Post on 07-Nov-2018
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 10
Parte 10 Matemática Básica 1
A fórmula do binômio de Newton
Parte 10 Matemática Básica 2
A fórmula do binômio de Newton
(p + h)0 = 1(p + h)1 = p + h(p + h)2 = p2 + 2 p h + h2
(p + h)3 = p3 + 3 p2 h + 3 p h2 + h3
(p + h)4 = p4 + 4 p3 h + 6 p2 h2 + 4 p h3 + h4
...(p + h)n = ?
Parte 10 Matemática Básica 3
Um pouco de combinatória . . .Quantos subconjuntos de {e1, e2, e3, e4, e5} com 0 elemento
existem?
Resposta: 1 subconjunto!
Parte 10 Matemática Básica 4
Folha 1
Um pouco de combinatória . . .Quantos subconjuntos de {e1, e2, e3, e4, e5} com 1 elemento
existem?
Resposta: 5 subconjuntos!
Parte 10 Matemática Básica 5
Um pouco de combinatória . . .Quantos subconjuntos de {e1, e2, e3, e4, e5} com 2 elementos
existem?
Resposta: 10 subconjuntos!
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:existem
5 × 4
pares de listas ordenadas.
Como a ordem não importa, existem
5 × 42!
= 10
subconjuntos com 2 elementos.
Parte 10 Matemática Básica 6
Um pouco de combinatória . . .Quantos subconjuntos de {e1, e2, e3, e4, e5} com 3 elementos
existem?
Resposta: 10 subconjuntos!
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:existem
5 × 4 × 3
triplas de listas ordenadas.
Como a ordem não importa, existem
5 × 4 × 33!
= 10
subconjuntos com 3 elementos.
Parte 10 Matemática Básica 7
Um pouco de combinatória . . .Quantos subconjuntos de {e1, e2, e3, e4, e5} com 4 elementos
existem?
Resposta: 5 subconjuntos!
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:existem
5 × 4 × 3 × 2
quádruplas de listas ordenadas.
Como a ordem não importa, existem
5 × 4 × 3 × 24!
= 5
subconjuntos com 4 elementos.
Parte 10 Matemática Básica 8
Folha 2
Um pouco de combinatória . . .Quantos subconjuntos de {e1, e2, e3, e4, e5} com 5 elementos
existem?
Resposta: 1 subconjunto!
Parte 10 Matemática Básica 9
Um pouco de combinatória . . .Quantos subconjuntos de {e1, . . . ,en} com k elementos
existem?
Resposta:(n
k
)subconjuntos!
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:existem
n × (n − 1)× · · · × (n − k + 1)
k -uplas de listas ordenadas.
Como a ordem não importa, existem
n × (n − 1)× · · · × (n − k + 1)k !
subconjuntos com k elementos.
Parte 10 Matemática Básica 10
Um pouco de combinatória . . .
(nk
)=
n × (n − 1)× · · · × (n − k + 1)k !
é denominado número binomial.
(nk
)conta o número de subconjuntos com k elementos de um
conjunto com n elementos.
Fato:(n
k
)=
n × (n − 1)× · · · × (n − k + 1)k !
=n!
(n − k)! k !.
Parte 10 Matemática Básica 11
A fórmula do binômio de Newton
(p + h)5 = (p + h) (p + h) (p + h) (p + h) (p + h)= (?) p5 + (?) p4 h + (?) p3 h2 + (?) p2 h3 + (?) p h4 + (?) h5
Qual é o coeficiente (?) de p4 h?Aqui (?) é o número de maneiras de escolher k = 1 fatores para h
entre os n = 5 fatores de (p + h). Logo:
(?) p4 h =
(51
)p4 h = 5 p4 h.
Parte 10 Matemática Básica 12
Folha 3
A fórmula do binômio de Newton
(p + h)5 = (p + h) (p + h) (p + h) (p + h) (p + h)= (?) p5 + (?) p4 h + (?) p3 h2 + (?) p2 h3 + (?) p h4 + (?) h5
Qual é o coeficiente (?) de p3 h2?Aqui (?) é o número de maneiras de escolher k = 2 fatores para h
entre os n = 5 fatores de (p + h). Logo:
(?) p3 h2 =
(52
)p3 h2 = 10 p3 h2.
