Trigonometria e funções trigonométricas
Funções trigonométricas
O essencial
Funções seno e cosseno
Designa-se por função seno (respetivamente, função cosseno) e
representa-se por 𝐬𝐢𝐧 ou 𝐬𝐞𝐧 (respetivamente, 𝐜𝐨𝐬) a função real de
variável real que a cada 𝑥 ∈ IR faz corresponder sin 𝑥 ou sen 𝑥
(respetivamente, cos 𝑥).
Função tangente
Designa-se por função tangente e representa-se por 𝐭𝐠 ou 𝐭𝐚𝐧
a função real de variável real de domínio:
𝐷𝑡𝑎𝑛 = 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ∶ 𝑥 ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ,
que a cada valor de 𝑥 ∈ 𝐷𝑡𝑎𝑛 faz corresponder tg 𝑥 ou tan 𝑥.
Funções periódicas
Dado um número real 𝑃 > 0, uma função 𝑓 designa-se por
periódica de período 𝐏 ou 𝐏-periódica se, para todo o 𝑥 ∈ 𝐷𝑓,
𝑥 + 𝑃 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑓 𝑥 + 𝑃 = 𝑓(𝑥).
Como, para qualquer 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 𝑥 + 𝑃 ∈ 𝐷𝑓, então, também
(𝑥 + 𝑃) + 𝑃 = 𝑥 + 2𝑃 ∈ 𝐷𝑓 e
𝑓 𝑥 + 2𝑃 = 𝑓 𝑥 + 𝑃 + 𝑃 = 𝑓 𝑥 + 𝑃 = 𝑓(𝑥)
ou seja, 2𝑃 também é período de 𝑓.
Analogamente, 3𝑃, 4𝑃, …, 𝑘𝑃, 𝑘 ∈ IN são períodos de 𝑓.
Período fundamental de uma função
Dada uma função 𝑓, o número real 𝑃0 > 0 designa-se por período
fundamental de 𝑓 ou período positivo mínimo de 𝑓 se 𝑓 for
𝑃0-periódica e não admitir outro período inferior a 𝑃0.
Estudo das funções seno de cosseno
𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2𝑘𝜋 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑘 ∈ ℤ
𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑘𝜋 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥,𝑘 ∈ ℤ
Domínio, contradomínio e período fundamental
As funções seno e cosseno têm domínio IR, contradomínio −1, 1 e
período fundamental 2𝜋.
Zeros
Zeros da função seno
Os zeros da função seno são os números da
forma 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, ou seja:
sin 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Zeros da função cosseno
Os zeros da função cosseno são os números
reais da forma 𝜋
2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, ou seja:
cos 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Extremos relativos da função seno
A função seno admite máximos relativos nos pontos de abcissa
da forma 𝝅
𝟐+ 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ e mínimos relativos nos pontos de
abcissa da forma 𝟑𝝅
𝟐+ 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ.
Extremos relativos da função cosseno
A função cosseno admite máximos relativos nos pontos de abcissa
da forma 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ e mínimos relativos nos pontos de abcissa da
forma 𝝅 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ.
Gráfico da função seno
Gráfico da função cosseno
Paridade
Dada uma função, 𝑓, real de variável real:
𝑓 é par se, e somente se, para todo o
𝑥 ∈ 𝐷𝑓, −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)
e 𝑓 é ímpar se, e somente se, para todo o
𝑥 ∈ 𝐷𝑓, −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)
Paridade
A função cosseno é par e a função seno é ímpar.
Estudo da função tangente
Tomando a função tangente como o quociente das funções seno
e cosseno, tem-se, porque o seno e o cosseno têm domínio IR:
𝑡𝑎𝑛 𝑥 =sin 𝑥
cos 𝑥
e
𝐷 tan = 𝑥 ∈ 𝐼𝑅: cos 𝑥 ≠ 0 = 𝑥 ∈ 𝐼𝑅: 𝑥 ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
ou
𝐷 tan = 𝐼𝑅\ 𝑥 ∈ 𝐼𝑅: 𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Período fundamental
O período fundamental da função tangente é 𝜋.
