12 6 11 0,0661 35 12 11 0,0753
13 7 8 0,0200 36 12 13 0,0825
14 8 9 0,1070 37 6 31 0,4229
15 9 39 0,0012 38 10 32 0,3674
16 10 11 0,0385 39 19 33 0,2156
17 10 13 0,0312 40 20 34 0,2692
18 13 14 0,0641 41 22 35 0,2379
19 14 15 0,0140 42 23 36 0,3387
20 15 16 0,0913 43 25 37 0,2360
21 16 17 0,0325 44 2 30 0,1463
22 16 19 0,2051 45 29 38 0,2601
23 16 21 0,0825 46 19 20 0,0452
Apesar do ramo com o indicador mais elevado (��������� mais próximo de 1),
partindo do caso inicial, ser o que liga os barramentos 6 e 31 (ramo 37), o que indicaria o
barramento 31 como sendo o crítico, este último é do tipo PV, ou seja, tem um gerador
associado. Esse facto faz com que, apesar da variação de carga nesse barramento, a sua
tensão mantém-se sempre constante.
Como o objectivo é encontrar o barramento crítico em termos de estabilidade de
tensão, recorreu-se a bibliografia da secção 2.2 para encontrar o barramento mais sensível a
variações de carga deste sistema (IEEE 39 New England).
Assim, recorrendo a (9) e (10) que provam que o barramento 12 é o mais sensível do
sistema, o estudo da secção 4.4 irá incidir sobre as variações da carga nesse barramento.
Após verificação dos limites de estabilidade dos ramos consoante as variações de potência,
observa-se que o ramo crítico é o que liga os barramentos 12 e 11 (ramo 35), logo o estudo da
secção 4.5 irá incidir sobre esse ramo.
Na Tabela 4-18 encontram-se os valores do indicador de proximidade de colapso de
tensão (���������) deste ramo para o caso inicial e para os casos críticos das variações de
potência no barramento 12.
Tabela 4-18 – Indicadores de estabilidade no ramo 35.
·¸½¾ º¸½¾
VCPI
(power) (MW) (MVAr)
Caso Inicial 8,5 88
0,0753
»·¸½¾ 1104 88 0,9987
»º¸½¾ 8,5 585 0,9969
»[¸½¾ 140 574 0,9964
51
4.4 Perturbações de Carga num Barramento
4.4.1 Sistema de 3 barramentos
4.4.1.1 Cálculo dos equivalentes de Thévenin
Recordando das secções 3.3 e 3.4, o valor de �RS é o mesmo para os dois modelos,
sendo a diferença de potencial entre os barramentos � e � na situação pré-defeito. Assim, e
tendo em conta a diferença de potencial entre o barramento 3 e a terra:
_RS = 0,9797 ∙ �q5¿,Zm = 0,9782 − �0,0548 �. I. Para o Modelo 1 foram usados os circuitos das Figuras Anexo.1 e Anexo.2 e os dados
da Tabela Anexo-1 para calcular �RS. Com a obtenção dos valores �RS¥Q�4; e �?¥Q�4; para o
barramento 3, através da equação 3.37:
¦RS,�U�� m = b�RS¥Q�4;�?¥Q�4; c �:À = b13300 ∙ �5{M,m}
689,7 ∙ �q5ZZ,Ápc 484Â
¦RS,�U�� m = 0,0398 ∙ �5n¿,MM = 0,0116 + �0,0381 �. I. No Modelo 2 foi injectada corrente no valor de ∆^ = 1,0000 − �0,0001 � no barramento
3, como mostra a Figura Anexo.5. Assim, através da equação 3.38:
¦RS,�U�� Z = _¿V4�9� − _¿4�4;49�∆^ �:9g⁄ = �0,9782 − �0,0546� − �0,9782 − �0,0548�
�1,0000 − �0,0001� 262,43⁄
¦RS,�U�� Z = 0,0553 ∙ �5n|,}Z = 0,0101 + �0,0543 �. I.
4.4.1.2 Análise do sistema nos casos críticos
Através da variação da potência activa no barramento crítico, mantendo constante a
potência reactiva em KJ = 50 ����, atinge-se o ponto crítico de tensão em �J = 934 �´. A
evolução da tensão no barramento 3 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-
19 e nas Figuras 4.4 (módulos de �¿) e 4.5 (argumentos de �¿).
Tabela 4-19 – Variação da potência activa no barramento 3, com potência reactiva constante.
·Ã VCPI
(power)
módulo _¹ (p.u.) argumento _¹ (graus)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
220 0,2977
0,9686 0,9687 0,9693
-5,77 -5,11 -5,93
300 0,3911
0,9559 0,9562 0,9561
-8,42 -7,08 -8,75
380 0,4834
0,9412 0,9419 0,9398
-11,17 -9,13 -11,67
460 0,5738
0,9242 0,9254 0,9201
-14,07 -11,29 -14,73
540 0,6616
0,9043 0,9062 0,8962
-17,15 -13,60 -17,97
620 0,7464
0,8809 0,8836 0,8672
-20,48 -16,10 -21,45
700 0,8273
0,8523 0,8562 0,8314
-24,19 -18,91 -25,27
52
780 0,9026
0,8159 0,8211 0,7857
-28,49 -22,20 -29,64
860 0,9687
0,7641 0,7711 0,7215
-34,00 -26,47 -35,11
934 0,9956
0,6417 0,6513 0,5769
-45,05 -35,36 -45,66
Figura 4.4 – Valores dos módulos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 3 e com potência reactiva constante.
Figura 4.5 – Valores dos argumentos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 3 e com potência reactiva constante.
Observa-se que o Modelo 1 apresenta valores de módulo da tensão �¿ muito próximos
dos do Trânsito de Energia, o que já não acontece com o Modelo 2, onde o erro vai sendo cada
vez maior até atingir um erro máximo de 10,10 %.
Relativamente ao argumento da tensão �¿, ao contrário do que se sucede para o
módulo, o Modelo 1 apresenta uma diferença maior (erro mínimo de 11,38 % e erro máximo de
22,17 %), sendo que o Modelo 2 mantém valores muito próximos dos obtidos pelo Trânsito de
Energia.
Variando a potência reactiva no barramento crítico, mantendo constante a potência
activa em �J = 140 �´, atinge-se o ponto crítico de tensão em KJ = 606 ����. A evolução da
tensão no barramento 3 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-20 e nas
Figuras 4.6 (módulos de �¿) e 4.7 (argumentos de �¿).
0,50000,55000,60000,65000,70000,75000,80000,85000,90000,95001,0000
220 300 380 460 540 620 700 780 860 934
| V3 |
Potência Activa
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
-50,00
-40,00
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
220 300 380 460 540 620 700 780 860 934
Delta V3
Potência Activa
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
53
Tabela 4-20 – Variação da potência reactiva no barramento 3, com potência activa constante.
ºÃ VCPI
(power)
módulo _¹ (p.u.) argumento _¹ (graus)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
105 0,2682
0,9561 0,9560 0,9467
-2,97 -2,96 -3,08
160 0,3396
0,9310 0,9310 0,9126
-2,72 -2,69 -2,95
215 0,4158
0,9044 0,9043 0,8770
-2,48 -2,42 -2,82
270 0,4949
0,8758 0,8757 0,8397
-2,23 -2,14 -2,69
325 0,5758
0,8448 0,8447 0,8002
-1,98 -1,84 -2,57
380 0,6578
0,8106 0,8104 0,7578
-1,73 -1,52 -2,46
435 0,7404
0,7719 0,7717 0,7112
-1,48 -1,18 -2,36
490 0,8325
0,7263 0,7262 0,6581
-1,24 -0,81 -2,29
545 0,9068
0,6682 0,6681 0,5930
-1,03 -0,39 -2,26
606 0,9986
0,5418 0,5418 0,4606
-1,04 0,22 -2,55
Figura 4.6 – Valores dos módulos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 3 e com potência activa constante.
Figura 4.7 – Valores dos argumentos da tensão �¿para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 3 e com potência activa constante.
Na variação de potência reactiva, o Modelo 1 obteve excelentes resultados
relativamente ao cálculo do módulo de �¿, sendo inclusivamente impossível de distinguir a
curva do Trânsito de Energia na Figura 4.6, pois esta está sobreposta pela curva do Modelo 1.
