UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCGAv Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: 58109-190 – Campina Grande – PBwww.ufcg.edu.br/ – Fones: (0xx83) 310 1467/1192 – Fax: (0xx83) 310 1273
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCGAv Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: 58109-190 – Campina Grande – PBwww.ufcg.edu.br/ – Fones: (0xx83) 310 1467/1192 – Fax: (0xx83) 310 1273
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Prof: José Eustáquio Rangel de QueirozProf: José Eustáquio Rangel de Queiroz
Carga Horária: 60 horasCarga Horária: 60 horas
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Roteiro
Roteiro
1.1 Objetivo1.2 Motivação1.3 Definições
1.3.1 Escalar1.3.2 Vetor1.3.3 Operações sobre vetores1.3.4 Matriz1.3.5 Operações sobre matrizes1.3.6 Auto-valores e Auto-vetores
1.1 Objetivo1.2 Motivação1.3 Definições
1.3.1 Escalar1.3.2 Vetor1.3.3 Operações sobre vetores1.3.4 Matriz1.3.5 Operações sobre matrizes1.3.6 Auto-valores e Auto-vetores
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Revisar, em linhas gerais, aspectos relativos ao tratamento de matrizes e vetores, com fins à fundamentação de tópicos de PDI que se respaldam no processamento matricial e/ou vetorial.
Revisar, em linhas gerais, aspectos relativos ao tratamento de matrizes e vetores, com fins à fundamentação de tópicos de PDI que se respaldam no processamento matricial e/ou vetorial.
Objetivo
Objetivo
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Várias operações no contexto do PDI envolvem manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 1: Filtragem Espacial IFiltragem Espacial I
Várias operações no contexto do PDI envolvem manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 1: Filtragem Espacial IFiltragem Espacial I
Motivação I
Motivação I
====
-1-1-1-12222-1-1-1-1
-1-1-1-12222-1-1-1-1
-1-1-1-12222-1-1-1-1
TTTT
Máscara 3x3(template)
Máscara 3x3(template)
mnmn22mm11mm
nn2222222121
iiiiii
iiiiiinn11ii1212ii1111ii
II
mnmn22mm11mm
nn2222222121
iiiiii
iiiiiinn11ii1212ii1111ii
II
==i’(m,i’(m,n)n)
x=x=00
t(x,t(x,y)y)y=y=
00
i(m-x,n-i(m-x,n-y)y)
M-M-11
N-N-11
MM
NN
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Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 1: Filtragem Espacial IIFiltragem Espacial II
Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 1: Filtragem Espacial IIFiltragem Espacial II
Motivação II
Motivação II
for (i = 1; i < M-2; i++)for (i = 1; i < M-2; i++)for(j = 1; j < M-2; j++)for(j = 1; j < M-2; j++)
s[i][j] =s[i][j] = e[i-1][j-1]*m[0][0] +e[i-1][j-1]*m[0][0] +e[i-1][j]*m[0][1] +e[i-1][j]*m[0][1] +e[i-1][j+1]*m[0][2] e[i-1][j+1]*m[0][2]
++e[i][j-1]*m[1][0] +e[i][j-1]*m[1][0] +e[i][j]*m[1][1] +e[i][j]*m[1][1] +e[i][j+1]*m[1][2] +e[i][j+1]*m[1][2] +e[i+1][j-1]*m[2][0] e[i+1][j-1]*m[2][0]
++e[i+1][j]*m[2][1]+e[i+1][j]*m[2][1]+e[i+1][j+1]*m[2][2];e[i+1][j+1]*m[2][2];
Adaptação do Adaptação do processo de processo de convolução da convolução da máscara com a máscara com a imagem de entrada imagem de entrada para a linguagem Cpara a linguagem C
Adaptação do Adaptação do processo de processo de convolução da convolução da máscara com a máscara com a imagem de entrada imagem de entrada para a linguagem Cpara a linguagem C
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Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 1: Filtragem Espacial IIIFiltragem Espacial III
Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 1: Filtragem Espacial IIIFiltragem Espacial III
Motivação III
Motivação III
Imagem Corrompida com Ruído GaussianoImagem Corrompida com Ruído Gaussiano
