JUROS COMPOSTOS

Essa modalidade de juros também conhecida como capitalização composta, os juros são calculados no

fim do primeiro período sobre o capital inicialmente aplicado. Nos demais períodos o juros incidem sobre os

montantes construídos no período anterior.

Assim, se um capital PV for aplicado a uma taxa i dada certo período, os montantes constituídos de cada um dos

n períodos em que o capital ficou aplicado serão, respectivamente:

FV¹ = PV (1+ in)

• FV² = FV (1 + i) = PV (1 + i)²

• FV³ = FV (1 + i) = PV (1 + i)³

• FVn = FV n = FV n-1 (1 + i) = PV (1 + i)n

O montante no fim de n períodos, chamado apenas de FV, será: FV = PV (1 + i)n

O capital também pode ser determinado a partir do montante. Tem-se:

PV =_FV_

(1 + i)n

Ou: PV = FV (1 + i)n

E os juros podem ser calculados pela diferença, sendo assim:

J = FV – PV

Ou: J = PV (1 + i)n – PV Ou ainda: J = PV ((1 + i)n –1)

A expressão (1 + i)n é comumente chamada de fator de PV para FV, o que significa que é o fator que,

multiplicado por PV, determina FV. Por razão análoga, a expressão (1 + i)n é chamada de fator de FV para PV.

ses dois fatores, que só dependem de n e de i, são encontrados em tabelas financeiras para cada valor de n e de i.

EXEMPLO 1: Qual o montante produzido por um capital de R$ 250.000,00 que ficou aplicado durante um ano e dois meses à

taxa de 7,5%a.m. de juros compostos?

Solução:

FV = PV (1 + i)n = 250.000,00 (1 + 0,075)14 = R$ 688.111,01

Resposta: O montante é de R$ 688.111,01 EXEMPLO 2: Qual o capital que, aplicado a 8,2%a.m., durante seis meses, rende juros compostos de R$ 75.573,51?

Solução:

J = PV ((1 + i)n – 1) � 75.573,51 = PV ((1 + 0,082)6 – 1)

PV = 75.573,51 = 125.000,00 (1,082)6 – 1

Resposta: O capital é de R$ 125.000,00.

EXEMPLO 3: Um investidor aplicou R$ 320.000,00 em títulos que lhe proporcionarão um resgate de R$ 397.535,00 após 90

dias de aplicação. A que taxa mensal de juros compostos está aplicado o seu capital?

Solução:

FV = PV (1 + i)n � 397.535 = 320.000 (1 + i)3 � i = 397.535 - 1 = 0,075 320.000 Resposta: Seu capital esta aplicado a 7,5% a.m.

EXEMPLO 4:

Se a inflação mensal esta em torno de 0,7%, em quanto tempo uma mercadoria que custa R$ 15.000,00 atingira

o preço de R$ 15.916,30?

Solução:

FV = PV (1 + i)n n =

�������� ��� n =

����.���,����.����� ��,���� � �, ��

Resposta: A mercadoria atingirá esse preço em oito meses e meio

Para o cálculo de i e de n não há necessidade de se deduzirem formulas próprias, pois a prática mostra que é

mais natural o emprego da formula (1), como se procedeu nos exemplos 3 e 4. No entanto, havendo interesse,

podem-se obter essas fórmulas de (1):

i = n ����� � 1

Ou:

n = ������

�� ���

Cálculo dos juros para número não inteiro de períodos

Quando o número de períodos em que o capital fica empregado não é inteiro e a taxa é dada para esse

período, existem duas formas de se capitalizarem os juros correspondentes à parte fracionária do período,

primeiramente pela convenção linear, usando regime de juros simples, ou pela convenção exponencial, usando

regime de juros compostos.

Quando o cálculo dos juros da parte inteira do período é feito no regime de juros compostos e o da parte

fracionaria é feito no regime de juros simples, diz-se que o montante correspondente foi calculado com

capitalização mista.

EXEMPLO 5: Calcular o montante do capital de R$ 150.000,00 aplicados a 8,4% a.m. durante seis meses e 17 dias:

a) No regime de capitalização mista;

b) No regime de capitalização composta.

Solução:

� � � � �� � ����

Montante dos 6 meses:

FV = PV (1 + i)n = 150.000 · (1,084)6 = 243.369,95

a) FV = PV(1 + in) = 243.369,95(1 + 0,084 · 17/30) = 254.954,36

b) FV = PV(1 + i)n = 243.369,95 (1 + 0,084)17/30 = 254.751,58

Resposta: a) R$ 254.954,36

b) R$ 254.751,58

Considerações sobre a taxa de juros

Taxas proporcionais e taxas equivalentes

O conceito de taxas proporcionais e taxas equivalentes no regime de juros compostos são as mesmas

para o regime de juros simples. No entanto, no regime de juros simples as taxas proporcionais e as taxas

equivalentes se confundem, favorecendo muitas vezes até uma identidade entre os conceitos, isto porque as

taxas proporcionais não são equivalentes e fazem capitais iguais, em tempos iguais, produzirem montantes

diferentes.

Um exemplo esclarecerá o que se passa:

EXEMPLO 6: Três investidores, A, B e C, tinham cada um R$ 10.000,00 para aplicar. A aplicou a 24%a.a., B aplicou a

12%a.s. e C aplicou a 2%a.m. Quais os montantes de cada um desses três investidores depois de decorrido um

ano?

