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1
• 2.0 Introdução
• 2.1 Sinais discretos: Seqüências
• 2.2 Sistemas discretos no tempo
• 2.3 Sistemas lineares discretos no tempo - LTI
• 2.4 Propriedades de sistemas LTI
• 2.5 Equações diferença lineares com coeficiente constante
• 2.6 Representação no domínio da freqüência
• 2.7 Representação de seqüências por transformada de Fourier
• 2.8 Propriedades de simetria transformada de Fourier
• 2.9 Teoremas da transformada de Fourier.
Capítulo 2 Sinais e Sistemas Discretos no Tempo
2
2.0 Introdução
• Sinal: alguma coisa que contém informações sobre o estado ou
comportamento de um sistema físico, por exemplo sinal de voz.
• Sinais contínuos no tempo: definidos ao longo de um intervalo
de tempo contínuo e são representado por uma variável contínua
independente.
• Sinais discretos no tempo: definidos para tempo discreto, e são
representados como uma seqüência de números.
• Sistema de processamento de sinais
– Sistemas contínuos no tempo
– Sistemas discretos no tempo
3
Exemplo de sinais: a) Contínuo no tempob) Sequências de amostras obtidas para T = 125 s
Sinal discreto no tempo
4
• Sinais Digitais: sequências indexadas de números (reais ou
complexos). O índice n é usado como tempo discreto, tal como
o clock instantâneo de um processador digital.
• Função impulso unitário discreta: Sequência de uma única
amostra.
2.1 Sinais Discretos no Tempo: Sequências
0;0
0;1)(
n
nn
kn
knkn
;0
;1)(ou
)(n
0 1 2 3
)( kn
0 1 2 3 k k+1
1 1
5
• O impulso unitário segue as mesmas regras da função impulso
unitário ou função delta de Dirac.
• A propriedade da integração da função impulso envolvendo
deslocamento pode ser visto como a propriedade do somatório
de sequências unitárias deslocados.
Propriedade do deslocamento
• Uma seqüência discreta pode ser expressa como a soma de
impulsos unitários discretos, deslocados e multiplicados por um
peso:
• Outra interpretação usando convolução.
k
knkxnx )()()(
)(*)()( nnxnx
Impulso unitário ou sequência unitária
6
• Função degrau unitário
0;0
0;1)(
n
nnu
kn
knknu
;0
;1)(ou
)(nu
0 1 2 3
)( knu
0 1 2 3 k k+1
1 1
4 5 k+2
• Outra interpretação:
kn
m
mknu )()( )1()()( nunune
k+3
0
)()()(m
n
m
knmnu
7
Exponencial
nAnx ][
Senoidal
)cos(][ nAnx o
8
• Um sistema discreto no tempo é definido matematicamente
como uma transformação ou um operador que mapeia uma
sequência de de entrada com valor x[n] em uma outra sequência
com valor y[n], isto é:
Classificação:
• Sistemas sem Memória
• Sistemas Lineares
• Sistemas Invariante no tempo
• Sistema Causal
• Sistema Estável
2.2.1 Sistemas Discretos no tempo
)]([T)( nxny
],........[][],[][ 1100 nynxnynx
]}[{]}[{]}[][{ 2121 nxbTnxaTnbxnaxT
)()( then),()( 00 nnynnxnynx
],......}2[],1[],[{][ nxnxnxTny
yx BnyBnx ][][
9
• Um sistema L é causal, se para qualquer no, os valores da sequência
de saída para n = no dependem somente dos valores da sequência de
entrada par n no, ou seja y(n) é uma função de {…, x(n-2), x(n-1),
x(n)} somente.
• Teorema (LTI Causalidade) - Um sistema LTI com resposta impulso unitária h(n) é causal e e somente se:
Prova: Uma entrada x(n) resulta em uma saída
O segundo termo será zero para qualquer entrada se e somente se:
ou (trocando a variável)
2.2.2 Causalidade
.0for 0)( nnh
.)()()()()()()(1
n
m nm
mxmnhmxmnhmxmnhny
,....,2,1for 0)( nnmmnh
.1,2,3,...,for 0)( mmh
10
• Um sistema pode ser processado em tempo real (produzindo uma
saída imediata para cada instante de tempo n) se e somente se o
sistema é causal.