0,40000,50000,60000,70000,80000,90001,0000
105 160 215 270 325 380 435 490 545 606
| V3 |
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
-3,50-3,00-2,50-2,00-1,50-1,00-0,500,000,50
105 160 215 270 325 380 435 490 545 606
Delta V3
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
54
Por sua vez, o Modelo 2 apresenta valores do módulo com um erro crescente (erro máximo de
14,99 %) até o sistema atingir o ponto crítico.
Comparando os valores obtidos dos argumentos de �¿ através da Figura 4.7, observa-
se que o Modelo 1 volta a apresentar valores com um erro menor do que o Modelo 2, tal como
acontece com o módulo da tensão.
Variando ambas as potências no barramento crítico, atinge-se o ponto crítico de tensão
em �J = 710 �´ e KJ = 280 ����. A evolução da tensão no barramento 3 e do índice de
estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-21 e nas Figuras 4.8 (módulos de �¿) e 4.9
(argumentos de �¿).
Tabela 4-21 – Variação das potências activa e reactiva no barramento 3.
·Ã ºÃ VCPI
(power)
módulo _¹ (p.u.) argumento _¹ (graus)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
200 75 0,2987
0,9608 0,9609 0,9571
-5,03 -4,53 -5,20
260 100 0,3911
0,9404 0,9405 0,9324
-6,94 -5,92 -7,27
320 125 0,4820
0,9180 0,9184 0,9052
-8,95 -7,40 -9,43
380 150 0,5713
0,8935 0,8941 0,8751
-11,08 -8,97 -11,72
440 175 0,6588
0,8660 0,8670 0,8414
-13,39 -10,68 -14,16
500 200 0,7440
0,8346 0,8361 0,8031
-15,92 -12,57 -16,81
560 225 0,8263
0,7976 0,7997 0,7583
-18,79 -14,73 -19,78
620 250 0,9045
0,7512 0,7540 0,7030
-22,23 -17,35 -23,27
680 275 0,9752
0,6836 0,6874 0,6246
-26,96 -21,04 -27,97
710 280 0,9982
0,6376 0,6420 0,5730
-30,38 -23,76 -31,30
Figura 4.8 - Valores dos módulos da tensão �¿para os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 3.
0,50000,55000,60000,65000,70000,75000,80000,85000,90000,95001,0000
75 100 125 150 175 200 225 250 275 280
200 260 320 380 440 500 560 620 680 710
| V3 |
Potências Activa e Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
55
Figura 4.9 – Valores dos argumentos da tensão �¿para os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 3.
Com esta variação, os valores do módulo de �¿ obtidos pelo Modelo 1 voltam a ser
praticamente iguais aos do Trânsito de Energia, obtendo um erro máximo de apenas 0,69 %. O
Modelo 2 apresenta erros maiores, com um valor máximo de 10,13 %.
No cálculo do argumento da tensão, o Modelo 2 apresenta melhores resultados do que
o Modelo 1. Este último apresenta um erro máximo de 21,97 %.
Na Figura 4.10 observa-se a diferença do valor da tensão �¿ entre os dois modelos,
nos três casos de variação de potência de carga. Claramente que o Modelo 2 apresenta erros
maiores, tendo um valor máximo de 14,99 % que ocorre na variação da potência reactiva. Os
erros do Modelo 1 são mínimos, tendo um valor máximo de 1,50% na variação da potência
activa.
Figura 4.10 – Percentagem de erro dos dois modelos no cálculo do módulo da tensão �¿.
-35,00
-30,00
-25,00
-20,00
-15,00
-10,00
-5,00
0,00
75 100 125 150 175 200 225 250 275 280
200 260 320 380 440 500 560 620 680 710
Delta V3
Potências Activa e Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
1,50%0,69%
10,10%
14,99%
10,13%
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
14,00%
16,00%
∆P ∆Q ∆S
Percentagem de erro
Variações
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
56
4.4.2 Sistema de 6 barramentos
4.4.2.1 Cálculo dos equivalentes de Thévenin
Sabendo que a tensão �RS é a diferença de potencial entre o barramento 5 e a terra na
situação pré-defeito:
_RS = 0,9739 ∙ �q5{,mn = 0,9700 − �0,0878 �. I. Para o Modelo 1 foram usados os circuitos das Figuras Anexo.7 e Anexo.8 e os dados
da Tabela Anexo-2 para calcular �RS. Com a obtenção dos valores �RS¥Q�4; e �?¥Q�4; para o
barramento 5, através da equação 3.37:
¦RS,�U�� m = b�RS¥Q�4;�?¥Q�4; c �:À = b21140 ∙ �5{|,MÁ
653,4 ∙ �q5{,Z|¿c 484Â
¦RS,�U�� m = 0,0668 ∙ �5p},¿n = 0,0289 + �0,0603 �. I. No Modelo 2 foi injectada corrente no valor de ∆^ = 0,9999 � no barramento 5, como
mostra a Figura Anexo.11. Assim, recorrendo à equação 3.38:
¦RS,�U�� Z = _{V4�9� − _{4�4;49�∆^ �:9g⁄ = �0,9701 − �0,0873� − �0,9700 − �0,0878�
0,9999 262,43⁄
¦RS,�U�� Z = 0,1383 ∙ �5nÁ,}¿ = 0,0277 + �0,1355 �. I.
4.4.2.2 Análise do sistema nos casos críticos
Através da variação da potência activa no barramento crítico, mantendo constante a
potência reactiva em KJ = 70 ����, atinge-se o ponto crítico de tensão em �J = 462 �´. A
evolução da tensão no barramento 5 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-
22 e nas Figuras 4.11 (módulos de �{) e 4.12 (argumentos de �{).
Tabela 4-22 – Variação da potência activa no barramento 5, com potência reactiva constante.
·Ã VCPI
(power)
módulo _¼ argumento _¼
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
110 0,4293 0,9621 0,9600 0,9579 -8,22 -6,68 -8,59
150 0,5220 0,9486 0,9449 0,9377 -11,40 -8,22 -12,07
190 0,6120 0,9334 0,9283 0,9131 -14,73 -9,83 -15,64
230 0,6980 0,9160 0,9100 0,8839 -18,27 -11,50 -19,29
270 0,7787 0,8960 0,8895 0,8496 -22,07 -13,28 -23,06
310 0,8527 0,8724 0,8661 0,8095 -26,25 -15,20 -26,98
350 0,9179 0,8439 0,8385 0,7622 -30,95 -17,33 -31,12
390 0,9702 0,8076 0,8041 0,7048 -36,55 -19,82 -35,66
430 0,9994 0,7552 0,7559 0,6287 -44,01 -23,07 -41,06
462 0,9522 0,6547 0,6654 0,5034 -56,98 -28,49 -48,83
57
Figura 4.11 – Valores dos módulos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 5 e com potência reactiva constante.
Figura 4.12 – Valores dos argumentos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência activa no barramento 5 e com potência reactiva constante.
O Modelo 1 apresenta resultados muito próximos dos do Trânsito de Energia, no que
se refere ao módulo da tensão �{. Por sua vez, o Modelo 2 vai aumentando a diferença com o
Trânsito de Energia consoante a proximidade do ponto de colapso de tensão, atingindo o seu
ponto máximo com um erro de 23,11 %, ou seja, um erro já bastante considerável.
No cálculo do argumento de �{, é o Modelo 2 que demonstra resultados muito próximos
dos obtidos pelo Trânsito de Energia, ao contrário dos do Modelo 1.
Variando a potência reactiva no barramento crítico, mantendo constante a potência
activa em �J = 70 �´, atinge-se o ponto crítico de tensão em KJ = 380 ����. A evolução da
tensão no barramento 5 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-23 e nas
Figuras 4.13 (módulos de �{) e 4.14 (argumentos de �{).
Tabela 4-23 – Variação da potência reactiva no barramento 5, com potência activa constante.
ºÃ VCPI
(power)
módulo _¼ argumento _¼
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
100 0,3878 0,9520 0,9520 0,9271 -4,93 -4,70 -4,88
130 0,4440 0,9287 0,9288 0,8803 -4,70 -4,20 -4,59
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
1,0000
110 150 190 230 270 310 350 390 430 462
| V5 |
Potência Activa
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
-60,00
-50,00
-40,00
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
110 150 190 230 270 310 350 390 430 462
Delta V5
Potência Activa
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
58
160 0,5041 0,9041 0,9040 0,8334 -4,49 -3,68 -4,30
190 0,5672 0,8776 0,8775 0,7859 -4,30 -3,13 -4,03
220 0,6324 0,8489 0,8488 0,7376 -4,14 -2,53 -3,76
250 0,6992 0,8174 0,8171 0,6877 -4,02 -1,90 -3,50
280 0,7672 0,7819 0,7814 0,6354 -3,96 -1,19 -3,25
310 0,8362 0,7405 0,7398 0,5790 -4,01 -0,40 -3,02
340 0,9060 0,6887 0,6878 0,5144 -4,24 0,56 -2,80
380 0,9999 0,5338 0,5329 0,3533 -6,37 3,02 -2,75
Figura 4.13 – Valores dos módulos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 5 e com potência activa constante.
