ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALITICA

Cursos do DEGGE - Ano lectivo 2009/2010

1o TESTE - 05/11/2009 - Duracao: 1 hora (sem consulta)

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Nas tres questoes de escolha multipla, assinale apenas a unica resposta correctano enunciado do teste. Resolva as restantes questoes no seu caderno de teste,justificando todas as respostas dadas.

Cotacao: 1: 1,8 valores; 2: 2,4 valores; 3: 1 valor.4, 5 e 6: 0,6 valores (cada resposta errada desconta 0,2 valores);

1. Seja A = [u1|u2|u3] = 2 2 40 2 1

4 12 0

e X = xyz

.(a) Mostre que as colunas de A satisfazem a igualdade u2 = 3u1 2u3.

(b) Diga, justificando, se a solucao do sistema AX =

000

e um ponto,uma recta ou um plano.

(c) Justifique, em termos do ponto de vista das colunas, que a afirmacaoseguinte e falsa:

Existe uma coluna B R31 tal que o sistema AX = B e possvel edeterminado.

2. Considere os planos de R3:

pi1 : x+ y + z = 10; pi2 : x+ ay z = 2; pi3 : x 2y + z = 4.(a) Faca a = 1 e determine a interseccao entre os planos pi1, pi2 e pi3,

resolvendo o sistema pelo metodo de eliminacao de Gauss.

(b) Determine, caso existam, valores de a para os quais o plano pi2 e per-pendicular aos planos pi1 e pi3.

(c) Quais as coordenadas do ponto de interseccao do plano pi1 com o eixodos xx?

(d) Indique um vector unitario que seja perpendicular ao plano pi3.

3. Sejam C e D matrizes de tipo n n invertveis. Considere a matriz [C|D]e suponha que se realizam operacoes elementares nas linhas de [C|D] ateobter [In|G]. Mostre que D = CG.

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Questoes de escolha multipla

4. Sejam a, b R e

[A|B] = 1 2 40 a 5

0 0 1

20b

a matriz ampliada de um sistema de equacoes lineares. Entao,

(a) o sistema e possvel e determinado para a = 0 e b = 0

(b) o sistema e possvel e indeterminado para a = 0 e b = 10

(c) o sistema e possvel e indeterminado para a = 5 e b = 1

(d) o sistema e impossvel para a = 0 e b = 1

5. Seja A = LU , com

L =

1 0 05 1 07 0 1

.A sequencia de operacoes de eliminacao realizadas em A para obter U foi:

(a) substituicao da linha 2 pela sua diferenca com a linha 1 multiplicadapor 5 e substituicao da linha 3 pela sua diferenca com a linha 2 mul-tiplicada por 7

(b) substituicao da linha 2 pela sua soma com a linha 1 multiplicada por5 e substituicao da linha 3 pela sua soma com a linha 2 multiplicadapor 7

(c) substituicao da linha 2 pela sua diferenca com a linha 1 multiplicadapor 5 e substituicao da linha 3 pela sua soma com a linha 1 multiplicadapor 7

(d) substituicao da linha 2 pela sua soma com a linha 1 multiplicada por 5e substituicao da linha 3 pela sua diferenca com a linha 1 multiplicadapor 7

6. Sejam A =

[1 22 1

]e B =

[1 01 0

]. Entao

(a) (AB)T =

[1 12 2

](b) A e uma matriz simetrica e B esta em forma de escada

(c) A1B tem uma coluna nula

(d) A e uma matriz invertvel e B e uma matriz simetrica

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