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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEM ´ ATICA Disciplina: C´ alculo C – MATA04 / Turma: 03 Nome (leg´ ıvel): Assinatura: Professor: Paulo Malta Data: 25/05/2016 Quest˜ ao Nota 1. 2. 3. 4. Total “N˜ao existe um caminho para a felicidade, a felicidade ´ e o caminho.” Thich Nhat Hanh 2 a avalia¸ c˜ ao 1. (1,5 pontos) Verifique se as afirma¸c˜ oes abaixo s˜ ao verdadeira ou falsa, justificando as respostas. (a) (0,5) Uma equa¸ c˜ ao diferencial de ordem 4 possui uma ´ unica solu¸ c˜ ao. (b) (0,5) As fun¸c˜ oes sen(t) e cos(t) s˜ ao linearmente independentes. (c) (0,5) A fun¸ c˜ ao f (t) = cos(1 + t)´ e de ordem exponencial γ , para todo γ > 0. 2. (4,0 pontos) Considere a equa¸c˜ ao diferencial dada por: (a) (2,0) t 2 x 00 (t)+ tx 0 (t) - x(t)= t 2 . Determine sua solu¸c˜ ao geral. (b) (2,0) x 00 (t)+2x 0 (t)+ x(t)= t + e t , com x(0) = x 0 (0) = 0. Determine uma solu¸ c˜ ao particular. 3. (2,5 pontos) Seja T : R 2 ! R 2 uma transforma¸ c˜ ao linear cuja matriz com rela¸c˜ ao ` a base canˆ onica ´ e dada por: A = ✓ 6 -13 5 -10 ◆ (a) (1,0) Determine sua forma de Jordan; (b) (1,0) Esboce o retrato de fase associado a EDO linear X 0 (t)= AX (t) com rela¸ c˜ ao ` a base de Jordan; (c) (0,5) Classifique o ponto de equil´ ıbrio associado a esta EDO linear. 4. (2,0 pontos) Considere a equa¸c˜ ao diferencial X (t)= f (x(t)) definida pelo campo f (x, y) = (2y 2 +4x, 2x 2 - 4y) Aplique, se poss´ ıvel, o Teorema de Hartman-Grobman para classificar todos os pontos de equ´ ıbrio associados ` a EDO definida por este campo. Instru¸c˜ oes i) A prova pode ser feita a l´ apis. Na medida do poss´ ıvel utilize uma quest˜ ao por folha. As folhas de quest˜ oes e solu¸ c˜ oes ser˜ ao recolhidas desde que nomeadas a caneta. ii) N˜ ao ´ e permitido o uso de nenhum aparelho eletrˆ onico durante a prova nem consulta bibliogr´ afica. A prova ´ e individual e n˜ ao ´ e permitido consultar nem dar aux´ ılio aos demais. Em caso de descum- primento a prova ser´ a anulada. iii) Seja leg´ ıvel ao responder a prova. Todas as quest˜ oes devem estar claro o racioc´ ınio utilizado para obter a solu¸ c˜ ao e devidamente justificadas.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIAINSTITUTO DE MATEMÁTICA
Disciplina: Cálculo C – MATA04 / Turma: 03
Nome (leǵıvel):
Assinatura:
Professor: Paulo Malta Data: 25/05/2016
Questão Nota1.2.3.4.
Total
“Não existe um caminho para a felicidade, a felicidade é o caminho.”
Thich Nhat Hanh
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aavaliação
1. (1,5 pontos) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeira ou falsa, justificando as respostas.
(a) (0,5) Uma equação diferencial de ordem 4 possui uma única solução.
(b) (0,5) As funções sen(t) e cos(t) são linearmente independentes.
(c) (0,5) A função f(t) = cos(1 + t) é de ordem exponencial �, para todo � > 0.
2. (4,0 pontos) Considere a equação diferencial dada por:
(a) (2,0) t2x00(t) + tx0(t)� x(t) = t2. Determine sua solução geral.(b) (2,0) x00(t) + 2x0(t) + x(t) = t+ et, com x(0) = x0(0) = 0. Determine uma solução particular.
3. (2,5 pontos) Seja T : R2 ! R2 uma transformação linear cuja matriz com relação à base canônicaé dada por:
A =
✓6 �135 �10
◆
(a) (1,0) Determine sua forma de Jordan;
(b) (1,0) Esboce o retrato de fase associado a EDO linear X 0(t) = AX(t) com relação à base deJordan;
(c) (0,5) Classifique o ponto de equiĺıbrio associado a esta EDO linear.
4. (2,0 pontos) Considere a equação diferencial X(t) = f(x(t)) definida pelo campo
f(x, y) = (2y2 + 4x, 2x2 � 4y)
Aplique, se posśıvel, o Teorema de Hartman-Grobman para classificar todos os pontos de eqúıbrioassociados à EDO definida por este campo.
Instruções
i) A prova pode ser feita a lápis. Na medida do posśıvel utilize uma questão por folha. As folhas dequestões e soluções serão recolhidas desde que nomeadas a caneta.
ii) Não é permitido o uso de nenhum aparelho eletrônico durante a prova nem consulta bibliográfica.A prova é individual e não é permitido consultar nem dar aux́ılio aos demais. Em caso de descum-primento a prova será anulada.
iii) Seja leǵıvel ao responder a prova. Todas as questões devem estar claro o racioćınio utilizado paraobter a solução e devidamente justificadas.