Figura 4.14 – Valores dos argumentos da tensão �{para os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 5 e com potência activa constante.
No cálculo do módulo da tensão no barramento 5, o Modelo 1 mantém uma curva
extremamente parecida com a curva do Trânsito de Energia. O Modelo 2 apresenta um erro
considerável acima dos 10 % a partir da quarta medição, que vai aumentando até atingir o seu
máximo para KJ = 380 ���� (33,81 %).
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
1,0000
100 130 160 190 220 250 280 310 340 380
| V5 |
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
100 130 160 190 220 250 280 310 340 380
Delta V5
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
59
Relativamente ao cálculo do argumento de �{, a curva do Modelo 2 mantém-se quase
constante, sendo que a do Modelo 1 diverge da curva do Trânsito de Energia, apresentando
inclusive valores positivos enquanto as curvas do Modelo 2 e do Trânsito de Energia mantêm-
se sempre no eixo negativo.
Variando ambas as potências no barramento crítico, atinge-se o ponto crítico de tensão
em �J = 276 �´ e KJ = 276 ����. A evolução da tensão no barramento 5 e do índice de
estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-24 e nas Figuras 4.15 (módulos de �{) e 4.16
(argumentos de �{).
Tabela 4-24 – Variação das potências activa e reactiva no barramento 5.
·Ã ºÃ VCPI
(power)
módulo _¼ argumento _¼
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
90 90 0,4136 0,9535 0,9525 0,9351 -6,54 -5,62 -6,67
110 110 0,4891 0,9319 0,9300 0,8953 -7,97 -6,08 -8,18
130 130 0,5631 0,9088 0,9061 0,8543 -9,50 -6,57 -9,71
150 150 0,6356 0,8839 0,8806 0,8118 -11,13 -7,10 -11,27
170 170 0,7062 0,8568 0,8530 0,7675 -12,90 -7,66 -12,87
190 190 0,7745 0,8269 0,8227 0,7208 -14,84 -8,27 -14,54
210 210 0,8400 0,7930 0,7888 0,6707 -17,04 -8,96 -16,31
230 230 0,9017 0,7531 0,7492 0,6155 -19,60 -9,76 -18,23
250 250 0,9574 0,7028 0,6995 0,5508 -22,84 -10,76 -20,45
276 276 0,9922 0,5574 0,5581 0,3913 -32,20 -13,59 -25,82
Figura 4.15 – Valores dos módulos da tensão �{para os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 5.
0,3500
0,4500
0,5500
0,6500
0,7500
0,8500
0,9500
90 110 130 150 170 190 210 230 250 276
90 110 130 150 170 190 210 230 250 276
| V5 |
Potências Activa e Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
60
Figura 4.16 – Valores dos argumentos da tensão �{para os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 5.
O Modelo 1 volta a apresentar resultados extremamente semelhantes aos do Trânsito
de Energia (erro máximo de 0,53 %), no que diz respeito ao módulo da tensão �{. No Modelo 2,
o erro vai aumentando atingindo um máximo de 29,80 %, ou seja, já bastante considerável.
Com esta variação, os valores obtidos do argumento da tensão no barramento 5 pelo
Modelo 2 e pelo Trânsito de Energia voltam a ser semelhantes. O Modelo 1 apresenta erros
próximos dos 50 %.
Na Figura 4.17 observa-se a diferença do valor da tensão �{ entre os dois modelos,
nos três casos de variação de potência de carga. Claramente que o Modelo 2 volta a
apresentar erros maiores, mostrando um valor máximo de 33,81 % que ocorre na variação da
potência reactiva. Os erros do Modelo 1 voltam a ser mínimos, tendo um valor máximo de
1,63% na variação da potência activa.
Figura 4.17 – Percentagem de erro dos dois modelos no cálculo do módulo da tensão �{.
-35,00
-30,00
-25,00
-20,00
-15,00
-10,00
-5,00
0,00
90 110 130 150 170 190 210 230 250 276
90 110 130 150 170 190 210 230 250 276
Delta V5
Potências Activa e Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
1,63%
23,11%
33,81%
29,80%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
40,00%
∆P ∆Q ∆S
Percentagem de erro
Variações
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
61
4.4.3 Sistema de 39 barramentos
4.4.3.1 Cálculo dos equivalentes de Thévenin
Sabendo que a tensão �RS é a diferença de potencial entre o barramento 12 e a terra
na situação pré-defeito:
_RS = 1,0000 ∙ �q5n,ZZ = 0,9920 − �0,1256 �. I. Para o Modelo 1 foram usados os circuitos das Figuras Anexo.13 e Anexo.14 e os
dados da Tabela Anexo-3 para calcular �RS. Com a obtenção dos valores �RS¥Q�4; e �?¥Q�4; para
o barramento 12, recorre-se à equação 3.37:
¦RS,�U�� m = b�RS¥Q�4;�?¥Q�4; c �:À = b5847 ∙ �5mn{,}
401,9 ∙ �5ÁÁ,¿Mc 484Â
¦RS,�U�� m = 0,0301 ∙ �5Án,mM = 0,0015 + �0,0300 �. I. No Modelo 2 foi injectada corrente no valor de ∆^ = 1,0000 � no barramento 12, como
mostra a Figura Anexo.17. Assim, através da equação 3.38:
¦RS,�U�� Z = _mZV4�9� − _mZ4�4;49�∆^ �:9g⁄ = �0,9921 − �0,1254� − �0,9920 − �0,1256�
1,0000 262,43⁄
¦RS,�U�� Z = 0,0586 ∙ �5Á{,m¿ = 0,0050 + �0,0584 �. I.
4.4.3.2 Análise do sistema nos casos críticos
Com a variação da potência activa no barramento crítico, mantendo constante a
potência reactiva em KJ = 88 ����, atinge-se o ponto crítico de tensão em �J = 1104 �´. A
evolução da tensão no barramento 12 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela
4-25 e nas Figuras 4.18 (módulos de �mZ) e 4.19 (argumentos de �mZ).
Tabela 4-25 – Variação da potência activa no barramento 12, com potência reactiva constante.
·Ã VCPI
(power)
módulo _½¾ argumento _½¾
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
120 0,1072 0,9972 0,9975 0,992 -10,8218 -9,1433 -10,9437
230 0,1606 0,9928 0,9939 0,98 -14,4316 -11,0643 -14,6086
340 0,2220 0,9867 0,989 0,9638 -18,1194 -13,0222 -18,2677
450 0,2902 0,9788 0,9826 0,9434 -21,913 -15,0342 -21,9281
560 0,3663 0,9689 0,9747 0,919 -25,8469 -17,1216 -25,6007
670 0,4524 0,9565 0,9648 0,8903 -29,9658 -19,3124 -29,3031
780 0,5518 0,9413 0,9526 0,8571 -34,3316 -21,6451 -33,0623
890 0,6700 0,9225 0,9374 0,8189 -39,0356 -24,1776 -36,9223
1000 0,8165 0,8988 0,918 0,7747 -44,2258 -27,0053 -40,9587
1104 0,9987 0,8697 0,8939 0,7252 -49,826 -30,1118 -45,0692
62
Figura 4.18 – Valores dos módulos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência activa no barramento 12 e com potência reactiva constante.
Figura 4.19 – Valores dos argumentos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência activa no barramento 12 e com potência reactiva constante.
Observa-se que, no que diz respeito ao módulo da tensão no barramento 12, os
Modelos 1 e 2 voltam a apresentar resultados distintos. O Modelo 1, quando comparado com o
Trânsito de Energia, apresenta sempre um erro mínimo. Por sua vez, o Modelo 2 apresenta
sempre algum erro, atingindo um máximo de 16,61 %.
No cálculo do argumento de �mZ, o Modelo 2 é o que obteve resultados mais próximo
dos do Trânsito de Energia, com um erro máximo de 10 %.
