Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural

Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC

João Rocha de AlmeidaJoão Cardoso

Seminário no Âmbito do Projecto POCTI/ECM/36055/2000,Financiado pela Fundação para a Ciência e a Tecnologia

FCT/UNL, Maio de 2004

Sumário

- Optimização Estrutural

- Algoritmos Genéticos

- Fiabilidade Estrutural

- Método de Monte Carlo

- Redes Neuronais

- Exemplos

Optimização Estrutural

Engloba um conjunto de teorias e métodos que procuram obter a estrutura que desempenha mais eficientemente as funções para as quais é projectada

Conheceu grande desenvolvimento na década de 70 quando se interligaram algoritmos de Programação Matemática (Simplex, SLP, SQP) e Programas de Elementos Finitos

Actualmente são muito utilizados Algoritmos Genéticos em vez de algoritmos de Programação Matemática

Elementos Finitos

Programação MatemáticaAlgoritmos Genéticos

Minimizar F(X) Função Objectivo

verificando c(X) 0

onde X = {X1,X2,,XN} Vector das Variáveis de Projecto

Constrangimentos normalizados

e com Xmin X Xmax Limites Laterais das Variáveis

de Projecto

Formulação do problema de Optimização Estrutural

Função Objectivo Variáveis de Projecto Constrangimentos

Dimensões

Topologia

Deslocamentos

Tensões

Frequências

Exemplo

Duas vigas formando uma grelha

Q= 175 kN/m

L1= 2,54 m , L2= 3,05 m

adm= 138 Mpa

= 77 kN/m3

Pretende-se minimizar o Peso da estrutura (Função Objectivo)

modificando as Áreas das secções transversais das vigas, X1 e X2 (Variáveis de Projecto)

considerando que a tensão nas vigas não pode ultrapassar a tensão admissível do material (Constrangimento)

e assumindo valores máximos e mínimos para X1 e X2 (Limites Laterais)

Domínio do Problema

Soluções : X1= 151,0 cm2 X2= 46,0 cm2 Peso= 4035 N

X1= 35,2 cm2 X2= 164,4 cm2 Peso= 4556 N

X1= 84,0 cm2 X2= 121,8 cm2 Peso= 4505 N

A necessidade de calcular gradientes exige a continuidade das funções utilizadas, o que é uma limitação em alguns problemas. Por outro lado, os métodos baseados em gradientes tem muita dificuldade em lidar com funções que apresentem mínimos locais

A maioria dos métodos desenvolvidos para resolver problemas de optimização procuram iterativamente no espaço das variáveis de projecto o ponto que minimiza a função objectivo verificando simultaneamente os constrangimentos. Essa pesquisa é feita com base no valor da função objectivo e dos constrangimentos e também dos seus gradientes em relação às variáveis de projecto

Um dos problemas em que não existe continuidade das funções corresponde ao problema de optimização com variáveis discretas

Algoritmos Genéticos

Baseados no trabalho original de Holland, que utilizou representações binárias das possíveis soluções de um problema e transformações destinadas a aperfeiçoar essas soluções de forma a atingir a solução óptima

Variáveis de Projecto

Cromossoma

( 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, ...)

Codificação

Procuram reproduzir no computador o processo de selecção natural das espécies e utilizam a terminologia da Genética

O conjunto de cromossomas constituindo a população de uma determinada geração é combinada através de operadores para dar origem à população da geração seguinte, que contém indivíduos melhor adaptados, de acordo com uma função de mérito

A aplicação de um algoritmo genético envolve :

1- Codificação das variáveis de projecto

2- Definição da função de mérito

3- Definição de operadores que alterem o conteudo dos cromossomas :

Selecção - escolhe os índividuos de uma geração que deverão fazer parte da geração seguinte

Cruzamento - combina os genes de dois cromossomas pais para dar origem a dois cromossomas filhos distintos dos progenitores

