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- 1 Sistemas No-lineares 2006 Prof. Daniel J. Pagano
daniel@das.ufsc.br Universidade Federal de Santa Catarina UFSC
Departamento de Automao e Sistemas- DAS
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- 2 Objetivos do curso Introduzir os conceitos bsicos dos
sistemas no lineares. Apresentar as principais tcnicas de anlise e
projeto de controladores para sistemas no lineares. Colocar ao
aluno frente problemtica de controle considerando as no
linearidades presentes nas aplicaes prticas. Introduzir os
princpios bsicos relacionados com o controle No Linear de processos
assim como as principais ferramentas de anlise e projeto.
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- 3 Programao do curso Anlise de Sistemas No-lineares 1.Sistemas
dinmicos no-lineares. Modelagem matemtica e principais no
linearidades em sistemas de controle (saturao, zona morta,
histerese, etc). Representao por variveis de estado. Espao de
estados (plano de fase). 2.Anlise qualitativa de sistemas dinmicos.
Atratores: equilbrios, ciclos limites e comportamento aperidico.
Teorema da linearizao. Noo de Bifurcaes. 3.Sistemas lineares com
restries na ao de controle. Anti- windup. Mtodos aproximados de
anlise: mtodo da funo descritiva.
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- 4 Programao do curso (cont.) Controle de Sistemas No-lineares
4.Mtodos de sntese de controladores de sistemas no lineares:
linearizao por realimentao, estrutura varivel (modos deslizantes).
Aplicaes em eletrnica de potncia. Exemplos.
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- 5 Avaliao lista de exerccios trabalho Prova
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- 6 Bibliografia [1] L.H.A Monteiro. Sistemas Dinmicos No
lineares. Ed. Livraria da Fsica. 2da Edio. 2006. * [2] Nonlinear
Systems, Khalil, Prentice-Hall, 3rd edition. 2002.** [3] Castrucci,
P. e R. Curti. Sistemas No Lineares. Vol. 2. Editora Edgard
Blucher, 1981. [4] Slotine, J.J. and W. Li. Applied Nonlinear
Control. Prentice Hall, 1991. [5] Ogata, K. Engenharia de Controle
Moderno, Captulo 8, 2 nd Edition, Prentice-Hall, 1995. *, ** livros
recomendados.
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- 7 Reviso Sistemas Lineares Definio: um sistema linear se
Principio de superposio S u(t) y(t)=S(u) Representao por equaes
diferenciais ordinrias (EDO) Ex. equao de 2 da ordem
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- 8 Representao por Funo de Transferncia(FT) Representao por
Variveis de estado Trans. de Laplace Definindo Reviso Sistemas
Lineares
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- 9 Representao por Variveis de estado onde Forma geral: Reviso
Sistemas Lineares
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- 10 Diagrama de Espao de Estados Reviso Sistemas Lineares
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- 11 Conceito de Plos / Autovalores Plano complexo S Plos = razes
da equao caracterstica Polinmio Denominador de G(s) zeros = razes
do Polinmio numerador de G(s) ESTABILIDADEPlos de G(s) jj
Estabilidade Reviso Sistemas Lineares
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- 12 Conceito de autovalores (a-valores) da matriz A a-valores de
A definem a estabilidade do sistema Determinao dos a-valores de A
Exemplo: onde Reviso Sistemas Lineares
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- 13 a-valores de A jj Implica que Estabilidade Sistema instvel
Sistema estvel Caso especial a ser estudado Reviso Sistemas
Lineares
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- 14 Noo de Equilbrio Sistemas Lineares Derivadas iguais a zero 1
nico equilbrio global estvel ou instvel No Existe outro
comportamento dinmico Reviso Sistemas Lineares
