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1
Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Lucas Dantas de Oliveira
201848
A HIPÓTESE DE RIEMANN
Campinas
27 de Setembro de 2017
2
Sumário
Introdução.................................................................................... Página 3
A Função Zeta............................................................................. Página 4
A Função Gama.......................................................................... Página 6
A Representação de Gauss........................................................ Página 6
A Função Gama e a Trigonometria ............................................ Página 7
Função Beta................................................................................ Página 8
Fórmula de Duplicação de Legendre.......................................... Página 9
Equação Funcional de Riemann................................................ Página 11
Hipótese de Riemann................................................................. Página 13
Conclusão .................................................................................. Página 15
Referências Bibliográficas.......................................................... Página 16
3
Introdução:
Um dos problemas mais famosos da atualidade ainda não resolvido é a
Hipótese de Riemann a qual relaciona a função zeta aos números primos. Sua
aplicação ultrapassa a teoria dos números, chegando à análise matemática e física
teórica por exemplo. O problema ganhou destaque em 1900 quando David Hilbert o
colocou numa lista de 23 problemas os quais acreditava que moldaria a matemática do
século XX.
A Hipótese de Riemann pode ser reformulada em diversas maneiras. A mais
famosa é que os zeros não triviais da função zeta são números complexos com parte
real igual a meio. A sua importância e aplicação na teoria dos números não é algo fácil
de ser entendido apesar de a função zeta ser uma série fácil de ser entendida. Foi
calculado computacionalmente que os primeiros 10 trilhões de zeros de tal função tem
essa propriedade, porém não é suficiente para a prova. Após a resolução do Ultimo
Teorema de Fermat, a Hipótese de Riemann se tornou o problema mais famoso ainda
não resolvido.
4
A Função Zeta
A Função Zeta é definida por:
𝜁(𝑠) =∑1
𝑘𝑠
∞
1
Para 𝑠 ∈ ℂ, ℜ(𝑠) ≠ 1.
A série acima somente converge para valores de 𝑠 > 1 quando
pensamos nos números reais. Mas no plano complexo a função só não está
definida para ℜ(𝑠) = 1.
Euler foi o primeiro a colocar essa série em destaque, porém apenas