Variando a potência reactiva no barramento crítico, mantendo constante a potência
activa em �J = 8,5 �´, atinge-se o ponto crítico de tensão em KJ = 585 ����. A evolução da
tensão no barramento 12 e do índice de estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-26 e nas
Figuras 4.20 (módulos de �mZ) e 4.21 (argumentos de �mZ).
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
120 230 340 450 560 670 780 890 10001104
| V12 |
Potência Activa
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
120 230 340 450 560 670 780 890 1000 1104
Delta V12
Potência Activa
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
63
Tabela 4-26 – Variação da potência reactiva no barramento 12, com potência activa constante.
ºÃ VCPI
(power)
módulo _½¾ argumento _½¾
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
140 0,1281 0,9824 0,9831 0,9677 -7,21 -7,17 -7,07
190 0,1841 0,9648 0,9663 0,9364 -7,21 -7,13 -6,93
240 0,2461 0,9465 0,9487 0,9048 -7,20 -7,09 -6,78
290 0,3153 0,9274 0,9303 0,8728 -7,20 -7,04 -6,64
340 0,3931 0,9074 0,9111 0,8403 -7,20 -6,99 -6,49
390 0,4815 0,8863 0,8907 0,8072 -7,20 -6,94 -6,34
440 0,5832 0,8639 0,8690 0,7732 -7,21 -6,88 -6,19
490 0,7019 0,8399 0,8459 0,7381 -7,21 -6,82 -6,03
540 0,8433 0,8140 0,8208 0,7017 -7,22 -6,76 -5,87
585 0,9969 0,7887 0,7961 0,6672 -7,24 -6,70 -5,71
Figura 4.20 – Valores dos módulos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 12 e com potência activa constante.
Figura 4.21 – Valores dos argumentos da tensão �mZpara os três modelos com a variação da potência reactiva no barramento 12 e com potência activa constante.
0,6500
0,7000
0,7500
0,8000
0,8500
0,9000
0,9500
1,0000
140 190 240 290 340 390 440 490 540 585
| V12 |
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
-7,50
-7,00
-6,50
-6,00
-5,50
-5,00
140 190 240 290 340 390 440 490 540 585
Delta V12
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
64
No cálculo dos módulos da tensão no barramento 12, a curva do Modelo 2 mantém um
erro com subida constante (a diferença aumenta cerca de 1,5 % em cada simulação), atingindo
um máximo de 15,41 %. O Modelo 1 volta a ter uma curva sempre com um erro inferior a 1 %.
Os valores dos argumentos de �mZmantêm valores quase constantes nos dois modelos,
assim como os do próprio Trânsito de Energia.
Variando ambas as potências no barramento crítico, atinge-se o ponto crítico de tensão
em �J = 140 �´ e KJ = 574 ����. A evolução da tensão no barramento 12 e do índice de
estabilidade podem ser vistos na Tabela 4-27 e nas Figuras 4.22 (módulos de �mZ) e 4.23
(argumentos de �mZ).
Tabela 4-27 – Variação das potências activa e reactiva no barramento 12.
·Ã ºÃ VCPI
(power)
módulo _½¾ argumento _½¾
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
Trânsito de
Energia
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
22 140 0,1290 0,9821 0,9829 0,9670 -7,65 -7,41 -7,52
35 190 0,1862 0,9642 0,9658 0,9350 -8,08 -7,60 -7,82
48 240 0,2498 0,9456 0,9479 0,9027 -8,52 -7,81 -8,12
61 290 0,3210 0,9261 0,9292 0,8700 -8,98 -8,02 -8,42
74 340 0,4013 0,9057 0,9095 0,8367 -9,46 -8,24 -8,73
87 390 0,4929 0,8840 0,8887 0,8027 -9,95 -8,47 -9,04
100 440 0,5989 0,8610 0,8664 0,7678 -10,47 -8,72 -9,36
113 490 0,7234 0,8363 0,8426 0,7317 -11,02 -8,99 -9,69
126 540 0,8729 0,8094 0,8166 0,6940 -11,61 -9,28 -10,03
140 574 0,9964 0,7893 0,7971 0,6667 -12,23 -9,60 -10,46
Figura 4.22 – Valores dos módulos da tensão �mZpara os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 12.
0,6500
0,7000
0,7500
0,8000
0,8500
0,9000
0,9500
1,0000
140 190 240 290 340 390 440 490 540 574
22 35 48 61 74 87 100 113 126 140
| V12 |
Potências Activa e Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
65
Figura 4.23 – Valores dos argumentos da tensão �mZpara os três modelos com a variação das potências activa e reactiva no barramento 12.
Esta variação forma gráficos muito parecidos dos módulos e argumentos de �mZ com a
variação anterior (variação de potência reactiva mantendo a potência activa constante). Tal
facto deve-se à maior variação de potência reactiva e menor variação de potência activa.
Na Figura 4.24 observa-se a diferença do valor da tensão �mZ entre os dois modelos,
nos três casos de variação de potência de carga. O Modelo 2 volta a apresentar erros
consideráveis, mostrando valores máximos muito semelhantes em cada uma das variações de
potência de carga. No entanto, o erro máximo volta a acontecer na variação da potência activa
(16,61 %). Os erros do Modelo 1 voltam a ser mínimos, atingindo neste sistema um valor
máximo de 2,78 %, na variação da potência activa.
Figura 4.24 – Percentagem de erro dos dois modelos no cálculo do módulo da tensão �mZ.
-14,00
-12,00
-10,00
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
140 190 240 290 340 390 440 490 540 574
22 35 48 61 74 87 100 113 126 140
Delta V12
Potência Reactiva
Trânsito de Energia
Método 1 (Thévenin)
Método 2 (Thévenin)
2,78%
16,61%15,41% 15,53%
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
14,00%
16,00%
18,00%
∆P ∆Q ∆S
Percentagem de erro
Variações
Modelo 1 (Thévenin)
Modelo 2 (Thévenin)
66
4.5 Perturbações num Ramo
Como referido nos objectivos deste capítulo (secção 4.1), o estudo de perturbações
num ramo é efectuado apenas no sistema New England de 39 barramentos. Deste modo, esta
secção foca-se sobre a modificação do ramo crítico deste sistema, ou seja, o ramo que liga os
barramentos 12 e 11.
4.5.1 Cálculo dos equivalentes de Thévenin
Tendo em conta a diferença de potencial entre o barramento 12 e o barramento 11, o
valor da tensão �RS é dada por:
_RS = _mZM − _mmM
_RS = 0,0125 ∙ �5mn},Mp = −0,0125 + �0,0013 �. I. Para o Modelo 1 foram usados os circuitos das Figuras Anexo.9 e Anexo.10 e os dados
da Tabela Anexo-3 para calcular �RS. Com a obtenção dos valores �mm¥Q�4;, �mZ¥Q�4; e �?¥Q�4;
para os barramentos 11 e 12, recorre-se à equação 3.37:
¦RS,�U�� m = b�mZ¥Q�4; − �mm¥Q�4;�?¥Q�4; c �:9gÀ = t�5847 ∙ �5mn{,}� − �1746 ∙ �5mn¿,{�
378,6 ∙ �5ÁÁ,{Z w 484Â
¦RS,�U�� m = 0,0224 ∙ �5Án,p| = 0,0009 + �0,0224 �. I. No Modelo 2, foi injectada corrente no valor de ∆^mZ = 1,0000 � no barramento 12 e
corrente no valor de ∆^mm = −1,0000 � no barramento 11, como mostra a Figura Anexo.12.
Assim, através da equação 3.39:
¦RS,�U�� Z = ∆_9:V4�9� − ∆_9:4�4;49�∆^ �:9g⁄ = �`_mZV4�9� − _mmV4�9�a − `_mZ4�4;49� − _mm4�4;49�a�
∆^mZ �:9g⁄≅ �h�0,9920 − �0,1256� − �1,0045 − �0,1269�i − h�0,9920 − �0,1256� − �1,0045 − �0,1269�i�
1,0000 262,43⁄
¦RS,�U�� Z = 0,0237 ∙ �5Án,p| = 0,0010 + �0,0237 �. I.
4.5.2 Curto-circuito entre os terminais do equivalente
De modo a que o ramo crítico tenda para um curto-circuito, são colocados vários ramos
em paralelo aos terminais e !, fazendo com que a impedância de carga �9: diminua
progressivamente.
