7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 1/48
INSTITUTO DE TECNOLOGIA - UFPAF ACULDADE DE ENG. MECÂNICA
Parte 1:Transformações de Tensões
Professor: Leonardo Dantas Rodrigues
DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 2/48
TRANSFORMAÇÕES DE TENSÕES
Avião submetido a ensaios para determinação de esforços desustentação distribuídos nas asas
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 3/48
ESTADO DE TENSÕES (TENSOR DE TENSÕES)• O estado de tensões mais geral em um dado ponto deinteresse pode ser representado por seis componentes, que
podem ser dispostos em uma matriz chamada tensor detensões:
Figura 1.1: Estado de tensões nosistema x-y-z, representado em um
cubo elementar
[ ]
Sendo que, por equilíbrio:
, e
x xy xz
yx y yz
zx zy z
xz zx xy yx yz zy
Tensões
Normais
Tensões
Cisalhantes
Sinal da tensão de cisalhamento: positiva quando estiver para cimaou para a direita nas faces positivas do cubo elementar (x+, y+ e z+) e
para baixo e para a esquerda nas faces negativas (x-, y- e z-).
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 4/48
ESTADO DE TENSÕES (TENSOR DE TENSÕES)• O mais comum é se trabalhar no sistema de eixos x-y-z.Porém, não são raras as situações em que é necessário o
cálculo do estado de tensão em outras direções.
Figura 1.2: Estado de tensão emum sistema aleatório x’-y’-z’
' ' ' ' '
' ' ' ' '
' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
[ ]
Sendo que, por equilíbrio:
, e
x x y x z
y x y y z
z x z y z
x z z x x y y x y z z y
Uma vez obtido o estado de tensões em um sistema dereferência, pode-se obter facilmente o estado de tensões
em quaisquer outras direções.
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 5/48
ESTADO PLANO DE TENSÕES Estado de tensões em que duas faces parelelepípedo
elementar estão livres de qualquer tensão. A grande maioria
dos carregamentos reais podem ser representados por estadosplano de tensões.
Figura 1.3: Representação de um
estado plano de tensões
, e
0
x y xy
z xz yz
Figura 1.4: Exemplo de uma placa fina
Figura 1.5: Exemplo de um eixo maciço
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 6/48
TRANSFORMAÇÃO DO ESTADO PLANO DE TENSÕES
Aplicando equilíbrios de força na fig. 1.6b, tem-se:
Figura 1.5: Estados planosde tensões nos planos: a) x-y;
e b) x’-y’
Figura 1.6: Representaçãomais usual, através de umtriângulo retângulo comhipotenusa igual às arestasdo cubo original.
0 cos cos cos
cos 0
0 cos cos cos
cos 0
x x x xy
y xy
y x y x xy
y xy
F A A A sen
Asen sen Asen
F A A sen A
Asen Asen sen
(1.1)
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 7/48
TRANSFORMAÇÃO DO ESTADO PLANO DE TENSÕES
Resolvendo as equações (1.1) para σx’ e τx’y’, tem-se:
(1.2)2 2
' cos sen 2 sen cos x x y xy
2 2' ' ( )sen cos (cos sen ) x y x y xy (1.3)
Usando as seguintes relações trigonométricas:
(1.4)2 2sen2 2sen cos cos2 (cos sen )
2 2(1 cos 2 ) (1 cos2 )cos sen
2 2
(1.5)
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 8/48
TRANSFORMAÇÃO DO ESTADO PLANO DE TENSÕES
As equações (1.2) e (1.3) podem ser reescritas como:
(1.6)
(1.7)
cos2 22 2
x y x y y xy sen
cos2 22 2
x y x y x xy sen
2 cos22
x y
x y xy sen
Para determinar σy’ , basta substituir θ por θ + 90o em (1.6):
(1.8)
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 9/48
Exemplo 1.1: O estado plano de tensões em um ponto de umaestrutura é dado pelo elemento mostrado na figura 1.7. Determine o
estado de tensões no ponto em outro elemento, orientado a 30o nosentido horário em relação à posição mostrada.
Pela convenção de sinal estabelecida, o estado de tensões em x-y temas seguintes componentes:
80 50 25 x y xy MPa MPa MPa
Figura 1.7
y
x
y
50 MPa
25 MPa
80 MPa
TRANSFORMAÇÃO DO ESTADO PLANO DE TENSÕES
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 10/48
Exemplo 1.1: Solução
Basta aplicar as equações 1.6 a 1.8, tendo como base a figura 1.8 e a
convenção estabelecida de que ângulos no sentido horário sãonegativos.