para os números reais. Ele calculou o valor para o qual a série converge para
𝑠 = 2, 3, … , 16.
Para o cálculo de 𝜁(2), primeiro ele sabia que a função seno pode ser
reescrita como a série:
sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3
3!+𝑥5
5!− ⋯
sin 𝑥
𝑥= 1 −
𝑥2
3!+𝑥4
5!− ⋯(I)
Note que a função sin 𝑥 𝑥⁄ é pi-periódica e seus zeros são os números
da forma 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, 𝑘 ≠ 0. Logo a função pode ser reescrita como o produto:
sin 𝑥
𝑥= (1 −
𝑥
𝜋) (1 +
𝑥
𝜋) (1 −
𝑥
2𝜋) (1 +
𝑥
2𝜋)…
sin 𝑥
𝑥= (1 −
𝑥2
𝜋2)(1 −
𝑥2
(2𝜋)2)(1 −
𝑥2
(3𝜋)2)…
Calculando a multiplicação você encontra algo do tipo:
sin 𝑥
𝑥= 1 − x2 (∑
1
(𝑘𝜋)2
∞
1) + ⋯(II)
Comparando (𝐼) e (𝐼𝐼) obtemos:
1
𝜋2∑
1
𝑘2
∞
1=1
6
Com isso podemos concluir que:
𝜁(2) =∑1
𝑘2=𝜋2
6
∞
1
5
Apesar de encontrar esses resultados, a principal contribuição dele no estudo
da função Zeta é a Fórmula do Produto de Euler. Fazendo algumas
manipulações algébricas, obtemos que:
𝜁(𝑠) =1
1𝑠+1
2𝑠+1
3𝑠+1
4𝑠+⋯
1
2𝑠𝜁(𝑠) =
1
2𝑠+1
4𝑠+1
6𝑠+1
8𝑠+⋯
𝜁(𝑠) −1
2𝑠𝜁(𝑠) = (1 −
1
2𝑠) 𝜁(𝑠) =
1
1𝑠+1
3𝑠+1
5𝑠+1
7𝑠+⋯
Fazendo o procedimento para o próximo número primo, obtemos:
(1 −1
2𝑠) 𝜁(𝑠) −
1
3𝑠(1 −
1
2𝑠) 𝜁(𝑠) =
(1 −1
3𝑠) (1 −
1
2𝑠) 𝜁(𝑠) =
1
1𝑠+1
5𝑠+1
7𝑠+⋯
Assim, podemos obter recursivamente que fazendo tal procedimento para
todos os primos, obtemos:
𝜁(𝑠) (1 −1
2𝑠) (1 −
1
3𝑠)… = 1
𝜁(𝑠) =1
(1 −12𝑠) (1 −
13𝑠)…
Seja 𝑝𝑖 o i-ésimo número primo, com isso a função Zeta pode ser reescrita
como:
𝜁(𝑠) =∏(1 −1
𝑝𝑖𝑠)
−1
, ∀ 𝑠 ℂ / ℜ(𝑠) > 1
𝑖=1
Esse resultado já mostra que há alguma relação entre os números primos e a
função Zeta.
Observe que a função zeta é definida a partir de uma p-série, para
qualquer valor de ℜ(𝑠) ≤ 1 faria com que a série divergisse. A Função Zeta de
Riemann é a expansão analítica desta série para todo o plano complexo exceto
para o ponto 𝑠 = 1. Para tal feito escreva:
𝜂(𝑠) = ∑(−1)𝑘+1
𝑘𝑠
∞
𝑘=1
6
A função 𝜂(𝑠) converge para todo 𝑠 > 0
𝜁(𝑠) − 𝜂(𝑠) = 2∑1
(2𝑘)𝑠= 21−𝑠𝜁(𝑠)
∞
𝑘=1
𝜁(𝑠) = 𝜂(𝑠)
1 − 21−𝑠
Agora a função Zeta está definida para 0 < ℜ(𝑠) < 1.
A Função Gama
A Função Gama é a extensão analítica da função vetorial para os complexos.
Para isso ela tem que seguir a propriedade que:
𝛤(𝑠 + 1) = 𝑠𝛤(𝑠), 𝛤(1) = 0! = 1
Pois se s for um inteiro positivo então recursivamente teríamos que 𝛤(𝑠 + 1) =
𝑠!
Para encontrar essa função, primeiro note que:
∫ 𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥 =0!
𝑡
∞
0
=1
𝑡
∫ 𝑥𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥 =1!
𝑡2
∞
0
=1
𝑡2
⋮
∫ 𝑥𝑠𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥 =𝑠!
𝑡𝑠+1
∞
0
Quando 𝑡 = 1 e 𝑠 é um inteiro positivo
∫ 𝑥𝑠𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 𝑠!∞
0
Com isso fica definido que Para 𝑠 ∈ ℂ, ℜ(𝑠) > 0
𝛤(𝑠) = ∫ 𝑥𝑠−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞
0
A Representação de Gauss
Sabemos que 𝑒−𝑥 = lim𝑛→∞
(1 −𝑥
𝑛)𝑛
, então:
7
𝛤(𝑠) = ∫ 𝑥𝑠−1 lim𝑛→∞
(1 −𝑥
𝑛)𝑛
𝑑𝑥∞
0
𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞
∫ 𝑥𝑠−1 (1 −𝑥
𝑛)𝑛
𝑑𝑥𝑛
0
Integrando por partes obtemos:
𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞
[1
𝑠𝑥𝑠 (1 −
𝑥
𝑛)𝑛
]0
𝑛
−∫1
𝑠𝑥𝑠𝑛 (−
1
𝑛) (1 −
𝑥
𝑛)𝑛−1
𝑑𝑥𝑛
0
𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞
𝑛
𝑠 𝑛∫ 𝑥𝑠 (1 −
𝑥
𝑛)𝑛−1
𝑑𝑥𝑛
0
Recursivamente, conseguimos chegar a:
𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞
𝑛
𝑠 𝑛∫ 𝑥𝑠 (1 −
𝑥
𝑛)𝑛−1
𝑑𝑥𝑛
0
⋮
𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞
𝑛
𝑠. 𝑛. 𝑛 − 1
(𝑠 + 1)𝑛. 𝑛 − 2
(𝑠 + 2)𝑛…
1
(𝑠 + 𝑛 − 1)𝑛∫ 𝑥𝑠+𝑛−1𝑑𝑥𝑛
0
𝛤(𝑠) = lim 𝑛→∞
𝑛
𝑠. 𝑛. 𝑛 − 1
(𝑠 + 1)𝑛. 𝑛 − 2
(𝑠 + 2)𝑛…
1
(𝑠 + 𝑛 − 1)𝑛. [𝑥𝑠+𝑛
(𝑠 + 𝑛)]0
𝑛
𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞
(𝑛𝑠
𝑠∏
𝑖
(𝑠 + 𝑖)
𝑛
𝑖=1
)
A Função Gama e a Trigonometria
Fazemos uma pequena manipulação algébrica no produto e chegamos a:
𝛤(𝑠) = lim𝑛→∞
(𝑛𝑠
𝑠∏
1
(𝑠 𝑖⁄ + 1)
𝑛
𝑖=1
)
Com isso ao aplicamos a função Gama em −𝑠
𝛤(−𝑠) = lim𝑛→∞
(−𝑛−𝑠
𝑠∏
1
(−𝑠 𝑖⁄ + 1)
𝑛
𝑖=1
)
O produto destes dois resultados nos oferece:
𝛤(𝑠)𝛤(−𝑠) = lim𝑛→∞
(−1
𝑠2∏
1
1− (𝑠𝑖)2
𝑛
𝑖=1
)
8
𝛤(𝑠)(−𝑠)𝛤(−𝑠) = lim𝑛→∞
(1
𝑠∏
1
1 − (𝑠𝑖)2
𝑛
𝑖=1
)
Pela definição inicial da função Gama, chegamos a:
𝛤(𝑠)𝛤(1 − 𝑠) = lim𝑛→∞
(1
𝑠∏
1
1 − (𝑠𝑖)2
𝑛
𝑖=1
)
Nós vimos que
sin 𝑥
𝑥= (1 −
𝑥2
𝜋2)(1 −
𝑥2
(2𝜋)2)(1 −
𝑥2
(3𝜋)2)… =∏[1 − (
𝑥
𝑖𝜋)2
]
∞
𝑖=1
Seja 𝑥 = 𝜋𝑠:
sin(𝜋𝑠)
𝜋𝑠=∏[1 − (
𝑠
𝑖)2
]
∞
𝑖=1
A Partir disso concluímos:
𝛤(𝑠)𝛤(1 − 𝑠) =1
𝑠∏
1
1 − (𝑠𝑖)2
∞
𝑖=1
=𝜋
sin(𝜋𝑠)
E, portanto:
𝛤(𝑠)𝛤(1 − 𝑠) =𝜋
sin(𝜋𝑠)
Função Beta
Esta função é útil em Cálculo, Análise e Estatística. No nosso caso vamos
defini-la para ajudar a provar outras coisas. O produto de Funções Gama em
dois pontos nos oferece:
𝛤(𝑠1)𝛤(𝑠2) = ∫ 𝑥𝑠1−1𝑒−𝑥𝑑𝑥 .∫ 𝑦𝑠2−1𝑒−𝑦𝑑𝑦∞
0
∞
0
Substituindo os valores obtemos:
𝑥 = 𝑢2 ⟹ 𝑑𝑥 = 2𝑢𝑑𝑢
𝑦 = 𝑣2 ⟹ 𝑑𝑦 = 2𝑣𝑑𝑣
9
4∫ 𝑢2𝑠1−1𝑒−𝑢2𝑑𝑢
∞
0
. ∫ 𝑣2𝑠2−1𝑒−𝑣2𝑑𝑣
∞
0
Como os valores independem entre si nas integrais, podemos juntá-las numa
integral dupla:
4∫ ∫ 𝑢2𝑠1−1𝑣2𝑠2−1∞
0
∞
0
𝑒−(𝑢2+𝑣2)𝑑𝑢 𝑑𝑣
Fazemos a substituição por coordenadas polar:
𝑢 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑑𝑢𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟
4∫ (∫ (cos 𝜃)2𝑠2−1(sin 𝜃) 2𝑠1−1 𝑑𝜃
𝜋2
0
) 𝑟2𝑠1+2𝑠2−2𝑒−𝑟2𝑟𝑑𝑟
∞
0
Separamos as integrais e depois fazemos as substituições indicadas:
∫ (𝑟2)𝑠1+𝑠2−1𝑒−𝑟22𝑟𝑑𝑟 .2∫ (cos2 𝜃)𝑠2−1(sin2 𝜃) 𝑠1−1 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃
𝜋2
0
∞
0
𝑟2 = 𝑣 ⟹ 2𝑟𝑑𝑟 = 𝑑𝑣
∫ (𝑣)𝑠1+𝑠2−1𝑒−𝑢𝑑𝑣 .2∫ (cos2 𝜃)𝑠2−1(sin2 𝜃) 𝑠1−1 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃
𝜋2
0
∞
0
Observe que a primeira integral é a função Gama aplicada no ponto 𝑠1 + 𝑠2:
𝛤(𝑠1)𝛤(𝑠2) = 𝛤(𝑠1 + 𝑠2)∫ (cos2 𝜃)𝑠2−1(sin2 𝜃) 𝑠1−1 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃
𝜋2
0
𝑢 = sin2 𝜃 ⟹𝑑𝑢 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃
Segue então a definição da Função Beta:
𝐵(𝑠1, 𝑠2) =𝛤(𝑠1)𝛤(𝑠2)
𝛤(𝑠1 + 𝑠2)= ∫ (𝑢)𝑠2−1(1 − 𝑢)𝑠1−1𝑑𝑢
1
0
Fórmula de Duplicação de Legendre
Aplicando a Função Beta em dois pontos coincidentes, obtemos:
𝐵(𝑠, 𝑠) =𝛤(𝑠)𝛤(𝑠)
𝛤(2𝑠)= ∫ (𝑢)𝑠−1(1 − 𝑢)𝑠−1𝑑𝑢
1
0
10
Substituímos:
𝑢 =1 + 𝑥
2 ⟹ 𝑑𝑢 =
1
2𝑑𝑥
𝛤(𝑠)𝛤(𝑠)
𝛤(2𝑠)=1
2∫ (
1 + 𝑥
2)𝑠−1
(1 − 𝑥
2)𝑠−1
𝑑𝑥1
−1
𝛤(𝑠)𝛤(𝑠)
𝛤(2𝑠)= ∫
1
22𝑠−1(1 − 𝑥2)𝑠−1𝑑𝑥
1
−1
22𝑠−1𝛤(𝑠)𝛤(𝑠) = 𝛤(2𝑠)∫ (1 − 𝑥2)𝑠−1𝑑𝑥1
−1
Como a função (1 − 𝑥2)𝑠−1 é uma função par então podemos trocar o intervalo
de integração, obtendo:
22𝑠−1𝛤(𝑠)𝛤(𝑠) = 𝛤(2𝑠). 2∫ (1 − 𝑥2)𝑠−1𝑑𝑥1
0
Observe que ao aplicar a Função Beta em 1
2 e 𝑠, a função toma a forma de:
𝐵 (1
2, 𝑠) = 2∫ (1 − 𝑥2)𝑠−1𝑑𝑥
1
0
Que aparece na equação anterior a esta. Substituindo, obtemos:
22𝑠−1𝛤(𝑠)𝛤(𝑠) = 𝛤(2𝑠)𝐵 (1
2, 𝑠)