Nas Figuras 4.25 e 4.26 encontram-se os gráficos dos dois modelos estudados para as
variações de �9: e �9: (módulos e argumentos), respectivamente, considerando � = 1000.
67
Figura 4.25 – Variação de �9: de modo a que o ramo 35 tenda para curto-circuito usando: a) Modelo 1; b) Modelo 2.
Figura 4.26 – Variação de �9: de modo a que o ramo 35 tenda para curto-circuito usando: a) Modelo 1; b) Modelo 2.
Como se pode observar, os modelos obtêm resultados muito semelhantes para todas
as curvas. Os valores obtidos dos módulos de �9: e �9: após � iterações foram os seguintes:
Å_9:Æ�U�� mÅ = 2,4460q{ �. I. Å_9:Æ�U�� ZÅ = 2,3106q{ �. I.
Å^9:Æ�U�� mÅ = 0,5586 �. I. Å^9:Æ�U�� ZÅ = 0,5276 �. I.
Tal como esperado, os valores de |_9:| e |^9:| dos dois modelos obtidos por simulação
encontram-se muito próximos de zero e dos valores máximos da corrente (Å^9:Æ�U�� mÅ =Ç _ÈÉ
¦ÈÉÊËÌÍÎË ÏÇ = 0,5597 �. I. e Å^9:Æ�U�� ZÅ = Ç _ÈɦÈÉÊËÌÍÎË ÐÇ = 0,5286 �. I.), respectivamente.
68
4.5.3 Circuito aberto entre os terminais do equivalente
Para que o ramo crítico tenda para um circuito aberto, aumenta-se o valor da
impedância de carga �9: progressivamente.
Nas Figuras 4.27 e 4.28 encontram-se os gráficos dos dois modelos estudados para as
variações de �9: e �9: (módulos e argumentos), respectivamente, considerando � = 1000.
Figura 4.27 – Variação de �9: de modo a que o ramo 35 tenda para circuito aberto usando: a) Modelo 1; b) Modelo 2.
Figura 4.28 – Variação de �9: de modo a que o ramo 35 tenda para circuito aberto usando: a) Modelo 1; b) Modelo 2.
Tal como na situação de curto-circuito, os dois modelos voltam a obter curvas muito
próximas. Os valores obtidos dos módulos de �9: e �9: após � iterações foram os seguintes:
Å_9:Æ�U�� mÅ = 0,0125 �. I. Å_9:Æ�U�� ZÅ = 0,0125 �. I.
Å^9:Æ�U�� mÅ = 2,8598q} �. I. Å^9:Æ�U�� ZÅ = 2,8597q} �. I.
69
Tal como para a secção anterior, estes resultados também foram os esperados, pois os
valores de |_9:| e |^9:| dos dois modelos obtidos por simulação encontram-se muito próximos
dos valores máximos da tensão (Å_RSÆéx�U� mÅ = Å_RSÆéx�U� ZÅ = 0,0125 �. I.) e de zero,
respectivamente.
4.6 Conclusões
Neste capítulo foi realizado um estudo sobre o comportamento dos equivalentes
Thévenin (secções 3.3 e 3.4, juntamente com a secção 3.5) e as equações do trânsito de
energia, quando existem perturbações em sistemas de energia eléctrica. Para isso, foram
utilizados três sistemas como exemplo (3, 6 e 39 barramentos).
Após a análise dos casos iniciais, foi encontrado o barramento crítico e o
correspondente ramo crítico de cada sistema (método descrito em 3.2). Esses barramentos e
ramos foram os escolhidos para serem alterados nos estudos de perturbações de carga num
barramento (secção 4.4) e de perturbações de rede num ramo (secção 4.5), respectivamente.
De modo a comparar as duas situações de funcionamento dos SEE (Modelo 1 e
Modelo 2) com as equações de trânsito de energia obtidos pelo método de Newton, foram
realizadas na secção 4.4 três diferentes variações no barramento crítico para cada sistema:
variação apenas da potência activa, variação apenas da potência reactiva e variação destes
dois tipos de potência simultaneamente, ou seja, da potência aparente.
Através dos resultados obtidos nesse estudo (perturbação no barramento) é possível
concluir que, tal como esperado, o modelo equivalente Thévenin aplicado aos curto-circuitos
(Modelo 1) apresenta bons resultados no cálculo do módulo da tensão no barramento crítico.
Este, comparativamente com o cálculo do trânsito de energia obtido pelo MATPOWER,
manteve sempre um erro inferior a 2,78% (sistema de 39 barramentos). Por sua vez, o modelo
equivalente Thévenin na situação de funcionamento normal dos SEE (Modelo 2) obteve
sempre erros consideráveis no cálculo do módulo da tensão junto do limite de estabilidade,
principalmente para o sistema de 6 barramentos (obteve erros de 23,11 %, 33,81 % e 29,80 %
nos três tipos de variação). De notar que, em ambas as situações, os erros dos modelos
tendem a ir aumentando consoante a proximidade do ponto de colapso de tensão, como seria
de esperar.
Relativamente ao cálculo dos argumentos da tensão no barramento crítico, foi o
Modelo 2 que apresentou melhores resultados do que o Modelo 1, com excepção para a
variação de potência reactiva nos sistemas de 3 e 39 barramentos.
Na secção 4.5 foram realizados dois tipos de perturbação (curto-circuito e circuito
aberto) no ramo crítico do sistema de 39 barramentos (ramo que liga os barramentos 12 e 11,
ambos do tipo PQ), apresentando-se as curvas da tensão �9: e da corrente �9: (módulos e
argumentos) para ambas as situações (Modelos 1 e 2).
70
Tal como esperado numa situação de curto-circuito, com a diminuição da impedância
de carga �9: a tensão �9: aproximou-se de zero e a corrente �9: tendeu para o seu valor
máximo, ou seja, �9: = ÒÈÉÓÈÉ.
Com o aumento da impedância de carga �9:, o ramo crítico passa a estar numa
situação de circuito aberto. Assim, também já era esperado que a tensão �9: tendesse para o
seu valor máximo, �9: = �RS, e que a corrente �9: se aproximasse de zero.
71
Capítulo 5 5. Conclusão
5.1 Síntese de Resultados
Este trabalho foi iniciado com um estudo sobre os princípios fundamentais teóricos.
Assim, foi realizado um trabalho bibliográfico sobre os temas mencionados na dissertação
(trânsito de energia, estabilidade de tensão, teorema de Thévenin e teorema de Tellegen
aplicado às redes adjuntas), que pode ser observado no capítulo 2. Esse estudo também inclui
resumidamente alguns dos métodos existentes de aplicação.
No capítulo 3 são analisados os modelos utilizados na parte prática deste trabalho. O
trânsito de energia é calculado através do programa MATPOWER; a estabilidade de tensão é
verificada por um indicador de proximidade de colapso de tensão (���������); as situações de
curto-circuito e de funcionamento normal dos SEE são analisadas respectivamente através dos
Modelos 1 e 2 (equivalentes Thévenin), juntamente com o modo de calcular a tensão entre os
terminais desses equivalentes.
O Modelo 1 (equivalente Thévenin), que se baseia na situação de curto-circuito onde o
teorema de Thévenin é habitualmente usado com garantias, usa o software OrCAD PSpice
juntamente com o PSpice Schematics para construir circuitos eléctricos de modo a calcular a
impedância �RS. Os passos para a construção desses circuitos e a respectiva análise
computacional encontram-se explicados detalhadamente na secção 3.3.
O Modelo 2 foi criado para servir de equivalente Thévenin na situação de
funcionamento normal dos sistemas de energia eléctrica, e baseia-se nos pressupostos da lei
de Ohm e da definição de impedância. Ao injectar-se potência no barramento onde queremos
encontrar o equivalente (através da colocação de uma fonte independente de corrente unitária
72
entre os terminais do equivalente de Thévenin), é possível encontrar a variação de tensão e
corrente nesse barramento, logo o próprio valor da impedância de Thévenin. Este modelo
encontra-se explicado com mais detalhe na secção 3.4.
De referir que, dada a grande dificuldade em inserir fontes de corrente no
MATPOWER, foi necessário criar algoritmos em MatLab (cujos fluxogramas se encontram na
subsecção 3.4.1) que o fizessem. Assim, estes algoritmos tornam possível a injecção de fontes
de corrente unitárias em um (+1�) ou dois barramentos (+1�/−1�), um requisito essencial
neste modelo de equivalente Thévenin.
