Post on 11-Aug-2015
3.6 Momentos Fletores
1
Lajes
Concreto
Armado 1
As lajes são solicitadas essencialmente por momentos fletores e forças cortantes.
O cálculo das lajes pode ser feito por dois métodos: o elástico, que será aqui utilizado, e o plástico, que poderá ser apresentado em fase posterior.
LOGO
Lajes Concreto Armado 1 Momentos Fletores – Equação de Lagrange
O cálculo dos esforços solicitantes pode ser feito pela
teoria clássica de placas delgadas (Teoria de Kirchhoff),
supondo material homogêneo, isótropo, elástico e linear.
A partir das equações de equilíbrio, das leis
constitutivas do material (Lei de Hooke) e das relações
entre deslocamentos e deformações, fazendo-se as
operações matemáticas necessárias, obtém-se a
equação fundamental que rege o problema de placas.
Concreto Armado 1
Lajes
equação de Lagrange:
Uma apresentação detalhada da teoria de placas pode ser encontrada em TIMOSHENKO (1940).
Company Logo Concreto Armado 1
equação de Lagrange:
Na maioria dos casos, não é possível determinar, de forma exata, uma solução para a equação de Lagrange que, ainda, satisfaça às condições de contorno.
Em geral, recorre-se a processos numéricos para a resolução dessa equação, utilizando, por exemplo: diferenças finitas, elementos finitos, elementos de contorno ou analogia de grelha.
LOGO
Lajes Concreto Armado 1 Momentos Fletores -Cálculo por Tabelas
Esses processos numéricos também podem ser utilizados na confecção de tabelas, como as de Czerny e as de Bares, obtidas por diferenças finitas.
As tabelas 2.5 e 2.6 de PINHEIRO (1993), foram baseadas nas de BARES (1972), com coeficiente de Poisson igual a 0,15.
O emprego dessas tabelas é semelhante ao apresentado para as reações de apoio. Os coeficientes tabelados ( μ x , μ'x , μ y , μ‘y) são adimensionais, sendo os momentos fletores por unidade de largura dados pelas expressões:
Concreto Armado 1
Lajes
Para as lajes armadas em uma direção, os
momentos fletores são calculados a partir dos
coeficientes adimensionais correspondentes à
condição.
λ = ly / lx > 2 .
LOGO
Lajes Concreto Armado 1
Momentos Fletores - Cálculo por Tabelas - Lajes Armadas em uma direção
No caso de termos uma laje qualquer engastada em um
bordo ou apoiada apenas sobre dois bordos paralelos,
conforme segue :
. Lajes isoladas engastadas em um bordo ou
apoiadas sobre dois bordos paralelos:
Ooncreto Armado 1 Lajes
Nestes tipos de lajes escolhemos uma faixa que
representa o comportamento estrutural característico para
toda a laje e os esforços calculados, assim como as
armaduras, valerão para a unidade estrutural inteira.
λ = ly / lx > 2 .
Podemos destacar da laje uma faixa que vai de um
apoio a outro, com largura unitária, e as solicitações são
calculadas como se a laje fosse composta por uma série de
vigas paralelas , já que não há deformações diferencias entre
uma faixa e as demais faixas vizinhas.
LOGO
Lajes Concreto Armado 1
Momentos Fletores - Cálculo por Tabelas - Lajes Armadas em uma direção
Estas lajes devem ser calculadas como uma viga contínua de
largura unitária.
. Lajes Contínuas apoiadas sobre dois bordos
paralelos :
LOGO
Lajes Concreto Armado 1
Momentos Fletores - Cálculo por Tabelas - Lajes Armadas em uma direção
Uma laje apoiada nos quatro bordos será armada em uma só
direção quando a relação entre os vãos ly (maior vão teórico) e
lx (menor vão teórico) for superior a 2.
λ = ly / lx > 2 .
