Post on 31-Mar-2019
A LOacuteGICA DA DEMONSTRACcedilAtildeO PELA REDUCcedilAtildeO AO
ABSURDO
Antonio Luis VENE1CELA i
Tacircnia Regina Vendrame PAU[)ETTOecirc
Resumo O texto analisa a loacutegica que estahelece a demonstraccedilatildeo matemaacutetica
pela reduccedilatildeo ao ahsurdo Resgata pontos histoacutericos iniciados pejos hahiloacutenicos
c () seu domiacutenio dos nuacutemeros inteiros e racionais Sugere uma possiacutevel influecircncia
dos hahiloacutenicos sohre os pitagoacutericos que cultianl111 uma secircIacuteta secreta Comenta
o surgimento de uma crise entre os pitagoacutericos pelo fato da irracionalidade da
raiz quadrada de 2 sendo prmado pelos seus integrantes utilizando-scjustamcnte
da reduccedilatildeo ao ahsurdo (lldlfCIIacuteo ati ohsltrdllil) Trata ainda ela loacutegica formal
estilo de raciociacutenio nas demonstraccedilocirces matemaacuteticas e a proacutepria demonstraccedilatildeo
pcln redllclIacuteo (( uhslmlIIl ela irracionalidade da raiz quadrada de 2
Palavras chaves loacutegica matemaacutetica Reduccedilatildeo ltln absunjo Demonstraccedilatildeo
matemuacutetica
Introduccedilatildeo
Qual matemaacutetico natildeo demonstrou ou analisou um teorema pelo
menos lima ez pela reduccedilatildeo ao ahsurdo No momento da demonstraccedilatildeo o
resultado do teorema ou o raciociacutenio utilizado na proa As respostas para
tv1~slr~ em Matemaacutetica Aplicada IBILCE-UNESP Prof~ssor da F undaccedilio Educacional de raccedilaluba-SP kstr~ em Fducaccediluumln tNOESTL Protissora da Fundaccedilio Educacional de Araccedilatuha-SP
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estas perguntas sagraveo deveras abrangentes Contudo neste trabalho focalizaremos
apenas uma parte da segunda pergunta ou seja a importacircncia do raciociacutenio
util izado na prova (especiticamente a demonstraccedilatildeo pelo reduclio adahsurdum)
Utilizaremos a conhecida crise na doutrina pitagoacuterica isto eacute a
irracionalidade da raiz quadrada de dois como motivaccedilatildeo para o estudo proposto
por este trabalho a qual seraacute demonstrada em sua totalidade Para situar o leitor
no contexto do problema acrescentamos um pouco da histoacuteria da Babiloacutenia e
dos pitagoacutericos
lJm toacutepico contendo uma introduccedilatildeo sobre loacutegica fomlal e sobre
demonstraccedilotildees matemaacuteticas foi inserida para melhor tundamentar e esclarecer
o raciociacutenio usado nas demonstraccedilotildees pelo reelllclio (fel ahslIrdllm
Acrescentamos um apecircndice contendo lemas de apoio na
demonstraccedilatildeo pelo reduclio (fel ahsllrdllll1 A compreensatildeo do raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo loacutegica e teoacuterica tica evidenciada no diagrama das dependecircncias
loacutegicas da demonstraccedilatildeo em questagraveo
Um Pouco de Histoacuteria
Os babiloacutenios construiacuteram um sistema de numeraccedilatildeo sexagesimal
de posiccedilatildeo isto eacute YY YY YY indicava 2(6ltf +2(60)+2 e tambeacutem
estenderam este princiacutepio agraves ftmiddotaccedilotildees ou seja YY YY YY tambeacutem
significava 2(60 ( + 2(60 t + 2 (BOYER 1974) Estes tagravetos mostram que
os babiloacutenicos dominavam o poder da computaccedilatildeo que a modema notaccedilatildeo
decimal para tjaccedilotildees nos confere
A eficiecircncia da computaccedilatildeo babiloacutenica natildeo resultou somente de seu
sistema de numeraccedilatildeo Desenvolveram tambeacutem processos algoriacutetmicos entre
1 Na linha do tempo estamos entre 2000 e 600 A C
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os quais um para extrair a raiz quadrada (frequumlentemente atribuiacutedos a homens
que viveram mais tarde tais como o grego Arquita (428-365 AC) a Heron de
Alexandria ( 1 OOOc) ou tambeacutem eacute chamado de algoritmo de Newton)
Os babilocircnios natildeo gostavam de trabalhos com reciacuteprocos de
nuacutemeros irregulares pois esses natildeo podiam ser expressos exatamente em fraccedilocirces I 7 30)
sexagesimais finitas ( por exemplo 8 60 (60T assim 8 eacute um nuacutemero
regular mas 7 nagraveo eacute regular ( 7I eacute uma diacutezima perioacutedica)
Existem historiadores que afirmam que a matemaacutetica babiloacutenica se
orientava puramente a fins praacuteticos mas outros atirmam que a matemaacutetica
numeacuterica era usada somente para tagravezer a exultaccedilatildeo do espiacuterito
O mundo grego por muitos seacuteculos teve seu centro entre os mares
Egeu e Torno mas a civilizaccedilagraveo helecircnica natildeo estava localizada soacute ali Em 600
AC coloacutenias gregas podiam ser encontradas ao longo das margens do Mar
Negro e 1editerragraveneo e j()i nessas regiocirces atagravestadas que um novo impulso se
manit~st()u na matemaacutetica Para isto os colonistas da beira-mar especialmente
na Iocircnia tinham duas vantagens tinham o espiacuterito ousado e imaginativo tiacutepico de
pioneiros e estavam mais proacuteximos dos dois principais vales de rio de que se
podia extrair conhecimentos Tales de Mileto (624-548 AC aprox imadamentc)
e Pitaacutegoras de Samos (580-500 AC aproximadamente) I tinham ainda mais
uma vantagem estavam em condiccedilatildeo de viajar aos centros antigos de
conhecimento e laacute adquirir informaccedilatildeo de primeira matildeo sohre astronomia e
matemaacutetica (BOYER 1974)
Pitaacutegoras era um proteta e um miacutestico nascido em Sam os uma das
ilhas do Oodecaneso permanecendo uma figura obscura e isto se deve em
~ Matemaacuteticos gregos
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parte agrave perda de documentos daquela eacutepoca Fundou uma comunidade secreta
cujo seus membros eram conhecidos por pitagoacutericos Talvez a mais notaacutevel
caracteriacutestica da ordem pitagoacuterica fosse a confianccedila que mantinha no estudo da
matemaacutetica e da tilosofia como base moral para a conduta
A purificaccedilatildeo da alma dos pitagoacutericos era realizada em parte por
regime Hsico estrito e em parte por ritos que lembram os adoradores de Orfeu
e Dioniacutesio mas as hamlOnias e misteacuterios da filosofia e da matemaacutetica tamheacutem
eram partes essenciais desses rituais
Dizia-se que o lema da escola pitagoacuterica era Tudo eacute nuacutemero
Lembrando que os habilocircnios tinham associado vaacuterias medidas numeacutericas agraves
coisas quc os cercavam desde os movimentos nos ceacuteus ateacute () valor de seus
escrtlOs podemos perceber nesse lema uma forte afinidade com a
Mesopotacircmia Mesmo o teorema a que o nome de Pitaacutegoras estaacute associado
muito provavelmente veio dos babilocircnios Sugeriu-se como justificativa para
ehamaacute-Io de teorema de Pitaacutegoras que foram os pitagoacutericos os primeiros a dar
uma demonstraccedilatildeo dele mas natildeo haacute meio de veriticar esta conjetura (BOYER
1974)
Apaixonados pelos nuacutemeros inteiros os pitagoacutericos acreditavam
que todas as coisas podiam ser derivadas deles e certamente todos os outros
nuacutemeros (SAGAN 1982) Surgiu uma crise na doutrina quando descobriram
que a raiz quadrada de dois (a razatildeo entre a diagonal e o lado de um quadrado
era irracional) que 12 natildeo podia ser expressa precisamente como a razatildeo de
dois nuacutemeros inteiros quaisquer natildeo importando serem nuacutemeros grandes
Ironicamente esta descobel1a foacutei utilizada como recurso no teorema de Pitaacutegoras
Originalmente irracional significa somente que um nuacutemero natildeo pode ser
expresso como lima razatildeo Para os pitagoacutericos isto teve um significado aterrador
uma alusatildeo de que seu mundo nagraveo fazia sentido enquadrando-se no significado
atual de middotmiddotirracional Ao inveacutes de partilhar estas importantes descobertas
iO lss middotraccedillIl1ha n3 p 62 - 76 Iun 2005 65
matemaacuteticas os pitagoacutericos retiraram o conhecimento da J2 do dodecaedro
O mundo exterior natildeo devia saber Mesmo hoje em dia encontramos cientistas
que se opotildeem agrave popularizaccedilatildeo da ciecircncia o conhecimento sagrado deve ser
guardado no culto intocado pela compreensatildeo puacuteblica
O argumento pitagoacuterico original da ilTacionalidade da raiz quadrada
de dois depende de um tipo de argumento chamado reduclio ad ahsurdwl1
admitimos a veracidade de uma atil111accedilatildeo observando suas consequumlecircncias e o
surgimento de uma contradiccedilatildeo o que toma a asserccedilatildeo falsa Para dannos um
exemplo moderno consideremos o aforismo elaborado pelo grande fiacutesico do
seacuteculo XX ]iels Bohr O oposto de toda grande ideacuteia eacute uma outra grande
ideacuteia Se a asserccedilagraveo for verdadeira suas consequumlecircncias poderatildeo ser no miacutenimo
um pouco perigosas Por exemplo consideremos o oposto da Medida Aurea
ou da condenaccedilatildeo ao mentiroso ou Tu nagraveo mataraacutes Vamos considerar entatildeo
que o aforismo de Bohr seja uma grande ideacuteia Se for entatildeo a asserccedilatildeo oposta
oposto de toda grande ideacuteia natildeo eacute uma grande ideacuteia isto deve ser verdade
tamheacutem Devemos tentar o reduclio ad ahsurdum Se a asserccedilatildeo contraacuteria eacute
Uumltlsa o afoacuterismo nos deteraacute desde que se contesse a si mesmo como natildeo sendo
uma grande ideacuteia (SAGA 1982)
Sobre a Loacutegica Formal
Tomam-se as sentenccedilas ou proposiccedilotildees declarativas pois elas
podem ser classificadas em verdadeiras e tagravelsas (NER1CL 1985) O valor loacutegico
de uma proposiccedilatildeo p se p eacute verdadeiro ou falso eacute verdadeiro ou falso cuja
notaccedilatildeo eacute ( P ) = t ou (p ) = F
Aleacutem das declarativas existem as interrogativas exclamativas imperativas
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Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do
pensamento
i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1
eacute A (Princiacutepio da Identidade)
ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da
Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro
Excluiacutedo)
iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f
Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de
Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos
As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes
conectivos
- nagraveo (- )
- e (
- ou ( v )
- se entatildeo ( -- )
- se e somente se ( - )
Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas
(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples
U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e
disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do
nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee
Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j
mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou
motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo
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li
Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade
Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees
Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)
representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees
Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas
atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos
iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas
tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha
ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando
em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas
Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade
p i li -q P~lI P - ( ~(fl )
I I r v r v I r F I F
r f F V F r
F bull
F bull
r iacute
v I
F I
Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)
Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de
acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que
[p =gt qqlliva~- (pA q)J
68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~
Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas
Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade
geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute
essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode
deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra
o que eacute verdadeiro
Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo
ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute
bom
Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade
ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4
fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A
verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo
prohIma
No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema
procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar
uma incoacutegnita
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica
a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um
princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo
mais simples e jaacute admitida
A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema
a demonstrar
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem
de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema
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contraditoacuterio ao que vai ser demonstrado o que seria um absurdo
Conclui-se disso pela tagravelsidade do teorema contraditoacuterio e pela verdade
do que se quer demonstrar
b) Demonstraccedilatildeo sinteacutetica eacute a que parte do princiacutepio e desce ao teorema
a ser demonstrado Este processo adapta mais agrave demonstraccedilatildeo
propriamente dita
Loacutegica do Reductio ad Absurdum
o interesse deste trabalho eacute analisar o reductio ael ahsurdwn que
signitica reduzir um raciociacutenio ao absurdo Este procedimento provavelmente foi
L1til izudo pelos pitagoacutericos para demonstrar a irracionalidade da raiz quadrada
de dois Assim se tomarmos duas proposiccedilotildees p e q as quais satildeo conectadas
como
(a)(p-+ q)e
(b) (p ~ q)
e vemos na Tabda 2 que para qualquer proposiccedilatildeo p e q v ( - (p A - q) eacute
igual a -(p ~ q) Em (a) nas demonstraccedilotildees matemaacuteticas temos um teorema
onde p eacute a hipotese e q eacute a tese que se pretende provar Jaacute no item (b) temos a
negaccedilatildeo de uma proposiccedilatildeo composta e eacute nele que encontramos o redudio (fel
ahsurelum A igualdade entre os valores loacutegicos das duas proposiccedilotildees eacute que
nos leva agrave utilizaccedilagraveo da demonstraccedilagraveo de um teorema pelo redllclio ael uhsurdulIl
(para isto nossa atenccedilatildeo seraacute voltada para as duas primeiras linhas da Tabela
2) Utilizamos as demonstraccedilotildees pelo reductio adahmrdum quando as mesmas
exigem apenas duas e somente duas definiccedilotildees distintas tais como provar que
um elemento eacute par (ou iacutempar) provar que um elemento pertence (ou natildeo pertence)
a um conjunto etc
70 iCSSt (I1ssn Araccedilatuha 1 11 ) p 62middot 76 Jun 2005
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os
passos
A) Suponha que seja vaacutelido p
B) Suponha que seja vaacutelido -q
C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q
D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou
elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com
-q
Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas
loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica
A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo
l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p
ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida
Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas
concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja
confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou
choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma
ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela
Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que
consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo
estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo
onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde
l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)
como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da
raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior
71
Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par
Prora
Inicialmente consideremos as sentenccedilas
a- e par
a e par
A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se
a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova
utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)
i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)
ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que
pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)
ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +
Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos
(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0
que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar
i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja
l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe
a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos
considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1
Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que
na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par
Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos
algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio
do indiviacuteduo
~ -q 11 nagraveo eacute par
Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI
12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
~~~~_~------------------------
VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
76
estas perguntas sagraveo deveras abrangentes Contudo neste trabalho focalizaremos
apenas uma parte da segunda pergunta ou seja a importacircncia do raciociacutenio
util izado na prova (especiticamente a demonstraccedilatildeo pelo reduclio adahsurdum)
Utilizaremos a conhecida crise na doutrina pitagoacuterica isto eacute a
irracionalidade da raiz quadrada de dois como motivaccedilatildeo para o estudo proposto
por este trabalho a qual seraacute demonstrada em sua totalidade Para situar o leitor
no contexto do problema acrescentamos um pouco da histoacuteria da Babiloacutenia e
dos pitagoacutericos
lJm toacutepico contendo uma introduccedilatildeo sobre loacutegica fomlal e sobre
demonstraccedilotildees matemaacuteticas foi inserida para melhor tundamentar e esclarecer
o raciociacutenio usado nas demonstraccedilotildees pelo reelllclio (fel ahslIrdllm
Acrescentamos um apecircndice contendo lemas de apoio na
demonstraccedilatildeo pelo reduclio (fel ahsllrdllll1 A compreensatildeo do raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo loacutegica e teoacuterica tica evidenciada no diagrama das dependecircncias
loacutegicas da demonstraccedilatildeo em questagraveo
Um Pouco de Histoacuteria
Os babiloacutenios construiacuteram um sistema de numeraccedilatildeo sexagesimal
de posiccedilatildeo isto eacute YY YY YY indicava 2(6ltf +2(60)+2 e tambeacutem
estenderam este princiacutepio agraves ftmiddotaccedilotildees ou seja YY YY YY tambeacutem
significava 2(60 ( + 2(60 t + 2 (BOYER 1974) Estes tagravetos mostram que
os babiloacutenicos dominavam o poder da computaccedilatildeo que a modema notaccedilatildeo
decimal para tjaccedilotildees nos confere
A eficiecircncia da computaccedilatildeo babiloacutenica natildeo resultou somente de seu
sistema de numeraccedilatildeo Desenvolveram tambeacutem processos algoriacutetmicos entre
1 Na linha do tempo estamos entre 2000 e 600 A C
63
os quais um para extrair a raiz quadrada (frequumlentemente atribuiacutedos a homens
que viveram mais tarde tais como o grego Arquita (428-365 AC) a Heron de
Alexandria ( 1 OOOc) ou tambeacutem eacute chamado de algoritmo de Newton)
Os babilocircnios natildeo gostavam de trabalhos com reciacuteprocos de
nuacutemeros irregulares pois esses natildeo podiam ser expressos exatamente em fraccedilocirces I 7 30)
sexagesimais finitas ( por exemplo 8 60 (60T assim 8 eacute um nuacutemero
regular mas 7 nagraveo eacute regular ( 7I eacute uma diacutezima perioacutedica)
Existem historiadores que afirmam que a matemaacutetica babiloacutenica se
orientava puramente a fins praacuteticos mas outros atirmam que a matemaacutetica
numeacuterica era usada somente para tagravezer a exultaccedilatildeo do espiacuterito
O mundo grego por muitos seacuteculos teve seu centro entre os mares
Egeu e Torno mas a civilizaccedilagraveo helecircnica natildeo estava localizada soacute ali Em 600
AC coloacutenias gregas podiam ser encontradas ao longo das margens do Mar
Negro e 1editerragraveneo e j()i nessas regiocirces atagravestadas que um novo impulso se
manit~st()u na matemaacutetica Para isto os colonistas da beira-mar especialmente
na Iocircnia tinham duas vantagens tinham o espiacuterito ousado e imaginativo tiacutepico de
pioneiros e estavam mais proacuteximos dos dois principais vales de rio de que se
podia extrair conhecimentos Tales de Mileto (624-548 AC aprox imadamentc)
e Pitaacutegoras de Samos (580-500 AC aproximadamente) I tinham ainda mais
uma vantagem estavam em condiccedilatildeo de viajar aos centros antigos de
conhecimento e laacute adquirir informaccedilatildeo de primeira matildeo sohre astronomia e
matemaacutetica (BOYER 1974)
Pitaacutegoras era um proteta e um miacutestico nascido em Sam os uma das
ilhas do Oodecaneso permanecendo uma figura obscura e isto se deve em
~ Matemaacuteticos gregos
64
parte agrave perda de documentos daquela eacutepoca Fundou uma comunidade secreta
cujo seus membros eram conhecidos por pitagoacutericos Talvez a mais notaacutevel
caracteriacutestica da ordem pitagoacuterica fosse a confianccedila que mantinha no estudo da
matemaacutetica e da tilosofia como base moral para a conduta
A purificaccedilatildeo da alma dos pitagoacutericos era realizada em parte por
regime Hsico estrito e em parte por ritos que lembram os adoradores de Orfeu
e Dioniacutesio mas as hamlOnias e misteacuterios da filosofia e da matemaacutetica tamheacutem
eram partes essenciais desses rituais
Dizia-se que o lema da escola pitagoacuterica era Tudo eacute nuacutemero
Lembrando que os habilocircnios tinham associado vaacuterias medidas numeacutericas agraves
coisas quc os cercavam desde os movimentos nos ceacuteus ateacute () valor de seus
escrtlOs podemos perceber nesse lema uma forte afinidade com a
Mesopotacircmia Mesmo o teorema a que o nome de Pitaacutegoras estaacute associado
muito provavelmente veio dos babilocircnios Sugeriu-se como justificativa para
ehamaacute-Io de teorema de Pitaacutegoras que foram os pitagoacutericos os primeiros a dar
uma demonstraccedilatildeo dele mas natildeo haacute meio de veriticar esta conjetura (BOYER
1974)
Apaixonados pelos nuacutemeros inteiros os pitagoacutericos acreditavam
que todas as coisas podiam ser derivadas deles e certamente todos os outros
nuacutemeros (SAGAN 1982) Surgiu uma crise na doutrina quando descobriram
que a raiz quadrada de dois (a razatildeo entre a diagonal e o lado de um quadrado
era irracional) que 12 natildeo podia ser expressa precisamente como a razatildeo de
dois nuacutemeros inteiros quaisquer natildeo importando serem nuacutemeros grandes
Ironicamente esta descobel1a foacutei utilizada como recurso no teorema de Pitaacutegoras
Originalmente irracional significa somente que um nuacutemero natildeo pode ser
expresso como lima razatildeo Para os pitagoacutericos isto teve um significado aterrador
uma alusatildeo de que seu mundo nagraveo fazia sentido enquadrando-se no significado
atual de middotmiddotirracional Ao inveacutes de partilhar estas importantes descobertas
iO lss middotraccedillIl1ha n3 p 62 - 76 Iun 2005 65
matemaacuteticas os pitagoacutericos retiraram o conhecimento da J2 do dodecaedro
O mundo exterior natildeo devia saber Mesmo hoje em dia encontramos cientistas
que se opotildeem agrave popularizaccedilatildeo da ciecircncia o conhecimento sagrado deve ser
guardado no culto intocado pela compreensatildeo puacuteblica
O argumento pitagoacuterico original da ilTacionalidade da raiz quadrada
de dois depende de um tipo de argumento chamado reduclio ad ahsurdwl1
admitimos a veracidade de uma atil111accedilatildeo observando suas consequumlecircncias e o
surgimento de uma contradiccedilatildeo o que toma a asserccedilatildeo falsa Para dannos um
exemplo moderno consideremos o aforismo elaborado pelo grande fiacutesico do
seacuteculo XX ]iels Bohr O oposto de toda grande ideacuteia eacute uma outra grande
ideacuteia Se a asserccedilagraveo for verdadeira suas consequumlecircncias poderatildeo ser no miacutenimo
um pouco perigosas Por exemplo consideremos o oposto da Medida Aurea
ou da condenaccedilatildeo ao mentiroso ou Tu nagraveo mataraacutes Vamos considerar entatildeo
que o aforismo de Bohr seja uma grande ideacuteia Se for entatildeo a asserccedilatildeo oposta
oposto de toda grande ideacuteia natildeo eacute uma grande ideacuteia isto deve ser verdade
tamheacutem Devemos tentar o reduclio ad ahsurdum Se a asserccedilatildeo contraacuteria eacute
Uumltlsa o afoacuterismo nos deteraacute desde que se contesse a si mesmo como natildeo sendo
uma grande ideacuteia (SAGA 1982)
Sobre a Loacutegica Formal
Tomam-se as sentenccedilas ou proposiccedilotildees declarativas pois elas
podem ser classificadas em verdadeiras e tagravelsas (NER1CL 1985) O valor loacutegico
de uma proposiccedilatildeo p se p eacute verdadeiro ou falso eacute verdadeiro ou falso cuja
notaccedilatildeo eacute ( P ) = t ou (p ) = F
Aleacutem das declarativas existem as interrogativas exclamativas imperativas
66
Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do
pensamento
i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1