Figura 1.8
TRANSFORMAÇÃO DO ESTADO PLANO DE TENSÕES
80 50 80 50cos2( 30 ) 2( 30 )
2 2
25,8
o o x xy
x
sen
MPa
'
'
80 50 80 50cos 2(60 ) 2(60 )
2 2
4,15
o o y xy
y
sen
MPa
80 502( 30 ) cos2( 30 )
2
68,8
o o x y xy
x y
sen
MPa
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 11/48
TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO
Em geral, uma das informações mais relevantes na análisede tensões é a orientação dos planos onde ocorrem as
tensões normais máxima e mínima, a máxima tensãode cisalhamento, e os valores dessas tensões.
Para encontrar a orientação das tensões normais máxima emínima (no plano), uma das formas é derivar a equação (1.6) em
relação a θ e igualar o resultado a zero:(2 ) cos(2 ) 0
2
x y x xy
d sen
d
Isolando os termos relacionados θ, tem-se:
2(2 )( )
xy p
x y
tg
A equação (1.9) fornece duas soluções 2θp1 e 2θp2 defasados em 180o.Sendo que, θp1 e θp2 são as direções das tensões normais máxima e
mínima, respectivamente, em relação ao semieixo positivo x.
(1.9)
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 12/48
Substituindo os valores de θp1 e θp2 na equação (1.6), encontra-se osvalores das tensões normais máxima e mínima.
O seno e o cosseno de 2θp1 e 2θp2 são obtidos a partir dos triângulosda figura (1.9), baseado na eq (1.9). Tem-se, para θp1:
1
1
(2 ) 2
cos(2 )2 2
x y
p xy xy
x y x y p xy
sen
Figura 1.9Para θp2:
2
2
(2 )2
cos(2 )
2 2
x y p xy xy
x y x y p xy
sen
(1.10)
(1.11)
TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 13/48
Substituindo os dois conjuntos de relações trigonométricas (1.10) e(1.11) na equação (1.6), temos:
2
21,2
2 2
x y x y xy
A equação 1.12 define os valores das tensões normais máxima e mínima no
plano. Estas são chamadas tensões principais.
(1.12)
Nas faces onde atuam as tensões principais, o cisalhamento énulo (figura 1.10)
Figura 1.10
TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 14/48
TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO Para determinar a orientação do elemento em cujas faces atua atensão máxima de cisalhamento no plano, deriva-se a equação (1.7)e iguala-se o resultado a zero. Chega-se então a:
As duas raízes da equação (1.13), θc1 e θc2 são defasados 45o dos ângulosθp1 e θp2 determinados anteriormente. Ou seja, a orientação do
elemento no qual atua a tensão de cisalhamento máxima noplano está a 45o do elemento onde atuam as tensões principais.
(1.13)( )
(2 )2
x yc
xy
tg
Usando procedimento similar ao aplicado anteriormente para as
tensões principais. Pode-se chegar ao valor da tensão máxima decisalhamento no plano, substituindo o seno e o cosseno de 2θc naequação (1.7):
2
2max
2
x y xy
(1.14)
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 15/48
TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO Substituindo ainda os valores de θc na equação (1.6), chega-se a:
A tensão normal média atua nas faces onde atua a máximatensão de cisalhamento no plano (figura 1.11).
(1.15)( )
2
x ymed
Figura 1.11
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 16/48
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO
Exemplo 1.2: Quando a carga de torção T é aplicada à barra da
figura 1.12, produz um estado de tensões de cisalhamento puro nomaterial. Determinar: a) A tensão de cisalhamento máxima no plano;b) a tensão normal média; e c) As tensões principais no plano.
Pela convenção de sinal estabelecida, o estado de tensões em x-y temas seguintes componentes:
0 0 x y xy
Figura 1.12
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 17/48
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO
Exemplo 1.2: SOLUÇÃO
- Tensão de cisalhamento máxima no plano:
2
2max
2
x y xy
Os sinais negativo e positivo estão relacionados com a convenção estabelecida.Os sinais sempre se alternarão em positivo e negativo entre faces defasadas
90o para que haja o equilíbrio (testar na equação 1.7).