Contradomínio e zeros
O contradomínio da função tangente é IR, isto é:
𝑫𝒕𝒂𝒏′ = 𝐈𝐑
Os zeros da função tangente são os números da forma 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ,
isto é:
𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝒙 = 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
Gráfico da função tangente
Paridade
A função tangente é ímpar, ou seja,
∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑡𝑎𝑛, −𝑥 ∈ 𝐷𝑡𝑎𝑛 e 𝑡𝑎𝑛 −𝑥 = −𝑡𝑎𝑛 𝑥
Repare que, se 𝑥 ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ,
𝑒𝑛𝑡ã𝑜, −𝑥 ≠ −𝜋
2− 𝑘𝜋, ou seja, −𝑥 ∈ 𝐷𝑡𝑎𝑛,
e 𝑡𝑎𝑛 −𝑥 =sin −𝑥
cos −𝑥=
− sin 𝑥
cos 𝑥= −𝑡𝑎𝑛 𝑥
Quadro resumo
Função seno Função cosseno Função tangente
Domínio IR IR 𝐼𝑅\ 𝑥: 𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Contradomínio −1,1 −1,1 IR
Período fundamental 2𝜋 2𝜋 𝜋
Zeros 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ𝜋
2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Extremos relativos
Máximo 1; para
𝑥 =𝜋
2+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Mínimo −1; para
𝑥 =3𝜋
2+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Máximo 1; para
𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Mínimo −1; para
𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Não tem extremos
Paridade Ímpar Par Ímpar
Fórmula fundamental da trigonometria generalizada
Para todo o 𝑥 ∈ IR:
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏
e consequentemente:
para todo o 𝑥 ∈ IR\ 𝑥: 𝑥 =𝜋
2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ :
𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 + 𝟏 =𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
Fórmulas de redução ao primeiro quadrante
Para todo o 𝑥 ∈ IR, tem-se:
sin −𝑥 = −sin 𝑥 e cos −𝑥 = cos 𝑥;
sin 𝑥 + 𝜋 = −sin 𝑥 e cos 𝑥 + 𝜋 = −cos 𝑥;
sin 𝑥 − 𝜋 = −sin 𝑥 e cos 𝑥 − 𝜋 = −cos 𝑥;
sin 𝑥 +𝜋
2= cos 𝑥 e cos 𝑥 +
𝜋
2= −sin 𝑥;
sin 𝑥 −𝜋
2= −cos 𝑥 e cos 𝑥 −
𝜋
2= sin 𝑥.
Função arco-seno
Designa-se por função arco-seno e representa-se por 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 ou 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 a
função inversa da função:
𝒇: −𝝅
𝟐,𝝅
𝟐⟶ −𝟏, 𝟏 , 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙
ou seja, a função de domínio −1, 1 e conjunto de chegada −𝜋
2,𝜋
2, que, a
cada 𝑥 ∈ −1, 1 , associa o número real 𝑦 = arcsin 𝑥, que se entende como
a amplitude 𝑦 ∈ −𝜋
2,𝜋
2, em radianos, do arco cujo seno é 𝑥. Assim:
𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝐬𝐢𝐧𝒚 = 𝒙, 𝒚 ∈ −𝝅
𝟐,𝝅
𝟐𝐞 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏].
Consequentemente:
arcsin(sin 𝑦) = 𝑦 e sin(arcsin 𝑥) = 𝑥; 𝑦 ∈ −𝜋
2,𝜋
2e 𝑥 ∈ [−1, 1].
Função arco-seno
Função arco-cosseno
Designa-se por função arco-cosseno e representa-se por 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 a
função inversa da função definida por:
𝒈: 𝟎, 𝝅 → −𝟏, 𝟏 , tal que 𝒈 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙
ou seja, a função de domínio −1, 1 e conjunto de chegada 0, π ,
que, a cada 𝑥 ∈ −1, 1 , associa o número real 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥, que se
entende como a amplitude 𝑦 ∈ 0, π , em radianos, do arco cujo
cosseno é 𝑥. Assim:
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒄𝒐𝒔𝒚 = 𝒙, 𝒚 ∈ 𝟎, 𝝅 𝐞 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏].
Consequentemente:
arccos (cos 𝑦) = 𝑦 e cos arccos 𝑥 = 𝑥 , 𝑦 ∈ 0, 𝜋 e 𝑥 ∈ [−1, 1].
Função arco-cosseno
Função arco-tangente
Designa-se por função arco-tangente e representa-se por 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 ou
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 a função inversa da função definida por:
𝒉: −𝝅
𝟐,𝝅
𝟐→ 𝐈𝐑, tal que 𝒉 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝒙
ou seja, a função de domínio IR e conjunto de chegada −π
2,𝜋
2, que, a
cada 𝑥 ∈ IR, associa o número real 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥, que se entende como a
amplitude 𝑦 ∈ −π
2,𝜋
2, em radianos, do arco cuja tangente é 𝑥. Assim:
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒕𝒂𝒏𝒚 = 𝒙, 𝒚 ∈ −𝝅
𝟐,𝝅
𝟐𝐞 𝒙 ∈ 𝐈𝐑.
Consequentemente:
arctan (tan𝑦) = 𝑦 e tan arctan𝑥 = 𝑥 , 𝑦 ∈ −π
2,𝜋
2e 𝑥 ∈ IR.
Função arco-tangente
Equações trigonométricas
As equações do tipo sin 𝑥 = 𝑎, 𝑎 ∈ −1, 1 , cos 𝑥 = 𝑎, 𝑎 ∈ −1, 1 e
tan 𝑥 = 𝑎, 𝑎 ∈ IRpodem ser transformadas em equações do tipo
sin 𝑥 = sin 𝛼, cos 𝑥 = cos 𝛼 e tan 𝑥 = tan𝛼, respetivamente,
escolhendo-se um valor adequado para 𝛼, que pode ser, por exemplo,
respetivamente, 𝛼 = arcsin 𝑎, 𝛼 = arccos 𝑎, arctan 𝑎.
sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
cos 𝑥 = cos 𝛼 ⟺ 𝑥 = ±𝛼 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
tan 𝑥 = tan𝛼 ⟺ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Equações trigonométricas
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