• Se o processamento em tempo real não é necessário, então o sistema
pode ser chamado de realizável se a saída pode ser computada usando
uma base com retardos, ou equivalentemente, se a resposta impulso
pode se tornar causal por um dado número de deslocamentos, ou seja:
e h(n) tornar-se-á realizável por um deslocamento de N amostras
• Um sistema com um número infinito de coeficientes não causal na
resposta impulso unitário é não realizável.
2.2.3 Processamento em Tempo Real e Realizável
},...,);({ Nnnh ).()(' Nnhnh
11
• Um sistema L é estável no sentido BIBO (bounded-input,
bounded-output stable) se somente se, para qualquer entrada
limitada a saída resultante é também limitada.
• Formalmente - O sistema L é estável se somente se para algum
AR, A>0, é verdadeiro que:
Então existe um BR, B>0, tal que:
onde
2.2.4 Estabilidade
limitado) é ( todopara )( xnAnx
limitado) é ( todopara )( ynBny
)].([L)( nxny
12
• Teorema (LTI estável) - Um sistema LTI é estável se somente
se ele tem uma resposta impulso unitário h(n) absolutamente
somável, ou seja:
Prova:
• Suficiência: Suponha que e que , para
todo n. Então para qualquer instante de tempo n
n
nh )(
n
rnh )( Anx )(
m
mnxmhny )()()( )()(
m
mnxmh
mm
ArmhAmnxmh )()()(
13
• Teorema (LTI estável): Prova
– Necessidade: Por contradição, suponha que ,
e definindo x(n) como:
Então
n
nh )(
(limitado) 0)(;1
0)(;1)](sgn[)( 0
nh
nhnhnnx
.)()()()( 00
mm
mhmnxmhny
Para a prova S é verdadeira se somente se T é verdadeiro.
14
• Um sistema L é um processo de transformação de sinais.
• Um sistema L é linear se, para qualquer x(n), v(n) tal que
e qualquer constante , tem-se:
• Um sistema é invariante no tempo (ou invariante ao deslocamento) se para todo x(n) tal que , tem-se, para todo k, que :
2.3.1 Sistemas discretos lineares e invariante no tempo (LTI)
)]([L)( nxny )]([L)( nvnw e
Ly (n )= L [x (n )]
y(n)x(n)
Rba ,
)]()([L)()( nbvnaxnbwnay
)]([L)( nxny
)]([L)( knxkny
15
• A resposta ao impulso unitário de um sistema L é definida por:
• Se o sistema L é LTI, então se
Então:
A resposta impulso unitário de um sistema LTI discreto no tempo
caracteriza um sistema da mesma forma que caracteriza os
sistemas LTI contínuos no tempo.
• Resposta ao impulso unitário Resposta a qualquer entrada
2.3.2 Resposta ao impulso unitário de um sistema linear
)]([L);( mnmnh
)]([L)( nnh
)]([L)( mnmnh
16
• A resposta de um sistema tem duas componentes:
– Resposta devido ao estado inicial (resposta a entrada zero),
– Resposta devido a entrada (resposta estado zero),
• Supondo agora, que o estado inicial é zero, então:
• Para determinar a resposta para uma entrada arbitrária x(n):
2.3.3 Resposta de sistemas LTI a uma entrada qualquer
)(nyzi
][][][ nynyny zszi
)(nyzs
][][ nyny zs
m
mnmxnxny ][][L][L][
m
mnmx ][L][
m
mnhmx ];[][
m
mnhmx ][][
(deslocamento)
(linearidade)
(se variante no tempo)
(se for LTI)
17
• Segue a mesma regra da integral convolução para sinais contínuos no tempo.
• Se L é um sistema LTI com resposta impulso unitário h(n), ou seja:
e então
É a convolução soma ou convolução discreta que pode ser diretamente avaliada diretamente para cada n, por computador ou na mão.
