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Vetortangente ereta tangente
Integral delinha decampo escalar
Comprimentode uma linha
Integral delinha decampo vetorial
Camposconservativos
Teorema deGreen
Integrais de linhaAnalise Matematica II – Calculo II
Sandra Gaspar Martins
2o Semestre 2013/14
Versao de 30 de Maio de 2014sandra.martins@adm.isel.pt
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Vetortangente ereta tangente
Integral delinha decampo escalar
Comprimentode uma linha
Integral delinha decampo vetorial
Camposconservativos
Teorema deGreen
Equacoes parametricas da curva Cde R2
Definicao
Seja C uma curva/linha de R2 tal que{x = f (t)y = g(t)
, t ∈ I = [a, b] ⊂ R,
com f e g funcoes contınuas em I. A t chama-se a variavel ouparametro.
A orientacao da curva C corresponde ao sentido definido pelosvalores crescentes de t no intervalo I .
Ao ponto (x , y) correspondente a t = a chama-se origem ouponto de partida e ao correspondente a t = b chama-seextremidade ou ponto de chegada da curva.
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Integral delinha decampo escalar
Comprimentode uma linha
Integral delinha decampo vetorial
Camposconservativos
Teorema deGreen
Outra forma de descrever a curva C e utilizando funcoesvetoriais:
~r : I = [a, b] −→ R2
t 7−→ ~r(t) = (f (t), g(t))
~r(a) e a origem ou ponto de partida e~r(b) e a extremidade ou ponto de chegada de C.
Exemplo: Represente geometricamente a curva C:
~r : [−1, 1] −→ R2
t 7−→ ~r(t) = (t, t2)
ou seja, {x = ty = t2 , t ∈ I = [−1, 1]
ou seja,
~r(t) = (t, t2), t ∈ [−1, 1] 3/49
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Integral delinha decampo escalar
Comprimentode uma linha
Integral delinha decampo vetorial
Camposconservativos
Teorema deGreen
Exercıcios
Represente geometricamente as curvas:
1 ~r(t) = (t, t2), t ∈ [0, 2]
2 ~r(t) = (t, sin(t)), t ∈ [0, π]
3 ~r(t) = (t,√
t), t ∈ [0, 9]
4 ~r(t) = (t, t + 3), t ∈ [0, 5]
5 ~r(t) = (t, t), t ∈ [0, 2]
6 ~r(t) = (t,−t), t ∈ [0, 2]
7 ~r(t) = (1 + 2t, 2 + t), t ∈ [0, 1]
8 ~r(t) = (t − 1, 3t + 2), t ∈ [0, 2]
9 ~r(t) = (t + 1, t2 + 3), t ∈ [0, 2]
10 ~r(t) = (|t|, |t|2), t ∈ [−2, 2]
11 ~r(t) = (|t|, |t|+ 3), t ∈ [−3, 3]
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Comprimentode uma linha
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Camposconservativos
Teorema deGreen
Exercıcios
Represente geometricamente as curvas:
1 ~r(t) = (3 cos(t), 3 sin(t)), t ∈ [0, 2π]
2 ~r(t) = (2 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [0, π]
3 ~r(t) = (cos(t)− 2, sin(t) + 3), t ∈ [0, π2 ]
4 ~r(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [0, 2π]
5 ~r(t) = (5 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [π, 2π]
6 ~r(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [−π, π3 ]
7 ~r(t) = (cos(t)− 4, sin(t) + 2), t ∈ [−π2 , 0]
8 ~r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t)), t ∈ [0, 4π]
9 ~r(t) = (sin(t)− 1, cos(t) + 3), t ∈ [π2 , 2π]
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Teorema deGreen
Definicao
Uma parametrizacao de um segmento de reta com origem emA e extremidade em B, pode ser:
~r(t) = A + t( ~AB), t ∈ [0, 1].
Definicao
Seja C uma curva dada pelo caminho ~r(t), t ∈ [a, b] comorigem em A = ~r(A) e extremidade em B = ~r(B). A curva −C(com origem em B e extremidade em A) e dada pelo caminhoinverso de ~r , ~r∗, obtem-se se ~r substituindo t por −t, ou seja,
~r∗(t) = ~r(−t), t ∈ [−b,−a]
.Exemplo: Parametrize o segmento de reta de R2 que comecaem (0,1) e termina em (2,3) e o caminho inverso.