. Lajes isoladas apoiadas sobre quatro bordos:
Neste caso a laje será calculada como sendo armada segundo
sua menor dimensão e supondo-se não existirem apoios nos
bordos paralelos a este vão.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Pode-se ter três tipos de lajes apoiadas nos quatro bordos e
armadas segunda a menor dimensão.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Os esforços são calculados por :
, '
2
m
lpm
'
2
n
lpm
lp
Onde :
m+ momento positivo, por
metro linear de laje
m- momento negativo, por
metro linear de laje
ѵ reação de apoio no
bordo, por metro linear de laje
. Os valores de m+, m-
e ѵ são obtidos com valores idênticos
aos denominadores das seguintes expressões :
LOGO
Lajes Concreto Armado 1
Momentos Fletores - Cálculo por Tabelas - Lajes Armadas em Cruz
As lajes retangulares com dois ou mais bordos
apoiados, e em que a relação entre o lado maior (ly) e
lado menor (lx) seja tal que ly / lx ≤ 2, devem ser
armadas em cruz.
λ = ly / lx ≤ 2 .
Ooncreto Armado 1 Lajes
Processo das Grelhas :
É adotado principalmente para o cálculo de esforços
em lajes nervuradas. A idéia básica desse processo consiste
em considerar que um painel de laje seja constituído de
apenas duas faixas de larguras unitárias e ortogonais entre si,
formando assim uma pequena grelha.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Do estudo das grelhas, sabe-se que cada faixa
é responsável por conduzir parte (quinhão) do
carregamento total (p) até os respectivos apoios.
Uma vez conhecido esse quinhão de carga que atua
em cada faixa (px e py), pode-se determinar os
diagramas de momento e cortante, conhecendo-se
as condições de contorno do painel.
Ooncreto Armado 1 Lajes
O cálculo das solicitações (momentos fletores) da laje,
quando submetida a um carregamento p, pode ser feito elo
processo das grelhas , adotando-se as seguintes hipóteses :
. a laje pode ser decomposta em uma série de faixas
ortogonais, de largura unitária;
. o carregamento “P” pode ser decomposto em dois quinhões:
Px : atuante em faixas na direção x.
Py : atuante em faixas na direção y.
. de forma que :
P = Px + Py
Ooncreto Armado 1 Lajes
A montagem do problema é conduzida com base nas
seguintes hipóteses:
- As faixas são independentes entre si;
- Os quinhões de carga são constantes em cada direção;
- O carregamento é uniformemente distribuído na faixa.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Para o caso da laje simplesmente apoiada dada
acima, e considerando que por hipótese inicial a carga seja
uniformemente distribuída em cada faixa, pode-se escrever
os valores das flechas no ponto central comum às duas
faixas:
Ooncreto Armado 1 Lajes
Com isto, o quinhão de carga Px, ao atuar sobre uma faixa na
direção x, provoca nela uma flecha fx, situada no centro da laje.
Da mesma forma, o quinhão de carga Py, ao atuar sobre uma
faixa na direção y, provoca nela uma flecha fy, situada no centro
da laje. Como o ponto médio das lajes é único, indivisível, deve-se ter
no cruzamento da faixa x com a faixa y :
yx ff
Ooncreto Armado 1 Lajes
. Como : EI
lpf xx
x
4
384,0
5,0
. e : EI
lpf
yy
y
4
384,0
5,0
. Tem-se que : 44 yyxx lplp
. Ou ainda :
44
4
yx
y
yx
x
ll
l
pp
p
Ooncreto Armado 1 Lajes
. Seja agora a relação entre lx e ly definida por:
. Dividindo-se ambos os membros da equação :
. por :
44
4
yx
y
yx
x
ll
l
pp
py
x
l
l
4
xl
. Tem-se :
. e substituindo-se :
y
x
l
l
4
4
1
p
px
Ooncreto Armado 1 Lajes
. Chamando-se de kx a fração expressa pelo lado direito da
Tem-se : pkp xx
equação :
4
4
1
p
px
. O valor de kx é função apenas da relação Є entre os lados da
laje, o que permite que seja organizada uma tabela kx = f ( Є ).
yx ppp. como
yx ppkp. temos :
. ou ainda : )1( pkkp yxy
Ooncreto Armado 1 Lajes
. Conhecidos os valores de kx e ky , podem se determinar os
8
2
xxx
lpm
momentos fletores por :
8 ;
2
yy
y
lpm
bem como as reações de apoio.
