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Sinais e SistemasAula 7

Professor: Rafael Antunes Nóbrega

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Continuação...• CAPÍTULO 1: Introdução:

– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;– Energia e Potência de um sinal– Transformações de variáveis independentes;– Sinais periódicos– Sinais senoidais e exponenciais;– Funções impulso unitário e degrau unitário;– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;– Propriedades básicas de sistemas;

• CAPÍTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:– Representações de sinais em termos de impulso;– Convolução.– Esquema de Interconexões– Propriedades de sistemas LIT– Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes– Funções de singularidade

• CAPÍTULO 3: Série de Fourier– Perspectiva histórica– Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas– Representação de sinais periódicos de tempo contínuo 2

visto

Série de Fourier

• Convolução baseia-se na representação de sinais como combinações lineares de impulsos deslocados.

• Aqui veremos representação dos sinais como combinações lineares usando exponenciais complexas.– Série e transformada de Fourier de tempo contínuo e discreto

• Resposta de um sistema LIT a uma exponencial complexa fornece outra representação conveniente para análise e entendimento de sistemas LIT.

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Série de Fourier

Perspectiva histórica

• Utilização de “somas trigonométricas” para descrever fenômenos periódicos são utilizados desde a época dos babilônios (fundada em 1867 A.C., atual Iraque) para prever eventos astronômicos.

• Na história moderna, o assunto começa em 1748 com Euler exa-minando uma corda vibrante.– As vibrações no tempo em um

ponto x são funções senoidaisharmonicamente relacionadas

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Série de Fourier

x

• Essa análise se tornaria útil uma vez que uma grande classe de funções importantes pudesse ser representada por combinações lineares de exponenciais complexas.

• Meio século mais tarde, Jean Baptiste Joseph Fourier:

– 1807 Séries senoidais poderiam representar qualquer sinal periódico

– Representação de sinais aperiódicos por integrais ponderadas de senoides que não são todas harmonicamente relacionadas.

– Essas ferramentas foram então estendidas para sinais e sistemas de tempo discreto (Gauss; Cooley e Turkey), estes últimos inventando a FFT em 1960.

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Perspectiva histórica

Série de Fourier

Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas

• A resposta de um sistema LIT para uma entrada exponencial complexa é a mesma exponencial complexa com apenas uma mudança em amplitude:

• H(s) ou H(z) = fator de amplitude complexa, em geral, uma função da variável complexa s ou z.

• Um sinal que gere uma saída constante vezes a entrada é denominado uma autofunção do sistema, e o fator de amplitude é denominado de autovalor do sistema.

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Série de Fourier

)()( tAxtx Sistema

• Considere um sistema LIT com resposta ao impulso h(t), fazendo x(t)=est, temos:

– Assumindo que a integral convirja:

– Sendo H(s) uma constante complexa cujo valor depende de s e que está relacionado à resposta ao impulso do sistema por:

– Logo, exponenciais complexas são autofunções dos sistemas LIT. A constante H(s) para um valor específico de s é então o autovalor associado a auto função est.

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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas

Série de Fourier

• O mesmo vale para o tempo discreto, para :

• Logo, exponenciais complexas são autofunções dos sistemas LIT de tempo discreto. A constante H(z) para um valor específico de z é então o autovalor associado a autofunção zn.

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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas

Série de Fourier

• Podemos decompor sinais mais genéricos em termos de autofunções. – Considere que um x(t) corresponda a uma combinação linear de três

exponenciais complexas:

– Da propriedade da autofunção, a resposta de cada termo é:

– E da propriedade de superposição, temos:

...?