Parte 10 Matemática Básica 13
A fórmula do binômio de Newton
(p + h)5 = (p + h) (p + h) (p + h) (p + h) (p + h)= (?) p5 + (?) p4 h + (?) p3 h2 + (?) p2 h3 + (?) p h4 + (?) h5
Qual é o coeficiente (?) de p2 h3?Aqui (?) é o número de maneiras de escolher k = 3 fatores para h
entre os n = 5 fatores de (p + h). Logo:
(?) p2 h3 =
(53
)p2 h3 = 10 p2 h3.
Parte 10 Matemática Básica 14
A fórmula do binômio de Newton
(p + h)5 = (p + h) (p + h) (p + h) (p + h) (p + h)= (?) p5 + (?) p4 h + (?) p3 h2 + (?) p2 h3 + (?) p h4 + (?) h5
Qual é o coeficiente (?) de p h4?Aqui (?) é o número de maneiras de escolher k = 4 fatores para h
entre os n = 5 fatores de (p + h). Logo:
(?) p h4 =
(54
)p h4 = 5 p h4.
Parte 10 Matemática Básica 15
A fórmula do binômio de Newton
(p + h)5 = (p + h) (p + h) (p + h) (p + h) (p + h)= (?) p5 + (?) p4 h + (?) p3 h2 + (?) p2 h3 + (?) p h4 + (?) h5
Moral:
(p + h)5
=(50
)p5 +
(51
)p4 h +
(52
)p3 h2 +
(53
)p2 h3 +
(54
)p h4 +
(55
)h5
=
5∑k=0
(5k
)p5−k hk .
Parte 10 Matemática Básica 16
Folha 4
A fórmula do binômio de Newton
Mais geralmente:
(p + h)n
=(n0
)pn +
(n1
)pn−1 h + · · ·+
(n
n − 1
)p hn−1 +
(nn
)hn
=
n∑k=0
(nk
)pn−k hk .
Esta fórmula também pode ser demonstrada usando-se indução!
Parte 10 Matemática Básica 17
A fórmula do binômio de Newton
Triângulo de Pascal:
Parte 10 Matemática Básica 18
A fórmula do binômio de Newton
Triângulo de Pascal:
Parte 10 Matemática Básica 19
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 20
Folha 5
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 21
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 22
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 23
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 24
Folha 6
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 25
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 26
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 27
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 28
Folha 7
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 29
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 30
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 31
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 32
Folha 8
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 33
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 34
A fórmula do binômio de Newton
Relação de Stifel (Regra de Pascal):
(n − 1k − 1
)+
(n − 1
k
)=
(nk
)
n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n − 2,
Parte 10 Matemática Básica 35
Progressões e séries geométricas
Parte 10 Matemática Básica 36
Folha 9
Progressões e séries geométricasDefinição. Dizemos que uma sequência numérica a1, . . . , an, . . . éuma progressão geométrica (PG) se existe uma constante q ∈ R talque ai+1 = q · ai para todo i = 1, 2, . . .. Neste caso, a constante q édenominada razão da progressão geométrica.
Exemplo 1. Se a1 = 1 e q = 2, então a PG associada é dada por
a1 = 1, a2 = 2 · a1 = 2 · 1 = 2, a3 = 2 · a2 = 2 · 2 = 22, . . .
Exemplo 2. Se a1 = 1 e q = 12 , então a PG associada é dada por
a1 = 1, a2 =12· a1 =
12· 1 =
12, a3 =
12· a2 =
12· 1
2=
(12
)2
, . . .
Exemplo 3. Se a1 = 1 e q = −1, então a PG associada é dada por
a1 = 1, a2 = (−1) · a1 = −1, a3 = (−1) · a2 = (−1)2 = 1, . . .
Parte 10 Matemática Básica 37
Progressões e séries geométricasProposição 1. Considere uma PG a1, a2, . . . , an, . . . de razão q.Então:
ai = a1 · qi−1, para todo i = 1, 2, . . . .