Substituímos a função Beta pela fórmula que obtém as funções Gama:
22𝑠−1𝛤(𝑠)𝛤(𝑠) = 𝛤(2𝑠).𝛤 (12) 𝛤
(𝑠)
𝛤 (𝑠 +12)
Isolamos o 𝛤(2𝑠) obtemos a Fórmula de Duplicação de Legendre:
𝛤(2𝑠) =22𝑠−1
√𝜋 𝛤(𝑠) 𝛤 (𝑠 +
1
2)
11
Equação Funcional de Riemann
Chamaremos 𝜋−𝑠
2𝛤 (𝑠
2) 𝜁(𝑠) de 𝜉(𝑠). Sabemos que:
𝛤 (𝑠
2) = ∫ 𝑡
𝑠2−1𝑒−𝑡𝑑𝑡
∞
0
Ao substituirmos 𝑡 por 𝜋𝑛2𝑥, obtemos:
𝛤 (𝑠
2) = ∫ 𝜋
𝑠2 𝑛𝑠𝑥
𝑠2−1𝑒−𝜋𝑛
2𝑥𝑑𝑥∞
0
Tirando da integral o que não é variável e ajeitando a equação, obtemos:
𝜋−𝑠2⁄ 𝛤 (
𝑠
2)1
𝑛𝑠 = ∫ 𝑥
𝑠2−1𝑒−𝜋𝑛
2𝑥𝑑𝑥∞
0
Fazendo a soma de todos os n de 1 a infinito obtemos:
𝜋−𝑠2⁄ 𝛤 (
𝑠
2)∑
1
𝑛𝑠
∞
1
= ∫ 𝑥𝑠2−1∑𝑒−𝜋𝑛
2𝑥
∞
𝑛=1
𝑑𝑥∞
0
Com isso obtemos:
𝜉(𝑠): = 𝜋−𝑠2⁄ 𝛤 (
𝑠
2) 𝜁(𝑠) = ∫ 𝑥
𝑠2−1∑𝑒−𝜋𝑛
2𝑥
∞
𝑛=1
𝑑𝑥∞
0
Introduziremos duas nova funções, a 𝜗(𝑥), a Teta de Jacobi e 𝜓(𝑥), a Função
Psi que é a derivada logarítmica da função gama, ou seja: 𝜓(𝑥) = 𝛤′(𝑠) 𝛤(𝑠)⁄ ,
mas não vamos nos aprofundar nessas funções aqui.
𝜗(𝑥) =∑𝑒−𝜋𝑛2𝑥 = 1 +
𝑛𝜖ℤ
2∑ 𝑒−𝜋𝑛2𝑥
∞
𝑛=1
= 1 + 2𝜓(𝑥)
𝜋−𝑠2⁄ 𝛤 (
𝑠
2) 𝜁(𝑠) = ∫ 𝑥
𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
= ∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
+∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥
1
0
(𝐼𝐼𝐼)
A Função Teta de Jacobi possui a seguinte propriedade (que não será
demonstrada por usar ferramentas sofisticadas da analise complexa) :
𝜗(𝑥) =1
√𝑥𝜗 (1
𝑥) ⟹ 2𝜓(𝑥) + 1 =
1
√𝑥(2𝜓 (
1
𝑥) + 1 )
𝜓(𝑥) =1
√𝑥𝜓 (
1
𝑥) +
1
2√𝑥−1
2
A partir disso vamos resolver:
12
∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥
1
0
=
∫ 𝑥𝑠2−1 (
1
√𝑥𝜓 (
1
𝑥) +
1
2√𝑥−1
2)𝑑𝑥
1
0
=
∫ 𝑥𝑠2−32𝜓(
1
𝑥) 𝑑𝑥 + ∫
1
2(𝑥
𝑠2−32 − 𝑥
𝑠2−1)
1
0
𝑑𝑥 =1
0
∫ 𝑥𝑠2−32𝜓(
1
𝑥) 𝑑𝑥 +
1
𝑠(𝑠 − 1)
1
0
=
Fazemos a substituição de 𝑥 =1
𝑥 ⟹ 𝑑𝑥 = −
1
𝑥2𝑑𝑥. Com isso, temos:
−∫ (1
𝑥)
𝑠2−32𝜓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑥2+
1
𝑠(𝑠 − 1)
1
∞
=
∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥
1
0
= ∫ (1
𝑥)
𝑠2−32𝜓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑥2+
1
𝑠(𝑠 − 1)
∞
1
(𝐼𝑉)
Por (III) e (IV) obtemos:
∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
= ∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
+∫ (1
𝑥)
𝑠2−12𝜓(𝑥)𝑑𝑥 +
1
𝑠(𝑠 − 1)
∞
1
∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
= ∫ (𝑥𝑠2−1 + 𝑥−
𝑠2−12)𝜓(𝑥)𝑑𝑥
∞
1
+1
𝑠(𝑠 − 1)
∫ 𝑥𝑠2−1𝜓(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
= ∫ (𝑥𝑠2 + 𝑥
1−𝑠2 )
𝜓(𝑥)
𝑥𝑑𝑥
∞
1
−1
𝑠(1 − 𝑠)
Ou seja:
𝜋−𝑠2𝛤 (
𝑠
2) 𝜁(𝑠) = ∫ (𝑥
𝑠2 + 𝑥
1−𝑠2 )
𝜓(𝑥)
𝑥𝑑𝑥
∞
1
−1
𝑠(1 − 𝑠)
Note que ao substituir 𝑠 por 1 − 𝑠 obtemos:
𝜋−1−𝑠2 𝛤 (
1 − 𝑠
2) 𝜁(1 − 𝑠) = ∫ (𝑥
1−𝑠2 + 𝑥
𝑠2)𝜓(𝑥)
𝑥𝑑𝑥
∞
1
−1
(1 − 𝑠)𝑠
Ou seja, continuamos tendo a mesma coisa com isso obtém que:
𝜋−1−𝑠2 𝛤 (
1 − 𝑠
2) 𝜁(1 − 𝑠) = 𝜋−
𝑠2𝛤 (
𝑠
2) 𝜁(𝑠)
𝜉(𝑠) = 𝜉(1 − 𝑠)
13
Isso mostra que existe uma simetria de 𝜉(𝑠) no eixo 𝑠 =1
2.
A partir disto temos
𝜉 (1
2+ 𝑖𝑡) = 𝜉 (
1
2− 𝑖𝑡)
Aplicando a Fórmula de Duplicação de Legendre no ponto 𝑠
2 obtemos:
𝛤(𝑠) =2𝑠−1
√𝜋 𝛤 (
𝑠
2) 𝛤 (
𝑠 + 1
2)
Na expressão 𝛤(𝑠)𝛤(1 − 𝑠) =𝜋
sin(𝜋𝑠) , vemos que para
𝑠+1
2, temos:
𝛤 (𝑠 + 1
2)𝛤 (1 −
𝑠 + 1
2) =
𝜋
sin (𝜋𝑠2 +
𝜋2)
𝛤 (𝑠 + 1
2)𝛤 (
1 − 𝑠
2) =
𝜋
cos (𝜋𝑠2 )
Como 𝜉(𝑠) = 𝜉(1 − 𝑠) ⟹ 𝛤 (𝑠+1
2) 𝜉(𝑠) = 𝛤 (
𝑠+1
2) 𝜉(1 − 𝑠), logo:
𝜋−1−𝑠2 𝛤 (
𝑠 + 1
2)𝛤 (
1 − 𝑠
2) 𝜁(1 − 𝑠) = 𝜋−
𝑠2𝛤 (
𝑠 + 1
2)𝛤 (
𝑠
2) 𝜁(𝑠)
Substituindo 𝛤 (𝑠+1
2)𝛤 (
1−𝑠
2) da primeira parcela por 𝜋sec (
𝜋𝑠
2) e 𝛤 (
𝑠+1
2) 𝛤 (
𝑠
2) da
segunda por 𝛤(𝑠)√𝜋. 21−𝑠, teremos:
𝜋−1−𝑠2 𝛤(𝑠)
√𝜋
2𝑠−1𝜁(1 − 𝑠) = 𝜋−
𝑠2𝜁(𝑠)
𝜋
cos (𝜋𝑠2 )
𝜁(1 − 𝑠) =2
(2𝜋)𝑠cos (
𝜋𝑠
2)𝛤(𝑠)𝜁(𝑠)
Fazemos esta substituição 1 − 𝑠 → 𝑠 e agora possuímos outra maneira de
escrever a Equação Funcional de Riemann:
𝜁(𝑠) = 2𝑠𝜋𝑠−1 sen (𝜋𝑠
2)𝛤(1 − 𝑠)𝜁(1 − 𝑠)
Com esta forma podemos ver facilmente os zeros triviais da Função Zeta que
são quando 𝑠 = −2𝑘 , ∀𝑘 ∈ ℕ, pois é quando 𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑠
2) = 0.
14
Com tudo isso, temos finalmente a função Zeta:
𝜁(𝑠) =
{
∑
1
𝑛2= ∏
𝑝𝑠
𝑝𝑠 − 1𝑝 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
, ℜ(𝑠) > 1
∞
𝑛=1
(1 − 21−𝑠)−1∑(−1)𝑘+1
𝑘𝑠
∞
𝑘=1
, 0 < ℜ(𝑠) < 1
