17-1

Cartas de ControleProf. Helcio Rocha

Estatística

Adaptado de Levine; Ritzman; Montgomery

9-29-29-2

Um caso

Uma indústria fabrica carcaças de motores elétricos. O diâmetro interno DI é uma variável crítica.

Valores diferentes de 150,00 mm inviabilizam seu uso A cada hora retira-se amostra de n = 9 carcaças e

mede-se os respectivos Dis A média da amostra é colocada num gráfico diâmetro

versus tempo

Variação nos resultados

Mesmo quando os processos de produção operam conforme o previsto, existem muitas fontes de variação.

Nada pode ser feito para eliminar completamente a variação nos produtos fabricados.

Porém, a gerência pode investigar as causas da variação para minimizá-las

Algumas causas são inerentes ao processo, outras não

17-3

17-4

Variação nos resultados

Variação total do processo

Variação de causa comum

Variação de causa especial= +

Resultado de variações normais em materiais, ferramentas, máquinas, operadores e ambiente

É o ruído de fundo (Montgomery) Ocorre naturalmente e é esperada É inevitável com o processo atual Pode ser reduzida desde que se façam melhorias

no processo

17-5

Variação nos resultados

Variação Total do Processo

Variação de causa comum

Variação de causa especial= +

Variabilidade anormal, não esperada; geralmente maior que a variabilidade do ruído de fundo

Possui causa assinalável Geralmente representa problema a ser corrigido Quando não corrigida, resulta em risco de elevação

do % de produtos não-conformes O processo é reconhecido como fora de controle

17-6

Cartas de controle e TH

H0: somente causas comuns atuam no processo ► o processo está sob controle estatístico

H1: existem causas especiais atuando no processo ► o processo está fora de controle estatístico

17-7

Dois tipos de erros

1o.: Tratar uma variação de causa comum como sendo de causa especial (erro tipo I) Resulta em ajuste desnecessário, que por sua vez

aumenta a variação do processo 2o.: Tratar uma variação de causa especial

como sendo de causa comum (erro tipo II) Resulta em não se realizar as ações corretivas

necessárias O uso de cartas de controle reduz bastante as

chances de se cometer esses dois erros

17-8

Objetivos das cartas de controle

O principal objetivo das cartas de controle está na rápida detecção das causas especiais

Se prejudiciais à qualidade, devem ser removidas Se benéficas à qualidade, devem ser incorporadas

A eliminação destas causas (quando prejudiciais) reduz a variabilidade do processo, resultando em melhoria do processo

A carta de controle permite um monitoramento online do processo

17-9

Objetivos das cartas de controle (cont.)

Tendo-se um processo sob controle… As cartas de controle permitem a estimação de

certos parâmetros do processo, como média, desvio-padrão e % de produtos não conformes

As cartas de controle também permitem que se estime a capacidade do processo em atender às especificações do produto

► índices de capabilidade

17-10

Cartas de controle: razões básicas de sua popularidade

São eficazes na prevenção de falhas Promovem a melhora da produtividade Permitem que se evite ajustes desnecessários

no processo (somente elas permitem distinguir o ruído de fundo das variações anormais)

Permitem ao profissional experiente um diagnóstico do processo a partir do perfil da sequência de pontos

Proporcionam informação sobre a capabilidade do processo

17-11

Cartas de controle:Processo sob controle

Os pontos são aleatoriamente distribuídos em torno da linha central e não ultrapassam os limites de controle

LCS

LCI

tempo

LC

17-12

LC

Cartas de controle e limites de controle

LCS

LCI

+3σ

- 3σ

Causas de variação comum

Causas de variação especial:

tempo

Amostras de n 4 têm médias que se comportam razoavelmente conforme a distribuição normal

17-13

LC

Variabilidade do processo

LCS

LCI

±3σ → 99.7% dos valores devem cair nesta região

time

Variação de causa especial: Em um processo sob controle, a probabilidade de um ponto tão distante da média é remota

Padrões de processos fora de controle: regras sensibilizantes

Dois ou três pontos consecutivos fora dos limites dois sigma

Quatro ou cinco pontos consecutivos além dos limites de um sigma

Oito pontos consecutivos de um mesmo lado da linha central

Seis pontos em uma sequência sempre crescente ou decrescente

17-14

17-15

Cartas de controle: etapas

1a Etapa: implantação / ajuste

2a Etapa: MonitoramentoProcesso

Ajustado?

