Universidade Federal Fluminense - UFF Escola de Engenharia de Volta Redonda EEIMVR Departamento de Cincias Exatas
Captulo X Parte I Momentos de InrciaProfa. Salete Souza de Oliveira Home: http://www.professores.uff.br/saleteBibliografia Principal R. C. HIBBELER Esttica Mecnica para Engenharia
Momentos de Inrcia de reas Introduo Centride Considera-se o primeiro momento da rea em relao a um eixo
xdA x dA2
Momento de Inrcia Integral do Segundo Momento de Inrcia
2
= z
dF = dA = kzdA2
dM = dFz = kz dA
M = z dA
Momentos de Inrcia
dI x = y 2 dAA
I x = y 2 dAA
dI y = x 2 dAA
I y = x 2 dAA
Momento Polar de Inrcia
J o = r 2 dA = I x + I yA
Teorema dos Eixos Paralelos para Uma rea
Ix =A
(y + d ) dA' 2 y
I x = y dA + 2d y y dA + d'2 ' A A
2 y A
dA
I
_
A primeira integral representa o x ' momento de inrcia da rea em relao ao eixo que passa pelo centride. A segunda integral zero, uma vez que x passa atravs do centride C da rea, isto , _
y ' dA = y dA = 0, y = 0_
2 I x = I x ' + Ad y
_
J o = J c + Ad 2
_
I y = I y ' + Ad x2
Raio de Girao de Uma rea
kx =
Ix A
ky =
Iy A
ko =
Jo A
Momentos de Inrcia de uma rea por Integrao Caso de contornos de reas planas expressos por funes matemticas
Exerccios 1- Determine o momento de inrcia para a rea retangular mostrada na Figura em relao (a) ao eixo x que passa pelo centride, (b) ao eixo xb que passa pela base do retngulo e (c) ao plo ou eixo z perpendicular ao plano x-y e que passa pelo centride C.
2- Determine o momento de inrcia da rea sombreada mostrada na Figura em torno do eixo x.
3- Determine o momento de inrcia em relao ao eixo x da rea circular mostrada na Figura.
Resolver os exerccios do Hibbeller 10.2,10.9,10.24
Momentos de Inrcia de reas Compostas Uma rea composta constituda por uma srie de outras reas ou formas geomtricas mais simples, como semicrculos, retngulos e tringulos. Desde que o momento de inrcia de cada uma dessas partes seja conhecido, ou possa ser determinado em relao a um eixo comum. Exerccio Calcule o momento de inrcia da rea composta mostrada na Figura em relao ao eixo x
2- Determine os momentos de Inrcia da rea da seo reta da viga mostrada na Figura. Em relao aos eixos x e y que passam pelo seu centride.
Resolver os exerccios 10.45, 10.49 e 10.51 do Hibbeller
Produto de Inrcia de Uma rea
I xy = xydAA
Se o elemento de rea escolhido tem uma dimenso infinitesimal em duas direes, como mostra a figura, uma integrao dupla deve ser efetuada para calcular a integral acima. Na maioria dos casos, mais simples escolher um elemento de rea com uma dimenso infinitesimalou largura em apenas uma direo; nesses casos necessria apenas uma simples integrao.
Teorema dos Eixos Paralelos Considere a rea sombreada mostrada na Figura, onde x e y representam um par de eixos passando pelo centride da rea, enquanto x, y representam o par de eixos paralelos correspondente. Como o produto de inrcia de dA em relao aos eixos x,y dIxy=(x+dx) (y+dy)dA, ento para toda rea
I xy =A
(x + d )(y + d )dA =' x ' y A
x ' y ' dA + d x y ' dA + d y x ' dA + d x d y y ' dAA A A
I xy = I xy + Ad x d y
_
Exerccio Determine o produto de Inrcia do tringulo mostrado na Figura abaixo
Momento de Inrcia de uma rea em relao a eixos inclinados
u = x cos + ysen v = y cos xsenOs momentos e o produto de inrcia em relao aos eixos u e v so
dI u = v dA = ( y cos xsen ) dA2 2 2 2
dI uv = uvdA = ( x cos + ysen )( y cos xsen )dA
dI v = u dA = (x cos + ysen ) dA
Expandindo cada expresso e integrando, levando em conta que
I x = y 2 dA, I y = x 2 dA, I xy = xydAI u = I x cos 2 + I y sen 2 2 I xy sen cos I v = I x s en + I y cos + 2 I xy sen cos 2 2
I uv = I x sen cos I y sen cos + I xy ( cos sen )2 2
Iu = Iv = I uv =
Ix + I y 2 Ix + I y 2 Ix I y 2
+
Ix I y 2 Ix I y 2
cos 2 I xy sen2 cos 2 + I xy sen2
sen2 + I xy cos 2
O momento Polar de Inrcia em relao ao eixo z que passa pelo ponto O independente da orientao dos eixos u,v, isto
J o = Iu + Iv = I x + I yMomentos Principais de Inrcia O ngulo = p define a orientao dos eixos principais para a rea.
Ix I y dI u = 2 sen 2 2 I xy cos 2 = 0 2 d tg 2 p =
(I
I xyx
Iy ) 2
Razes
sen 2 p1 = I xy cos 2 p1 = Ix I y 2
Ix I y 2
2 2 + I xy 2 2 + I xy
Ix I y 2 Ix I y 22
sen 2 p 2 = I xy cos 2 p 2 =
2 + I xy 2 2 + I xy2
Ix I y 2
Ix I y 2
I max =min
Ix + I y 2
Ix I y 2
+ I xy
Exerccio Determine os momentos principais de inrcia da rea da seo transversal da viga mostrada na Figura em relao a um dos eixos que passa pelo centride.
Crculo de Mohr para Momentos de Inrcia
Iu
Ix + I y 22
2
+I =2 uv
Ix Iy 2
2 2 + I xy
( Iu a )R=
2 + I uv = R 2 2 2 + I xy
Ix I y 2
Ex- Utilizando o crculo de Mohr determine os momentos principais de inrcia para a rea da seo transversal da viga na Figura em relao a um eixo que passa pelo centride.
Resolver os exerccios do Hibbeller 10.54, 10.59,10.69,10.80
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