. O processo ora descrito para lajes retangulares simplesmente
apoiadas nos quatro bordos pode ser generalizado para
quaisquer condições de apoio.
Ooncreto Armado 1 Lajes
EI0,384
4
xxxx
lpf
. Seja a laje apresenta a seguir :
EI0,384 ;
4
yyy
y
lpf
Ooncreto Armado 1 Lajes
pll
lp
yyxx
yy
x 44
4
. das equações : yx ff yx pp p e
. temos :
EI0,384
4
xxxx
lpf
EI0,384 ;
4
yyy
y
lpf
. Ou : pkp xx
pkpkp yxy )1(
Ooncreto Armado 1 Lajes
pll
lp
yyxx
yy
x 44
4
. Nestas equações os valores de αx e αy estão indicados a
seguir :
pkp xx pkpkp yxy )1(
Ooncreto Armado 1 Lajes
pkp xx pkpkp yxy )1( ;
x
xxx
m
lpm
'
2
y
yy
ym
lpm
'
2
y
y
yn
lpm
'
2
xxx lp11
xxx lp22
yyy lp31
yyy lp42
y
xxx
n
lpm
'
2
Ooncreto Armado 1 Lajes
. Os valores de m’, n’ e β estão especificados na figura a seguir :
Ooncreto Armado 1 Lajes
Processo de Marcus :
A partir da equação diferencial das placas e através da
aplicação do método das diferenças finitas, Marcus deduziu
um conjunto de fórmulas para a resolução de lajes
retangulares armadas em cruz.
O processo aproximado de Marcus difere do processo
das grelhas pela introdução de um coeficiente ν < 1, nas
fórmulas dos momentos positivos do processo das grelhas.
Este coeficiente foi introduzido em bases semi-
empíricas, sendo função das condições de apoio e da relação
entre os vãos.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Seja a laje mostrada a seguir :
Pelo processo das grelhas a deformação em “C” deve ser igual à
deformação em “D”, o que não corresponde à realidade em
virtude da continuidade da laje no sentido x.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Esta diferença entre as deformações em “C” e “D” provoca o
aparecimento do momento volvente, o qual solicita a placa mais
intensamente na região próximas aos cantos, especialmente
quando os bordos da laje são apoiados. Este momento é o
responsável pela diminuição dos momentos positivos máximos
calculados pelo processo das grelhas.
Ooncreto Armado 1 Lajes
O uso da tabela desenvolvida por marcus dispensa o cálculo
destes momentos. Entretanto, quando o menor vão de uma laje
for superior a 3,0 m, deve-se dispor, nos cantos simplesmente
apoiados, de uma armadura capaz de combater os efeitos
destes momentos.
Em caso de engastes estes, esta armadura não é necessária.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Os coeficientes redutores dos momentos positivos ν, podem ser
calculados por :
2'3
201
x
xx
m
k
y
y
ym
k
'3
201
2
Ooncreto Armado 1 Lajes
Os momentos podem ser determinados por :
xxx
x
xxx
x
xxx mlp
m
lpk
m
lpm 2
22
''
yxy
x
y
y
xy
y
y
yy
y
y
yy
y mlpl
l
m
lpk
m
lpk
m
lpm 2
2
2222
'''
xx
x
xx nlp
n
lpm 2
2
'
yx
x
y
y
x
y
y
y nlpl
l
n
lp
n
lpm 2
2
222
''
Ooncreto Armado 1 Lajes
Os valores de m*x, m*y, n*x, n*x estão tabelados.
Nota-se o valor constante p.lx2, de forma a facilitar o processo de
cálculo :
Na tabela de Marcus os argumentos de entrada são Є e as
condições de apoio. Para facilitar o projeto, recomenda-se
considerar sempre a direção x como a direção horizontal do
desenho de formas.