Sim

NãoAjuste

1ª. Etapa: Ajustando o processo e calculando os limites de controle

1. Retirar amostras aleatórias do processo, conforme plano de amostragem (pelo menos 20 amostras)

2. Medir a característica de qualidade e calcular a média amostral

3. Calcule os limites de controle; construa gráfico com as retas limites LCS e LCI, além da reta LC

4. Coloque no gráfico a média de cada amostra.5. Analise o comportamento dos pontos: se o gráfico

mostrar que o processo está sob controle, avance para a 2ª. etapa; caso contrário, determine as causas atribuíveis, faça a correção e retorne ao passo 1.

17-16

2ª etapa: Monitorando um processo que está sob controle

1. Retirar uma amostra aleatória do processo, conforme plano de amostragem

2. Medir a característica de qualidade e calcular a média amostral, registrando-a no gráfico

3. Avaliar se o gráfico apresenta um padrão de processo fora de controle; caso afirmativo, efetuar o passo seguinte

4. Procurar identificar uma causa atribuível; eliminar a causa, se ela diminui a qualidade; agregar a causa, se ela melhora a qualidade

5. Repetir o procedimento periodicamente

17-17

Atualização dos gráficos de controle

Gráficos de controle devem ser atualizados periodicamente, com novos limites calculados

Atualizações mensais são bastante comuns Jamais utilizar nas atualizações os subgrupos

(amostras) que estavam sob a influência comprovada de causa especiais

17-18

Amostragem

Um plano de amostragem bem concebido pode proporcionar o mesmo efeito que uma inspeção completa.

Um plano de amostragem especifica: O tamanho de amostra (ou subgrupo) O intervalo entre subgrupos sucessivos As regras de decisão que determinam quando uma

ação deve ser tomada.

17-19

Modelos de cartas de controle

Quando controlamos variáveis (dados mensuráveis) usamos Carta de controle R Carta de controle (X-barra)

Quando controlamos atributos (dados contáveis) usamos mais comumente Carta de controle p Carta de controle c

17-20

X

17-21

Modelos de cartas de controle

Cartas de controle

Cartas X e R

Usadas para média e

amplitude de dados

mensuráveis

Usada para proporções (dados de atributos)

Carta p Carta c

Usada para a contagem do No. de não-

conformidades (dados de atributos)

17-22

Cartas R e X (x-barra)

Usadas para dados mensuráveis do processo

Os subgrupos usualmente são de tamanho (n) entre 3 e 6

Ambos gráficos devem apontar se o processo está ou não sob controle: eles trabalham em conjunto

Cartas R e X (cont.)

Passo 1: Colha os dados das medições e os organize por No. da amostra. Preferivelmente, devem ser usadas pelo menos 20 amostras para se traçar um gráfico de controle (estabelecimento dos limites de controle)

Passo 2: Calcule a amplitude para cada amostra e a amplitude média, R-barra

17-23

17-24

Cartas R e X (cont.)

Medições do processo:Medidas do subgrupo

No. do subgrupo

Medidas individuais(n = 4) Média, X

Amplitude, R

123…

151217…

171621…

159

18…

111520…

14.513.019.0…

674…

Médias Média das médias =

Média das amplitudes = R (R-barra)

X

17-25

Cartas R e X (cont.)