eacute A (Princiacutepio da Identidade)
ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da
Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro
Excluiacutedo)
iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f
Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de
Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos
As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes
conectivos
- nagraveo (- )
- e (
- ou ( v )
- se entatildeo ( -- )
- se e somente se ( - )
Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas
(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples
U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e
disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do
nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee
Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j
mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou
motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo
67
li
Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade
Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees
Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)
representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees
Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas
atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos
iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas
tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha
ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando
em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas
Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade
p i li -q P~lI P - ( ~(fl )
I I r v r v I r F I F
r f F V F r
F bull
F bull
r iacute
v I
F I
Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)
Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de
acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que
[p =gt qqlliva~- (pA q)J
68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~
Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas
Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade
geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute
essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode
deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra
o que eacute verdadeiro
Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo
ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute
bom
Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade
ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4
fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A
verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo
prohIma
No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema
procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar
uma incoacutegnita
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica
a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um
princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo
mais simples e jaacute admitida
A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema
a demonstrar
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem
de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema
69
contraditoacuterio ao que vai ser demonstrado o que seria um absurdo
Conclui-se disso pela tagravelsidade do teorema contraditoacuterio e pela verdade
do que se quer demonstrar
b) Demonstraccedilatildeo sinteacutetica eacute a que parte do princiacutepio e desce ao teorema
a ser demonstrado Este processo adapta mais agrave demonstraccedilatildeo
propriamente dita
Loacutegica do Reductio ad Absurdum
o interesse deste trabalho eacute analisar o reductio ael ahsurdwn que
signitica reduzir um raciociacutenio ao absurdo Este procedimento provavelmente foi
L1til izudo pelos pitagoacutericos para demonstrar a irracionalidade da raiz quadrada
de dois Assim se tomarmos duas proposiccedilotildees p e q as quais satildeo conectadas
como
(a)(p-+ q)e
(b) (p ~ q)
e vemos na Tabda 2 que para qualquer proposiccedilatildeo p e q v ( - (p A - q) eacute
igual a -(p ~ q) Em (a) nas demonstraccedilotildees matemaacuteticas temos um teorema
onde p eacute a hipotese e q eacute a tese que se pretende provar Jaacute no item (b) temos a
negaccedilatildeo de uma proposiccedilatildeo composta e eacute nele que encontramos o redudio (fel
ahsurelum A igualdade entre os valores loacutegicos das duas proposiccedilotildees eacute que
nos leva agrave utilizaccedilagraveo da demonstraccedilagraveo de um teorema pelo redllclio ael uhsurdulIl
(para isto nossa atenccedilatildeo seraacute voltada para as duas primeiras linhas da Tabela
2) Utilizamos as demonstraccedilotildees pelo reductio adahmrdum quando as mesmas
exigem apenas duas e somente duas definiccedilotildees distintas tais como provar que
um elemento eacute par (ou iacutempar) provar que um elemento pertence (ou natildeo pertence)
a um conjunto etc
70 iCSSt (I1ssn Araccedilatuha 1 11 ) p 62middot 76 Jun 2005
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os
passos
A) Suponha que seja vaacutelido p
B) Suponha que seja vaacutelido -q
C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q
D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou
elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com
-q
Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas
loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica
A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo
l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p
ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida
Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas
concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja
confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou
choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma
ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela
Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que
consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo
estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo
onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde
l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)
como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da
raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior
71
Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par
Prora
Inicialmente consideremos as sentenccedilas
a- e par
a e par
A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se
a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova
utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)
i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)
ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que
pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)
ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +
Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos
(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0
que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar
i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja
l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe
a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos
considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1
Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que
na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par
Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos
algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio
do indiviacuteduo
~ -q 11 nagraveo eacute par
Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI
12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
~~~~_~------------------------
VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
76
os quais um para extrair a raiz quadrada (frequumlentemente atribuiacutedos a homens
que viveram mais tarde tais como o grego Arquita (428-365 AC) a Heron de
Alexandria ( 1 OOOc) ou tambeacutem eacute chamado de algoritmo de Newton)
Os babilocircnios natildeo gostavam de trabalhos com reciacuteprocos de
nuacutemeros irregulares pois esses natildeo podiam ser expressos exatamente em fraccedilocirces I 7 30)
sexagesimais finitas ( por exemplo 8 60 (60T assim 8 eacute um nuacutemero
regular mas 7 nagraveo eacute regular ( 7I eacute uma diacutezima perioacutedica)
Existem historiadores que afirmam que a matemaacutetica babiloacutenica se
orientava puramente a fins praacuteticos mas outros atirmam que a matemaacutetica
numeacuterica era usada somente para tagravezer a exultaccedilatildeo do espiacuterito
O mundo grego por muitos seacuteculos teve seu centro entre os mares
Egeu e Torno mas a civilizaccedilagraveo helecircnica natildeo estava localizada soacute ali Em 600
AC coloacutenias gregas podiam ser encontradas ao longo das margens do Mar
Negro e 1editerragraveneo e j()i nessas regiocirces atagravestadas que um novo impulso se
manit~st()u na matemaacutetica Para isto os colonistas da beira-mar especialmente
na Iocircnia tinham duas vantagens tinham o espiacuterito ousado e imaginativo tiacutepico de
pioneiros e estavam mais proacuteximos dos dois principais vales de rio de que se
podia extrair conhecimentos Tales de Mileto (624-548 AC aprox imadamentc)
e Pitaacutegoras de Samos (580-500 AC aproximadamente) I tinham ainda mais
uma vantagem estavam em condiccedilatildeo de viajar aos centros antigos de
conhecimento e laacute adquirir informaccedilatildeo de primeira matildeo sohre astronomia e
matemaacutetica (BOYER 1974)
Pitaacutegoras era um proteta e um miacutestico nascido em Sam os uma das
ilhas do Oodecaneso permanecendo uma figura obscura e isto se deve em
~ Matemaacuteticos gregos
64
parte agrave perda de documentos daquela eacutepoca Fundou uma comunidade secreta
cujo seus membros eram conhecidos por pitagoacutericos Talvez a mais notaacutevel
caracteriacutestica da ordem pitagoacuterica fosse a confianccedila que mantinha no estudo da
matemaacutetica e da tilosofia como base moral para a conduta
A purificaccedilatildeo da alma dos pitagoacutericos era realizada em parte por
regime Hsico estrito e em parte por ritos que lembram os adoradores de Orfeu
e Dioniacutesio mas as hamlOnias e misteacuterios da filosofia e da matemaacutetica tamheacutem
eram partes essenciais desses rituais
Dizia-se que o lema da escola pitagoacuterica era Tudo eacute nuacutemero
Lembrando que os habilocircnios tinham associado vaacuterias medidas numeacutericas agraves
coisas quc os cercavam desde os movimentos nos ceacuteus ateacute () valor de seus
escrtlOs podemos perceber nesse lema uma forte afinidade com a
Mesopotacircmia Mesmo o teorema a que o nome de Pitaacutegoras estaacute associado
muito provavelmente veio dos babilocircnios Sugeriu-se como justificativa para
ehamaacute-Io de teorema de Pitaacutegoras que foram os pitagoacutericos os primeiros a dar
uma demonstraccedilatildeo dele mas natildeo haacute meio de veriticar esta conjetura (BOYER
1974)
Apaixonados pelos nuacutemeros inteiros os pitagoacutericos acreditavam
que todas as coisas podiam ser derivadas deles e certamente todos os outros
nuacutemeros (SAGAN 1982) Surgiu uma crise na doutrina quando descobriram
que a raiz quadrada de dois (a razatildeo entre a diagonal e o lado de um quadrado
era irracional) que 12 natildeo podia ser expressa precisamente como a razatildeo de
dois nuacutemeros inteiros quaisquer natildeo importando serem nuacutemeros grandes
Ironicamente esta descobel1a foacutei utilizada como recurso no teorema de Pitaacutegoras
Originalmente irracional significa somente que um nuacutemero natildeo pode ser
expresso como lima razatildeo Para os pitagoacutericos isto teve um significado aterrador
uma alusatildeo de que seu mundo nagraveo fazia sentido enquadrando-se no significado
atual de middotmiddotirracional Ao inveacutes de partilhar estas importantes descobertas
iO lss middotraccedillIl1ha n3 p 62 - 76 Iun 2005 65
matemaacuteticas os pitagoacutericos retiraram o conhecimento da J2 do dodecaedro
O mundo exterior natildeo devia saber Mesmo hoje em dia encontramos cientistas
que se opotildeem agrave popularizaccedilatildeo da ciecircncia o conhecimento sagrado deve ser
guardado no culto intocado pela compreensatildeo puacuteblica
O argumento pitagoacuterico original da ilTacionalidade da raiz quadrada
de dois depende de um tipo de argumento chamado reduclio ad ahsurdwl1
admitimos a veracidade de uma atil111accedilatildeo observando suas consequumlecircncias e o
surgimento de uma contradiccedilatildeo o que toma a asserccedilatildeo falsa Para dannos um
exemplo moderno consideremos o aforismo elaborado pelo grande fiacutesico do
seacuteculo XX ]iels Bohr O oposto de toda grande ideacuteia eacute uma outra grande
ideacuteia Se a asserccedilagraveo for verdadeira suas consequumlecircncias poderatildeo ser no miacutenimo
um pouco perigosas Por exemplo consideremos o oposto da Medida Aurea
ou da condenaccedilatildeo ao mentiroso ou Tu nagraveo mataraacutes Vamos considerar entatildeo