- Tensão normal média:
( ) (0 0)0
2 2
x ymed
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 18/48
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO
Exemplo 1.2: SOLUÇÃO
- Tensões principais e suas orientações:
Para verificar qual desses ângulos é θp1 e qual é θp2 substitui-se um deles na equação (1.6):
2 2(2 ) 45 135
( ) (0 0)
xy o o p p
x y
tg e
2
2 21,2 0 0
2 2
x y x y xy
0 0cos(2.45 ) (2.45 )o o x sen
Portanto θp1 = 1350 e θp2 = 45o,como mostra a figura 1.13.
Figura 1.13
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 19/48
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO
Exemplo 1.3: Quando a carga axial P é aplicada à barra da figura
1.14, produz um esforço de tração no material, como mostrado.Determinar: a) as tensões principais no plano; b) tensão decisalhamento máxima no plano.
Pela convenção de sinal estabelecida, o estado de tensões em x-y temas seguintes componentes:
0 0 x y xy
Figura 1.14
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 20/48
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO
Exemplo 1.3: Solução
A direção das tensões principais está também mostrada na figura1.12: θp1 = 0o e θp2 = 90o.
- Tensões principais:
2
1,2 1 2
0 00
2 2e
- Tensão de cisalhamento máxima no plano e suas direções:
22
max
00
2 2
( 0)(2 ) 45 135
2.0
o oc ctg e
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 21/48
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO
Exemplo 1.3: Solução
Portanto, a tensão negativa -σ/2atua na face perpendicular ao eixox’, como mostra a figura 1.15.
Para verificar em quais faces atuam as tensões cisalhantes +σ/2 e -σ/2,substitui-se um dos ângulos θc na equação (1.7):
0(2.45 ) 0.cos2.45
2 2
o o x y sen
Figura 1.15
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 22/48
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO
Exercício 1.1: O estado plano de tensões em um ponto de umaestrutura é dado pelo elemento mostrado na figura 1.16. Representar:a) o estado de tensões em termos das tensões principais;b) o estado de tensões em termos da tensão máxima de cisalhamento eda tensão normal média a ela associada.
y
90 MPa
60 MPa
20 MPa
Figura 1.16
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 23/48
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO
Exercício 1.2: O estado plano de tensões em um ponto de umaestrutura é dado pelo elemento mostrado na figura 1.17. Representar:a) o estado de tensões em termos das tensões principais;b) o estado de de tensões em termos da tensão máxima decisalhamento e da tensão normal média a ela associada.
y
10 MPa
40 MPa
50 MPa
Figura 1.17
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 24/48
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO
Exercício 1.3: Um tubo com diâmetro externo igual a 304,8 mm é
fabricado a partir de uma placa com espessura de 6,35 mm que ésoldada formando uma hélice orientada a 22,5o em relação ao plano
perpendicular ao eixo do tubo. Sabendo que uma força axial P de 178
kN e que um torque de 9038 kN.mm são aplicados ao tubo, segundo as
direções mostradas na figura 1.18, determine as tensão normal e
tangencial à solda.
Figura 1.18
Solda
6,35mm
Õ Ã
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 25/48
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO M ÁXIMA NO PLANO
Exercício 1.4: Uma vide de seção quadrada está submetida a uma
carga inclinada (figura 1.19). Determinar as tensões principais e a decisalhamento máxima no plano, que se desenvolvem nos pontos A e B.Mostrar os resultados em elementos adequadamente orientados.
Figura 1.19
CÍ C O MO
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 26/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES
Desenvolvido pelo engenheiro alemão Otto Mohr, esta é uma
metodologia gráfica, relativamente simples, para encontrartensões em diferentes orientações e mesmo as tensões
principais e máxima de cisalhamento.
Construção do Círculo de Mohr:
• Considerando o elemento da figura 1.10.
Figura 1.10(repetida)
CÍRCULO DE MOHR
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 27/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES
Construção do Círculo de Mohr (continuação): (figura1.20)
• Primeiro define-se o sistema de eixos, sendo as tensõesnormais localizadas na abscissa (σ) e as de cisalhamento
localizadas na ordenada (τ);• Representamos um ponto X (σx, -τxy) e um ponto Y (σy, τxy). Seτxy for positiva, como na figura 1.10, o ponto X estará localizadoabaixo do eixo σ e o Y acima, ocorrendo o contrário em caso de
τxy negativa;
• Unindo os pontos X e Y por uma reta definimos o ponto C, queé a interseção do segmento XY com o eixo σ.