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- 15 Seja o sistema Reviso Sistemas Lineares 1 nico equilbrio
Estabilidade do equilbrio Soluo da equao Exemplo: caso
unidimensional onde A matriz de dimenso n x n
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- 16 Reviso Sistemas Lineares Soluo da equao Exemplo: caso
bidimensional (plano) A de dimenso 2x2 1 nico equilbrioEstabilidade
do equilbrioSe ento Estvel
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- 17 Reviso Sistemas Lineares a-valores complexos conjugados
a-valores reais - mesmo sinal N estvelN instvel Foco estvel Foco
instvel
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- 18 Reviso Sistemas Lineares a-valores reais - sinais opostos
a-valores imaginrios puros Centro Ponto de sela (instvel) Observao:
Sistemas lineares no podem apresentar oscilaes isoladas,
comportamentos peridicos assinto- ticamente estveis
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- 19 Sistema no linear Sistema Autnomo f(x) no depende de t
explicitamente 1. Sistemas No-Lineares Exemplo: Soluo: x(t) que
satisfaz Equao diferencial e condio inicial x 0 Condio inicial
Ideal: obter expresses analticas da soluo - informao quantitativa
Realidade: na maioria dos casos no possvel conformarmos com obter
uma informao qualitativa
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- 20 1 nico Equilbrio (estvel ou instvel) 1. Sistemas No-Lineares
Sistemas Lineares Sistemas No Lineares - Mltiplos Equilbrios -
Oscilaes peridicas (ciclos limites) - Atratores estranhos
(caticos)
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- 21 Pendulo simples 1. Sistemas No-Lineares L Diagrama de Espao
de Estados equilbrios
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- 22 Oscilador de Van der Pol 1. Sistemas No-Lineares Equilbrio
(foco instvel) Ciclo limite Estvel
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- 23 Atrator de Rossler 1. Sistemas No-Lineares
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- 24 2. Anlise qualitativa de sistemas dinmicos Exemplo: Equao
logstica 1) Equilbrios 2) Estabilidade dos equilbrios (classificao)
Para X(t) 1 0 t
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- 25 Linearizao: se df(x)/dx 0 ento as solues do sistema no
linear nas proximidades (LOCALMENTE) do equilbrio, comportam-se
como as do sistema Linear Desprezar termos de ordem superior
Desenvolvimento serie de Taylor Aproximao linear Aproximao linear
vlida 2. Anlise qualitativa de sistemas dinmicos
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- 26 Exemplo Para Soluo x 0 t Equilbrio t 0 =1/x 0 No podemos
estudar o equilbrio a partir do sistema linearizado Como 2. Anlise
qualitativa de sistemas dinmicos
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- 27 Exemplo Matriz da linearizao (Jacobiano) Equilbrios No posso
concluir nada N assintoticamente estvel Ponto de sela (instvel) 2.
Anlise qualitativa de sistemas dinmicos
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- 28 Caso Geral Jacobiano Sistema linearizado 2. Anlise
qualitativa de sistemas dinmicos
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- 29 1. Sistema Pendulo simples 2. Sistema Oscilador 2. Anlise
qualitativa de sistemas dinmicos Tarefa 1: determinar os equilbrios
dos seguintes sistemas e classific-los segundo a sua estabilidade
3. Sistema (pag. 267 do livro do Monteiro) com
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- 30 Principais funes (estticas) no lineares na engenharia
Saturao Rel Quantizador Histerese Zona morta 3. Mtodo da Funo
Descritiva Necessidade de ter um mtodo prtico embora aproximado
para a deteco de ciclos limites
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- 31 u(t) y(t)= (u) Coeficientes de Fourier Serie de Fourier 3.