• Exceto para certos sinais simples, uma forma fechada para o resultado é difícil de ser obtida.
• A operação de convolução é representada por:
2.3.4 Convolução Soma
][L][ nxny
m
mnhmxny ][][][
][*][][*][][ nxnhnhnxny
18
• Todos os sistemas LTI são descritos são descritos pela convolução soma.
• Comutativa:
• Distributiva:
2.4.1 Propriedades de Sistemas LTI
][*][][*][][ nxnhnhnxny
m
mnhmxny ][][][
][*][][*][])[][(*][ 2121 nhnxnhnxnhnhnx
][nx ][1 nh ][ny
][nx ][ny][1 nh
][nx ][*][ 21 nhnh ][ny
Cascade connection of LTI Systems
][1 nh][2 nh
][2 nh ][2 nh
][nx ][ny
][nx ][][ 21 nhnh ][ny
Parallel connection of LTI Systems
19
• Retardo ideal
• Média móveis
• Acumulador
• Forward Difference
• Backward Difference
2.4.2 Exemplos de Sistemas LTI
0],[][ dd nnnnh
otherwise.,0
,1
1][
1
1][ 21
2121
2
1
MnMMMkn
MMnh
M
Mk
][0,0
0,1][][ nu
n
nknh
n
k
].[]1[][ nnnh
].1[][][ nnnh
][nx Forwarddifference ][ny
][nx ][nyForwarddifference
][nx Backward difference ][ny
Example 1
One-sampledelay
One-sampledealy
Example 2
][nx Accumulatorsystem
][nxBackwarddifference
system
][ny
20
• Um sistema LTI discreto LTI pode ser caracterizado por uma
equação diferença linear com coeficientes constantes (EDLCC).
• Ela pode ser visto como o análogo discreto de uma equação
diferencial linear com coeficientes constantes aplicada na teoria de
sistemas contínuos.
• Exemplo - Equação diferença genérica:
que é uma soma ponderada de saídas deslocadas expressa como
uma soma ponderada de entradas deslocadas para um dado instante
de tempo.
2.5.1 Equação Diferença Linear com Coeficientes Constantes EDLCC
K
k
M
m
mnxmaknykb0 0
.)()()()(
21
• Se M=0, a(0)=1; K=2, b(0)=1, b(1)=1/2, b(2)=1/8, então a ED torna-se
Que tem uma representação gráfica (signal-flow graph):
• Dado um sistema descrito por uma EDLCC, a saída do sistema pode ser encontrada pela solução da ED no domínio do tempo ou da transformada Z.
• Solução no domínio do tempo:
– Solução homogênea
– Solução particular
2.5.2 EDLCC Exemplo
)()2(8
1)1(
2
1)( nxnynyny
)(nx )(nyU n it
de lay
U n itde lay
)1( ny1 /2
1 /8)2( ny
+
- -
A D ig ita l F ilte r
)(nyh
)(ny p
22
• Descreve o comportamento geral de um sistema (estado
estacionário).
• Supondo uma entrada nula:
• A entrada nula de uma EDLCC’s é caracterizada por uma soma
de respostas exponenciais da forma
• Substituindo na EDLCC tem-se:
ou
Que é a equação que caracteriza a EDCC. Ela tem K raízes e
portanto, K soluções.
2.5.3 Solução Homogênea de EDLCC
0])(...)1()0([)( 1
0
KnnnK
k
kn zKbzbzbzkb
K
k
knykb0
0)()(
. )( nh zny
0)(...)1()0( 1 Kbzbzb KK
23
• Case I: K raízes distintas tal que
onde os coeficientes são determinados usando-se as
condições iniciais, depois encontra-se a solução particular.
• Case II: Múltiplas raízes. Por exemplo, supondo que a m-ésima
raiz rm é uma raiz múltipla de ordem Q. Então a solução da
equação homogênea será da forma:
onde os coeficientes são determinados pelas condições
de contorno.