Depois de obtidos os parâmetros do equivalente de Thévenin (tensão �RS e impedância
�RS), é necessário calcular a tensão entre os terminais desse circuito equivalente �9:, que
depende da potência de carga inicial e após a perturbação nesse barramento. O modo como
esse cálculo é efectuado encontra-se explicado na secção 3.5.
No capítulo 4 conclui-se sobre a validade dos modelos equivalentes Thévenin criados
para as duas situações de funcionamento distintas (situação de curto-circuito e situação de
funcionamento normal dos SEE). Para isso, e após uma análise inicial dos três sistemas de
teste (3, 6 e 39 barramentos) e determinação dos seus barramentos e ramos críticos, recorreu-
se a um estudo de dois tipos de perturbação nesses sistemas: perturbação de carga no
barramento crítico e perturbação no ramo crítico.
Tal como esperado (na situação de curto-circuito o sistema está próximo da
linearidade), o Modelo 1 apresentou excelentes resultados aquando da perturbação de carga
no barramento crítico (erro máximo no módulo da tensão de 2,78%). Por outro lado, o Modelo 2
exibe resultados com erros consideráveis junto do limite de estabilidade de tensão nas
perturbações de carga no barramento crítico, principalmente no sistema de 6 barramentos
(23,11%, 33,81% e 29,80% nos três tipos de variação de potência de carga). Como os sistemas
de 3 e 39 barramentos obtiveram melhores resultados (erros máximos de 14,99% e 16,61%,
respectivamente, no limite da estabilidade de tensão), não é possível concluir sobre a relação
entre o erro do modelo e o tamanho do sistema. De notar que, em ambos os modelos, o erro
tende a aumentar com a proximidade do ponto de colapso de tensão, sendo por isso muito
baixo para pequenas variações de potência de carga (dai a necessidade de se ter encontrado
um método de análise do limite de estabilidade de tensão).
Relativamente às perturbações no ramo crítico de um sistema de energia eléctrica
(ramo a tender para curto-circuito e para circuito aberto testados no sistema de 39
barramentos), ambos os modelos de equivalentes Thévenin obtêm resultados muito
semelhantes. Quando esse ramo tende para curto-circuito, tal como esperado, a tensão �9:
aproxima-se de zero e a corrente �9: tende para o seu valor máximo. Ao contrário, quando o
ramo crítico tende para circuito aberto a tensão �9: aproxima-se do seu valor máximo e a
corrente �9: de zero.
73
5.2 Utilidade dos Modelos Equivalentes
Conforme verificado na secção anterior, os dois modelos equivalentes Thévenin
obtiveram resultados diferentes. Isso já seria de esperar, visto tratarem-se de situações
diferentes de análise, como referido anteriormente.
Apesar dos excelentes resultados obtidos do Modelo 1 na situação de curto-circuito,
este revelou-se pouco prático devido à necessidade de construção do circuito no OrCAD
PSpice para cada sistema de energia eléctrica e de reconstrução do mesmo para cada
pequena reconfiguração da rede do sistema. Para além destes problemas também se deve
referir que, quanto maior o SEE, mais complexo e difícil será de construir o circuito. Tal pode
ser observado através das figuras do Anexo C.2, onde os circuitos já são bastante complexos
ainda que o sistema contenha apenas 39 barramentos (os sistemas deste género podem ter
centenas ou milhares de barramentos).
Por outro lado, os algoritmos desenvolvidos do Modelo 2 permitem que este seja
utilizado em qualquer sistema de energia eléctrica não linear, não dependendo do seu
tamanho. Este modelo funciona aceitavelmente apenas para pequenas variações de potência
de carga. Caso existam reconfigurações da rede do sistema, o Modelo 2 de equivalente
Thévenin também tem de ser refeito, o que provoca um maior tempo dispendido.
5.3 Perspectivas de Trabalho Futuro
Visto que nesta dissertação concluiu-se sobre o mau funcionamento do teorema de
Thévenin aplicado a modelos equivalentes de cálculo de tensões e correntes em sistemas de
energia eléctrica (excepto para curto-circuitos, como esperado), parece ser extremamente
interessante procurar outro tipo de equivalente que obtenha melhores resultados em sistemas
não lineares quando comparado com as equações de trânsito de energia.
Já a pensar nesse objectivo, neste trabalho preparou-se a aplicação do teorema de
Tellegen aplicado às redes adjuntas como possível base para o estudo de modelos
equivalentes adjuntos, dada a sua validade neste tipo de problemas (referida na secção 2.4)
como o cálculo de tensões e correntes em sistemas não lineares (caso dos SEE).
Espera-se que estes novos modelos obtenham resultados precisos, quando
comparados com os dois modelos de equivalentes de Thévenin desenvolvidos nesta
dissertação (nomeadamente com o Modelo 2, pois este é o equivalente de Thévenin que pode
ser utilizado em qualquer SEE) e com a própria solução do trânsito de energia habitual (método
de Newton).
74
(Página em branco)
75
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13. Model Validation Studies in Obtaining Q-V Characteristics of P-Q Loads in Respect of
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K.V.S. Dezembro de 2006, International Conference on PEDES '06, pp. 1 - 5.
14. A Method for Voltage Stability Assessment Based on Wide Area Measurement System. Su,
Yongchun e Wang, Xiaoming. Março de 2009, APPEEC 2009, pp. 1 - 4.
15. Adaptive undervoltage load shedding relay design using Thevenin equivalent estimation.
Tsai, S.-J.S. e Wong, Kim-Hoi. Julho de 2008, Power and Energy Society General Meeting,
pp. 1 - 8.
16. Tracking of Thevenin Equivalent Parameters on Weak Voltage Load Bus Groups. An,
Tianyu, et al. Outubro/Novembro de 2006, IEEE PES PSCE '06, pp. 1570 - 1576.
76
17. System thevenin impedance estimation using signal processing on load bus data.
Bahadornejad, M. e Ledwich, G. Novembro de 2003, Sixth International Conference on
ASDCOM, Vol. 1, pp. 274 - 279.
18. Jesus, C.M.S.C. Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de
Tensões e Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica. Instituto Superior Técnico. Dezembro,
2004. Dissertação de Doutoramento.
19. Tellegen’s Theorem and Power Systems - New Load Flow Equations, New Solution
Methods. Ferreira, L.A.F.M. Abril de 1990, IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vols.
37, no. 4, pp. 519 - 526.
20. Local Network Power Flow Analysis: an Accuracy Level Comparison for Two Sets of
Equations. Ferreira, L.A.F.M., Jesus, C.M.S.C. Novembro de 2006, IEEE Transactions on
Power Systems, Vols. 21, no. 4, pp. 1616 - 1623.
21. Accuracy and Complexity in the Modelling of Power Systems Subject to Large Network
Disturbances in a Framework given by Tellegen’s Theorem and Adjoint Networks. Ferreira,
L.A.F.M. Singapura : s.n., Junho de 1991, IEEE International Symposium on Circuits and
Systems, Vol. 2, pp. 1228 - 1232.
22. Power Flow by Adjoint Networks. Jesus, C.M.S.C. e Ferreira, L.A.F.M. Setembro de 2003,
IEEE PES Transmission and Distribution Conference and Exposition, Vol. 1, pp. 196 - 200.
23. Araújo, Miguel A.D. Reconfiguração de redes de distribuição usando redes adjuntas.
Instituto Superior Técnico. Novembro, 2007. Dissertação de Mestrado.
24. Manageiro, Pedro F.G. Cálculo de perdas em redes de distribuição através de redes
adjuntas. Instituto Superior Técnico. Dezembro, 2007. Dissertação de Mestrado.
25. Nabo, Nuno F.P.G. Reliability for radial distribution network susing adjoint networks.
Instituto Superior Técnico. Abril, 2008. Dissertação de Mestrado.
26. Félix, Diogo M.M. Reliability for Meshed Distribution Networks Using Adjoint Networks.
Instituto Superior Técnico. Junho, 2008. Dissertação de Mestrado.
27. Zimmerman, R.D., Murillo-Sánchez, C.E. MATPOWER: A MATLAB Power System
Simulation Package. [Online] Setembro de 2007. http://www.pserc.cornell.edu/matpower/.
28. Power Flow Solution by Newton's Method. Tinney, W.F. e Hart, C.E. Novembro de 1967,
IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vols. PAS-86, no. 11, pp. 1449 - 1460 .