Mtodo da Funo Descritiva
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- 32 Se consideramos somente a aproximao de 1 ra ordem
(componente fundamental) da serie de Fourier Se (u) uma funo impar
(-u) = -(u)A k =0 k=1 Ou na aprox. de 1 ra ordem Em geral C 0
=0
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- 33 Qual a relao entre os sinais u(t) e y(t) ? A relao de
amplitudes dos sinais de entrada e de sada denominada de funo
descritiva de (u) Ganho No Linear equivalente
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- 34 Exemplo 1: Determinar a funo descritiva da no linearidade
liga- desliga (rel) M - M u y 0 a N(a) 0
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- 35 Exemplo 2: Determinar a funo descritiva da Saturao M - M u y
0 M/h a N(a) 0 h
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- 36 Deteco de ciclos limites y(t) r(t) e(t) u a (t) + P(s) N(a)
u(t) C(s)
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- 37 Deteco de ciclos limites A interseo entre permite obter de
um possvel ciclo limite G(j) -1/N(a) G(0) =0 oo Condio
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- 38 Exemplos Exemplo 1: Sistema com saturao Umax=1 Umin= -1
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- 39 Exemplo 2: Sistema com saturao Umax=0.4 Umin= -0.4
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- 40 Exemplo 3: Sistema com saturaoUmax=1 Umin= -1
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- 41 Exemplo 2: Sistema com saturao Exemplo 3: Sistema com
saturao
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- 42 Exemplo 4: Sistema com saturao Umax=0.1 Umin= -0.1
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- 43 Exemplo 4: Sistema com saturao
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- 44 Exemplo 4: Sistema com Filtro
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- 45 Exemplo 5: Sistema com servo vlvula y(t) r(t) e(t) (X 3 ) 2
+ G(s) u(t) C(s) 1/s Servo vlvula X3X3 X3X3 (X 3 ) 2 Caracterstica
vlvula
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- 46 Equilbrios
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- 47 Ramo equilbrios estveis Colapso do Ciclo limite estvel com o
equilbrio instvel Espao de estados Ciclo limite estvel Ramo
equilbrios instveis
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- 48 4. Mtodo de Lyapunov
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- 49 5. Controle de Sistemas No Lineares Mtodos de sntese de
controladores de sistemas no lineares: - linearizao por realimentao
- estrutura varivel (modos deslizantes)
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- 50 8. Aplicaes em eletrnica de potncia Circuitos de Eletrnica
de potencia so sistemas no lineares - Interruptores (Mosfet, IGBT,
tiristores, etc.) - Diodos -Topologia do circuito - Cargas Devem
ser modelados por equaes de estado Controle no linear +
apropriado
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- 51 Fluxograma de modelagem e projeto
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- 52 Modelagem do conversor Boost
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- 53 Definindo Modelo Instantneo Boost Modelo por variveis de
estado Boost com
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- 54 Equilbrios 15 0 10 0 50 2 4 68 10 X2X2 X1X1 0 0 E = cte B A
para R=200 para R=40 X 2A =X 2B X 1B X 1A
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- 55 A curva de equilbrios do sistema (Boost) depende de R, E
Todos os possveis pontos de equilbrio esto sobre essa curva Dinmica
para q=0 e q=1
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- 56 MODELO PELA MDIA (AVERAGED) DO BOOST Razo cclica mdia Valor
mdio da tenso de sada Valor mdio da corrente no indutor onde q(t)
peridica de perodo T
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- 57 Modelo por valores mdios Sob certas condies: V 0 (t) e i L
(t) (valores instantneos) no se desviem significativamente dos
valores mdio no intervalo [ t - T, T ]
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- 58 Modelo por valores mdios
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- 59 Equilbrios para o Modelo por valores mdios Observao 0 <
d(t) < 1 Limitao (restrio) sobre a ao de controle Razo cclica
mdia
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- 60 Controle do Boost a) Diretrizes para o projeto de
controladores em Eletrnica de Potncia Funcionamento do dispositivo
Consideraes sobre o modo de conduo Consideraes sobre rudo audvel
Condies de operao Flutuaes nas fontes de alimentao Perturbaes de
carga Especificaes de desempenho Regime permanente / Regime
transitrio / Robustez Limitaes sobre as variveis de controle
Saturao / Limitao de taxa / Natureza das variveis
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- 61 Controle do Boost b) Caractersticas intrnsecas que
influenciam o controle q 1 0 Natureza discreta das variveis de
controle Saturao do controle
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- 62 Controle do Boost c) O problema da rejeio de perturbao
Variao de R Variao de E Objetivos de controle: Manter tenso
regulada ao integral Reduzir comportamento transitrio
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- 63 Controle do boost
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- 64 Controle do Boost
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- 65 Controle do Boost
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- 66 Controle do Boost