que o aforismo de Bohr seja uma grande ideacuteia Se for entatildeo a asserccedilatildeo oposta
oposto de toda grande ideacuteia natildeo eacute uma grande ideacuteia isto deve ser verdade
tamheacutem Devemos tentar o reduclio ad ahsurdum Se a asserccedilatildeo contraacuteria eacute
Uumltlsa o afoacuterismo nos deteraacute desde que se contesse a si mesmo como natildeo sendo
uma grande ideacuteia (SAGA 1982)
Sobre a Loacutegica Formal
Tomam-se as sentenccedilas ou proposiccedilotildees declarativas pois elas
podem ser classificadas em verdadeiras e tagravelsas (NER1CL 1985) O valor loacutegico
de uma proposiccedilatildeo p se p eacute verdadeiro ou falso eacute verdadeiro ou falso cuja
notaccedilatildeo eacute ( P ) = t ou (p ) = F
Aleacutem das declarativas existem as interrogativas exclamativas imperativas
66
Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do
pensamento
i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1
eacute A (Princiacutepio da Identidade)
ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da
Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro
Excluiacutedo)
iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f
Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de
Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos
As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes
conectivos
- nagraveo (- )
- e (
- ou ( v )
- se entatildeo ( -- )
- se e somente se ( - )
Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas
(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples
U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e
disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do
nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee
Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j
mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou
motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo
67
li
Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade
Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees
Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)
representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees
Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas
atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos
iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas
tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha
ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando
em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas
Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade
p i li -q P~lI P - ( ~(fl )
I I r v r v I r F I F
r f F V F r
F bull
F bull
r iacute
v I
F I
Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)
Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de
acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que
[p =gt qqlliva~- (pA q)J
68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~
Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas
Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade
geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute
essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode
deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra
o que eacute verdadeiro
Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo
ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute
bom
Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade
ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4
fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A
verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo
prohIma
No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema
procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar
uma incoacutegnita
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica
a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um
princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo
mais simples e jaacute admitida
A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema
a demonstrar
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem
de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema
69
contraditoacuterio ao que vai ser demonstrado o que seria um absurdo
Conclui-se disso pela tagravelsidade do teorema contraditoacuterio e pela verdade
do que se quer demonstrar
b) Demonstraccedilatildeo sinteacutetica eacute a que parte do princiacutepio e desce ao teorema
a ser demonstrado Este processo adapta mais agrave demonstraccedilatildeo
propriamente dita
Loacutegica do Reductio ad Absurdum
o interesse deste trabalho eacute analisar o reductio ael ahsurdwn que
signitica reduzir um raciociacutenio ao absurdo Este procedimento provavelmente foi
L1til izudo pelos pitagoacutericos para demonstrar a irracionalidade da raiz quadrada
de dois Assim se tomarmos duas proposiccedilotildees p e q as quais satildeo conectadas
como
(a)(p-+ q)e
(b) (p ~ q)
e vemos na Tabda 2 que para qualquer proposiccedilatildeo p e q v ( - (p A - q) eacute
igual a -(p ~ q) Em (a) nas demonstraccedilotildees matemaacuteticas temos um teorema
onde p eacute a hipotese e q eacute a tese que se pretende provar Jaacute no item (b) temos a
negaccedilatildeo de uma proposiccedilatildeo composta e eacute nele que encontramos o redudio (fel
ahsurelum A igualdade entre os valores loacutegicos das duas proposiccedilotildees eacute que
nos leva agrave utilizaccedilagraveo da demonstraccedilagraveo de um teorema pelo redllclio ael uhsurdulIl
(para isto nossa atenccedilatildeo seraacute voltada para as duas primeiras linhas da Tabela
2) Utilizamos as demonstraccedilotildees pelo reductio adahmrdum quando as mesmas
exigem apenas duas e somente duas definiccedilotildees distintas tais como provar que
um elemento eacute par (ou iacutempar) provar que um elemento pertence (ou natildeo pertence)
a um conjunto etc
70 iCSSt (I1ssn Araccedilatuha 1 11 ) p 62middot 76 Jun 2005
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os
passos
A) Suponha que seja vaacutelido p
B) Suponha que seja vaacutelido -q
C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q
D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou
elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com
-q
Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas
loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica
A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo
l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p
ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida
Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas
concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja
confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou
choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma
ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela
Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que
consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo
estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo
onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde
l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)
como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da
raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior
71
Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par
Prora
Inicialmente consideremos as sentenccedilas
a- e par
a e par
A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se
a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova
utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)
i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)
ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que
pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)
ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +
Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos
(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0
que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar
i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja
l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe
a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos
considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1
Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que
na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par
Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos
algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio
do indiviacuteduo
~ -q 11 nagraveo eacute par
Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI
12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
~~~~_~------------------------
VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
76
parte agrave perda de documentos daquela eacutepoca Fundou uma comunidade secreta
cujo seus membros eram conhecidos por pitagoacutericos Talvez a mais notaacutevel
caracteriacutestica da ordem pitagoacuterica fosse a confianccedila que mantinha no estudo da
matemaacutetica e da tilosofia como base moral para a conduta
A purificaccedilatildeo da alma dos pitagoacutericos era realizada em parte por
regime Hsico estrito e em parte por ritos que lembram os adoradores de Orfeu
e Dioniacutesio mas as hamlOnias e misteacuterios da filosofia e da matemaacutetica tamheacutem
eram partes essenciais desses rituais
Dizia-se que o lema da escola pitagoacuterica era Tudo eacute nuacutemero
Lembrando que os habilocircnios tinham associado vaacuterias medidas numeacutericas agraves
coisas quc os cercavam desde os movimentos nos ceacuteus ateacute () valor de seus
escrtlOs podemos perceber nesse lema uma forte afinidade com a
Mesopotacircmia Mesmo o teorema a que o nome de Pitaacutegoras estaacute associado
muito provavelmente veio dos babilocircnios Sugeriu-se como justificativa para
ehamaacute-Io de teorema de Pitaacutegoras que foram os pitagoacutericos os primeiros a dar
uma demonstraccedilatildeo dele mas natildeo haacute meio de veriticar esta conjetura (BOYER
1974)
Apaixonados pelos nuacutemeros inteiros os pitagoacutericos acreditavam
que todas as coisas podiam ser derivadas deles e certamente todos os outros
nuacutemeros (SAGAN 1982) Surgiu uma crise na doutrina quando descobriram
que a raiz quadrada de dois (a razatildeo entre a diagonal e o lado de um quadrado
era irracional) que 12 natildeo podia ser expressa precisamente como a razatildeo de
dois nuacutemeros inteiros quaisquer natildeo importando serem nuacutemeros grandes
Ironicamente esta descobel1a foacutei utilizada como recurso no teorema de Pitaacutegoras
Originalmente irracional significa somente que um nuacutemero natildeo pode ser
expresso como lima razatildeo Para os pitagoacutericos isto teve um significado aterrador
uma alusatildeo de que seu mundo nagraveo fazia sentido enquadrando-se no significado
atual de middotmiddotirracional Ao inveacutes de partilhar estas importantes descobertas
iO lss middotraccedillIl1ha n3 p 62 - 76 Iun 2005 65
matemaacuteticas os pitagoacutericos retiraram o conhecimento da J2 do dodecaedro
O mundo exterior natildeo devia saber Mesmo hoje em dia encontramos cientistas
que se opotildeem agrave popularizaccedilatildeo da ciecircncia o conhecimento sagrado deve ser
guardado no culto intocado pela compreensatildeo puacuteblica
O argumento pitagoacuterico original da ilTacionalidade da raiz quadrada
de dois depende de um tipo de argumento chamado reduclio ad ahsurdwl1
admitimos a veracidade de uma atil111accedilatildeo observando suas consequumlecircncias e o
surgimento de uma contradiccedilatildeo o que toma a asserccedilatildeo falsa Para dannos um
exemplo moderno consideremos o aforismo elaborado pelo grande fiacutesico do
seacuteculo XX ]iels Bohr O oposto de toda grande ideacuteia eacute uma outra grande
ideacuteia Se a asserccedilagraveo for verdadeira suas consequumlecircncias poderatildeo ser no miacutenimo
um pouco perigosas Por exemplo consideremos o oposto da Medida Aurea
ou da condenaccedilatildeo ao mentiroso ou Tu nagraveo mataraacutes Vamos considerar entatildeo
que o aforismo de Bohr seja uma grande ideacuteia Se for entatildeo a asserccedilatildeo oposta
oposto de toda grande ideacuteia natildeo eacute uma grande ideacuteia isto deve ser verdade
tamheacutem Devemos tentar o reduclio ad ahsurdum Se a asserccedilatildeo contraacuteria eacute
Uumltlsa o afoacuterismo nos deteraacute desde que se contesse a si mesmo como natildeo sendo
uma grande ideacuteia (SAGA 1982)
Sobre a Loacutegica Formal
Tomam-se as sentenccedilas ou proposiccedilotildees declarativas pois elas
podem ser classificadas em verdadeiras e tagravelsas (NER1CL 1985) O valor loacutegico
de uma proposiccedilatildeo p se p eacute verdadeiro ou falso eacute verdadeiro ou falso cuja
notaccedilatildeo eacute ( P ) = t ou (p ) = F
Aleacutem das declarativas existem as interrogativas exclamativas imperativas
66
Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do
pensamento
i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1