Passo 3: Determine os limites de controle do gráfico R e trace suas retas no gráfico

)R(DLCS

)R(DLCI

4

3

onde:D3 e D4 são constantes tabeladas de Shewhart

n D3 D4

2 0 3.2673 0 2.5754 0 2.2825 0 2.1156 0 2.0047 0.076 1.9248 0.136 1.8649 0.184 1.81610 0.223 1.777

Cartas R e X (cont.)

Passo 4: Coloque no gráfico R as amplitudes das amostras. Se todas estiverem sob controle, prossiga para o passo 5 (ajuste de x-barra). Caso contrário, determine as causas atribuíveis, faça as correções e retorne ao passo 1

17-26

Cartas R e X (cont.)

Passo 5: Calcule x-barra para cada amostra e a média dos valores de x-barra.

A linha central (LC) do gráfico será

17-27

X

X

Cartas R e X (cont.)

Passo 6: Determine os limites de controle do gráfico x-barra e trace suas retas no gráfico

17-28

)(

)(

2

2

RAXLCI

RAXLCS

n A2

2 1.8803 1.0234 0.7295 0.5776 0.4837 0.4198 0.3739 0.33710 0.308

Cartas R e X (cont.)

Passo 7: Coloque no gráfico X-barra as médias das amostras. Se todas estiverem sob controle, continue a tomar amostras e a monitorar o processo.

Se o gráfico apresentar um padrão de processo fora de controle, procurar identificar causas atribuíveis, faça as correções e retorne ao passo 1.

Se nenhuma causa atribuível for identificada, suponha que os pontos representem causas comuns de variação e continue a monitorar o processo.

17-29

17-30

Exemplo - Cartas R e X

Você é o gerente de um hotel com 500 quartos. Você quer avaliar o tempo gasto no despacho de bagagens para os quartos. Por 7 dias, você coleta dados de 5 despachos a cada dia. O processo está sob controle?

17-31

Exemplo - Cartas R e XDados dos subgrupos

Dia n Média Amplitude

1234567

5555555

5.326.594.895.704.077.346.79

3.854.273.282.993.615.044.22

17-32

Exemplo - Cartas R e XLimites de controle da carta R

894.37

22.427.485.3kR

R i

0)894.3)(0()(

232.8)894.3)(114.2()(

3

4

RDLCI

RDLCS

17-33

Exemplo - Cartas R e XResultado da Carta R

LCS = 8.232

02468

1 2 3 4 5 6 7

Minutos

Dia

LCI = 0

R = 3.894_

Conclusão: Amplitude do processo sob controle estatístico

17-34

Exemplo - Cartas R e XLimites de controle da carta X

5.8147

6.796.595.32kX

Xi

894.37

22.427.485.3kR

R i

3.566894)(0.577)(3.5.814)R(AXLCI

8.061894)(0.577)(3.5.814)R(AXLCS

2

2

17-35

Exemplo - Cartas R e XResultado da Carta X

LCS = 8.061

LCI = 3.566

02468

1 2 3 4 5 6 7

Minutos

Dia

X = 5.813__

Conclusão: Média do processo sob controle estatístico

17-36

Capacidade do processo

Capacidade do processo é a habilidade do mesmo em atender de forma persistente às especificações das exigências voltadas para o cliente.

Para avaliarmos a capacidade do processo, este deve estar sob controle estatístico

Quando controlamos variáveis (dados mensuráveis), a capacidade pode ser avaliada por indicadores (conforme slides adiante)

17-37

A probabilidade P de que o resultado do processo esteja dentro das especificações é:

/ d2 é a estimativa do desvio-padrão (asseguir) Z é uma variável aleatória normal padronizada

Capacidade do processo:Eficácia

22

RR)(

superior einferior çãoespecifica de limites :LES e LEI

d

XLESZ

d

XLEIPLESXLEIP

R

Capacidade do processoFator D2

17-38

n D2

2 1,1283 1,6934 2,0595 2,3266 2,5347 2,7048 2,8479 2,97010 3,078

A estimativa do desvio-

padrão da população é

053,1R

2

d

Se

n = 5

= 2,45

Então…

R

2

Rd

17-39

Capacidade do processo

Para uma variável com somente LES:

(cont)

2

R)(

ções)especifica das dentro osP(resultad

d

XLESZPLESXP

17-40

Capacidade do processo

Para uma variável com somente LEI:

(cont)

Z

d

XLEIPXLEIP

2

R)(

ções)especifica das dentro osP(resultad

17-41

Índice Cp

É uma medida do potencial do processo, uma vez que não leva em conta se a média do processo está ou não a meio caminho entre LEI e LES

Um valor Cp = 1 indica que se estiver centralizada, aprox. 99,73% dos valores estarão entre os limites LEI e LES

processo do dispersão çãoespecifica da dispersão

)/(6 2

dRLEILESC p

X

Índice Cp

Cp = 1 implica que a empresa está produzindo a uma qualidade três sigma

Historicamente, muitas empresas exigiam um Cp maior ou igual a 1

Atualmente, muitas empresas estão exigindo um Cp de até 1,33 (qualidade quatro sigma) ou 1,67 (cinco sigma)

Empresas que adotam a gestão Seis Sigma almejam Cp igual a 2,0

17-42

17-43

Capacidade do processo

Especificação mínima

Média

Especificaçãomáxima

Seis sigma

Quatro sigma

Dois sigma

Valor nominal

Indicadores de desempenho real

Para medir a eficácia de um processo em termos de seu desempenho real, os índices mais comuns são: CPI, CPS, Cpk

Estes índices consideram a média aritmética do processo

Lembrando, Cp permite avaliar o desempenho potencial

17-44

X

17-45

CPI e CPS

Para variáveis com somente o LEI, o CPI mede o desempenho do processo

Quando há apenas o LES, o CPS mede o desempenho do processo

)/(3 2dRLEIXCPI

)/(3 2dRXLESCPS

17-46

CPI e CPS

Um valor de CPI (ou CPS) igual a 1,0 indica que está 3 desvios-padrão afastada do LEI (ou do LES) ► qualidade três sigma

Um valor de CPI (ou CPS) igual a 2,0 indica que está 6 desvios-padrão afastada do LEI (ou do LES) ► qualidade seis sigma

(cont)

X

X

17-47

Você é o gerente de um hotel com 500 quartos e estabeleceu que o CPS do processo de despacho de bagagens deve ser no mínimo igual a 1,0 e que assim 99,73% dos despachos devem ser completados em no máximo 10 minutos. Por 7 dias, coletou os dados a seguir. Sabe-se que o processo está sob controle. Avalie se ele atende a estas exigências.

Índices de CapacidadeExemplo

17-48

Índices de CapacidadeExemplo - Dados

Dia n Média R

1234567

5555555

5.326.594.895.704.077.346.79

3.854.273.282.993.615.044.22

17-49

Índices de CapacidadeExemplo - Solução

2.326d 3.894R 5.814X 5n 2

.833473326)3(3.894/2.

5.81410)/dR3(

XLESCPs2

Como há apenas o limite de especificação superior, precisamos computar somente o CPS, de valor 0,8335, inferior ao exigido.

17-50

EficáciaExemplo - Solução

Assim, estimamos que apenas 99.38% dos despachos estarão dentro dos limites especificados. Deste modo, o processo é incapaz de atender ao exigido.