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Exercıcios I
Parametrize as seguintes curvas e as curvas inversas:
1 O segmento de reta que comeca em (1,2) e termina em(-1,-3).
2 A parte da reta y = 2x para x ∈ [−2, 3].
3 A parte do grafico da funcao f (x) = ex2 − 1 para
x ∈ [0, 1].
4 As linhas que se seguem:
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Exercıcios II
Nota: Repare que a parametrizacao nao e unica.
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Equacoes parametricas da curva Cde R3
Definicao
Seja C uma curva/linha de R3 tal quex = f (t)y = g(t)z = h(t)
, t ∈ I = [a, b] ⊂ R,
ou seja,
~r : I = [a, b] −→ R3
t 7−→ ~r(t) = (f (t), g(t), h(t))
ou seja,
~r(t) = (f (t), g(t), h(t)), t ∈ [a, b]
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Exercıcios
Represente geometricamente as curvas:
1 ~r(t) = (0, 2, 2t), t ∈ [−1, 1]
2 ~r(t) = (0, t, 2t + 1), t ∈ [0, 3]
3 ~r(t) = (t, 5, t − 3), t ∈ [−2, 2]
4 ~r(t) = (0, |t|, |t|2 + 3), t ∈ [−3, 4]
5 ~r(t) = (cos(t), sin(t), 2), t ∈ [0, 2π]
6 Helice circular:~r(t) = (cos(t), sin(t), t), t ∈ [0, 4π]
7 Helice elıptica:~r(t) = (2 cos(t), 3 sin(t), t), t ∈ [0, 4π]
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Teorema deGreen
Exercıcios
Parametrize as linhas de R3 indicadas na figura seguinte querepresenta o cilindro
{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 9, 0 ≤ z ≤ 5}
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Teorema deGreen
Classificacao de curvas
Definicao
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].A curva C diz-se fechada se a origem coincide com aextremidade, ou seja, ~r(a) = ~r(b). Caso contrario a curvadiz-se aberta.
A curva C diz-se simples se nao se intersecta a si propria(excluindo a origem e a extremidade).
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Vetor tangente e reta tangente
Definicao
Seja C uma curva de Rn dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Designa-se por vetor tangente a curva C no pontoP0 = ~r(t0) a derivada
~r ′(t0) = limh→0
~r(t0 + h)−~r(t0)
h, t0 ∈]a, b[
quando existe e e nao nula.
A reta tangente a curva em P0 = ~r(t0) e dada por:
(x , y , z) = ~r(t0) + t~r ′(t0), t ∈ R
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1 Considere o caminho, ~r(t), que leva de A = (1, 0) paraB = (−1, 0), ao longo de uma circunferencia de equacao
x2 + y 2 = 1
em sentido directo (anti-horario). Determine a equacao dareta tangente a curva no ponto (0,1).
2 Considere o caminho, ~r(t), que leva de A = (1, 0) paraB = (0, 2), ao longo de uma elipse de equacao
x2 +y 2
4= 1
em sentido directo (anti-horario). Determine a equacao dareta tangente a curva no ponto correspondente a t = π
4 .
3 Determine a reta tangente a curva representada pelafuncao
~r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t), t)
no ponto t0 = π4 .
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Aplicacoes
Se ~r(t) der origem a uma curva que traduz o movimento deum corpo ou partıcula, ~r ′(t) correspondera ao vetorvelocidade, ou seja,
~v(t) = ~r ′(t).
O vetor aceleracao sera
~a(t) = ~v ′(t) = ~r ′′(t).
Exemplo: Considere um objecto que se move ao longo de umacurva C dada por
~r(t) = (t − 2, t2).
Determine os vetores velocidade e aceleracao nos instantest = 0 e t = 1. Represente-os.
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Definicao
Uma curva C de Rn dada por ~r(t), t ∈ [a, b] diz-se regularse a derivada ~r ′(t) existe e e contınua (o que significa que~r(t) ∈ C 1) e nao nula em ]a, b[.
C e seccionalmente regular se se puder dividir num numerofinito de curvas regulares.
Nota: Se um caminho e regular, a curva por ele descrita naoapresenta bicos nem esquinas angulosas pois a derivada evoluisem variacoes bruscas de direccao ou sentido.