2.5.4 Solução da equação Característica
Q
q
nq
qQqh QKrnny
1raízes). outras as para termos()(
Kkkr 1}{
. )(1
K
k
nkkh zny
K ,...,1
K ,...,1
24
• Exemplo I: Suponha existe uma raiz dupla em 0.3 e uma raiz simples para 0.1. Então a solução da equação homogênea é:
• Exemplo II: Dado um filtro digital
A equação característica: [fazendo x(n)=0]
Ou que tem raízes tal que a solução homogênea é:
2.5.5 Exemplo: Solução da equação característica
nnnh nny )1.0()3.0()3.0()( 121
)(2(8
1)1(
2
1)( nxnynyny
08
1
2
12 zz )1(4
1, 21 jrr
nnh jjny )
4
1
4
1()
4
1
4
1()( 21
25
• Função exponencial constitui-se em uma importante ferramenta na teoria de sistemas lineares discretos e contínuos. Serve como solução homogênea para as equações diferenças e equações diferenciais.
• Condição de estabilidade BIBO: No contexto da transformada Z, as raízes da equação característica (geralmente complexa) deve satisfazer:
para que o sistema causal seja estável (BIBO).
• Representação gráfica das raízes: Outra maneira resolver é considerar que as raízes devem esta localizadas dentro do círculo unitário.
Obs. No caso contínuo as raízes estão
no semi-plano esquerdo.
2.5.6 Raízes da equação característica
.,...,1 ,1 Kkrk
1 R e
Im
26
• Conhecendo-se a solução forçada, a solução particular
da EDCC depende da forma de entrada x(n).
• Geralmente, a solução particular é difícil ou as vezes
impossível de determinar de uma forma fechada, e então
empregam-se métodos numéricos para encontrar uma
solução aproximada.
• A solução particular para uma dada entrada x(n) não
especifica completamente a resposta, daí que deve ser
adicionada solução homogênea.
• Os coeficiente múltiplos da ED são encontrados aplicando-
se condições iniciais extras.
2.5.7 Solução particular da EDLCC
)(ny p
)(ny p
)(ny p
27
• Baseado na observação da forma de entrada, faz-se uma suposição
para a forma de saída, por exemplo se a entrada é ,
supõem-se que a saída é: .
• Este método trabalha com sequências de entrada da forma:
, ou qualquer combinação linear ou
produto entre elas.
• Método para encontrar a solução particular.
– Dada a entrada , supõem-se que .
– Substitui-se na ED não homogênea e encontra-se
– Aplicam-se as condições iniciais para resolver para resolver a
equação e obter a solução total:
2.5.8 Encontrando a solução particular da EDLCC
nnx )(n
p ny )(
np ny )(nnx )(
np ny )(
).()()( nynyny ph
pn nnn (d) );sin( (c) );cos( (b) ; (a)
np ny )(
28
• Considere a seguinte EDLCC:
• Encontre para dada:
– a condição inicial:
– entrada:
• Solução numérica:
• Deve-se encontrar uma forma fechada para a expressão de y(n).
2.5.9 Exemplo
)()2(9)( nxnyny
)(ny
nnnx 2)(
,...,0n
0)2()1( yy
20)1(9)3()3(
6)0(9)2()2(
2)1(9)1()1(
0)2(9)0()0(
yxy
yxy
yxy
yxy
29
• Solução homogênea: Seja . A equação característica é
, que tem as seguintes raízes: Então:
• Solução Particular: Como a entrada é , então
Substituindo na equação diferença:
Resolvendo a equação, tem-se:
Então
• Solução Total:
, onde
(Estável?)