O Cálculo das reações de apoio poderá ser feito por :
plk xxxy
plk yyyx
Ooncreto Armado 1 Lajes
Sendo os valores de βx e βx , os especificados na figura a seguir :
plk xxxy
plk yyyx
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Exemplo : Seja a seguinte Laje isolada retangular :
Considerando-se que as cargas atuantes na laje são g = 3,2 kN/m2 e q = 2,0 kN/m2, calcular os momentos fletores:
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l
L
l
l
x
y7,1
0,3
10,5
22 )0,3()2,5(xlp kN 8,46
0,2 0,3 qgp2 ,25 kN/mp
kNlp x 8,462
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kNlp x 8,462
7,1
. De acordo com a Tabela de Marcus
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kNlp x 8,462
7,1
. Utilizando os parâmetros da Laje :
. Temos:
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0537,0xm
. Da tabela obtemos os seguintes valores :
0186,0 ; ym
1115,0xn 0387,0 ; yn
. Com os quais podemos calcular os valores dos
momentos e das reações de apoio nas lajes :
xxx mlpm )( 2
yxy mlpm )( 2
xxx nlpm )( 2
yxy nlpm )( 2
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0537,0 ; xm 0186,0 ; ym
1115,0xn
xxx mlpm )( 2
yxy mlpm )( 2
xxx nlpm )( 2
yxy nlpm )( 2
kNlp x 8,462
)0537,0()8,46( mmkN / 51,2
)1115,0()8,46( mmkN / 22,5
)0186,0()8,46( mmkN / 87,0
)0387,0()8,46( mmkN / 81,1
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. Reações de Apoio :
plk xxxy
plk yyyx2 ,25 kN/mp
. da Tabela de Marcus obtemos kx e Ky :
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. Reações de Apoio :
plk xxxy
plk yyyx2 ,25 kN/mp
893,0xk 107,0yk
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. Reações de Apoio :
plk yyyx 11
2 ,25 kN/mp
893,0xk
107,0yk
)2,5()1,5()107,0()375,0(
mkNx / 14,11
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. Reações de Apoio :
plk yyyx 22
2 ,25 kN/mp
893,0xk
107,0yk
)2,5()1,5()625,0()375,0(
mkNx / 70,12
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. Reações de Apoio : 2 ,25 kN/mp
893,0xk
107,0yk
)2,5()0,3()893,0()375,0(
mkNy / 57,51
plk xxxy 11
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. Reações de Apoio : 2 ,25 kN/mp
893,0xk
107,0yk
)2,5()0,3()893,0()625,0(
mkNy / 36,82
plk xxxy 22
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kNlp x 8,462
7,1
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. Laje com Esforços :
Ooncreto Armado 1 Lajes
Processo de Marcus – Abordagem Apostila UNB :
Para as lajes retangulares apoiadas em todo o seu
contorno, o método de Marcus prevê seis casos de
cálculo, dependendo dos tipos de apoio nos bordos.
Em cada caso, o parâmetro = ly / lx.
A condição fundamental para emprego do método
de Marcus é a definição do vão lx das lajes.
lx: direção normal ao maior número de bordos
engastados. Havendo igualdade na primeira condição , lx
é o menor vão. Dessa forma, tem-se para o parâmetro
de entrada nas tabelas as seguintes situações:
Ooncreto Armado 1 Lajes
Processo de Marcus :
Concreto Armado 1
Lajes
. Tabelas do Prof. L. M. Pinheiro :
Calcula-se o valor dos Momentos nas Lajes a partir da Fórmula:
10
2
xlpm
Com os valores de μ obtidos das tabelas apresentadas a seguir:
Concreto Armado 1
Lajes
. Calcular a Laje apresentada no exemplo anterior utilizando as tabelas da Apostila do Prof. L. M. Pinheiro.
Ações Concreto Armado 1
p = 5,20 kN / m2 . Laje enquadra-se no “tipo 3”, definido pelas tabelas.
