Funções exponenciais e logarítmicas - professores.uff.br · Funções exponenciais e...

Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 07

Parte 7 Matemática Básica 1

Funções exponenciais e logarítmicas


ObservaçõesNosso enfoque aqui será mais do pontos de vista operacional doque conceitual.

Uma construção conceitual das funções exponencial e logarítmicarequer ferramentas de cálculo diferencial e integral.

Para o leitor interessado em uma abordagem mais conceitual,indicamos as referências a seguir.


A função exponencial

y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.

(1) Vale que f (0) = a0 = 1, para todo a > 0. Temos também que

f (x) = ax > 0 para todo a > 0 e x ∈ R.

(2) Vale que f (p + q) = ap+q = ap · aq = f (p) · f (q).

(3) Vale que f (x + h)/f (x) = ax+h/ax = ah não depende de x ,

apenas de h.

(4) Vale que f é crescente para a > 1 e decrescente para 0 <

a < 1.



y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.

y = f (x) = ax é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1.



y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.

É importante saber os gráficos das funções exponenciais!



y = f (x) = ax , com a > 0 e x ∈ R.

Uma função exponencial especial: y = ex , com e = 2.718281 . . ..


Motivação: dívida de R$ 1.00 a 100% ao ano� Valor do dinheiro considerando 1 período de 12 meses:

1 + 1 = 2.

� Valor do dinheiro considerando 2 períodos de 6 meses:

(1 +

12

)+

12

(1 +

12

)=

(1 +

12

)2

= 2.25.

� Valor do dinheiro considerando 3 períodos de 4 meses:

(1 +

13

)+

13

(1 +

13

)+

13

((1 +

13

)+

13

(1 +

13

))=

(1 +

13

)3

= 2.370.

� Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(1 +

1n

)n

.


Motivação: empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano� Valor do dinheiro considerando n períodos de 12/n meses:(

1 +1n

)n

.

� Moral: como limn→+∞ (1 + 1/n)n = e = 2.718281828459045235 . . ., o valor justodo pagamento um empréstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano após 1 ano deveriaser de e = 2.718281828459045235 . . . reais.

� Em Cálculo I -A- você aprenderá que

ex = limn→+∞

(1 +

xn

)n

e que

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · · =

∞∑i=0

xi

i!.


Cuidado: função exponencial �= função potência

Cuidado:função exponencial �= função potência!

Função exponencial: y = constantex .

Função potência: y = xconstante.

y = xx não é uma função exponencial e nem uma funçãopotência!


A função logarítmicaf : R → ]0,+∞[

x �→ y = f (x) = ax , com a ∈]0,+∞[−{1}

� A função f : R →]0,+∞[ é injetiva (pois é crescente se a > 1 e decrescentese 0 < a < 1).

� A função f : R →]0,+∞[ é sobrejetiva (a prova deste fato requerferramentas de análise).

� Logo f : ]0,+∞[→ R é bijetiva e, portanto, inversível.

� A função inversa f−1 de f é denominada função logarítmica de base a.Usaremos a notação

loga(x)

para representarf−1(x).

� Note então que, se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que aelevado a esse número dá o número real x .


Observações

Note que

loga(ax) = x , para todo x ∈ R

ealoga(x) = x , para todo x ∈ ]0,+∞[.

Se a = e = 2.718281828459045235 . . ., então é usual escrever

ln(x) para representar loge(x).

Assim, ln(ex) = x para todo x ∈ R e eln(x) = x para todo x > 0.


A função logarítmica: propriedades

y = f (x) = loga(x) com a > 0, a �= 1 e x ∈]0,+∞[.

É importante saber os gráficos das funções logarítmicas!


A função logarítmica

Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .

Propriedade:loga(1) = 0 e loga(a) = 1, para todo a > 0 e a �= 1.

De fato: loga(1) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá 1: aloga(1) = 1. Como a0 também é igual a 1, segue-se queloga(1) = 0.

De fato: loga(a) é o único número real tal que a elevado a este nú-mero dá a: aloga(a) = a. Como a1 também é igual a a, segue-se queloga(a) = 1.



Se x > 0, então loga(x) é o único número real tal que a elevado aesse número dá o número real x .

Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p · q) = loga(p) + loga(q).