Prova. Use indução.
Proposição 2. Considere uma PG a1, a2, . . . , an, . . . de razão q �= 1.Então:
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an = a1 + a1 · q + · · ·+ a1 · qn−1 = a1 · 1 − qn
1 − q.
Prova. Seja Sn = a1 + a2 + · · ·+ an. Note que
q · Sn = q · a1 + q · a2 + · · ·+ q · an = a2 + a3 + · · ·+ an+1.
Logo, Sn − q ·Sn = a1 − an+1 = a1 − a1 · qn. Portanto, (1− q) ·Sn =a1 · (1 − qn), de modo que Sn = a1 · (1 − qn)/(1 − q).
Parte 10 Matemática Básica 38
Progressões e séries geométricasProposição 3. Considere uma PG a1, a2, . . . , an, . . . de razão q = 1.Então:
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an = a1 · n.
Prova. Evidente.
Proposição 4. Seja q um número real tal que −1 < q < +1, então
qn → 0 quando n → +∞e, em particular,
Sn =n−1∑i=0
a1 qi = a1 + · · ·+ a1 · qn−1 → a1
1 − qquando n → +∞.
Escrevemos então∞∑
i=0
a1 qi =a1
1 − q(série geométrica convergente).
Prova. Intuitiva. A prova formal será feita em Análise Real.
Parte 10 Matemática Básica 39
Progressões e séries geométricas
1 +12+
(12
)2
+ · · · =∞∑
i=0
(12
)i
=1
1 − 1/2= 2.
Se − 1 < x < + 1, então: 1 + x + x2 + · · · =∞∑
i=0
xi =1
1 − x.
Se − 3 < x < + 3, então:∞∑
i=0
(x3
)i=
11 − x/3
=3
3 − x.
Parte 10 Matemática Básica 40
Folha 10
Progressões e séries geométricas
Se − 1 <3x< +1, isto é, se x < −3 ou x > +3, então
∞∑i=1
(x3
)−i=
∞∑i=1
(3x
)i
=3/x
1 − 3/x=
3x − 3
.
Pode-se demonstrar que uma PG a1, a2, . . . , an, . . . de razão q coma1 �= 0 é tal que Sn =
∑n−1i=0 a1 · qi “tem limite” se, e somente se,
−1 < q < +1.
Parte 10 Matemática Básica 41
O problema dos peixes voadores
Parte 10 Matemática Básica 42
Problema formulado originalmente porJohn Conway.
Adaptação do contexto sugerida porCarlos Tomei.
Parte 10 Matemática Básica 43
O cenário
0 0
Parte 10 Matemática Básica 44
Folha 11
Colocando um peixe no nível 1
0
1
0
1
Parte 10 Matemática Básica 45
Colocando um peixe no nível 2
0
1
2
0
1
2
Parte 10 Matemática Básica 46
Colocando um peixe no nível 3
0
1
2
3
0
1
2
3
Parte 10 Matemática Básica 47
Colocando um peixe no nível 4
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Parte 10 Matemática Básica 48
Folha 12
Colocando um peixe no nível 5
0
1
2
3
4
5
Parte 10 Matemática Básica 49
Colocando um peixe no nível 5: não é possível!
0
1
2
3
4
5
Parte 10 Matemática Básica 50
Como provar?
0
1
2
3
4
5
Parte 10 Matemática Básica 51
Definindo uma grade de energia
0
1
2
3
4
5x0
0
1
2
3
4
5
Parte 10 Matemática Básica 52
Folha 13
A energia deste peixe é x5
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
x14 x13 x11 x12x12 x14x13
Parte 10 Matemática Básica 53
A energia deste cardume é x5 + x6 + x7
0
1
2
3
4
5x0x1x2x3 x1 x2 x3
x4 x3 x1 x2x2 x4x3
x5 x4 x2 x3x3 x5x4
x6 x5 x3 x4x4 x6x5
x7 x6 x4 x5x5 x7x6
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
x14 x13 x11 x12x12 x14x13
Parte 10 Matemática Básica 54
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn − xn+1 − xn+2
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn+2 − xn+1 − xn
1 − x − x2 = 0 ⇒ x =−1 −√
52
ou x =−1 +
√5
2.