Solução:

A: FV = PV (1 + i)n = 10.000 (1 + 0,24)1 = 12.400,00

B: FV = PV (1 + i)n = 10.000 (1 + 0,12)2 = 12.544,00

C: FV = PV (1 + i)n = 10.000 (1 + 0,02)12 = 12.682,42

Resposta: Os montantes desses três investidores são respectivamente, em R$ 12.400,00, R$ 12.544,00 e

R$12.682,42

EXEMPLO 7:

O capital de R$10.000,00 aplicados à taxa de 10%a.m. produziu o montante de R$ 31.384,28 no fim de um ano.

Qual a taxa semestral capaz de fazer esse mesmo capital produzir esse mesmo montante nesse mesmo espaço de

tempo?

Solução:

FV = PV (1 + i)n �31.384,28 = 10.000 (1 + i)2 � i = 31.384,28 - 1 = 0,7716

10.000 Resposta: A taxa é de 77,16% a.s. (taxa equivalente a 10% a.m.

EXEMPLO 8: Qual a taxa bimestral equivalente a 15% a.t.?

Solução:

Supõe-se, inicialmente, um prazo que seja múltiplo do bimestre e do trimestre: um ano, por exemplo. Tem-se:

i¹ = 0,15 (taxa trimestral)

n¹ = 4 (o prazo suposto de um ano tem quatro trimestres)

i² = ? (taxa bimestral)

n² = 6 (um ano tem seis bimestres)

(1 + i¹)n¹ = (1 + i²)n² � (1 + 0,15) = (1 + i) � i = 1,15 – 1 = 0,0977

Resposta: A taxa é de 9,77% a.b.

Exercícios referentes Juros Compostos

Calculo de Montante

1. Um capital de R$ 560,00 ficou aplicado durante um ano e três meses à taxa de 5%a.m. de juros compostos. Qual o montante final? 2. Calcule juros e montante correspondente a um capital de R$ 100.000,00 empregado, no regime de juros compostos, durante um ano a cada uma das seguintes taxas: a) 60% a.a. 3. Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais e mensais de R$ 1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos vencidos, sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês. (R: $36.666.53) 4. Sabendo-se que uma instituição financeira paga 46,41% ao ano para aplicações programadas, calcular que montante será obtido no final de 18 meses por uma pessoa que aplicar 6 parcelas trimestrais de R$ 10.000,00 cada uma, sendo a primeira aplicação efetuada hoje. (R: $84.871,71)

Calculo de Capital 1. Que capital em dois anos produz R$ 97.047,11 de juros compostos a 2,5%a.m? 2. Um investimento resultou em um montante de R$ 43.000,00 no prazo de três meses. Se a taxa de juros efetiva ganha for de 10% a.m., calcular o valor do investimento. 3. Quanto devo aplicar mensalmente, durante 15 meses, à taxa de 3,25% ao mês, para que tenha R$ 150.000,00 no final do 15o mês, dentro dos conceitos de termos antecipados e vencidos? (R: $7.669,04 e $7.918,29)

Calculo de Período 1. Em quanto tempo um capital dobra se for aplicado à taxa de 10%a.m.:

a) Em regime de juros compostos? b) Em regime de juros simples?

2. Em que prazo um capital de R$ 28.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 à taxa efetiva 15% a.m? 3. Em quanto tempo quadriplica uma população que cresce à taxa de 3% a.a? 4. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10%a.a. Se os juros ganhos forem de R$ 27.473,00 sobre um capital investido de R$ 83.000,00 quanto tempo o capital ficará aplicado? Calculo de Taxa

Calculo de Taxa 1. A que taxa mensal deve ser aplicado um capital de R$ 480.000,00 para que renda juros compostos de R$ 573.586,86 em seis meses? 2. Calcule a taxa mensal de juros compostos que faz com que o capital de R$ 100.000,00 renda, em um ano, o mesmo montante que rende com a taxa anual de 45% (é a taxa mensal equivalente a 45%a.a.) 3. Determine a taxa anual equivalente a 10%a.m. (é a taxa anual que faz com que um capital renda o mesmo montante que renderia com a taxa de 10%a.m. durante doze meses). 4. Determine as seguintes taxas: a) Mensal equivalente a 36%a.a.

c) Semestral equivalente a 3,5% a.m.

d) Trimestral equivalente a 20% a.s.

e) Trimestral equivalente a 12% a.b.

5. Que taxa mensal de juros simples corresponde a 20% a.m. de juros compostos durante um ano?

6. Um capital de R$ 51.879,31 aplicados por seis meses resultou em R$ 120.000,00. Qual a taxa efetiva ganha? 7. Certo capital esteve empregado durante um ano, a juros compostos, da seguinte forma, nos seis primeiros meses, a 2% a.m; nos três meses seguintes, a 2,5% a.m; nos últimos três meses, a 3% a.m.

a) A que taxa anual esteve empregado? b) Qual a taxa mensal equivalente?

8. Determinar a que taxa de juros a aplicação de R$ 5.000,00 por mês gera um montante de R$ 800.000,00 no final de 4 anos e meio, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do 1o mês. (R: 3,604% ao mês) 9. Calcular, para as taxas de 2%, 3%, 4% e 5% ao mês, quais os montantes obtidos no final de 5 anos pela aplicação de 60 parcelas iguais de R$ 2.000,00 de acordo com o conceito de termos vencidos. (R: $228.103,08 para 2% ao mês; $326.106,87 para 3% ao mês; $475.981,37 para 4% ao mês; $707.167,44 para 5% ao mês). 10. Uma casa é vendida por R$ 261.324,40 à vista. Se o comprador se propuser pagar R$ 338.000,00 daqui a 8 meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta.