UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIAINSTITUTO DE MATEMÁTICA

Disciplina: Cálculo C – MATA04 / Turma: 03

Nome (leǵıvel):

Assinatura:

Professor: Paulo Malta Data: 25/05/2016

Questão Nota1.2.3.4.

Total

“Não existe um caminho para a felicidade, a felicidade é o caminho.”

Thich Nhat Hanh

2

aavaliação

1. (1,5 pontos) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeira ou falsa, justificando as respostas.

(a) (0,5) Uma equação diferencial de ordem 4 possui uma única solução.

(b) (0,5) As funções sen(t) e cos(t) são linearmente independentes.

(c) (0,5) A função f(t) = cos(1 + t) é de ordem exponencial �, para todo � > 0.

2. (4,0 pontos) Considere a equação diferencial dada por:

(a) (2,0) t2x00(t) + tx0(t)� x(t) = t2. Determine sua solução geral.(b) (2,0) x00(t) + 2x0(t) + x(t) = t+ et, com x(0) = x0(0) = 0. Determine uma solução particular.

3. (2,5 pontos) Seja T : R2 ! R2 uma transformação linear cuja matriz com relação à base canônicaé dada por:

A =

✓6 �135 �10

◆

(a) (1,0) Determine sua forma de Jordan;

(b) (1,0) Esboce o retrato de fase associado a EDO linear X 0(t) = AX(t) com relação à base deJordan;

(c) (0,5) Classifique o ponto de equiĺıbrio associado a esta EDO linear.

4. (2,0 pontos) Considere a equação diferencial X(t) = f(x(t)) definida pelo campo

f(x, y) = (2y2 + 4x, 2x2 � 4y)

Aplique, se posśıvel, o Teorema de Hartman-Grobman para classificar todos os pontos de eqúıbrioassociados à EDO definida por este campo.

Instruções

i) A prova pode ser feita a lápis. Na medida do posśıvel utilize uma questão por folha. As folhas dequestões e soluções serão recolhidas desde que nomeadas a caneta.

ii) Não é permitido o uso de nenhum aparelho eletrônico durante a prova nem consulta bibliográfica.A prova é individual e não é permitido consultar nem dar aux́ılio aos demais. Em caso de descum-primento a prova será anulada.

iii) Seja leǵıvel ao responder a prova. Todas as questões devem estar claro o racioćınio utilizado paraobter a solução e devidamente justificadas.