Vamos começar!!!“A vitalidade não se revela apenas na
capacidade de persistir, mas na de começar tudo de novo!!!”
Scott FitzgeraldQuem sou eu?
Nome: RÔ
Formação: Unicamp, Licenciatura e mestrado em andamento.
Experiência: COC Campinas e Franca, SETA, OBJETIVO, NOVO, GABARITO Franca, etc.
Assuntos do ano – Matemática II:
I – Trigonometria
II – Análise Combinatória e Probabilidades
III – RVISÃO FINAL para a:
a) FUVEST
b) UNICAMP
c) UNESP
d) SABESP, TELESP… (ahahahah!!!)
e) Federais em geral
f) Particulares famosas
Vamos
à Teoria!!!
RÔlações Trigonométricas no Triângulo Retângulo:
a
A
b
Bc
C
α
β
a
b
H
COsen
a
c
H
COsen
c
b
CA
COtg
b
c
CA
COtg
a
c
H
CAcos
a
b
H
CAcos
Aula 1 – pg. 251.
Olha que coisa BACANA, BATUTA, SUPIMPA!!!
PROPRIEDADE IMPORTANTE:
Quando α + β = 90° (par de Ângulos Complementares), temos:
tgtg
sen
sen
1
cos
cos
Atenção: No Triângulo Retângulo, a trigonometria relaciona
um ângulo com 2 lados, através do seno, cosseno e da tangente; assim, temos as seguintes situações:1. Ângulo desconhecido x:
1.1. Temos 2 lados dados e precisamos achar seno, cosseno ou tangente;
1.2. Temos o seno, cosseno ou tangente e 1 dos lados e precisamos achar o valor de outro lado;
1.3. Não dá para achar o valor de x, a não ser por tabela dada.2. Ângulo notável 30°, 45° ou 60°:
Aqui é fácil! Basta usarmos a “tabelinha” ou as RÔDICAS para matar a questão!
30° 45° 60°
Seno
Cosseno
Tangente
12
3
2
2
32
2
2
21
1
2
I – Vamos cantar!!!
RÔ – HIT de sucesso:
“Os Notáveis (A Tabelinha)”
3
3 3
Mas, finalizando…Temos 4 RÔDICAS (“Super Fashion”), para nos ajudar a
trabalhar com triângulos rapidamente:RÔDICA N° 1:
3
4
5
α
β5
3
H
COsen
5
4
H
COsen
4
3
CA
COtg
3
4
CA
COtg
5
4cos
H
CA5
3cos
H
CA
Família do 3, 4 e 5: basta multiplicar por um fator x que obtemos seus “parentes” (Semelhança)! Ex.:
(6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, __, 20); (1.8; 2.4; __) 16 3
Exercício 1: pág. 251.
RÔsolução:
Catetos 6 e 8… sem pensar: hipotenusa 10!!!Este triângulo é da família 3,4 e 5: RÔDICA n° 1!!!Atenção!!! Informação lá da Geometria: ao menor lado está oposto o menor ângulo e vice-versa!!!
Portanto:
α
6
8
105
3
H
COsen
4
3
CA
COtg
5
4cos
H
CA
RÔDICA N° 2:
30°
60°
12
3
Família do 1, √3 e 2:
1 – O cateto oposto a 30° é sempre a metade da hipotenusa!!!
2 – O cateto adjacente a 30° é sempre o cateto oposto vezes √3!!!
x2x
3x
Basta multiplicar por um fator x que obtemos seus “parentes” (Semelhança)! Ex.:
(5, 5√3, 10); (25, 25√3, 50); (3, 3√3, __); (√3; __; 2√3) 6 3
Exercício 2 – UFPB: pág. 251.
RÔsolução:
Formando o triângulo retângulo e calculando os ângulos internos, obtemos:RÔDICA n° 2: Família 1, √3 e 2!!! (ângulo de 30°)
H10
30°
60°
H = 5Letra CDe Chocolate!!!
Qual o gabarito quebate – que – bate???
RÔDICA N° 3:
45°
1
1
2
Família do 1, 1 e √2:
1 – Triângulo Isósceles: 2 ângulos de 45° e 2 catetos iguais!!!
2 – A hipotenusa é sempre o cateto vezes √2!!!
45°
xx
2x
Basta multiplicar por um fator x que obtemos seus “parentes” (Semelhança)! Ex.:
(4, 4, 4√2); (25, 25, 25√2); (√3, √3, __); (__; √6; 2√3) √6 √6
Exercício 3 – UNESP: pág. 251.
RÔsolução:
X ZY
W
90
45°60°
d = ?
√3 = 1,731. Quantos triângulos vemos na figura?
2. Completar ângulos e lados (usar RÔDICAS).
30°15°
45°d
x
Portanto, sem fazer muitas contas (apenas geometricamente), temos que:
d = x + 90 (1)
d = x.√3 (2)
RÔsolvendo…
“Sobstitoyndo” a (2) em (1), temos:
1,73 x = x + 90
1,73 x – x = 90
0,73x = 90
x = 90 / 0,73
x = 123,28
Letra C de CHOCOLATE!!!
Exercício 4: pág. 251.
Resolução:
1. Quantos triângulos vemos na figura?
2. Completar ângulos e lados (usar RÔDICAS).
30°
xA B
P
30° 60°1000
d = x.√330°1000
Portanto, em uma linha: d = 500.√3 !!!
Gabarito: Letra b !!! De Bucéfalo, o Cavalo de Alexandre Grande, o Grande!!!
RÔDICA N° 4:
α
Fy
Fx
F
Generalizando…
F
Fsen
y senFFy .
F
Fxcos cos.FFx
F.senα
F.cosα
Esta RÔDICA explica todas as 3 anteriores!!!
Exercício Extra: Aplicação na Física!!!
Decomposição de Vetores:
Decomponha o vetor F = 10 nos eixos vertical e horizontal dado na figura abaixo:
25°
Dados:sen 65° = 0,90cos 65° = 0,42
F
65°Fy
Fx
Fy = F. sen α
Fy = 10. 0,90
Fy = 9
Fx = F. cos αFx = 10. 0,42
Fx = 4,2
P-p-p-por hoje é
s-s-s-só,
p-p-p-pessoal!!!
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