teste1a2009
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ALGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALITICA
Cursos do DEGGE - Ano lectivo 2009/2010
1o TESTE - 05/11/2009 - Duracao: 1 hora (sem consulta)
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Nas tres questoes de escolha multipla, assinale apenas a unica resposta correctano enunciado do teste. Resolva as restantes questoes no seu caderno de teste,justificando todas as respostas dadas.
Cotacao: 1: 1,8 valores; 2: 2,4 valores; 3: 1 valor.4, 5 e 6: 0,6 valores (cada resposta errada desconta 0,2 valores);
1. Seja A = [u1|u2|u3] = 2 2 40 2 1
4 12 0
e X = xyz
.(a) Mostre que as colunas de A satisfazem a igualdade u2 = 3u1 2u3.
(b) Diga, justificando, se a solucao do sistema AX =
000
e um ponto,uma recta ou um plano.
(c) Justifique, em termos do ponto de vista das colunas, que a afirmacaoseguinte e falsa:
Existe uma coluna B R31 tal que o sistema AX = B e possvel edeterminado.
2. Considere os planos de R3:
pi1 : x+ y + z = 10; pi2 : x+ ay z = 2; pi3 : x 2y + z = 4.(a) Faca a = 1 e determine a interseccao entre os planos pi1, pi2 e pi3,
resolvendo o sistema pelo metodo de eliminacao de Gauss.
(b) Determine, caso existam, valores de a para os quais o plano pi2 e per-pendicular aos planos pi1 e pi3.
(c) Quais as coordenadas do ponto de interseccao do plano pi1 com o eixodos xx?
(d) Indique um vector unitario que seja perpendicular ao plano pi3.
3. Sejam C e D matrizes de tipo n n invertveis. Considere a matriz [C|D]e suponha que se realizam operacoes elementares nas linhas de [C|D] ateobter [In|G]. Mostre que D = CG.
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Questoes de escolha multipla
4. Sejam a, b R e
[A|B] = 1 2 40 a 5
0 0 1
20b
a matriz ampliada de um sistema de equacoes lineares. Entao,
(a) o sistema e possvel e determinado para a = 0 e b = 0
(b) o sistema e possvel e indeterminado para a = 0 e b = 10
(c) o sistema e possvel e indeterminado para a = 5 e b = 1
(d) o sistema e impossvel para a = 0 e b = 1
5. Seja A = LU , com
L =
1 0 05 1 07 0 1
.A sequencia de operacoes de eliminacao realizadas em A para obter U foi:
(a) substituicao da linha 2 pela sua diferenca com a linha 1 multiplicadapor 5 e substituicao da linha 3 pela sua diferenca com a linha 2 mul-tiplicada por 7
(b) substituicao da linha 2 pela sua soma com a linha 1 multiplicada por5 e substituicao da linha 3 pela sua soma com a linha 2 multiplicadapor 7
(c) substituicao da linha 2 pela sua diferenca com a linha 1 multiplicadapor 5 e substituicao da linha 3 pela sua soma com a linha 1 multiplicadapor 7
(d) substituicao da linha 2 pela sua soma com a linha 1 multiplicada por 5e substituicao da linha 3 pela sua diferenca com a linha 1 multiplicadapor 7
6. Sejam A =
[1 22 1
]e B =
[1 01 0
]. Entao
(a) (AB)T =
[1 12 2
](b) A e uma matriz simetrica e B esta em forma de escada
(c) A1B tem uma coluna nula
(d) A e uma matriz invertvel e B e uma matriz simetrica
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