Imagem Suavizada comFiltro de Suavização Gaussiana
Imagem Suavizada comFiltro de Suavização Gaussiana
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Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 2: Rotação de Imagem IRotação de Imagem I
Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 2: Rotação de Imagem IRotação de Imagem I
Motivação IV
Motivação IV
Mapeamento direto
Imagem Original (x,y)Imagem Original (x,y)
coscossensen ..++..== yyxxyy
sensencoscos ..--..== yyxxxx
Notação matricial
--==
yyxx
yyxx
coscossensensensencoscos
''''
Imagem Rotacionada (x’,y’)Imagem Rotacionada (x’,y’)
xx
yy
(x,y)(x,y)
(x’,y’)(x’,y’)
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Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 2: Rotação de Imagem IIRotação de Imagem II
Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 2: Rotação de Imagem IIRotação de Imagem II
Motivação V
Motivação V
Mapeamento direto
Imagem Original (x,y)Imagem Original (x,y) Imagem Rotacionada (x’,y’)Imagem Rotacionada (x’,y’)
xx
yy
(x,y)(x,y)
(x’,y’)(x’,y’)
--==
yyxx
yyxx
coscossensensensencoscos
''''
Mapeamento reverso
--==
yyxx
yyxx
coscossensensensencoscos
''''
-1-1
==
yyxx
yyxx
coscos-sen-sensensencoscos
''''
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Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 2: Rotação de Imagem IIIRotação de Imagem III
Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais
Exemplo 2: Rotação de Imagem IIIRotação de Imagem III
Motivação VI
Motivação VI
Imagem Original (x,y)Imagem Original (x,y) Imagem Rotacionada (x’,y’)Imagem Rotacionada (x’,y’)
xx
yy
(x,y)(x,y)(x’,y’)(x’,y’)
1010
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Escalar
Variável descrita por um número (magnitude) ou um símbolo representando um número
Temperatura TT = 20 ºC20 ºC
Densidade dd = 12 g/cm12 g/cm33
Nível de cinza de um pixel (em uma imagem) NNcc = 176176
Escalar
Variável descrita por um número (magnitude) ou um símbolo representando um número
Temperatura TT = 20 ºC20 ºC
Densidade dd = 12 g/cm12 g/cm33
Nível de cinza de um pixel (em uma imagem) NNcc = 176176
Definições I
Definições I
1111
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Vetor
Variável descrita por magnitude e direção
Vetor
Variável descrita por magnitude e direção
Definições II
Definições II
vyvy
VV
vxvx
Vetor de LinhaVetor de Linha
pxpxPP pypy pzpz
yy
xx
vv
vvVV
Vetor de ColunaVetor de Coluna
pypyPP
pxpxpzpz
1212
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Operações sobre Vetores I
Exemplos de transposição
Operações sobre Vetores I
Exemplos de transposição
ColunaColuna LinhaLinha
Definições III
Definições III
[[ ]]773399==TT
VV
==
77
33
99
VV
[[ ]]1144-1-1==XXTT
==
11
44
-1-1
XX
LinhaLinha ColunaColuna
1313
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Operações sobre Vetores II
Produto interno de vetores Escalar
Operações sobre Vetores II
Produto interno de vetores Escalar
[[ ]]ii
iiii
TTyyxxyyxxyyxxyyxx
yy
yy
yy
xxxxxx ==
==++++==
==33
11333322221111
33
22
11
332211YYXX
Norma de um vetor em um espaço vetorial VV
Função que atribui a cada vetor VV um número real não negativo (norma de VV), denotado por ||||VV||||
Definições IV
Definições IV
1414
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Operações sobre Vetores III
Condições satisfeitas pela norma
||||VV|| || > 0> 0, para VV ≠≠ 00; ||||00|| || = 0= 0 ||||ccVV|| || = = ||cc|.|||.||VV||||, para qualquer escalar e
vetor
||||V + XV + X|| || || ||VV|| || ++ || ||XX||||
Operações sobre Vetores III
Condições satisfeitas pela norma