Parte 10 Matemática Básica 55
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1 − x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1 − x − x2 = 0 ⇒ x =−1 −√
52
ou x =−1 +
√5
2.
Parte 10 Matemática Básica 56
Folha 14
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1 − x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1 − x − x2 = 0 ⇒ x =−1 −√
52
ou x =−1 +
√5
2.
Parte 10 Matemática Básica 57
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1 − x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1 − x − x2 = 0 ⇒ x =−1 −√
52
ou x =−1 +
√5
2.
Parte 10 Matemática Básica 58
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1 − x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
1 − x − x2 = 0 ⇒ x =−1 −√
52
ou x =−1 +
√5
2.
Parte 10 Matemática Básica 59
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1 − x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
x =−1 +
√5
2é > 0 e < 1.
Parte 10 Matemática Básica 60
Folha 15
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1 − x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(1 − x − x2) = 0
Parte 10 Matemática Básica 61
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1 − x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
−xn < 0
Parte 10 Matemática Básica 62
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1 − x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(x2 − x − 1)= xn(1 − x − x − 1)= −2 xn+1 < 0
Parte 10 Matemática Básica 63
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1 − x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(x2 − x − 1)= xn(1 − x − x − 1)= −2 xn+1 < 0
Parte 10 Matemática Básica 64
Folha 16
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1 − x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
xn(x2 − x − 1)= xn(1 − x − x − 1)= −2 xn+1 < 0
Parte 10 Matemática Básica 65
Como devemos escolher o valor de x?
Antes Depois Diferença de Energia
xn+2 xn+1 xn
xn(1 − x − x2)
xn+1 xn xn+1
−xn
xn xn+1 xn+2
xn(x2 − x − 1)
Moral: em cada jogada, a energia de um cardume nunca aumenta!
Parte 10 Matemática Básica 66
Qual é a energia de todo o oceano?
0
1
2
3
4
5
x8 x7 x5 x6x6 x8x7
x9 x8 x6 x7x7 x9x8
x10 x9 x7 x8x8 x10x9
x11 x10 x8 x9x9 x11x10
x12 x11 x9 x10x10 x12x11
x13 x12 x10 x11x11 x13x12
x14 x13 x11 x12x12 x14x13
Parte 10 Matemática Básica 67
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 + x6 + x7 + · · ·+
2 ·(
x6 + x7 + x8 + · · ·)
+
2 ·(
x7 + x8 + x9 + · · ·)
+
...
Parte 10 Matemática Básica 68
Folha 17
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 ·(
1 + x + x2 + · · ·)
+
2 x6 ·(
1 + x + x2 + · · ·)
+
2 x7 ·(
1 + x + x2 + · · ·)
+
...
Parte 10 Matemática Básica 69
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11 − x+
2 x6 · 11 − x+
2 x7 · 11 − x+
...
Parte 10 Matemática Básica 70
Qual é a energia de todo o oceano?
x5 · 11 − x
+ 2 x6 · 11 − x
+ 2 x7 · 11 − x
+ · · ·
=
x5
1 − x+
2 x6
1 − x· (1 + x + x2 + · · · )
=
x5
1 − x+
2 x6
1 − x· 1
1 − x
=
x5
x2 +2 x6
x2 · 1x2
=
x3 + 2 x2
Parte 10 Matemática Básica 71
Qual é a energia de todo o oceano?
x3 + 2 x2
=
x · x2 + 2 x2
=
x(1 − x) + 2 x2
=
x − x2 + 2 x2
=
x + x2
=
x + 1 − x
=
1
Parte 10 Matemática Básica 72
Folha 18
Não é possível colocar um peixe no nível 5!
0
1
2
3
4
5x0
Parte 10 Matemática Básica 73
Referência:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/checker.shtml
Parte 10 Matemática Básica 74
Folha 19