2.5.9 Solução Total da EDLCC
0)2(9)( nyny
092 z .3, 21 rrnn
h ny )3()3()( 21
CBnAnny p 2)(
nnnx 2)(
.])2()2([9 222 nnCnBnACBnAn
.64
63,
16
11,
8
1 CBA
.64
63
16
11
8
1)( 2 nnny p
64
63
16
11
8
1)3()3()()()( 2
21 nnnynyny nnph
64
9,
8
921
].63448)3(9)3(72[64
1)( 2 nnny nn
30
• Suponha que entrada de um sistema LTI discreto resposta ao
pulso unitário h(n) é uma função exponencial complexa
• Então a saída é:
• Note que isto é o produto da entrada com outra
função somente de (ou de somente):
• A função é a resposta em frequência do sistema através
da qual a função exponencial de entrada é escalada e transladada
por: e
2.6.1 Resposta em Frequência
mj
m
njmnj
mm
emheemhmnxmhy
)()()()( )(
)sin()cos()( njnenx nj
njenx )(je
)}.({exp)()()( j
m
jmjj eHjeHemheH
)( jeH
)( jeH )( jeH
31
• Definição: A transformada de Fourier (FT) de uma sequência x(n)
é dada por:
contanto que x(n) seja absolutamente:
• A somabilidade absoluta (ou quadrática) é condição suficiente
para a existência da FT.
• Definição: A transformada de Fourier Inversa (IFT) da função
é dada por:
• Obs: A transformada de Fourier de uma sequência pode ser
interpretada em termos da representação em série de Fourier.
2.7.1 Transformada de Fourier de Sequência
nj
n
j enxeX
)()(
.)(
n
nx
)( jeX.)(
2
1)(
deeXnx njj
32
2.7.2 Interpretações da Transformada Fourier• Sinais: A transformada de Fourier de um sinal x(n)
descreve o conteúdo de frequência do sinal.
– Para cada frequência , o espectro de amplitude
descreve a importância daquela frequência contida no sinal.
– Para cada frequência , o Espectro de fase
descreve a localização (deslocamento relativo) daquela
componente de frequência do sinal.
• Sistemas: A resposta em frequência de um sistema linear
descreve como as frequências de entrada do sistema são modificadas
– Uma componente de frequência da entrada é amplificada ou
atenuada por um fator
– Uma componente de frequência da entrada é defasada por
uma quantidade
)( jeX
0 )( 0jeX
0 )( 0jeX
)( jeH
0.)( 0jeH
0
).( 0jeH
33
2.7.3 Exemplo: Filtro Passa-Baixa
• O sinal discreto h(n) cujo espectro de amplitude é é composto
principalmente por baixas frequências, isto é, frequências abaixo de uma
dada frequência de corte . Frequências mais altas ocorrem com baixa
amplitude.
• Um sistema discreto com espectro de amplitude como mostrado acima
deixa passar baixas frequência com um ganho maior que as altas.
• As frequências mais altas se aproximam de
c
)( 0jeH
0 22
Espectro de Amplitude de um filtro passa-baixa ou sistema passa-baixa
c
.)12( k
)( 0jeH
34
• Suponha que a entrada de um sistema linear real h(n), é
uma função senoidal
Mas
E então:
Como h(n) é real, , então
2.7.4 Resposta de um sistema linear a uma entrada senoidal
)cos()( 00 nAnx
)( jeH
)0( 0 A
)()(0
00
2
1)cos( njnj een
)()(2
)( 0000 )()(0 jnjjnj eHeeHeA
ny
)()( 00 * jj eHeH
*)()(0 )()(2
)( 0000 jnjjnj eHeeHeA
ny
)(Re 00 )(0
jnj eHeA
)sin()(Im)cos()(Re 000000 neHAneHA jj
)](cos[)( 0000
jj eHneHA
35
• A resposta a uma função senoidal com frequência não é
afetada pelo processo de filtragem, exceto por um ganho
(atenuação ou amplificação) e a fase por deslocamento