.99382.50)P(Z2.3263.894

5.81410ZP10)P(X

ions)specificat withinbe willP(outcome

326.2d 894.3R 814.5X 5 2 n

17-51

Índice Cpk

O índice de capacidade mais usado é o Cpk Mede o desempenho real do processo para

características de qualidade parametrizadas por LEI e LES

É igual ao valor do CPI ou do CPS, o que for menor

Cpk = MIN(CPI, CPS)

Índice Cpk

Um valor de Cpk igual a 1,0 indica que está 3 desvios-padrão afastada do limite de especificação mais próximo ► qualidade três sigma

Um valor de Cpk igual a 2,0 indica que está 6 desvios-padrão afastada do limite de especificação mais próximo ► qualidade seis sigma

17-52

X

X

Cp e Cpk

Cp será sempre menor do que ou igual a Cpk Quando o processo está centrado entre os

limites de especificação, seus valores se igualam ► está posicionada no valor nominal das especificações de projeto

17-53

X

Gráficos de controle para atributos

Dois gráficos comuns: gráfico p e gráfico c Gráfico p: usado para controlar a proporção de

produtos ou serviços defeituosos Gráfico c: usado para controlar o número de

defeitos quando mais de um tipo de defeito pode estar presente em um produto ou serviço.

17-54

17-55

Gráfico pComputando os limites de controle

O desvio-padrão para as proporções dos subgrupos é:

onde é o tamanho dos subgrupos, ou a média dos tamanhos destes é a média das proporções dos subgrupos

LCS = p + 3 desvios-padrão (LCS ≤ 1)

LCI = p - 3 desvios-padrão (LCI ≥ 0)

n)p)(1p(

np

Amostras de tamanho desigual não devem diferir mais do que em ±25% do tamanho médio das amostras

17-56

Exemplo - Gráfico p

Você é o gerente de um hotel e quer avaliar a proporção de quartos não-conformes. Por 7 dias, você contabiliza o No. de quartos não conformes, em um total de 200 quartos. O processo está sob controle?

17-57

Exemplo - Gráfico p:Dados do hotel

# NãoDia # Quartos prontos Proporção 1200 16 0.0802 200 7 0.0353 200 21 0.1054 200 17 0.0855 200 25 0.1256 200 19 0.0957 200 16 0.080

17-58

Exemplo - Gráfico pLimites de controle

0864.1400121

20020020016716

n

Xp k

1ii

k

1ii

2007

200200200k

nn

k

1ii

0268.200

)0864.1(0864.30864.n

)p1(p3p

1460.200

)0864.1(0864.30864.n

)p1(p3p

LCI

LCS

17-59

p = .0864

Exemplo - Gráfico p:Resultado

LCS = .1460

LCI = .02680.00

0.05

0.10

0.15

1 2 3 4 5 6 7

P

Dia

Conclusão: Proporção sob controle estatístico

_

17-60

Gráfico c

Apresenta o No. total de itens não-conformes por unidade (tempo, área, peça fabricada…)

exemplos: No. de defeitos por painel de vidro No. de erros gramaticais por página digitada

17-61

Gráfico cLimites de controle

ccLCI

ccLCS

3

3

A média é O desvio-padrão é

kx

c i c

Exemplo - Gráfico c

Um fabricante têxtil deseja elaborar um gráfico de controle para irregularidades (por exemplo, manchas de óleo, manchas, fios soltos e peças rasgadas) por 100 jardas quadradas de carpete. Os dados a seguir foram colhidos de uma amostra de 20 peças, cada uma de 100 jardas. Construa o gráfico c e avalie se o processo está sob controle estatístico.

17-62

Exemplo – Gráfico c:Dados

17-63

Amostra Irregularidades Amostra Irregularidades

1 11 11 11

2 8 12 5

3 9 13 7

4 12 14 12

5 4 15 13

6 16 16 8

7 5 17 19

8 8 18 11

9 17 19 9

10 10 20 10

Exemplo – Gráfico c Limites de controle

17-64

25,1020205

kx

c i20,3c

64,03

85,193

ccLCI

ccLCS

Exemplo – Gráfico cResultado

17-65

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE

660r

al

CE660ral

CE660ral

CE660ral

Número da Amostra

Núm

ero

de D

efei

tos

Conclusão: No. de defeitos sob controle estatístico