eacute A (Princiacutepio da Identidade)
ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da
Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro
Excluiacutedo)
iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f
Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de
Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos
As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes
conectivos
- nagraveo (- )
- e (
- ou ( v )
- se entatildeo ( -- )
- se e somente se ( - )
Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas
(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples
U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e
disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do
nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee
Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j
mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou
motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo
67
li
Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade
Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees
Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)
representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees
Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas
atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos
iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas
tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha
ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando
em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas
Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade
p i li -q P~lI P - ( ~(fl )
I I r v r v I r F I F
r f F V F r
F bull
F bull
r iacute
v I
F I
Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)
Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de
acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que
[p =gt qqlliva~- (pA q)J
68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~
Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas
Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade
geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute
essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode
deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra
o que eacute verdadeiro
Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo
ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute
bom
Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade
ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4
fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A
verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo
prohIma
No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema
procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar
uma incoacutegnita
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica
a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um
princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo
mais simples e jaacute admitida
A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema
a demonstrar
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem
de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema
69
contraditoacuterio ao que vai ser demonstrado o que seria um absurdo
Conclui-se disso pela tagravelsidade do teorema contraditoacuterio e pela verdade
do que se quer demonstrar
b) Demonstraccedilatildeo sinteacutetica eacute a que parte do princiacutepio e desce ao teorema
a ser demonstrado Este processo adapta mais agrave demonstraccedilatildeo
propriamente dita
Loacutegica do Reductio ad Absurdum
o interesse deste trabalho eacute analisar o reductio ael ahsurdwn que
signitica reduzir um raciociacutenio ao absurdo Este procedimento provavelmente foi
L1til izudo pelos pitagoacutericos para demonstrar a irracionalidade da raiz quadrada
de dois Assim se tomarmos duas proposiccedilotildees p e q as quais satildeo conectadas
como
(a)(p-+ q)e
(b) (p ~ q)
e vemos na Tabda 2 que para qualquer proposiccedilatildeo p e q v ( - (p A - q) eacute
igual a -(p ~ q) Em (a) nas demonstraccedilotildees matemaacuteticas temos um teorema
onde p eacute a hipotese e q eacute a tese que se pretende provar Jaacute no item (b) temos a
negaccedilatildeo de uma proposiccedilatildeo composta e eacute nele que encontramos o redudio (fel
ahsurelum A igualdade entre os valores loacutegicos das duas proposiccedilotildees eacute que
nos leva agrave utilizaccedilagraveo da demonstraccedilagraveo de um teorema pelo redllclio ael uhsurdulIl
(para isto nossa atenccedilatildeo seraacute voltada para as duas primeiras linhas da Tabela
2) Utilizamos as demonstraccedilotildees pelo reductio adahmrdum quando as mesmas
exigem apenas duas e somente duas definiccedilotildees distintas tais como provar que
um elemento eacute par (ou iacutempar) provar que um elemento pertence (ou natildeo pertence)
a um conjunto etc
70 iCSSt (I1ssn Araccedilatuha 1 11 ) p 62middot 76 Jun 2005
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os
passos
A) Suponha que seja vaacutelido p
B) Suponha que seja vaacutelido -q
C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q
D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou
elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com
-q
Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas
loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica
A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo
l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p
ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida
Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas
concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja
confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou
choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma
ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela
Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que
consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo
estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo
onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde
l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)
como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da
raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior
71
Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par
Prora
Inicialmente consideremos as sentenccedilas
a- e par
a e par
A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se
a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova
utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)
i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)
ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que
pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)
ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +
Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos
(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0
que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar
i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja
l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe
a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos
considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1
Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que
na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par
Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos
algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio
do indiviacuteduo
~ -q 11 nagraveo eacute par
Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI
12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
~~~~_~------------------------
VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
76
matemaacuteticas os pitagoacutericos retiraram o conhecimento da J2 do dodecaedro
O mundo exterior natildeo devia saber Mesmo hoje em dia encontramos cientistas
que se opotildeem agrave popularizaccedilatildeo da ciecircncia o conhecimento sagrado deve ser
guardado no culto intocado pela compreensatildeo puacuteblica
O argumento pitagoacuterico original da ilTacionalidade da raiz quadrada
de dois depende de um tipo de argumento chamado reduclio ad ahsurdwl1
admitimos a veracidade de uma atil111accedilatildeo observando suas consequumlecircncias e o
surgimento de uma contradiccedilatildeo o que toma a asserccedilatildeo falsa Para dannos um
exemplo moderno consideremos o aforismo elaborado pelo grande fiacutesico do
seacuteculo XX ]iels Bohr O oposto de toda grande ideacuteia eacute uma outra grande
ideacuteia Se a asserccedilagraveo for verdadeira suas consequumlecircncias poderatildeo ser no miacutenimo
um pouco perigosas Por exemplo consideremos o oposto da Medida Aurea
ou da condenaccedilatildeo ao mentiroso ou Tu nagraveo mataraacutes Vamos considerar entatildeo
que o aforismo de Bohr seja uma grande ideacuteia Se for entatildeo a asserccedilatildeo oposta
oposto de toda grande ideacuteia natildeo eacute uma grande ideacuteia isto deve ser verdade
tamheacutem Devemos tentar o reduclio ad ahsurdum Se a asserccedilatildeo contraacuteria eacute
Uumltlsa o afoacuterismo nos deteraacute desde que se contesse a si mesmo como natildeo sendo
uma grande ideacuteia (SAGA 1982)
Sobre a Loacutegica Formal
Tomam-se as sentenccedilas ou proposiccedilotildees declarativas pois elas
podem ser classificadas em verdadeiras e tagravelsas (NER1CL 1985) O valor loacutegico
de uma proposiccedilatildeo p se p eacute verdadeiro ou falso eacute verdadeiro ou falso cuja
notaccedilatildeo eacute ( P ) = t ou (p ) = F
Aleacutem das declarativas existem as interrogativas exclamativas imperativas
66
Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do
pensamento
i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1
eacute A (Princiacutepio da Identidade)
ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da
Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro
Excluiacutedo)
iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f
Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de
Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos
As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes
conectivos
- nagraveo (- )
- e (
- ou ( v )
- se entatildeo ( -- )
- se e somente se ( - )
Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas
(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples
U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e
disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do
nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee
Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j
mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou
motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo
67
li
Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade
Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees
Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)
representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees
Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas
atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos
iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas
tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha
ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando
em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas
Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade
p i li -q P~lI P - ( ~(fl )
I I r v r v I r F I F
r f F V F r
F bull
F bull
r iacute
v I
F I
Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)
Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de
acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que
[p =gt qqlliva~- (pA q)J
68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~
Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas
Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade
geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute
essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode
deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra
o que eacute verdadeiro
Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo
ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute
bom
Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade
ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4
fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A
verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo
prohIma
No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema
procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar
uma incoacutegnita
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica
a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um
princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo
mais simples e jaacute admitida
A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema
a demonstrar
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem
de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema
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contraditoacuterio ao que vai ser demonstrado o que seria um absurdo