• Definições: Espectro de amplitude da transformada de Fourier
Espectro de Fase
• A transformada de Fourier pode ser expressa na forma:
2.7.5 Analise da resposta senoidal
)( 0jeH
0
)( 0jeH
2/1222/1* )()()()()( jI
jR
jjj eHeHeHeHeH
)(
)(tan)( 1
jR
jIj
eH
eHeH
)(Im)(
)(Re)(
jjI
jjR
eHeH
eHeH
onde,
)( 000 )()(
jeHjjj eeHeH
36
2.7.6 Exemplo: Função impulso
• Função impulso: )()( nAnx
)(nx
0 1 2 3
A
-1-2-3
n
njj enAeX )()(
AAe j 0
].,[
)( jeXA
n
37
2.7.6 Exemplo: Função “Comb”
• Função “Comb”:
else;0
1;)(
NnAnx
1
1
)(N
Nn
njj eAeX
)cos(1
)cos()]1(cos[
NN
A
].,[
)(nx
0
A
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeXA
38
2.7.6 Exemplo: Função pulso triangular
• Pulso triangular:
else;0
1)];1/(1[)(
NnNnAnx
1
1
1
1 1
1)(
N
Nn
njN
Nn
njj enN
eAeX
. que Note1
1
1
1
N
n
njN
n
nj ed
djne
)(nx
0
A
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeXA
39
2.7.6 Exemplo: Exponecial unilateral
• Exponencial unilateral:
else;0
0;)(
nanx
n
0
)(n
njnj eaeX ja-e
a
.,
)(nx
0
1
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeX
2
(a=2)
40
2.7.6 Exemplo: Exponencial bilateral
• Exponencial bilateral: )1( )( aanx n
n
njnj eaeX )(1)cos(2
12
2
a-a
a
., )(nx
0
1
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeX
3
(a=2)
41
• Definições:
– Qualquer x(n) pode ser expresso como a soma de um sequência
conjugada simétrica (x(n) real e par) com uma sequência conjugada
antisimétrica (x(n) real e ímpar):
onde,
• Similarmente, a transformada de Fourier pode ser expressa
como a soma de funções conjugadas simétricas e antisimétricas.
Onde,
2.8.1 Propriedades de Simetria da Transformada Fourier
)()( :simétrica sequência-conjugado * nxnx ee
)()()( 0 nxnxnx e
)()( :icaantisimétr sequência -conjugado * nxnx oo
)()()(
2
1)(
)()()(2
1)(
**
**
nxnxnxnx
nxnxnxnx
oo
ee
)( jeX
)()()( jo
je
j eXeXeX
)()()(
2
1)(
)()()(2
1)(
**
**
jo
jjjo
je
jjje
eXeXeXeX
eXeXeXeX
42
2.8.2 Propriedades de Simetria da Transformada de Fourier
)(* jeX
Sequência x(n) Transformada de Fourier )( jeX
)(* nx1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.
13.
)(* nx )(Re nx
)(Im nx)(nxe
)(nxo
)( realAny nx
)( realAny nx)( realAny nx
)( realAny nx))( (real )( nxnxe
)( realAny nx
))( (real )( nxnxo
)(* jeX)( j
e eX
)( jo eX
)(Re)( jjR eXeX
)(Im)( jjI eXjejX
)()( * jj eXeX )()( j
Rj
R eXeX )()( j
Ij
I eXeX )()( jj eXeX
)()( jI
j eXeX
)( jR eX
)( jI ejX
43
2.9 Teoremas da Transformada de Fourier
)()( jj ebXeaX
Sequence x(n) and y(n) Fourier Transform )( and )( jj eYeX
)(Linearity )()( nbynax 1.2.3.4.5.
6.7.
8.
9.
shifting) timeinteger, an ( )( dd nnnx
shifting) (frequency )(0 nxe nj
reversal) (time )( nx frequency) in iation(different )(nnx
theorem)on(convoluti )(*)( nynx theorem)(windowing )()( nynx
)( jnj eXe d
)( )( 0jeX)( jeX
d
edXj
j )(
)()( jj eYeX
deYeX jj )()(2
1 )(
Parseval’s Theorem
n
j deXnx
22)(
2
1)(
n
jj deYeXnynx
)()(2
1)()( **
.) thecalled is )((2
rumsity spectenergy deneX j
44
n
j deXnx
22)(
2
1)( :Proof
Exercício: Prova do Teorema de Parseval
n
njj
nn
deeXnxnxnxnx*
*2)(
2
1)()()()(
denxeXn
njj
)()(*
2
1
deX j2
)(2
1
QED
n
njj deeXnx
)(*2
1)(
deXeX jj )()(*2
1