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Integral de linha de campo escalarConsidere uma linha/curva em R3
E o campo escalar f (x , y , z) que a cada ponto (x , y , z) (de R3-em particular da curva) faz corresponder umnumero/quantidade/altura.
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Teorema deGreen
Com os valores da funcao em todos os pontos
Obtemos uma cortina/muro sobre a linha.
O integral de linha de campo escalar da-nos a area dessacortina. Da-nos a quantidade total de f (x , y , z) sobre a linha(afetada de sinal, conforme esta acima ou abaixo da curva).
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Por exemplo:
Se f (x , y , z) da a quantidade de agua que choveu noponto (x , y , z) durante um certo dia, o integral de f da aquantidade total de agua que choveu sobre essa curvanesse dia.
Se f (x , y , z) da temperatura no ponto (x , y , z) num dadomomento, podemos saber a temperatura media sobre essalinha dividindo o valor do integral pelo comprimento dalinha.
Se a linha for um arame com densidade dada pela funcaoρ(x , y , z), o integral de ρ ao longo da linha da a massatotal do arame.
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Como vamos obter este valor?
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Dividindo o intervalo [a, b] em n intervalos [ti , ti+1],i = 0, ..., n − 1.Dividimos, tambem, a curva C em n intervalos [~r(ti ),~r(ti+1)].
||~r(ti+1)−~r(ti )|| da-nos aproximadamente o comprimento do”intervalo i”da curva.
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Logo f (~r(ti ))||~r(ti+1)−~r(ti )|| da-nos aproximadamente a areaa azul:
Somando as areas de todos os intervalos obtemosn−1∑i=0
f (~r(ti ))||~r(ti+1)−~r(ti )||
teremos a area de toda a cortina/muro.
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Repare que ||~r(ti+1)−~r(ti )||∆t ≈ ||~r ′(ti )|| pelo que a area total pode
ser escrita como
n−1∑i=0
f (~r(ti ))||~r ′(ti )|| ∆t
Passando ao limite
limn→+∞
n−1∑i=0
f (~r(ti ))||~r ′(ti )|| ∆t
obtemos ∫ b
af (~r(t))
∥∥~r ′(t)∥∥ dt
que e o valor exato da area da cortina, e potanto, o quedesignamos por integral de linha de campo escalar.
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Definicao
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Seja f : Df ⊂ Rn −→ R um campo escalar contınuo cujodomınio Df contem todos os pontos da curva CChamamos integral de linha do campo escalar f ao longo dacurva C ao integral∫
Cf ds =
∫ b
af (~r(t))
∥∥~r ′(t)∥∥ dt
Notas:
Este integral nao depende da parametrizacao escolhidapara C.
http://www.personal.psu.edu/dpl14/java/calculus/lineintegral.html
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PropriedadesPropriedades dos integrais de linha de campos escalares:Seja f e g campos escalares contınuos com Df ,Dg ⊂ Rn eC curva regular totalmente contida em Df ∩ Dg .C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em Df .−C a curva inversa da curva C (totalmente contidas em Df ).α, β ∈ R.
1 ∫−C
f ds =
∫C
f ds
2 ∫Cαf + βg ds = α
∫C
f ds + β
∫C
g ds
3 ∫C1∪C2
f ds =
∫C1
f ds +
∫C2
f ds
Aplicacoes: A massa de uma linha C com densidade dada pelafuncao ρ(x , y , x) e
∫C ρ ds
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Exercıcios I
1 Calcule∫C f ds onde f (x , y) = x e C e a linha da figura:
2 Calcule∫C y ds onde C e a meia circunferencia de raio 2
centrada na origem percorrida no sentido anti-horariodesde o ponto (2,0) ate ao ponto (-2,0). (R: 8)
3 Sabendo que a densidade de um fio e dada porρ(x , y) = 2
√x − y onde C tem a forma de um segmento
de reta com origem em (0,0) e extremidade em (1,1).
