8/18/2019 VIBRAÇÕES FORÇADAS NÃO AMORTECDAS
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DINÂMICA DAS ESTRUTURAS 1 RELATÓRIO 01 Vibrações forçadas não amortecidas
ALUNOS:
BRUNO SAMPAIO ALVES
FILIPE ROCHA GUEDES
PROF. PAULO MARCELO RIBEIRO
DATA: 04/10/2015
Resumo
Será descrito neste relatório um estudo a respeito de vibrações forçadas não-
amortecidas em estruturas reticuladas. Neste caso em particular, foi estudada uma viga
biapoiada submetida a uma carga concentrada no meio do vão variável com o tempo. Será
apresentada a solução numérica computacional com utilização do software SAP2000 e um
modelo analítico usando método de Rayleigh para validar o problema. Também será
realizada a comparação entre carga dinâmica e estática.
Dados do problema:
E = 20GPa ;
= 2500 kg/m³ ;
L = 5m ;
P = 1000sen(80t), aplicada no meio do vão da viga ;
I = 2,083e-3 m^4.
1. Solução analítica
A solução geral do problema consiste na soma das soluções homogênea e
particular. A solução homogênea corresponde à análise modal, e tem como parâmetro de
resposta a frequência natural da estrutura, não dependendo do carregamento aplicado. Tal
frequência natural pode ser obtida utilizando o método de Rayleigh, com função de forma
a ser escolhida. Para o caso, a função de forma adotada corresponde à linha elástica
normalizada da viga com carregamento concentrado no meio do vão.
A solução particular do problema fica em função do carregamento aplicado. A
função do carregamento é senoidal, e a solução pode ser obtida pelo método dos
coeficientes a determinar, que, para o caso de função senoidal do “lado direito” da equaçãodiferencial tem-se uma solução do tipo combinação entre seno e cosseno. É extremamente
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importante ressaltar que as condições de contorno devem ser aplicadas à solução geral e
não à solução homogênea.
Assim, para o caso em questão, chegamos aos seguintes resultados:
Frequência natural (aproximada, utilizando método de Rayleigh):
w = 162,75 rad/s
Solução geral (vibração forçada não amortecida em viga biapoiada com carregamento
concentrado tipo señ t ):
t (
)sent (
)señ t
sendo Po a intensidade do carregamento (no caso, 1000 N), k a rigidez da estrutura, w a
frequência natural da estrutura, ̃ a frequência do carregamento e b a razão entre afrequência natural e frequência do carregamento.
Assim:
t sent sent
é a resposta dinâmica da estrutura, para o caso em questão.
2. Solução computacional usando SAP2000
Inicialmente foi processada a análise modal no SAP2000 utilizando os dados
do problema em questão. Assim, obteve-se a frequência natural da estrutura:
w = 161,15 rad/s (frequência natural obtida no SAP)
Nota-se que há uma diferença relativa de 1% entre a frequência natural
obtida utilizando o método de Rayleigh, assim, não se espera que os resultadossejam muito diferentes ao se utilizar a frequência aproximada para resposta
dinâmica.
Em seguida, ainda no SAP, realiza-se o estudo de vibração forçada,
aplicando a carga em um determinado intervalo de tempo e computando a
resposta em vários passos de tempo de forma a se obter a resposta dentro do
intervalo de tempo desejado.
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A resposta de deslocamentos é computada para o nó central da estrutura e
seus valores são exportados para uma planilha com objetivo de plotar os gráficos
para comparar esta resposta com a solução analítica obtida anteriormente.
3. Comparação de resultados
Para nossa surpresa, observou-se que não houve uma convergência entre assoluções, conforme gráfico apresentado abaixo:
Observa-se que há uma certa convergência no começo, porém as respostascomeçam a divergir logo em seguida.
Verificou-se que a pequena diferença entre a frequência natural obtida pelométodo de Rayleigh e a frequência obtida no SAP foi a causa dessa divergência. Écomo se tal diferença fosse se acumulando ao longo do tempo e as respostastendem a divergir bastante, como apresentada acima.
Assim, será agora comparada a solução analítica utilizando a frequêncianatural obtida no SAP e realizando a análise de convergência entre as respostas.Assim a resposta dinâmica fica:
t sent sent Lembrando que tínhamos: t sent sent
Sendo as diferenças entre amplitudes ainda menores que a diferença entrefrequência natural obtida. Porém quando se coloca gráfico sobre gráfico podemosobservar a clara convergência:
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Agora temos praticamente um gráfico sobre o outro, mostrando totalconvergência e validando nosso problema.
Também pode-se determinar o fator de amplificação dinâmica (fad), quecorresponde à relação entre o máximo valor da resposta dinâmica em termos dedeslocamentos e a resposta de deslocamento devido à aplicação de uma carga
estática de mesmo valor (no caso, 1000 N), no centro do vão.
Na resposta dinâmica observamos que temos o valor de deslocamentomáximo para o nó central de 1.11e-4 m, enquanto que a resposta para cargaestática no meio do vão para viga biapoiada é já conhecida como PL^4/48EI, cujovalor para o caso em questão é de 6.25e-5 m. Assim temos um fad em termos dedeslocamentos de valor 1.776 , ou seja, para obter os mesmos resultados emtermos de deslocamentos para solução estática da estrutura deve-se majorar osresultados em 77,6%. Ainda assim outros aspectos como fadiga, por exemplo, não
serão verificados caso a análise seja estática, e por isso ressalva-se a importânciada realização de uma análise dinâmica da estrutura.
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