. Determinando o parâmetro para entrada na tabela, temos:
x
y
l
l mly 10,5
mlx 00,3
00,3
10,570,1
Concreto Armado 1
. p = 5,20 kN / m2
. Interpolando, obtemos da tabela os seguintes coeficientes :
21,5x
. Utilizando os coeficientes retirados da tabela aplicado na fórmula a seguir, obtemos os momentos fletores:
16,11x
91,1y
15,8y
100
2
xlpm
Concreto Armado 1
44,2100
2
xxx
lpm
22,5100
2
xxx
lpm
89,0100
2
xxy
lpm
81,3100
2
xyy
lpm
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. Laje com Esforços :
44,2
. Tabelas de Marcos: . Tabelas Prof. L. M. Pinheiro:
22,5
89,0
81,3
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Lajes Concreto Armado 1 Compatibilização de Momentos Fletores
Os momentos fletores nos vãos e nos apoios também são
conhecidos como momentos positivos e negativos,
respectivamente.
No cálculo desses momentos fletores, consideram-se os
apoios internos de lajes contínuas como perfeitamente engastados.
Na realidade, isto pode não ocorrer.
Em um pavimento, em geral, as lajes adjacentes diferem nas
condições de apoio, nos vãos teóricos ou nos carregamentos,
resultando, no apoio comum, dois valores diferentes para o
momento negativo. Esta situação está ilustrada na Figura
apresentada a seguir. Daí a necessidade de promover a
compatibilização desses momentos.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Na compatibilização dos momentos negativos, o critério
usual consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois
momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta razoável
aproximação quando os dois momentos são da mesma ordem de
grandeza.
Em decorrência da compatibilização dos momentos
negativos, os momentos positivos na mesma direção devem ser
analisados. Se essa correção tende a diminuir o valor do momento
positivo, como ocorre nas lajes L1 e L4 da Figura apresentada,
ignora-se a redução (a favor da segurança).
Ooncreto Armado 1 Lajes
Caso contrário, se houver acréscimo no valor do
momento positivo, a correção deverá ser feita, somando-se ao
valor deste momento fletor a média das variações ocorridas
nos momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios,
como no caso da laje L2 da Figura a seguir :
Ooncreto Armado 1 Lajes
Pode acontecer da compatibilização acarretar
diminuição do momento positivo, de um lado, e
acréscimo, do outro. Neste caso, ignora-se a diminuição e
considera-se somente o acréscimo, como no caso da laje
L3 da Figura apresentada.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Se um dos momentos negativos for muito
menor do que o outro, por exemplo m’12< 0,5m’21,
um critério melhor consiste em considerar L1
engastada e armar o apoio para o momento m’12 ,
admitindo, no cálculo da L2, que ela esteja
simplesmente apoiada nessa borda.
LOGO
Lajes Concreto Armado 1 Dimensionamento das Armaduras
Conhecidos os momentos fletores característicos
compatibilizados (mk ), passa-se à determinação das armaduras.
Esse dimensionamento é feito da mesma forma que para vigas,
admitindo-se a largura b = 1,0m = 100,0cm. Obtém-se, dessa
forma, uma armadura por metro linear.
Podem ser utilizadas as tabelas de PINHEIRO (1993),
sendo a Tabela 1.1 para o cálculo das áreas necessárias das
armaduras e a Tabela 1.4a para a escolha do diâmetro e do
espaçamento das barras.
Ooncreto Armado 1 Lajes
. Inicialmente determina-se o momento Fletor de Cálculo em
kN.cm/m :
. Em seguida, calcula-se o valor do coeficiente Kc :
. Conhecidos o concreto, o Aço e o valor de Kc, obtém-se na
tabela 1.1 o valor de ks .
Ooncreto Armado 1 Lajes
. Na tabela 1.4a, com o valor de as, escolhe-se o diâmetro das
barras e o seu espaçamento.