Calcule a massa desse fio. (R: 5√
26 )
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Exercıcios II
4 Calcule∫C x + z ds onde C e o segmento de reta que tem
origem em (0,2,3) e termina em (2,1,0). (R: 5√
142 )
5 Calcule∫C x + y + z ds onde C e a linha de equacao
parametrica x = cos(t)y = sin(t)z = t
entre os pontos (1,0,0) e (1,0,2π). R: 2√
2π2
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Comprimento de uma linha
O integral de linha do campo escalar f (x , y , z) = 1 da ocomprimento da linha, ou seja:
Definicao
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Chamamos comprimento da linha/curva C com origem emA = ~r(a) e extremidade B = ~r(b) ao integral
lC =
∫ b
a
∥∥~r ′(t)∥∥ dta
aEste integral nao depende da parametrizacao escolhida para C.
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Exercıcios1 Prove que o perımetro de uma circunferencia de raio R e
2πR.2 Determine k de modo que o comprimento da reta
y = −2x + 1 entre 0 e k seja 2.3 Considere
~r(t) = 4 sin(t)~e1 + 3t ~e2 + 4 cos(t)~e3, t ∈ [0, π]
Esboce a curva e calcule o seu comprimento. (R : 5π)4 Determine o comprimento da curva C de equacoes{
x = et cos(t)y = et sin(t)
, t ∈[0,π
2
]5 Determine o comprimento do arco de curva dado por
x = aet cos(t)y = aet sin(t)
z = aet
desde (a, o, a) ate (−aeπ, 0, aeπ). R:√
3a(eπ − 1)28/49
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Definicao
Seja C uma curva dada por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b].Seja ~f : D~f ⊂ Rn −→ R3 ~f = (f1, f2, f3) um campo vetorialcontınuo cujo domınio D~f contem todos os pontos da curva C.
Chamamos integral de linha do campo vetorial ~f ao longoda curva C ao integral∫C~f · dr =
∫ b
a
~f (~r(t)) ·~r ′(t) dt =
∫ b
af1 dx + f2 dy + f3 dz
Notas:
Se admitirmos que ~f representa um campo de forcas, ointegral da funcao vetorial ~f ao longo da linha Crepresenta o trabalho realizado por ~f para deslocar umapartıcula ao longo da linha C .Este integral nao depende da parametrizacao escolhidapara C.http://mathinsight.org/line_integral_vector_field_
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Propriedades
Propriedades dos integrais de linha de campos vetoriais:Seja ~f e ~g campos escalares contınuos com D~f ,D~g ⊂ Rn eC curva regular totalmente contida em D~f ∩ D~g .C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em D~f .−C a curva inversa da curva C (totalmente contidas em D~f ).α, β ∈ R.
1 ∫−C~f · dr = −
∫C~f · dr
2 ∫C
[α~f + β~g
]· dr = α
∫C~f · dr + β
∫C~g · dr
3 ∫C1∪C2
~f · dr =
∫C1
~f · dr +
∫C2
~f · dr
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Exercıcios:
1 Calcule o trabalho realizado pela forca~f (x , y) = (x2 − 2xy , 2xy + y 2) ao longo da linha y = x2
desde (0,0) ate (3,9). R:405.9
2 Calcule o trabalho realizado pela forca~f (x , y) = (1 + xy , x − y) no deslocamento do seu pontode aplicacao ao longo da linha fechada definida por y = x ,y = −1, x = 0 e x = 2 no sentido horario. R:−2
3
3 Calcule o trabalho realizado pela forca ~f (x , y) = (y , x) aodeslocar uma partıcula desde (0,0) ate (1,1) ao longo daslinhas
1 y = x2 y = x2
3 y = x3
R:1
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Interpretacao
Imagine que esta a remar num rio com alguma corrente. Asvezes esta a trabalhar contra a corrente, outras vezes esta amovimentar-se gracas a ela. No final tem a sensacao de saberse, em geral, foi ajudado ou prejudicado pela corrente.
O integral de linha mede o grau em que uma curva num campode vectores esta, em geral, a ir com o campo de vectores oucontra ele.
Lembre-se que para quaisquer dois vetores ~u e ~v o produtointerno ~u · ~v e positivo se ~u e ~v apontam aproximadamente namesma direccao (isto e, se o angulo entre eles e inferior a π
2 ).O produto interno e zero se ~u e perpendicular a ~v e e negativo,se eles apontam aproximadamente em direccoes opostas (istoe, se o angulo entre eles e maior do que π
2 ).
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O integral de linha de ~f adiciona o produto interno de ~f e ∆rao longo do caminho.