29. Robbins, Allan e Miller, Wilhelm C. Circuit Analysis with Devices: Theory and Practice. 2.
s.l. : Cengage Learning, 2003. pp. 722 - 725.
30. William H. Hayt, Jr., Kemmerly, Jack E. e Durbin, Steven M. Engineering Circuit
Analysis. sexta edição. s.l. : McGraw-Hill, 2002.
31. MATLAB Central. [Online] http://www.mathworks.com/matlabcentral.
77
Anexos
Anexo A: Sistema de 3 barramentos
A.1 Dados iniciais do sistema
function [baseMVA, bus, gen, branch] = caso3_base %%----- Power Flow Data -----%% %% system MVA base baseMVA = 100; %% bus data % bus_i type Pd Qd Gs Bs area Vm Va baseKV zone
Vmax Vmin bus = [ 1 3 0 0 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 2 2 0 0 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 3 1 140 50 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; ]; %% generator data % bus Pg Qg Qmax Qmin Vg mBase status Pmax Pmin gen = [ 1 0 0 300 -300 1.02 100 1 300 10; 2 50 0 300 -300 1.01 100 1 300 10; ]; %% branch data % fbus tbus r x b rateA rateB rateC ratio angle status branch = [ 1 2 0.02 0.08 0.02 250 250 250 0 0 1; 1 3 0.02 0.08 0.02 250 250 250 0 0 1; 2 3 0.02 0.08 0.02 250 250 250 0 0 1; ]; return;
A.2 Circuitos OrCAD PSpice
Tabela Anexo-1 – Dados do circuito.
Ramo tipo R X Barramento R X
1 Linha 9,71105 0,123430 3 294,29880 0,334570
2 Linha 9,71005 0,123430
3 Linha 9,71105 0,123430 Barramento |V| delta
3 215539,2 -3,2093
78
Figura Anexo.1 – Circuito PSpice para a obtenção do valor de �RS¥Q�4; no barramento 3.
Figura Anexo.2 - Circuito PSpice para a obtenção do valor de �?¥Q�4; no barramento 3.
79
A.3 Injecção de corrente
Figura Anexo.3 – Injecção de corrente no valor de 1 � no barramento 3.
80
Anexo B: Sistema de 6 barramentos
B.1 Dados iniciais do sistema
function [baseMVA, bus, gen, branch] = caso6_base %%----- Power Flow Data -----%% %% system MVA base baseMVA = 100; %% bus data % bus_i type Pd Qd Gs Bs area Vm Va baseKV zone
Vmax Vmin bus = [ 1 3 0 0 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 2 2 0 0 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 3 2 0 0 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 4 1 70 70 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 5 1 70 70 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; 6 1 70 70 0 0 1 1 0 220 1 1.1 0.9; ]; %% generator data % bus Pg Qg Qmax Qmin Vg mBase status Pmax Pmin gen = [ 1 0 0 300 -300 1.05 100 1 250 10; 2 50 0 300 -300 1.05 100 1 300 10; 3 60 0 300 -300 1.07 100 1 300 10; ]; %% branch data % fbus tbus r x b rateA rateB rateC ratio angle
status branch = [ 1 2 0.10 0.20 0.00 250 250 250 0 0 1; 1 4 0.05 0.20 0.00 250 250 250 0 0 1; 1 5 0.08 0.30 0.00 250 250 250 0 0 1; 2 3 0.05 0.25 0.00 250 250 250 0 0 1; 2 4 0.05 0.10 0.00 250 250 250 0 0 1; 2 5 0.10 0.30 0.00 250 250 250 0 0 1; 2 6 0.07 0.20 0.00 250 250 250 0 0 1; 3 5 0.12 0.26 0.00 250 250 250 0 0 1; 3 6 0.02 0.10 0.00 250 250 250 0 0 1; 4 5 0.20 0.40 0.00 250 250 250 0 0 1; 5 6 0.10 0.30 0.00 250 250 250 0 0 1; ]; return;
81
B.2 Circuitos OrCAD PSpice
Tabela Anexo-2 – Dados do circuito.
Ramo tipo R X Barramento R X
1 Linha 48,40000 0,308124 4 334,39690 0,002199
2 Linha 24,20000 0,308124 5 327,92440 0,002157
3 Linha 38,72000 0,462186 6 344,66290 0,002267
4 Linha 24,20000 0,385155
5 Linha 24,20000 0,154062
6 Linha 48,40000 0,462186 Barramento |V| delta
7 Linha 33,88000 0,308124 5 214264,8 -5,1749
8 Linha 58,08000 0,400561
9 Linha 9,68000 0,154062
10 Linha 96,80000 0,616248
11 Linha 48,40000 0,462186
Figura Anexo.4 – Circuito PSpice para a obtenção do valor de �RS¥Q�4; no barramento 5.
82
Figura Anexo.5 – Circuito PSpice para a obtenção do valor de �?¥Q�4; no barramento 5.
B.3 Injecção de corrente
Figura Anexo.6 – Injecção de corrente no valor de 1 � no barramento 5.
83
Anexo C: Sistema de 39 barramentos
C.1 Dados iniciais do sistema
function [baseMVA, bus, gen, branch] = caso39_base %%----- Power Flow Data -----%% %% system MVA base baseMVA = 100; %% bus data % bus_i type Pd Qd Gs Bs area Vm Va baseKV zone
Vmax Vmin bus = [ 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1.06 0.94; 2 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1.06 0.94; 3 1 322 2.4 0 0 1 1.0341 -9.73 0 1 1.06 0.94; 4 1 500 184 0 0 1 1.0116 -10.53 0 1 1.06 0.94; 5 1 0 0 0 0 1 1.0165 -9.38 0 1 1.06 0.94; 6 1 0 0 0 0 1 1.0172 -8.68 0 1 1.06 0.94; 7 1 233.8 84 0 0 1 1.0067 -10.84 0 1 1.06 0.94; 8 1 522 176.6 0 0 1 1.0057 -11.34 0 1 1.06 0.94; 9 1 0 0 0 0 1 1.0322 -11.15 0 1 1.06 0.94; 10 1 0 0 0 0 1 1.0235 -6.31 0 1 1.06 0.94; 11 1 0 0 0 0 1 1.0201 -7.12 0 1 1.06 0.94; 12 1 8.5 88 0 0 1 1.0072 -7.14 0 1 1.06 0.94; 13 1 0 0 0 0 1 1.0207 -7.02 0 1 1.06 0.94; 14 1 0 0 0 0 1 1.0181 -8.66 0 1 1.06 0.94; 15 1 320 153 0 0 1 1.0194 -9.06 0 1 1.06 0.94; 16 1 329.4 32.3 0 0 1 1.0346 -7.66 0 1 1.06
0.94; 17 1 0 0 0 0 1 1.0365 -8.65 0 1 1.06 0.94; 18 1 158 30 0 0 1 1.0343 -9.49 0 1 1.06 0.94; 19 1 0 0 0 0 1 1.0509 -3.04 0 1 1.06 0.94; 20 1 680 103 0 0 1 0.9914 -4.45 0 1 1.06 0.94; 21 1 274 115 0 0 1 1.0337 -5.26 0 1 1.06 0.94; 22 1 0 0 0 0 1 1.0509 -0.82 0 1 1.06 0.94; 23 1 247.5 84.6 0 0 1 1.0459 -1.02 0 1 1.06 0.94; 24 1 308.6 -92.2 0 0 1 1.0399 -7.54 0 1 1.06
0.94; 25 1 224 47.2 0 0 1 1.0587 -5.51 0 1 1.06
0.94; 26 1 139 17 0 0 1 1.0536 -6.77 0 1 1.06 0.94; 27 1 281 75.5 0 0 1 1.0399 -8.78 0 1 1.06
0.94; 28 1 206 27.6 0 0 1 1.0509 -3.27 0 1 1.06
