Vamos começar!!!“A vitalidade não se revela apenas na

capacidade de persistir, mas na de começar tudo de novo!!!”

Scott FitzgeraldQuem sou eu?

Nome: RÔ

Formação: Unicamp, Licenciatura e mestrado em andamento.

Experiência: COC Campinas e Franca, SETA, OBJETIVO, NOVO, GABARITO Franca, etc.

Assuntos do ano – Matemática II:

I – Trigonometria

II – Análise Combinatória e Probabilidades

III – RVISÃO FINAL para a:

a) FUVEST

b) UNICAMP

c) UNESP

d) SABESP, TELESP… (ahahahah!!!)

e) Federais em geral

f) Particulares famosas

Vamos

à Teoria!!!

RÔlações Trigonométricas no Triângulo Retângulo:

a

A

b

Bc

C

α

β

a

b

H

COsen

a

c

H

COsen

c

b

CA

COtg

b

c

CA

COtg

a

c

H

CAcos

a

b

H

CAcos

Aula 1 – pg. 251.

Olha que coisa BACANA, BATUTA, SUPIMPA!!!

PROPRIEDADE IMPORTANTE:

Quando α + β = 90° (par de Ângulos Complementares), temos:

tgtg

sen

sen

1

cos

cos

Atenção: No Triângulo Retângulo, a trigonometria relaciona

um ângulo com 2 lados, através do seno, cosseno e da tangente; assim, temos as seguintes situações:1. Ângulo desconhecido x:

1.1. Temos 2 lados dados e precisamos achar seno, cosseno ou tangente;

1.2. Temos o seno, cosseno ou tangente e 1 dos lados e precisamos achar o valor de outro lado;

1.3. Não dá para achar o valor de x, a não ser por tabela dada.2. Ângulo notável 30°, 45° ou 60°:

Aqui é fácil! Basta usarmos a “tabelinha” ou as RÔDICAS para matar a questão!

30° 45° 60°

Seno

Cosseno

Tangente

12

3

2

2

32

2

2

21

1

2

I – Vamos cantar!!!

RÔ – HIT de sucesso:

“Os Notáveis (A Tabelinha)”

3

3 3

Mas, finalizando…Temos 4 RÔDICAS (“Super Fashion”), para nos ajudar a

trabalhar com triângulos rapidamente:RÔDICA N° 1:

3

4

5

α

β5

3

H

COsen

5

4

H

COsen

4

3

CA

COtg

3

4

CA

COtg

5

4cos

H

CA5

3cos

H

CA

Família do 3, 4 e 5: basta multiplicar por um fator x que obtemos seus “parentes” (Semelhança)! Ex.:

(6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, __, 20); (1.8; 2.4; __) 16 3

Exercício 1: pág. 251.

RÔsolução:

Catetos 6 e 8… sem pensar: hipotenusa 10!!!Este triângulo é da família 3,4 e 5: RÔDICA n° 1!!!Atenção!!! Informação lá da Geometria: ao menor lado está oposto o menor ângulo e vice-versa!!!

Portanto:

α

6

8

105

3

H

COsen

4

3

CA

COtg

5

4cos

H

CA

RÔDICA N° 2:

30°

60°

12

3

Família do 1, √3 e 2:

1 – O cateto oposto a 30° é sempre a metade da hipotenusa!!!

2 – O cateto adjacente a 30° é sempre o cateto oposto vezes √3!!!

x2x

3x

Basta multiplicar por um fator x que obtemos seus “parentes” (Semelhança)! Ex.:

(5, 5√3, 10); (25, 25√3, 50); (3, 3√3, __); (√3; __; 2√3) 6 3

Exercício 2 – UFPB: pág. 251.

RÔsolução:

Formando o triângulo retângulo e calculando os ângulos internos, obtemos:RÔDICA n° 2: Família 1, √3 e 2!!! (ângulo de 30°)

H10

30°

60°

H = 5Letra CDe Chocolate!!!

Qual o gabarito quebate – que – bate???

RÔDICA N° 3:

45°

1

1

2

Família do 1, 1 e √2:

1 – Triângulo Isósceles: 2 ângulos de 45° e 2 catetos iguais!!!

2 – A hipotenusa é sempre o cateto vezes √2!!!

45°

xx

2x

Basta multiplicar por um fator x que obtemos seus “parentes” (Semelhança)! Ex.:

(4, 4, 4√2); (25, 25, 25√2); (√3, √3, __); (__; √6; 2√3) √6 √6

Exercício 3 – UNESP: pág. 251.

RÔsolução:

X ZY

W

90

45°60°

d = ?

√3 = 1,731. Quantos triângulos vemos na figura?

2. Completar ângulos e lados (usar RÔDICAS).

30°15°

45°d

x

Portanto, sem fazer muitas contas (apenas geometricamente), temos que:

d = x + 90 (1)

d = x.√3 (2)

RÔsolvendo…

“Sobstitoyndo” a (2) em (1), temos:

1,73 x = x + 90

1,73 x – x = 90

0,73x = 90

x = 90 / 0,73

x = 123,28

Letra C de CHOCOLATE!!!

Exercício 4: pág. 251.

Resolução:

1. Quantos triângulos vemos na figura?

2. Completar ângulos e lados (usar RÔDICAS).

30°

xA B

P

30° 60°1000

d = x.√330°1000

Portanto, em uma linha: d = 500.√3 !!!

Gabarito: Letra b !!! De Bucéfalo, o Cavalo de Alexandre Grande, o Grande!!!

RÔDICA N° 4:

α

Fy

Fx

F

Generalizando…

F

Fsen

y senFFy .

F

Fxcos cos.FFx

F.senα

F.cosα

Esta RÔDICA explica todas as 3 anteriores!!!

Exercício Extra: Aplicação na Física!!!

Decomposição de Vetores:

Decomponha o vetor F = 10 nos eixos vertical e horizontal dado na figura abaixo:

25°

Dados:sen 65° = 0,90cos 65° = 0,42

F

65°Fy

Fx

Fy = F. sen α

Fy = 10. 0,90

Fy = 9

Fx = F. cos αFx = 10. 0,42

Fx = 4,2

P-p-p-por hoje é

s-s-s-só,

p-p-p-pessoal!!!