Se ||~f || e constante, o integral de linha da um numero positivose ~f (maioritariamente) apontar na mesma direcao que C, e umnumero negativo se ~f (maioritariamente) apontar na direcaooposta a de C. O integral de linha e zero se ~f e perpendicularao percurso em todos os pontos, ou se as contribuicoespositivas e negativas se anularem.
Em geral, o integral de linha de um campo vectorial ~f ao longode uma curva C mede ate que ponto C vai com ~f ou contra ~f .(De: Hughes-Hallett, Calculus)
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Camposconservativos
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ExercıcioConsidere o campo vetorial ~f e as curvas C1,C2,C3, e C4
apresentadas na figura. As curvas C1 e C3 tem o mesmocomprimento. Quais dos seguintes integrais sao positivos? Enegativos? Ordene-os de forma crescente.∫
Ci
~f · dr i = 1, 2, 3, 4
R: C4,C1,C3,C234/49
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Camposconservativos
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ExercıcioQual o sinal do integral dos seguintes campos vetoriais nasrespetivas linhas?
R: 1.neg 2.pos 3.zero 4.pos 5.zero35/49
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Campos conservativos
Imagine que pretende transportar um sofa de um res-do-chaopara o 1o andar. Tera que ”lutar”contra a gravidade. A forcaque vai ser feita e a mesma quer va pelo elevador quer va pelasescadas. Vamos modelar este problema e confirma-lo:
A forca da gravidade pode ser modelada por~f (x , y , z) = (0, 0,−9.8). Vamos modelar o caminho doelevador pelo segmento de reta entre (0,0,0) e (0,0,2). Oprimeiro lance de escadas pelo segmento de reta que comecaem (0,0,0) e termina em (0,1,1) e o segundo pelo segmento dereta que comeca em (0,1,1) e termina em (0,0,2).Calcule o trabalho realizado por esta forca ao longo dos doiscaminhos.
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Camposconservativos
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Nesta seccao consideremos apenas campos vetoriais~f = (f1, f2, ..., fn) cujas componentes sejam contınuas numconjunto aberto, simplesmente conexo.
Definicao
~f : Rn −→ Rn e um campo conservativo (ou campogradiente) se existe ϕ : Rn −→ R
~f = ∇ϕ(~x),
ou seja,
(f1, f2, ..., fn) =
(∂ϕ
∂x1,∂ϕ
∂x2, ...,
∂ϕ
∂xn
)A funcao ϕ chama-se a funcao potencial geradora de ~f .
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Vejamos se ~f (x , y) = (2xy 3 + 1, 3x2y 2 + 12y 3) e conservativo.Ou seja, vamos procurar
ϕ(x , y) : ~f (x , y) = ∇ϕ(x , y) =(∂ϕ∂x ,
∂ϕ∂y
)
∂ϕ∂x = 2xy 3 + 1 ⇒ ϕ(x , y) = x2y 3 + x + C (y)
⇓∂ϕ∂y = 3x2y 2 + 12y 3 ∂ϕ
∂y = 3x2y 2 + 0 + C ′(y)
↘ ↙comparando:
C ′(y) = 12y 2
C (y) = 4y 3 + k
portanto
ϕ(x , y) = x2y 3 + x + 4y 3 + k , k ∈ R
Ou seja, ~f e conservativo.
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Teorema deGreen
Exercıcios:
Verifique se os seguintes campos vetoriais sao conservativos:
1 ~f (x , y) = (2xy 3, 3x2y 2 + 2y)
2 ~f (x , y) = (2x + 2y , 2x − 3y 2)
3 ~f (x , y) = (cos(y)− 2y cos(x),−x sin(y)− 2sin(x))
4 ~f (x , y , z) = (2xyz , x2z + 2, x2y + 3z2)
5 ~f (x , y) = (yexy , xexy )
6 ~f (x , y) = (2xy 5, x5y 2)
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Teorema
Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b], portanto comorigem A = ~r(a) e extremidade B = ~r(b). Se um campovetorial ~f e conservativo, isto e, ~f = ∇ϕ entao
w =
∫C~f · dr = ϕ(B)− ϕ(A)
ou seja, o trabalho realizado por ~f e independente docaminho.
Nota: Quando o campo e conservativo o trabalho ao longo deuma linha fechada e 0.