Conclui-se disso pela tagravelsidade do teorema contraditoacuterio e pela verdade
do que se quer demonstrar
b) Demonstraccedilatildeo sinteacutetica eacute a que parte do princiacutepio e desce ao teorema
a ser demonstrado Este processo adapta mais agrave demonstraccedilatildeo
propriamente dita
Loacutegica do Reductio ad Absurdum
o interesse deste trabalho eacute analisar o reductio ael ahsurdwn que
signitica reduzir um raciociacutenio ao absurdo Este procedimento provavelmente foi
L1til izudo pelos pitagoacutericos para demonstrar a irracionalidade da raiz quadrada
de dois Assim se tomarmos duas proposiccedilotildees p e q as quais satildeo conectadas
como
(a)(p-+ q)e
(b) (p ~ q)
e vemos na Tabda 2 que para qualquer proposiccedilatildeo p e q v ( - (p A - q) eacute
igual a -(p ~ q) Em (a) nas demonstraccedilotildees matemaacuteticas temos um teorema
onde p eacute a hipotese e q eacute a tese que se pretende provar Jaacute no item (b) temos a
negaccedilatildeo de uma proposiccedilatildeo composta e eacute nele que encontramos o redudio (fel
ahsurelum A igualdade entre os valores loacutegicos das duas proposiccedilotildees eacute que
nos leva agrave utilizaccedilagraveo da demonstraccedilagraveo de um teorema pelo redllclio ael uhsurdulIl
(para isto nossa atenccedilatildeo seraacute voltada para as duas primeiras linhas da Tabela
2) Utilizamos as demonstraccedilotildees pelo reductio adahmrdum quando as mesmas
exigem apenas duas e somente duas definiccedilotildees distintas tais como provar que
um elemento eacute par (ou iacutempar) provar que um elemento pertence (ou natildeo pertence)
a um conjunto etc
70 iCSSt (I1ssn Araccedilatuha 1 11 ) p 62middot 76 Jun 2005
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os
passos
A) Suponha que seja vaacutelido p
B) Suponha que seja vaacutelido -q
C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q
D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou
elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com
-q
Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas
loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica
A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo
l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p
ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida
Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas
concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja
confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou
choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma
ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela
Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que
consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo
estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo
onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde
l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)
como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da
raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior
71
Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par
Prora
Inicialmente consideremos as sentenccedilas
a- e par
a e par
A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se
a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova
utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)
i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)
ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que
pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)
ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +
Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos
(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0
que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar
i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja
l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe
a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos
considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1
Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que
na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par
Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos
algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio
do indiviacuteduo
~ -q 11 nagraveo eacute par
Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI
12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
~~~~_~------------------------
VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
76
Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do
pensamento
i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1
eacute A (Princiacutepio da Identidade)
ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da
Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro
Excluiacutedo)
iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f
Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de
Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos
As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes
conectivos
- nagraveo (- )
- e (
- ou ( v )
- se entatildeo ( -- )
- se e somente se ( - )
Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas
(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples
U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e
disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do
nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee
Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j
mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou
motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo
67
li
Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade
Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees
Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)
representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees
Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas
atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos
iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas
tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha
ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando
em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas
Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade
p i li -q P~lI P - ( ~(fl )
I I r v r v I r F I F
r f F V F r
F bull
F bull
r iacute
v I
F I
Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)
Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de
acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que
[p =gt qqlliva~- (pA q)J
68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~
Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas
Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade
geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute
essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode
deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra
o que eacute verdadeiro
Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo
ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute
bom
Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade
ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4
fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A
verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo
prohIma
No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema
procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar
uma incoacutegnita
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica
a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um
princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo
mais simples e jaacute admitida
A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema
a demonstrar
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem
de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema
69
contraditoacuterio ao que vai ser demonstrado o que seria um absurdo
Conclui-se disso pela tagravelsidade do teorema contraditoacuterio e pela verdade
do que se quer demonstrar
b) Demonstraccedilatildeo sinteacutetica eacute a que parte do princiacutepio e desce ao teorema
a ser demonstrado Este processo adapta mais agrave demonstraccedilatildeo
propriamente dita
Loacutegica do Reductio ad Absurdum
o interesse deste trabalho eacute analisar o reductio ael ahsurdwn que
signitica reduzir um raciociacutenio ao absurdo Este procedimento provavelmente foi
L1til izudo pelos pitagoacutericos para demonstrar a irracionalidade da raiz quadrada
de dois Assim se tomarmos duas proposiccedilotildees p e q as quais satildeo conectadas
como
(a)(p-+ q)e
(b) (p ~ q)
e vemos na Tabda 2 que para qualquer proposiccedilatildeo p e q v ( - (p A - q) eacute
igual a -(p ~ q) Em (a) nas demonstraccedilotildees matemaacuteticas temos um teorema
onde p eacute a hipotese e q eacute a tese que se pretende provar Jaacute no item (b) temos a
negaccedilatildeo de uma proposiccedilatildeo composta e eacute nele que encontramos o redudio (fel
ahsurelum A igualdade entre os valores loacutegicos das duas proposiccedilotildees eacute que
nos leva agrave utilizaccedilagraveo da demonstraccedilagraveo de um teorema pelo redllclio ael uhsurdulIl
(para isto nossa atenccedilatildeo seraacute voltada para as duas primeiras linhas da Tabela
2) Utilizamos as demonstraccedilotildees pelo reductio adahmrdum quando as mesmas
exigem apenas duas e somente duas definiccedilotildees distintas tais como provar que
um elemento eacute par (ou iacutempar) provar que um elemento pertence (ou natildeo pertence)
a um conjunto etc
70 iCSSt (I1ssn Araccedilatuha 1 11 ) p 62middot 76 Jun 2005
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os
passos
A) Suponha que seja vaacutelido p
B) Suponha que seja vaacutelido -q
C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q
D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou
elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com
-q
Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas
loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica
A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo
l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p
ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida
Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas
concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja
confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou
choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma
ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela
Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que
consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo
estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo
onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde
l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)
como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da
raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior
71
Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par
Prora
Inicialmente consideremos as sentenccedilas
a- e par
a e par
A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se
a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova
utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)
i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)
ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que
pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)
ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +
Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos
(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0
que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar
i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja
l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe
a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos
considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1
Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que
na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par
Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos
algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio
do indiviacuteduo
~ -q 11 nagraveo eacute par
Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI
12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
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VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
76
li
Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade
Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees
Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)
representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees
Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas
atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos
iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas
tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha
ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando
em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas
Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade
p i li -q P~lI P - ( ~(fl )
I I r v r v I r F I F
r f F V F r