||||VV|| || > 0> 0, para VV ≠≠ 00; ||||00|| || = 0= 0 ||||ccVV|| || = = ||cc|.|||.||VV||||, para qualquer escalar e
vetor
||||V + XV + X|| || || ||VV|| || ++ || ||XX||||
Tamanho de um vetor
X = (xX = (x1122+ x+ x22
22 ) )½½
X = (xX = (x1122+ x+ x22
22 + x+ x3322 ) )½½
XXTT X =x X =x1122+ x+ x22
22 +x +x3322 = ( X ) = ( X )22
xx11
xx22XX
Definições V
Definições V
1515
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Operações sobre Vetores IV
Norma 22 ou EuclidianaEuclidiana
Definição do espaço para um vetor VV no mm real
Operações sobre Vetores IV
Norma 22 ou EuclidianaEuclidiana
Definição do espaço para um vetor VV no mm real
Comprimento de um vetor
Definições VI
Definições VI
X = (xX = (x112 2 + x+ x22
2 2 + … + x+ … + xmm22 ) )½½
xx11
xx22XX
X X = (x= (x1122+ x+ x22
22))½½
XXTT X = ((x X = ((x1122+ x+ x22
22))½½))22 = ( = (
X )X )22
ou
X X = (X= (XTT X) X)½½
1616
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Vetores OrtogonaisVetores Ortogonais
XXTTY = 0Y = 0
sensen YYyyyy//==
Operações sobre Vetores V Ângulo entre 2 Vetores
Operações sobre Vetores V Ângulo entre 2 Vetores
coscos YYyyxx//==
sensen XXxxyy//== coscos XXxxxx//==
||X||||X||
yxyx
yyyy
||Y||||Y||
xxxx
xyxy
++==coscos
== cos(cos(--)) coscoscoscos sensensensen
=/2=/2||X||||X||
||Y||||Y||
coscos
== XXXXTTYY// YY coscos
XX YY== XXTTYY== XXxxxxyyxx// YY ++ XXxxyyyyyy// YYcoscos
cos(/2)X Y=XTY = 0
Definições VII
Definições VII
1717
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Operações sobre Vetores VI Desigualdade de Cauchy-Schwartz
Ortogonalidade Se e somente se o produto interno for
nulo
XXTTY = 0Y = 0 Ortonormalidade
Ortogonalidade Ortogonalidade dos vetores Comprimento de cada vetor unitáriounitário
XX YYXXTT
YY
Definições VIII
Definições VIII
1818
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Matriz ll×cc (“ll por cc")
Arranjo retangular de entradas ou elementos (números ou símbolos representando números) encerrados tipicamente por colchetes
ll Número de linhas cc Número de colunas
Matriz ll×cc (“ll por cc")
Arranjo retangular de entradas ou elementos (números ou símbolos representando números) encerrados tipicamente por colchetes
ll Número de linhas cc Número de colunas
Definições IX
Definições IX
lclc22ll11ll
cc2222222121
mmmmmm
mmmmmmcc11mm1212mm1111mm
MM
1919
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Matriz ll×cc QuadradaQuadrada ll = cc
DiagonalDiagonal QuadradaQuadrada na qual mmlclc = 00
para ll ≠ cc e nem todos os elementos diagonais são nulos
IdentidadeIdentidade DiagonalDiagonal e todos os elementos diagonais são unitários
NulaNula mmlclc = 00, ll,,cc
Matriz ll×cc QuadradaQuadrada ll = cc
DiagonalDiagonal QuadradaQuadrada na qual mmlclc = 00
para ll ≠ cc e nem todos os elementos diagonais são nulos
IdentidadeIdentidade DiagonalDiagonal e todos os elementos diagonais são unitários
NulaNula mmlclc = 00, ll,,cc
Definições X
Definições X
2020
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Matriz ll×cc Transposta de MxNTransposta de MxN (MMTT) Intercâmbio
de linhas por colunas (nova matriz cc×ll) SimétricaSimétrica QuadradaQuadrada para a qual MMTT=MM InversaInversa Qualquer matriz II para a qual
XX..MM=II e MM..XX=II Múltiplo EscalarMúltiplo Escalar Produto de um número
real ou complexo (denominado escalar) kk e uma matriz MM
Notação kk..MM Resultado da multiplicação de todos os
elementos de MM por kk
Matriz ll×cc Transposta de MxNTransposta de MxN (MMTT) Intercâmbio
de linhas por colunas (nova matriz cc×ll) SimétricaSimétrica QuadradaQuadrada para a qual MMTT=MM InversaInversa Qualquer matriz II para a qual
XX..MM=II e MM..XX=II Múltiplo EscalarMúltiplo Escalar Produto de um número
