Post on 07-Apr-2016
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 1
A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS
E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA(ILUSTRAÇÕES)
Uma aula do Projeto Embaixadores da Matemáticado Instituto de Matemática e Estatística da USP
Valdemar W. SetzerDept. de Ciência da Computação do IME
www.ime.usp.br/~vwsetzer
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 2
ONE-MINUTE PAPER:
NO FIM DA AULA, ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL:1. O QUE APRENDI DE MAIS IMPORTANTE?2. QUAL A MAIOR DÚVIDA QUE FICOU?3. COMENTÁRIOS
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Espiral de Arquimedes (passo constante)
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Fibonacci, de autor desconhecido
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 6Trecho do original do Liber Abaci
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Essa sequência já era conhecida por matemáticos hindus desde o séc. VI. Fibonacci escreveu a sequência até o 13º elemento, 233.
No livro, na página vista, ele descreveu e resolveu o problema da multiplicação dos coelhos, com as seguintes regras fictícias:1. No início, nasce um casal de coelhos.2. Os coelhos nascidos levam 1 mês para atingir a maturação sexual e se acasalarem.3. O tempo de gestação é de 1 mês.4. Cada casal maduro produz um casal de novos coelhos a cada mês.
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Recém nascidos: cinza; férteis: rosa
Os coelhos cinzas tornam-se rosas na linha seguinte; se há m coelhos rosas em uma linha, a seguinte é aumentada por m coelhos cinzas; se há um total de n coelhos numa linha, na linha seguinte haverá n coelhos rosas. Sequência de Fibonacci!Quantos casais de coelhos haverá depois de um ano?f12 !
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9Estátua em Pisa
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Camposanto, Pisa
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A sequência de Fibonacci aparece em muitas áreas da matemática, como no triângulo de Pascal:
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1,6180...
Convergência das curvas (exponenciais!)
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1,6180...
Considerando as duas curvas, na verdade há uma oscilação em torno do valor de convergência “amortecimento exponencial”). Ex: amortecedor.
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Espiral de Fibonacci
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Proporções áureas: cabelo→queixo/olhos→queixo, olhos→queixo/nariz→queixo
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30. Retângulo áureo, com lados proporcionais a 1 e Φ, aproximadamente 8 e 5, ou a 13 e 8. Proporções bonitas?
1; 5; 81; 5; 8
Φ (1,618...); 8; 13
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https://www.youtube.com/watch?v=kKWV-uU_SoI
(Acionar vídeo)
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Aparelho usado por pintores
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Dois triângulos com dois lados proporcionais (a/a') e um ângulo igual (α) são semelhantes. Portanto
a/a' = ϕ b/b'= ϕ
a
a'
b
b'
a
a'
•
•
• • a'
α
αα
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 20Aparelho usado por dentistas para deduzir o tamanho de implante
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Partenon, Atenas, com retângulos áureos
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Notar a construção de retângulos áureos a partir de um retângulo áureo adicionando-se quadrados:
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 23Verde: espiral com arcos de círculo; vermelha: espiral áurea; amarelo: coincidentes.
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vermelho vermelho verde azul ––––––––– = ––––––––– = ––––––– = –––––––– = ϕ amarelo verde azul magenta
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32. Como desenhar um segmento dividido na proporção áurea:
____ __a2 = 12 + ½2 = 1 + ¼= 5/4 a = √ 5/4 a = ½√ 5
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 26Lápide do túmulo de Jacob Bernoulli (†1708), na catedral de Basel, Suíça
“EADEM MUTATA RESSURGO”“Apesar de mudada, ressurjo”
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Um triângulo áureo:
1
ϕ
A partir dele pode-se construir uma sequência de triângulos áureos
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Uma sequência de triângulos áureos:
1ϕ
1+ϕ 1+2ϕ2+3ϕ
3+5ϕ
5+8ϕ
A partir dessa sequência pode-se construir uma espiral áurea,ligando-se um vértice de cada base
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Caramujo do Tapajós
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Caramujo do Tapajós
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 32Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 33Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França
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Nautilus pompiliusNotar a mesma forma das
câmaras (dimensões proporcionais)
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 35Margarida
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← 34 21 → (Margarida)
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 37← 55 34 → (Girassol) ← 55 34 → (Girassol)
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Brócoli Romanesco
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 40Brócoli Romanesco
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← 34 55 → Pinha de Araucária
9/10/15V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 42Furacão
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Galáxia
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