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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas

Série de Fourier

• Podemos decompor sinais mais genéricos em termos de autofunções. – Considere que um x(t) corresponda a uma combinação linear de três

exponenciais complexas:

– Da propriedade da autofunção, a resposta de cada termo é:

– E da propriedade de superposição, temos:

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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas

Série de Fourier

• Em termos mais gerais;– Se a entrada para um sistema LIT de tempo contínuo for representada

por uma combinação linear de exponenciais complexas, então a saída também o será:

– O mesmo é válido para o sistema discreto:

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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas

Série de Fourier

k

ts

kkeatx )(

k

ts

kkkesHaty )()(LIT

k

n

kk zanx ][ k

n

kkk zzHaty )()(LIT

• Resumindo...– Se a entrada de um sistema LIT for representada como uma

combinação linear de exponenciais complexas, então a saídatambém pode ser representada como uma combinação dos mesmos sinais exponenciais complexas.

– O coeficiente da saída é obtido pela multiplicação do coeficiente da entrada ak pelo autovalor do sistema H(sk) ou H(zk).

– Embora s e z possam ser números complexos quaisquer, a análise de Fourier restringe nossa atenção a formas particulares dessas variáveis• Tempo contínuo, s puramente imaginário, s = jw ejwt;

• Tempo discreto, z de magnitude unitária z = ejw ejwn;

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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas

Série de Fourier

• Exemplo:

– Considere y(t) = x(t-3).

– Se a entrada for x(t) = ej2t

– Ache y(t) e H(s) para esta entrada.

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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas

Série de Fourier

• Exemplo:

– Considere y(t) = x(t-3).

– Se a entrada for x(t) = cos(4t)+cos(7t)

– Ache y(t) e H(s) para esta entrada.

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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas

Série de Fourier

Representação de sinais periódicos de tempo contínuo

• Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.

– Vimos no capítulo 1• Definição: x(t) = x(t+T) para todo t,

• O período fundamental = menor valor de |T|, diferente de zero

• O valor w0 = 2π/T é a frequência fundamental

• Apresentamos dois sinais periódicos básicos:

– x(t) = cos(w0t)

– x(t) = ejw0t

• Esta segunda equação está associado o conjunto de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.

– φk(t) = ejkw0t = ejk(2π/T)t, k = 0, ±1, ±2, ...

– Cada k representa uma frequência que é múltipla de w0.

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Série de Fourier

Representação de sinais periódicos de tempo contínuo

• Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.– Assim, uma combinação linear de exponenciais complexas

harmonicamente relacionadas na forma:

– Também é periódica com período T;

– Para k = 0, x(t) é uma constante;

– k = +1 e k = -1 possuem frequência fundamental igual a w0 e são denominados componentes fundamentais ou componentes de primeira harmônica;

– k = +2 e k = -2 são componentes de segunda harmônica onde w = 2w0;

– A representação de um sinal na forma acima, é denominada representação por série de Fourier.

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Série de Fourier

Representação de sinais periódicos de tempo contínuo

• Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.– Exemplo: Considere um sinal periódico com frequência fundamental

2π, que é expresso como:

– com

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Série de Fourier

3

2)(k

tjk

keatx

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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo

• Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.– Exemplo: Solução...

– Usando a relação de Euler:

Série de Fourier

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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo

• Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.– Exemplo: Solução...

– Representação gráfica da solução:

Série de Fourier

• Esta equação é um exemplo de uma forma alternativa para a série de Fourier de sinais periódicos reais.

• Suponha que x(t) seja real, então como x*(t) = x(t), temos:

• O que impõe que ou de maneira equivalente (olhando para as equação inicial e final)

• Note que este é o caso do exemplo anterior:

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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo

Série de Fourier

Substituindo k por -k

• Para obter as formas alternativas, fazemos:

• Substituindo

• Como as duas parcelas são conjugados complexos:

• Ficando...

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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo

Série de Fourier

Na forma polar

• Essa equação é comumente encontrada para a série de Fourier de sinais periódicos reais em tempo contínuo:

• Outra forma é obtida na forma retangular:– Com Bk e Ck ambos reais

• Assim, a equação anterior fica:

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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo

Série de Fourier

• Assim, para funções periódicas reais, a série de Fourier em termos de exponenciais complexas é matematicamente equivalente as duas formas que usam funções trigonométricas:

• Para nossos propósitos, a forma com exponencial complexa é mais conveniente (e mais geral):

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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo

Série de Fourier