2𝑠𝜋𝑠−1 sen (𝜋𝑠
2)𝛤(1 − 𝑠)𝜁(1 − 𝑠) , ℜ(𝑠) < 0
Hipótese de Riemann
Riemann conjecturou que os zeros não triviais da função zeta estão sobre a
reta ℜ(𝑠) =1
2. Ele também conjecturou que:
𝜉(𝑠) = 𝑒𝐴+𝐵𝑠∏(1−𝑠
𝜌)
𝜌
𝑒𝑠𝜌
Onde 𝐴 e 𝐵 são constantes aleatórias e 𝜌 é são os zeros não triviais da Função
Zeta.
15
Conclusão
Sempre que se escuta falar sobre a hipótese de Riemann nos vem à
mente a distribuição dos números primos e Teoria dos Números, todavia sua
aplicação a essas áreas não é evidente, uma vez que ela utiliza de muitos
recursos analíticos e algébricos para a obtenção da função Zeta. A veracidade
da Hipótese de Riemann não terá uma influencia direta a criptografia, mas há
várias conjecturas que baseiam seu cálculo nela, como por exemplo, o cálculo
da estimativa de erro do teorema dos números primos.
16
Referências Bibliográficas
BORWEIN, Peter., et al. The Riemann Hypothesis A Resource for the
Afficionado and Virtuoso Alike, Nova York, Springer-Verlag, 2008
MRYOUMATH. Gamma Function. Disponível em:
<https://www.youtube.com/playlist?list=PL3E4136E122545FBE> Acesso em:
25 set. 2017.
ZANELLA, Lucas. Função gama. Disponível em:
<http://lucaszanella.com/pt/artigos/mat/gama> Acesso em: 25 set. 2017.
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<https://www.youtube.com/watch?v=rGo2hsoJSbo&t=307s> Acesso em: 22
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Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function."
From MathWorld-A Wolfram Web Disponível em:
<http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html> Acesso em: 22
set. 2017
MRYOUMATH . Riemann Zeta Function - For Beginners.Disponível em:
<https://www.youtube.com/playlist?list=PL32446FDD4DA932C9> Acesso em:
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Weisstein, Eric W. "Digamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web
Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html>
Acesso em: 24 set. 2017