• Traça-se então o círculo, de centro C e diâmetro XY.
CÍRCULO DE MOHR
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 28/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES
Observações importantes:
1. A abscissa do centro C docírculo é igual à tensãomédia;
2. O raio do círculo é igual àtensão de cisalhamentomáxima no plano;
3. Concluímos assim que ocírculo construído poderepresentar o estado de
tensões apresentado nafigura 1.10 em qualquerorientação;
4. Assim, as abscissas dos pontos A e B em que o círculointercepta o eixo σ representam, respectivamente, as tensões
principais σmax (σ1) e σmin (σ2);
Figura 1.20
σ med
CÍRCULO DE MOHR
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 29/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES
Pode-se construir o Círculo de Mohr a partir de um estado de
tensões qualquer σx’ ,σy’ e τx’y’, usando os mesmo procedimentosestabelecidos anteriormente, como mostrado na figura (1.21).
Figura 1.21
CÍRCULO DE MOHR ESTADO PLANO DE
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 30/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES (CASOS PARTICULARES)
Círculo de Mohr para carga axial centrada:
0, xy y x A P
max2
med
P
A
Círculo de Mohr para carga torsional:
J
Tc
xy y x
0 1 2
Tc
J
Figura 1.22
Figura 1.23
CÍRCULO DE MOHR
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 31/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES
Exemplo 1.4: Para o estado plano de tensões mostrado na figura
1.24:(a) Construir do círculo de Mohr; e determinar: (b) osplanos principais e as tensões principais, (c) a tensão de cisalhamentomáxima e a tensão normal média correspondente.
Figura 1.24
CÍRCULO DE MOHR
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 32/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES
Exemplo 1.4: Solução
a) Para a construção do círculo de Mohr, usa-se:
MPa504030
MPa40MPa302050
MPa202
1050
2
22
CX R
FX CF
y x
méd
CÍRCULO DE MOHR
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 33/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES
Exemplo 1.4: Solução
b) Tensões principais e suas orientações:
5020max CAOC OA
MPa70max
5020min BC OC OB
MPa30min
1.532
30402tan
p
pCF FX
1 226,6 116,6
p pe
CÍRCULO DE MOHR
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 34/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES
Exemplo 1.4: Solução
c) Tensão de cisalhamento máxima no plano e tensão normal média
71,6c
MPa50max
med
MPa20
45c p Rmax
σ’ = σmed = 20MPa
CÍRCULO DE MOHR
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 35/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES
Execício 1.5: Para o estado plano de tensões mostrado na figura
1.25:(a) Construir do círculo de Mohr; e determinar: (b) osplanos principais e as tensões principais, (c) as componentes de tensãoatuantes no elemento obtido pela rotação do elemento de 30o nosentido anti-horário.
y
x
y
60 MPa
48 MPa
100 MPa
Figura 1.25
CÍRCULO DE MOHR
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 36/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO PLANO DE TENSÕES
Exercício 1.5:
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 37/48
ESTADO GERAL (TRIAXIAL) DE TENSÕES
Y
x
z
y
yx
xz
xy
yz zy zx
Y
X
Z
z yz xz
yz y xy
xz xy x
1
2
3
0 0
0 0
0 0
Figura 1.26
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 38/48
ESTADO GERAL DE TENSÕES 3 2
1 2 3
1
2 2 22
2 2 23
1 2 3
. . 0
2.
3
.
x y z
x y z x z y xy xz zy
x y z x y z x zy y xz z xy
I I I
I
I
I
Equação ou polinômiocaracterístico tem raízes
quesão os autovalores ou astensões principais
1 1 1 11
1 1 1 1 1 1 1
11 1 1 1
Planos Principais (autovetores):- sãoos planosondeatuamcada uma das tensões principais:
. . . 0
Determinaçãode . . . 0
. . . 0
x x yx y zx z x
xy x y y zy z y
z xz x yz y z z
v v v v
v v v v v v
vv v v
X
Z
Y
1
2
3
0 0
0 0
0 0
z yz xz
yz y xy
xz xy x
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 39/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO GERAL DE TENSÕES
Se o elemento mostrado na figura 1.27a (tensões principais) sofreuma rotação em torno de um dos eixos principais em Q – como o eixoC, por exemplo (figura 1.27b) – a transformação de tensõescorrespondente poderá ser analisada também pelo Círculo de Mohr.