F bull
F bull
r iacute
v I
F I
Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)
Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de
acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que
[p =gt qqlliva~- (pA q)J
68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~
Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas
Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade
geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute
essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode
deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra
o que eacute verdadeiro
Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo
ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute
bom
Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade
ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4
fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A
verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo
prohIma
No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema
procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar
uma incoacutegnita
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica
a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um
princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo
mais simples e jaacute admitida
A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema
a demonstrar
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem
de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema
69
contraditoacuterio ao que vai ser demonstrado o que seria um absurdo
Conclui-se disso pela tagravelsidade do teorema contraditoacuterio e pela verdade
do que se quer demonstrar
b) Demonstraccedilatildeo sinteacutetica eacute a que parte do princiacutepio e desce ao teorema
a ser demonstrado Este processo adapta mais agrave demonstraccedilatildeo
propriamente dita
Loacutegica do Reductio ad Absurdum
o interesse deste trabalho eacute analisar o reductio ael ahsurdwn que
signitica reduzir um raciociacutenio ao absurdo Este procedimento provavelmente foi
L1til izudo pelos pitagoacutericos para demonstrar a irracionalidade da raiz quadrada
de dois Assim se tomarmos duas proposiccedilotildees p e q as quais satildeo conectadas
como
(a)(p-+ q)e
(b) (p ~ q)
e vemos na Tabda 2 que para qualquer proposiccedilatildeo p e q v ( - (p A - q) eacute
igual a -(p ~ q) Em (a) nas demonstraccedilotildees matemaacuteticas temos um teorema
onde p eacute a hipotese e q eacute a tese que se pretende provar Jaacute no item (b) temos a
negaccedilatildeo de uma proposiccedilatildeo composta e eacute nele que encontramos o redudio (fel
ahsurelum A igualdade entre os valores loacutegicos das duas proposiccedilotildees eacute que
nos leva agrave utilizaccedilagraveo da demonstraccedilagraveo de um teorema pelo redllclio ael uhsurdulIl
(para isto nossa atenccedilatildeo seraacute voltada para as duas primeiras linhas da Tabela
2) Utilizamos as demonstraccedilotildees pelo reductio adahmrdum quando as mesmas
exigem apenas duas e somente duas definiccedilotildees distintas tais como provar que
um elemento eacute par (ou iacutempar) provar que um elemento pertence (ou natildeo pertence)
a um conjunto etc
70 iCSSt (I1ssn Araccedilatuha 1 11 ) p 62middot 76 Jun 2005
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os
passos
A) Suponha que seja vaacutelido p
B) Suponha que seja vaacutelido -q
C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q
D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou
elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com
-q
Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas
loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica
A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo
l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p
ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida
Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas
concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja
confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou
choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma
ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela
Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que
consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo
estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo
onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde
l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)
como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da
raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior
71
Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par
Prora
Inicialmente consideremos as sentenccedilas
a- e par
a e par
A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se
a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova
utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)
i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)
ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que
pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)
ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +
Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos
(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0
que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar
i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja
l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe
a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos
considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1
Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que
na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par
Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos
algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio
do indiviacuteduo
~ -q 11 nagraveo eacute par
Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI
12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
~~~~_~------------------------
VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
76
Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas
Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade
geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute
essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode
deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra
o que eacute verdadeiro
Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo
ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute
bom
Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade
ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4
fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A
verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo
prohIma
No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema
procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar
uma incoacutegnita
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica
a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um
princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo
mais simples e jaacute admitida
A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema
a demonstrar
- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem
de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema
69
contraditoacuterio ao que vai ser demonstrado o que seria um absurdo
Conclui-se disso pela tagravelsidade do teorema contraditoacuterio e pela verdade
do que se quer demonstrar
b) Demonstraccedilatildeo sinteacutetica eacute a que parte do princiacutepio e desce ao teorema
a ser demonstrado Este processo adapta mais agrave demonstraccedilatildeo
propriamente dita
Loacutegica do Reductio ad Absurdum
o interesse deste trabalho eacute analisar o reductio ael ahsurdwn que
signitica reduzir um raciociacutenio ao absurdo Este procedimento provavelmente foi
L1til izudo pelos pitagoacutericos para demonstrar a irracionalidade da raiz quadrada
de dois Assim se tomarmos duas proposiccedilotildees p e q as quais satildeo conectadas
como
(a)(p-+ q)e
(b) (p ~ q)
e vemos na Tabda 2 que para qualquer proposiccedilatildeo p e q v ( - (p A - q) eacute
igual a -(p ~ q) Em (a) nas demonstraccedilotildees matemaacuteticas temos um teorema
onde p eacute a hipotese e q eacute a tese que se pretende provar Jaacute no item (b) temos a
negaccedilatildeo de uma proposiccedilatildeo composta e eacute nele que encontramos o redudio (fel
ahsurelum A igualdade entre os valores loacutegicos das duas proposiccedilotildees eacute que
nos leva agrave utilizaccedilagraveo da demonstraccedilagraveo de um teorema pelo redllclio ael uhsurdulIl
(para isto nossa atenccedilatildeo seraacute voltada para as duas primeiras linhas da Tabela
2) Utilizamos as demonstraccedilotildees pelo reductio adahmrdum quando as mesmas
exigem apenas duas e somente duas definiccedilotildees distintas tais como provar que
um elemento eacute par (ou iacutempar) provar que um elemento pertence (ou natildeo pertence)
a um conjunto etc
70 iCSSt (I1ssn Araccedilatuha 1 11 ) p 62middot 76 Jun 2005
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os
passos
A) Suponha que seja vaacutelido p
B) Suponha que seja vaacutelido -q
C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q
D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou
elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com
-q
Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas
loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica
A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo
l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p
ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida
Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas
concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja
confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou
choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma
ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela
Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que
consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo
estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo
onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde
l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)
como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da
raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior
71
Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par
Prora
Inicialmente consideremos as sentenccedilas
a- e par
a e par
A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se
a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova
utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)
i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)
ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que
pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)
ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +
Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos
(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0
que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar
i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja
l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe
a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos
considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1
Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que
na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par
Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos
algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio
do indiviacuteduo
~ -q 11 nagraveo eacute par
Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI
12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
~~~~_~------------------------
VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
76
contraditoacuterio ao que vai ser demonstrado o que seria um absurdo
Conclui-se disso pela tagravelsidade do teorema contraditoacuterio e pela verdade
do que se quer demonstrar
b) Demonstraccedilatildeo sinteacutetica eacute a que parte do princiacutepio e desce ao teorema
a ser demonstrado Este processo adapta mais agrave demonstraccedilatildeo
propriamente dita
Loacutegica do Reductio ad Absurdum
o interesse deste trabalho eacute analisar o reductio ael ahsurdwn que
signitica reduzir um raciociacutenio ao absurdo Este procedimento provavelmente foi
L1til izudo pelos pitagoacutericos para demonstrar a irracionalidade da raiz quadrada
de dois Assim se tomarmos duas proposiccedilotildees p e q as quais satildeo conectadas
como
(a)(p-+ q)e
(b) (p ~ q)
e vemos na Tabda 2 que para qualquer proposiccedilatildeo p e q v ( - (p A - q) eacute
igual a -(p ~ q) Em (a) nas demonstraccedilotildees matemaacuteticas temos um teorema
onde p eacute a hipotese e q eacute a tese que se pretende provar Jaacute no item (b) temos a
negaccedilatildeo de uma proposiccedilatildeo composta e eacute nele que encontramos o redudio (fel
ahsurelum A igualdade entre os valores loacutegicos das duas proposiccedilotildees eacute que