0.94; 29 1 283.5 26.9 0 0 1 1.0505 -0.51 0 1 1.06 0.94; 30 2 0 0 0 0 1 1.0475 0 0 1 1.06 0.94; 31 3 9.2 4.6 0 0 1 0.982 0 0 1 1.06 0.94; 32 2 0 0 0 0 1 0.9831 1.63 0 1 1.06 0.94; 33 2 0 0 0 0 1 0.9972 2.18 0 1 1.06 0.94; 34 2 0 0 0 0 1 1.0123 0.74 0 1 1.06 0.94;
84
35 2 0 0 0 0 1 1.0493 4.14 0 1 1.06 0.94; 36 2 0 0 0 0 1 1.0635 6.83 0 1 1.06 0.94; 37 2 0 0 0 0 1 1.0278 1.27 0 1 1.06 0.94; 38 2 0 0 0 0 1 1.0265 6.55 0 1 1.06 0.94; 39 2 1104 250 0 0 1 1.03 -10.96 0 1 1.06
0.94; ]; %% generator data % bus Pg Qg Qmax Qmin Vg mBase status Pmax Pmin gen = [ 30 250 103.3 9999 -9999 1.0475 100 1 350 0; 31 572.9 170.3 9999 -9999 0.982 100 1 1145.55 0; 32 650 175.9 9999 -9999 0.9831 100 1 750 0; 33 632 103.3 9999 -9999 0.9972 100 1 732 0; 34 508 164.4 9999 -9999 1.0123 100 1 608 0; 35 650 204.8 9999 -9999 1.0493 100 1 750 0; 36 560 96.9 9999 -9999 1.0635 100 1 660 0; 37 540 -4.4 9999 -9999 1.0278 100 1 640 0; 38 830 19.4 9999 -9999 1.0265 100 1 930 0; 39 1000 68.5 9999 -9999 1.03 100 1 1100 0; ]; %% branch data % fbus tbus r x b rateA rateB rateC ratio angle status branch = [ 1 2 0.0035 0.0411 0.6987 9900 0 0 0 0 1; 1 39 0.001 0.025 0.75 9900 0 0 0 0 1; 2 3 0.0013 0.0151 0.2572 9900 0 0 0 0 1; 2 25 0.007 0.0086 0.146 9900 0 0 0 0 1; 3 4 0.0013 0.0213 0.2214 9900 0 0 0 0 1; 3 18 0.0011 0.0133 0.2138 9900 0 0 0 0 1; 4 5 0.0008 0.0128 0.1342 9900 0 0 0 0 1; 4 14 0.0008 0.0129 0.1382 9900 0 0 0 0 1; 5 6 0.0002 0.0026 0.0434 9900 0 0 0 0 1; 5 8 0.0008 0.0112 0.1476 9900 0 0 0 0 1; 6 7 0.0006 0.0092 0.113 9900 0 0 0 0 1; 6 11 0.0007 0.0082 0.1389 9900 0 0 0 0 1; 7 8 0.0004 0.0046 0.078 9900 0 0 0 0 1; 8 9 0.0023 0.0363 0.3804 9900 0 0 0 0 1; 9 39 0.001 0.025 1.2 9900 0 0 0 0 1; 10 11 0.0004 0.0043 0.0729 9900 0 0 0 0 1; 10 13 0.0004 0.0043 0.0729 9900 0 0 0 0 1; 13 14 0.0009 0.0101 0.1723 9900 0 0 0 0 1; 14 15 0.0018 0.0217 0.366 9900 0 0 0 0 1; 15 16 0.0009 0.0094 0.171 9900 0 0 0 0 1; 16 17 0.0007 0.0089 0.1342 9900 0 0 0 0 1; 16 19 0.0016 0.0195 0.304 9900 0 0 0 0 1; 16 21 0.0008 0.0135 0.2548 9900 0 0 0 0 1; 16 24 0.0003 0.0059 0.068 9900 0 0 0 0 1; 17 18 0.0007 0.0082 0.1319 9900 0 0 0 0 1; 17 27 0.0013 0.0173 0.3216 9900 0 0 0 0 1; 21 22 0.0008 0.014 0.2565 9900 0 0 0 0 1; 22 23 0.0006 0.0096 0.1846 9900 0 0 0 0 1; 23 24 0.0022 0.035 0.361 9900 0 0 0 0 1; 25 26 0.0032 0.0323 0.513 9900 0 0 0 0 1; 26 27 0.0014 0.0147 0.2396 9900 0 0 0 0 1; 26 28 0.0043 0.0474 0.7802 9900 0 0 0 0 1; 26 29 0.0057 0.0625 1.029 9900 0 0 0 0 1; 28 29 0.0014 0.0151 0.249 9900 0 0 0 0 1;
85
12 11 0.0016 0.0435 0 9900 0 0 1.006 0 1; 12 13 0.0016 0.0435 0 9900 0 0 1.006 0 1; 6 31 0 0.025 0 9900 0 0 1.07 0 1; 10 32 0 0.02 0 9900 0 0 1.07 0 1; 19 33 0.0007 0.0142 0 9900 0 0 1.07 0 1; 20 34 0.0009 0.018 0 9900 0 0 1.009 0 1; 22 35 0 0.0143 0 9900 0 0 1.025 0 1; 23 36 0.0005 0.0272 0 9900 0 0 1 0 1; 25 37 0.0006 0.0232 0 9900 0 0 1.025 0 1; 2 30 0 0.0181 0 9900 0 0 1.025 0 1; 29 38 0.0008 0.0156 0 9900 0 0 1.025 0 1; 19 20 0.0007 0.0138 0 9900 0 0 1.06 0 1; ]; return;
C.2 Circuitos OrCAD PSpice
Tabela Anexo-3 – Dados do circuito.
Ramo tipo R X Ramo tipo R X
1 Linha 1,79564 0,065177 38 Transformador 0,00000 0,032969
2 Linha 0,50267 0,039250 39 Transformador 0,36252 0,023408
3 Linha 0,63412 0,023353 40 Transformador 0,43952 0,027981
4 Linha 3,39652 0,013255 41 Transformador 0,00000 0,022582
5 Linha 0,63518 0,032970 42 Transformador 0,24200 0,041905
6 Linha 0,53544 0,020548 43 Transformador 0,29766 0,036636
7 Linha 0,38853 0,019754 44 Transformador 0,00000 0,028582
8 Linha 0,38858 0,019909 45 Transformador 0,39688 0,024635
9 Linha 0,09682 0,004006 46 Transformador 0,35913 0,022537
10 Linha 0,38848 0,017283
11 Linha 0,29100 0,014188
12 Linha 0,33957 0,012647 Barramento R X
13 Linha 0,19374 0,007089 3 159,57978 0,003786
14 Linha 1,14459 0,056704 4 85,89752 0,100619
15 Linha 0,51440 0,039705 7 182,10861 0,208265
16 Linha 0,19372 0,006627 8 82,47290 0,088814
17 Linha 0,19372 0,006627 12 52,62951 1,734376
18 Linha 0,43712 0,015587 15 127,01909 0,193313
19 Linha 0,88520 0,033697 16 155,06961 0,048401
20 Linha 0,43700 0,014505 18 314,45510 0,190052
21 Linha 0,33961 0,013728 20 68,32695 0,032944
22 Linha 0,78366 0,030220 21 159,97933 0,213728
23 Linha 0,38988 0,020870 23 191,19969 0,208033
24 Linha 0,14532 0,009093 24 155,05654 -68,710806
25 Linha 0,33953 0,012647 25 231,36679 0,155183
26 Linha 0,63626 0,026801 26 379,78235 0,147849
27 Linha 0,39000 0,021646 27 173,06454 0,148013
86
28 Linha 0,29143 0,014816 28 254,54312 0,108556
29 Linha 1,09223 0,054609 29 186,53120 0,056338
30 Linha 1,60143 0,050592 31 4058,54623 6,459377
31 Linha 0,68240 0,022726 39 44,24178 0,031890
32 Linha 2,24408 0,075805
33 Linha 3,15095 0,102844
34 Linha 0,68272 0,023350 Barramento |V| delta
35 Transformador 0,77905 0,067419 12 219990,7 -7,22
36 Transformador 0,77905 0,067419
37 Transformador 0,00000 0,041211
Figura Anexo.7 – Circuito PSpice para a obtenção do valor de �RS¥Q�4; no barramento 12.
87
Figura Anexo.8 – Circuito PSpice para a obtenção do valor de �?¥Q�4; no barramento 12.
88
Figura Anexo.9 – Circuito PSpice para a obtenção do valor �RS¥Q�4; entre os barramentos 12 e 11.
89
Figura Anexo.10 – Circuito PSpice para a obtenção do valor �?¥Q�4; entre os barramentos 12 e 11.
90
C.3 Injecção de corrente
Figura Anexo.11 – Injecção de corrente no valor de 1 � no barramento 12.
Figura Anexo.12 – Injecção de corrente entre os barramentos 12 e 11.