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Demonstracao:
w =
∫C~f · dr
=
∫ b
a
~f (~r(t)) ·~r ′(t) dt
=
∫ b
a∇ϕ(~r(t)) ·~r ′(t) dt
=
∫ b
a
dϕ(~r(t))
dtdt
= ϕ(~r(b))− ϕ(~r(a))
= ϕ(B)− ϕ(A)
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Exercıcios
1 Calcule o valor do integral∫C~f · dr onde
~f (x , y) = (2xy − y 4 + 3, x2 − 4xy 3) sendo C um caminhoqualquer que une os pontos (1,0) a (2,1).
2 Calcule o trabalho de ~f (x , y , z) = (yzexyz , xzexyz , xyexyz)ao longo da espiral descrita pelo caminho~r(t) = (5 cos(t),
√t, 5 sin(t)) com t ∈ [0, 4π].
3 Considere o campo vetorial ~F (x , y) = (x2 + y 2, αxy), comα ∈ R.
1 Determine o valor de α para o qual ~F e um campogradiente.
2 Para o valor de α determinado na alınea anterior calcule otrabalho realizado pelo campo ~F ao longo do caminhoγ(t) = (t, et2−1), t ∈ [0, 1].
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Teorema
Seja ~f : Rn −→ Rn.~f e conservativo, se e so se,
J~f = JT~f.
Ou seja, sse a matriz Jacobiana e simetrica.
Nota: No caso de ~f : R2 −→ R2.~f e conservativo, se e so se,
∂f1
∂y=∂f2
∂x.
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Exercıcios:
Confirmemos agora de outra forma se sao, ou nao,conservativos os campos vetoriais que estudamos atras:
1 ~f (x , y) = (2xy 3, 3x2y 2 + 2y)
2 ~f (x , y) = (2x + 2y , 2x − 3y 2)
3 ~f (x , y) = (cos(y)− 2y cos(x),−x sin(y)− 2sin(x))
4 ~f (x , y , z) = (2xyz , x2z + 2, x2y + 3z2)
5 ~f (x , y) = (yexy , xexy )
6 ~f (x , y) = (2xy 5, x5y 2)
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Teorema de GreenSeja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b], fechada, simples,seccionalmente de classe C 1, orientada no sentido positivo1
cujo interior e a regiao A.Seja ~f : D~f ⊂ R2 −→ R2, ~f = (f1, f2) um campo vetorial declasse C 1 cujo domınio D~f contem todos os pontos da curva Ce do seu interior, A.Entao ∫
C~f · dr =
∫∫A
∂f2
∂x− ∂f1
∂ydx dy .
1deixando a esquerda os pontos do interior de C.45/49
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Exercıcios I
1 Verifique o teorema de Green para a funcao~f (x , y) = (2y , x + 3) e a seguinte regiao sombreada:
R: −π2
2 Use o teorema de Green para a confirmar que a area deum cırculo de raio R e πR2.
3 Verifique o teorema de Green para a funcao~F (x , y) = 2xy ~e1 + (x − y)~e2 para a regiao de R2 em que0 ≤ y ≤ x + 2 e x2 + y 2 ≤ 4. R: π − 2
3
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Exercıcios II
4 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalhorealizado pelo campo de forcas ~F (x , y) = (1 + y , y + x) aodeslocar uma partıcula ao longo da fronteira de Rpercorrida no sentido positivo em que
R ={
(x , y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 < 4, y ≤ x , x ≥ 0}.
5 Utilize o teorema de Green para calcular o valor de∫∫D yex+y dx dy com ~F (x , y) = (yex+y , ex+y ) e
D ={
(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
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Exercıcios III6 * Considere a linha
L ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, x ≤ 0}
”percorrida de baixo para cima”e o campo vetorial~F (x , y) = (xy 2, xy). Use o Teorema de Green paracalcular o trabalho realizado por ~F ao longo de L.R: 0
7 Considere a regiao
R ={
(x , y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ x2 − 1}.
Calcule a area de R sem calcular integrais duplos.
Nota:P(sin2(x)) = x
2 −sin(2x)
4
P(cos2(x)) = x2 + sin(2x)
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Teorema deGreen
Autora:Sandra Gaspar Martins
Com base no trabalho de:Nuno David Lopes
eCristina Januario
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