nos leva agrave utilizaccedilagraveo da demonstraccedilagraveo de um teorema pelo redllclio ael uhsurdulIl
(para isto nossa atenccedilatildeo seraacute voltada para as duas primeiras linhas da Tabela
2) Utilizamos as demonstraccedilotildees pelo reductio adahmrdum quando as mesmas
exigem apenas duas e somente duas definiccedilotildees distintas tais como provar que
um elemento eacute par (ou iacutempar) provar que um elemento pertence (ou natildeo pertence)
a um conjunto etc
70 iCSSt (I1ssn Araccedilatuha 1 11 ) p 62middot 76 Jun 2005
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os
passos
A) Suponha que seja vaacutelido p
B) Suponha que seja vaacutelido -q
C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q
D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou
elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com
-q
Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas
loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica
A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo
l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p
ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida
Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas
concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja
confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou
choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma
ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela
Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que
consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo
estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo
onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde
l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)
como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da
raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior
71
Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par
Prora
Inicialmente consideremos as sentenccedilas
a- e par
a e par
A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se
a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova
utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)
i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)
ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que
pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)
ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +
Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos
(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0
que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar
i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja
l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe
a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos
considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1
Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que
na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par
Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos
algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio
do indiviacuteduo
~ -q 11 nagraveo eacute par
Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI
12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
~~~~_~------------------------
VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
76
A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os
passos
A) Suponha que seja vaacutelido p
B) Suponha que seja vaacutelido -q
C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q
D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou
elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com
-q
Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas
loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica
A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo
l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p
ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida
Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas
concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja
confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou
choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma
ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela
Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que
consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo
estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo
onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde
l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)
como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da
raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior
71
Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par
Prora
Inicialmente consideremos as sentenccedilas
a- e par
a e par
A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se
a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova
utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)
i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)
ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que
pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)
ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +
Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos
(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0
que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar
i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja
l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe
a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos
considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1
Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que
na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par
Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos
algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio
do indiviacuteduo
~ -q 11 nagraveo eacute par
Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI
12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
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VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
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Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par
Prora
Inicialmente consideremos as sentenccedilas
a- e par
a e par
A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se
a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova
utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)
i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)
ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que
pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)
ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +
Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos
(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0
que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar
i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja
l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe
a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos
considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1
Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que
na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par
Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos
algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio
do indiviacuteduo
~ -q 11 nagraveo eacute par
Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI
12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
~~~~_~------------------------
VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
76
A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois
Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os
passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos
i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com
a rh = 2 III (v (- li) = V)
ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(
eacute irredutiacutevel I i (v (p) =
V)
Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q
( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2
bull (2)
concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou
seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)
obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos
que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um
inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos
calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos
I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12
ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a
iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ
(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos
( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)
h
73
que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
~~~~_~------------------------
VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
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que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute
r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja
v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando
que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a
demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional
Conclusatildeo
o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens
relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado
pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar
os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e
tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo
Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas
demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas
definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar
que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc
Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo
ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e
demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo
atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )
acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo
Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois
utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo
No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter
antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na
experiecircncia (BARKER 1976)
74
das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
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VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
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das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo
moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica
Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio
da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da
demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para
demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de
questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo
este teorema (resultado )
L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do
10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo
do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou
lemas l
Apecircndice
Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que
a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)
Definiccedilatildeo I
Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus
diisores comuns
Definiccedilatildeo 2
Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj
1
Proposiccedilatildeo 2
Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo
mec (Uc hc) dmiddot C ccc
l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l
75
~~~~_~------------------------
VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
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VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical
logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo
e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005
Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy
stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy
ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It
suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who
cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is
commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven
hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad
absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy
cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy
dum ofirrationality o1the square ro01 of2
Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy
stratilll1
Referecircncias Bibliograacuteficas
BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976
BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974
DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982
GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974
MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo
Pau lo Fclusp 1997
NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985
SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982
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