real ou complexo (denominado escalar) kk e uma matriz MM
Notação kk..MM Resultado da multiplicação de todos os
elementos de MM por kk
Definições XI
Definições XI
2121
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Matriz ll×cc NegativoNegativo Múltiplo escalar de kk=-1 e
uma matriz MM
TraceTrace Soma dos elementos da diagonal principal
Igualdade de matrizesIgualdade de matrizes MM = XX se tiverem o mesmo número de linhas e colunas e mmlclc = xxlclc
Matriz ll×cc NegativoNegativo Múltiplo escalar de kk=-1 e
uma matriz MM
TraceTrace Soma dos elementos da diagonal principal
Igualdade de matrizesIgualdade de matrizes MM = XX se tiverem o mesmo número de linhas e colunas e mmlclc = xxlclc
Definições XII
Definições XII
2222
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Operações sobre Matrizes I Exemplos de transposição
Operações sobre Matrizes I Exemplos de transposição
Definições XIII
Definições XIII
====
444455556666
333344445555
222233334444
MMMMTTTT====
444433332222
555544443333
666655554444
MMMM
====
444400003333
3333-1-1-1-15555
2222-2-2-2-27777
YYYY
-1-1-1-1
0000
1111
TTTT====
0000-1-1-1-1-2-2-2-2
333355557777
-1-1-1-100001111
YYYY
444433332222
2323
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Definições XIV
Definições XIV
Operações sobre Matrizes II Adição/ Subtração Matrizes de
mesmas dimensões
Propriedades
Comutativa
II ±± JJ == JJ ±± II Associativa
(I(I ±± J)J) ±± KK == II ±± (J(J ±± K)K)
Operações sobre Matrizes II Adição/ Subtração Matrizes de
mesmas dimensões
Propriedades
Comutativa
II ±± JJ == JJ ±± II Associativa
(I(I ±± J)J) ±± KK == II ±± (J(J ±± K)K)
±±==±±
ii44ii33
ii22ii11JJII
jj44jj33
jj22jj11 ==
ii3 3 ± ± jj33
ii1 1 ± ± jj11 ii4 4 ± ± jj44
ii2 2 ± ± jj22
2424
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Definições XV
Definições XV
Operações sobre Matrizes III Multiplicação Número de colunas da
primeira matriz igualigual ao número de linhas da segunda matriz
Propriedades Associativa
(I(I J)KJ)K == I(JK)I(JK) Distributiva
I(II(I ±± K)K) == IJ ± IKIJ ± IK
Operações sobre Matrizes III Multiplicação Número de colunas da
primeira matriz igualigual ao número de linhas da segunda matriz
Propriedades Associativa
(I(I J)KJ)K == I(JK)I(JK) Distributiva
I(II(I ±± K)K) == IJ ± IKIJ ± IK
KK = = II JJ((mm xx pp) = () = (mm xx nn) () (nn xx pp))
KKijij = = produto interno da produto interno da ii-ésima-ésima linha de linha de II pela pela jj-ésima-ésima coluna de coluna de JJ
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Definições XVI
Definições XVI
Operações sobre Matrizes IV Multiplicação
Propriedades Não comutativa
(I(I J)J) ≠≠ (JI) (JI) !!!!!! Produto transposto
(IJ)(IJ)TT == JJTTIITT
Operações sobre Matrizes IV Multiplicação
Propriedades Não comutativa
(I(I J)J) ≠≠ (JI) (JI) !!!!!! Produto transposto
(IJ)(IJ)TT == JJTTIITT
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Operações sobre Matrizes V
Produto externo
Operações sobre Matrizes V
Produto externo
Definições XVII
Definições XVII
[ ]yy33yy22yy11==TT
YY
==
xx33
xx22
xx11
XX
==
yy33
yy22
yy11
YY
==
xx33
xx22
xx11
XX[[ ]]yy33yy22yy11
TTYY ==
xx33yy11xx33yy11
xx22yy11xx22yy11
xx11yy11xx11yy11
xx33yy22xx33yy22
xx22yy22xx22yy22
xx11yy22xx11yy22
xx33yy33xx33yy33
xx22yy33xx22yy33
xx11yy33xx11yy33
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AA-1-1 A = AA = A AA-1-1 = I = IAA-1-1 A = AA = A AA-1-1 = I = I
Definições XVIII
Definições XVIII
Operações sobre Matrizes VI Matriz Inversa I
Exemplo
Operações sobre Matrizes VI Matriz Inversa I
Exemplo
AA-1-1AA ==
11//770000
0011//5500
000011//33
770000005500000033
==
110000001100000011
= I= I