Figura 1.27(a) (b)
As tensões de cisalhamento que atuam nas facesperpendiculares ao eixo c permanecem nulas e a tensão
normal σc também permanece igual.
Í
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 40/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO GERAL DE TENSÕES
Usamos, então, o círculo diâmetro AB para determinar as tensões,
normal e de cisalhamento, que atuam nas faces do elemento quandoele sofre uma rotação em torno do eixo c (figura 1.28). Analogamente,os círculos de diâmetros BC e AB são usados para determinar astensões, normal e de cisalhamento, que atuam nas faces do elementoquando ele sofre uma rotação em torno do eixo a e b,
respectivamente.
Figura 1.28
Í
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 41/48
CÍRCULO DE MOHR – ESTADO GERAL DE TENSÕES
Embora toda a análise tenha sido limitada em torno dos eixosprincipais, qualquer outra transformação de tensões a partirdos estados de tensões dos elementos mostrado nas figuras1.27a e b levaria a pontos localizados na área sombreada da
figura 1.28
Até o momento, só definimos a máxima tensão de cisalhamento noplano. A partir da figura 1.28, pode-se definir também a máximatensão absoluta:
max max min 1 3
1 2 3
1 1,
2 2:
absou
sendo
A correta utilização da equação 1.16 será essencial para aaplicação do critério de falha de Tresca, que será estudado
mais adiante
(1.16)
CÍRCULO DE MOHR –
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 42/48
CÍRCULO DE MOHR ESTADO GERAL DE TENSÕES
(P ARTICULARIZAÇÃO PARA O ESTADO PLANO)
b) a tensão de cisalhamento máxima para o
elemento é igual à tensão decisalhamento máxima “no plano”
a) as tensões principais correspondentessão as tensões normais máximas emínimas para o elemento
Se os pontos A e B (representando astensões máxima e mínima) estão em
lados opostos da origem, então
No caso do estado plano de tensão, o eixoperpendicular ao plano de tensão é um eixoprincipal (tensão normal e cisalhante são nulas).
c) planos de tensão de cisalhamentomáxima estão a 45º dos planosprincipais.
Figura 1.29(a)
(b)
CÍRCULO DE MOHR –
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 43/48
CÍRCULO DE MOHR ESTADO GERAL DE TENSÕES
(P ARTICULARIZAÇÃO PARA O ESTADO PLANO)
Se A e B estão do mesmo lado daorigem (ou seja, têm o mesmo sinal erepresentam as tensões máxima eintermediária), então
Figura 1.29(a)b) a tensão de cisalhamento
máxima para o elemento é igual ametade da tensão normal máxima.
a) o círculo que define σmax, σmin, eτ max para o elemento não éo círculo correspondente àstransformações de tensão dentrodo plano (a-b).
c) os planos de tensão decisalhamento máxima estão
a 45o
girando o plano“
z-a”
emtorno de b.(b)
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 44/48
EXERCÍCIOS GERAIS
E í i 1 5 U t h fi tá j it d i t d
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 45/48
Exercício 1.5: Um ponto em uma chapa fina está sujeito a dois estadosde tensão sucessivos como mostrado na figura 1.30. Determinar o estadode tensão resultante em relação a um elemento orientado como o dadireita.
Figura 1.30
E í i 1 6 A fib d l t d d i f
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 46/48
Exercício 1.6: As fibras de um elemento de madeira formam umângulo de 15o com a vertical. Para o estado de tensão mostrado,determine: a) a tensão de cisalhamento no plano, paralela às fibras; e(b) a tensão normal perpendicular às fibras.
Figura 1.31
E í i 1 7 O fi d f fí i li E d t
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 47/48
Exercício 1.7: O fixador força a superfície lisa em E quando se aperta oparafuso. Supondo que a força de tração no parafuso seja de 40 kN,determinar as tensões principais nos pontos A e B e mostrar osresultados em elementos localizados em cada um desses pontos.
Figura 1.32
E í i 1 8 A t t t di t ib íd d 200 N/
7/17/2019 Transformações de Tensões
http://slidepdf.com/reader/full/transformacoes-de-tensoes 48/48
Exercício 1.8: A estrutura suporta a carga distribuída de 200 N/m.Determine as tensões normal e de cisalhamento que atuam nos pontosD e E, que atuam perpendicular e paralelamente às fibrasrespectivamente.
Figura 1.32
Top Related