. Calcula-se, então, a área de armadura necessária:
Ooncreto Armado 1 Lajes
As armaduras devem respeitar os valores mínimos
recomendados pela NBR 6118 : 2003, indicados nas tabelas
indicadas a seguir, nas quais ρ = as (bw . d).
Se for necessário calcular ρmin para fatores diferentes, pode-
se usar a equação:
ρ = ω f ωmin: taxa mecânica mínima de armadura longitudinal
Admitindo-se b =100,0cm e d em centímetros, obtém-se as
em cm2/ m.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Devem ser observadas outras prescrições da NBR 6118,
algumas das quais são mencionadas a seguir :
. Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no
máximo igual a h/8.
. As barras da armadura principal de flexão devem apresentar
espaçamento no máximo igual a 2h ou 20,0cm. Prevalecendo o
menor desses dois valores na região dos maiores momentos
fletores.
. A armadura secundária de flexão deve corresponder à
porcentagem de armadura igual ou superior a 20% da
porcentagem da armadura principal, mantendo-se, ainda, um
espaçamento entre barras de no máximo 33,0cm.
LOGO
Lajes Concreto Armado 1 Barras sobre os Apoios
O comprimento das barras negativas deve ser
determinado com base no diagrama de momentos fletores na
região dos apoios.
Em edifícios usuais, em apoios de lajes retangulares que
não apresentem bordas livres, os comprimentos das barras
podem ser determinados de forma aproximada, com base no
diagrama trapezoidal indicado a seguir, adotando-se para l um
dos valores:
Ooncreto Armado 1 Lajes
• o maior entre os menores vãos das lajes adjacentes, quando
ambas foram consideradas engastadas nesse apoio;
• o menor vão da laje admitida engastada, quando a outra foi
suposta simplesmente apoiada nesse vínculo.
Com base nesse procedimento aproximado, são
possíveis três alternativas para os comprimentos das barras,
indicadas nas figuras 7a, 7b e 7c respectivamente.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Ooncreto Armado 1 Lajes
Ooncreto Armado 1 Lajes
Ooncreto Armado 1 Lajes
Em geral esses comprimentos são arredondados para
múltiplos de 5 cm.
Para garantir o correto posicionamento das barras da
armadura sobre os apoios, recomenda-se adotar,
perpendicularmente a elas, barras de distribuição, com as
mesmas áreas e espaçamentos indicados para armadura
positiva secundária, na Tabela 5, no item 5 deste trabalho.
LOGO
Lajes Concreto Armado 1 Barras Inferiores
Considera-se que as barras inferiores estejam
adequadamente ancoradas, desde que se estendam, pelo
menos, de um valor igual a 10φ a partir da face dos apoios.
Nos casos de barras interrompidas fora dos apoios,
seus comprimentos devem ser calculados seguindo os critérios
especificados para as vigas. Podem ser adotados, também, os
comprimentos aproximados e as distribuições indicadas na
Figura a seguir.
Nas extremidades do edifício, elas costumam ser
estendidas até junto a essas extremidades, respeitando-se o
cobrimento especificado.
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Lajes Concreto Armado 1 Armadura de Canto
Nos cantos de lajes retangulares, formados por duas
bordas simplesmente apoiadas, há uma tendência ao
levantamento provocado pela atuação de momentos volventes
(momentos torçores). Quando não for calculada armadura
específica pararesistir a esses momentos, deve ser disposta
uma armadura especial, denominada armadura de canto,
indicada na figura apresentada a seguir.
Ooncreto Armado 1 Lajes
As barras deverão se estender até a distância igual a 1/5
do menor vão da laje, medida a partir das faces dos apoios. A
armadura inferior pode ser substituída por uma malha composta
por duas armaduras perpendiculares.
Ooncreto Armado 1 Lajes
Como em geral as barras da armadura inferior são
adotadas constantes em toda a laje, não é necessária
armadura adicional inferior de canto. Já a armadura superior
se faz necessária e, para facilitar a execução, recomenda-se
adotar malha ortogonal superior com seção transversal, em
cada direção, não inferior a asx / 2 .
Ooncreto Armado 1 Lajes