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Operações com Matrizes VII Matriz Inversa II
Propriedades
Existência de AA-1-1 AA quadradaquadrada
Se AA-1-1 existe AA é não singularnão singular (inversívelinversível)
(AB)-1 = B-1A-1; B-1A-1AB = B-1B = I
(AT)-1 = (A-1)T; (A-1)TAT = (AA-1)T = I
Operações com Matrizes VII Matriz Inversa II
Propriedades
Existência de AA-1-1 AA quadradaquadrada
Se AA-1-1 existe AA é não singularnão singular (inversívelinversível)
(AB)-1 = B-1A-1; B-1A-1AB = B-1B = I
(AT)-1 = (A-1)T; (A-1)TAT = (AA-1)T = I
AA-1-1 A = AA = A AA-1-1 = I = IAA-1-1 A = AA = A AA-1-1 = I = I
Definições XIX
Definições XIX
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Operações sobre Matrizes VIII Determinante de uma Matriz Quadrada
Número associado à matriz AAn,nn,n, representado por AA ou detdet AA, definido por:
aa1111, se n=1n=1
, se n>1n>1
AA1j1j é a submatriz obtida da matriz AA eliminando a linha 11 e a coluna jj
AA == 00 se e somente se AA não for inversívelinversível
Operações sobre Matrizes VIII Determinante de uma Matriz Quadrada
Número associado à matriz AAn,nn,n, representado por AA ou detdet AA, definido por:
aa1111, se n=1n=1
, se n>1n>1
AA1j1j é a submatriz obtida da matriz AA eliminando a linha 11 e a coluna jj
AA == 00 se e somente se AA não for inversívelinversível
Definições XX
Definições XX
nn
++
--==jjjj
jjaaAA
==jj 11,,1111
11..))11(( AA
3030
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Auto-valores e Auto-vetores I Auto-valores de uma matriz real MM
Números reais para os quais há um vetor não nulonão nulo tal que
Me = Me = ee
Auto-vetores de uma matriz real MM Vetores não nulos enão nulos e para os quais há
um número real tal que Me =Me = ee Se Me = Me = ee para ee ≠ 0≠ 0
ee é um auto-vetor de MM associado ao auto-valor e vice-versa
Auto-valores e Auto-vetores I Auto-valores de uma matriz real MM
Números reais para os quais há um vetor não nulonão nulo tal que
Me = Me = ee
Auto-vetores de uma matriz real MM Vetores não nulos enão nulos e para os quais há
um número real tal que Me =Me = ee Se Me = Me = ee para ee ≠ 0≠ 0
ee é um auto-vetor de MM associado ao auto-valor e vice-versa
Definições XXI
Definições XXI
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Auto-valores e Auto-vetores II Auto-sistema de uma matriz real MM
Auto-vetores e auto-valores associados de MM
Exemplo Seja MM a matriz
Constata-se que, para 11 = 11 e 22 = 22,
MeMe11 = = ee11, MeMe22 = = ee22 e
Auto-valores e Auto-vetores II Auto-sistema de uma matriz real MM
Auto-vetores e auto-valores associados de MM
Exemplo Seja MM a matriz
Constata-se que, para 11 = 11 e 22 = 22,
MeMe11 = = ee11, MeMe22 = = ee22 e
Definições XXII
Definições XXII
==
22000011
MM
==
0011
ee11 ==
1100
ee22
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCGAv Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: 58109-190 – Campina Grande – PBwww.ufcg.edu.br/ – Fones: (0xx83) 310 1467/1192 – Fax: (0xx83) 310 1273
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCGAv Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: 58109-190 – Campina Grande – PBwww.ufcg.edu.br/ – Fones: (0xx83) 310 1467/1192 – Fax: (0xx83) 310 1273
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José Eustáquio Rangel de QueirozJosé Eustáquio Rangel de QueirozProfessor Adjunto DSC/UFCGProfessor Adjunto DSC/UFCG
E-mail:E-mail: [email protected]@dsc.ufcg.edu.br
[email protected]@yahoo.com.br
Site departamental:Site departamental: www.ufcg.edu.br/~rangelwww.ufcg.edu.br/~rangel
Fone:Fone: 1119/1120 Ramal 2141119/1120 Ramal 214
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