De fato: loga(p · q) é o único número real tal que a elevado a estenúmero dá p · q: aloga(p·q) = p · q. Agora:

aloga(p)+loga(q) = aloga(p) · aloga(q) = p · q.

Logo, loga(p · q) = loga(p) + loga(q).



Fica como exercício demonstrar as propriedades a seguir.

Propriedade:Se p > 0 e r ∈ R, então loga(p

r ) = r · loga(p).

Propriedade:Se p > 0 e q > 0, então loga(p/q) = loga(p)− loga(q).

Propriedade:Se x > 0, a > 0, b > 0, a �= 1 e b �= 1, então

loga(x) = logb(x)/ logb(a).


Habilidade fundamental: mudar para base “e”

xx = eln(xx ) = ex ·ln(x)

(1 + sen(4 x))cotg(x) = eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

2x = eln(2x ) = ex ·ln(2)

x2 = eln(x2) = e2·ln(x) (para x > 0)


Funções potência, logarítmica e afimy = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)

�ln(y) = ln(C · xa)

�ln(y) = ln(C) + ln(xa)

�ln(y) = ln(C) + a · ln(x)

Fazendo y = ln(y) e x = ln(x), vemos que:

y = C · xa, com C > 0, x > 0 e a ∈ R (função potência)�

y = ln(C) + a · x (função afim)

Em escala logarítmica, funções potência são funções afins!


Aplicação: Leis de Potência


A Lei de Zipf

http://www.uff.br/cdme/desktop/lpp/lpp-br.html


A Lei de Zipf: “Dom Casmurro” de Machado de Assis(A)

Posição (x) Frequência (y) Palavra1 2684 que2 2490 a3 2186 e4 1970 de5 1671 o6 1531 não...

......

26 341 Capitu...

......

141 56 Bentinho...

......

9262 1 zanguei9263 1 zás9264 1 zeloso

(B)x = log(x) y = log(y) Palavra0,00000. . . 3,42878. . . que0,30103. . . 3,39619. . . a0,47712. . . 3,33965. . . e0,60205. . . 3,29446. . . de0,69897. . . 3,22297. . . o0,77815. . . 3,18497. . . não

......

...

1,41497. . . 2,53275. . . Capitu...

......

2,14921. . . 1,74818. . . Bentinho...

......

3,96670. . . 0,00000. . . zanguei3,96675. . . 0,00000. . . zás3,96679. . . 0,00000. . . zeloso

Frequência das palavras em “Dom Casmurro” de Machado de Assis.


A Lei de Zipf: “Dom Casmurro” de Machado de Assis

y = 3,837 − 1,005 x ⇒ ln(y) = 3,837 − 1,005 ln(x) ⇒ y = 6870,684 x−1,005


A Lei de Zipf: “Romeo and Juliet” de Shakespeare(A)

Posição (x) Frequência (y) Palavra1 708 and2 688 the3 586 I4 540 to5 464 a6 396 of...

......

11 296 Romeo...

......

22 178 Juliet...

......

3781 1 yoke3782 1 yon3783 1 youngest

(B)x = log(x) y = log(y) Palavra0,00000. . . 2,85003. . . and0,30103. . . 2,83758. . . the0,47712. . . 2,76789. . . I0,60205. . . 2,73239. . . to0,69897. . . 2,66651. . . a0,77815. . . 2,59769. . . of

......

...

1,04139. . . 2,47129. . . Romeo...

......

1,34242. . . 2,25042. . . Juliet...

......

3,57760. . . 0,00000. . . yoke3,57772. . . 0,00000. . . yon3,57783. . . 0,00000. . . youngest

Frequência das palavras em “Romeo and Juliet” de William Shakespeare


A Lei de Zipf: “Romeo and Juliet” de Shakespeare

y = 3,674 − 1,070 x ⇒ ln(y) = 3,674 − 1,070 ln(x) ⇒ y = 4726,348 x−1,070


Leis de Potência


Leis de Potência


Voos de Levy


Voos de Levy


Voos de Levy


Leis de Potência

Cuidado: alguns fernômenos são, outros não são descritos por uma lei de potência!

Clauset, Shalizi and Newman: Power-Law Distributions in Empirical Data.SIAM Review, Vol. 51, No. 4, pp. 661-703, 2009.


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