Mutação - altera de forma aleatória os genes de um cromossoma

ExemploPórtico plano

Forças verticais em todos os nós de 444,8 kN

Forças horizontais indicadas

adm= 5,08 cm

E= 200 GPa

8 grupos de elementos

1110 12

1413 15

1716 18

2019 21

2322 24

8 x 3.048 m

3.048 m

8.473 kN

7.264 kN

6.054 kN

4.839 kN

3.630 kN

2.420 kN

1.210 kN

Pretende-se minimizar o peso da estruturaescolhendo os perfis mais adequados numa tabela com 16 perfis W

(Optimização discreta)

considerando que o deslocamento horizontal no topo deve ser inferior a adm

W21x44

W18x35

W16x26

W12x16

W12x16 W12x16

W12x16

W14x26

W18x35

W16x26

Peso : 31,72 kN

Tabela de perfisW27X84

W24X68

W21X62

W21X44

W18X46

W18X35

W16X31

W16X26

W14X38

W14X26

W12X40

W12X16

W10X39

W10X33

Cromossoma

( 4, 6, 8, 12, 10, 6, 8, 8 )

Trabalho Desenvolvido - I

Problema :

Dada uma estrutura constituída por um conjunto N de componentes, descobrir qual a solução óptima que corresponderá a usar um número K de perfis normalizados na sua construção, a escolher entre um número M de perfis disponíveis

Solução :

Cromossoma composto. Os primeiros K genes constituem índices na tabela de perfis disponíveis. Os restantes N ( 1 por cada grupo de componentes ) referem-se a um dos K genes iniciais. Cada cromossoma define uma solução para o problema

Tabela de perfisW27X84

W24X68

W21X62

W21X44

W18X46

W18X35

W16X31

W16X26

W14X38

W14X26

W12X40

W12X16

W10X39

W10X33

( 6, 7, 8, | 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 3 )

Cromossoma

K= 3 Peso : 31,96 kN

W18x35

W18x35W18x35

W18x35

W18x35W16x31

W16x31

W16x26

Exemplo pórtico plano

Pórtico de 8 andares

1 2 3 5

Nº Secções diferentes

K Solução p1 Solução p2 Volume (m3) Peso (kN)

1 6 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 0.4860 37,43

2 6, 8 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8 0.4242 32,67

3 6, 7, 8 6, 7, 8, 8, 6, 6, 8, 8 0.4150 31,96

5 4, 6, 8, 10, 12 4, 6, 8, 12, 10, 6, 8, 8 0.4119 31,72

Trabalho Desenvolvido - II

Problema : Obter vários mínimos globais ou um mínimo global e vários mínimos locais, quando estes ocorram na função a optimizar

Solução :

Partição regular do domínio em sub-domínios, cada qual contendo uma sub-população

Evolução isolada de cada sub-população para o óptimo que ocorre no sub-domínio

Processo de adaptação automática da partição do domínio às características do problema que se pretende resolver

Processo de transferência de elementos entre sub-populações, permitindo enriquecer as regiões de elevado potencial onde é mais provável que existam óptimos, em detrimento das regiões sem interesse

Função Branin RCOS (BRC)

397887.0,

)475.2,425.9(),275.2,(),275.12,(),(

:3150,105:

10)cos(**811*10

6*5**45),(

1212221

globaisóptimosxxDomínio

xxxxxBRC

-5,00 -1,25 2,50 6,25 10,00

geração 0 geração 5 geração 20 geração 40 geração 60

Função Branin RCOS (BRC)

0,05 7,54 15,03 22,51 30,00

0,05 10,03 20,02 30,00

Exemplo : duas vigas formando uma grelha

Fiabilidade Estrutural

A verificação da segurança de uma estrutura implica: S < R, onde S representa a acção e R a resistência

Tanto S como R dependem de diversas variáveis aleatórias, X1,...,Xn

ncdxdxdxxxxfXXXgPP

.........

2121,,,

0),,,(

21),,,(...0),,,(

A violação do estado limite é definida pela condição g( X1, X2, ..., Xn) 0 e a probabilidade de colapso, Pc , pode ser formalmente expressa pela equação:

),,,(21,,,

21nXXX

......

onde (x1, x2, ..., xn) são ocorrências das variáveis aleatórias e

é a função conjunta de densidade de probabilidade

Função de estado limite: g(X1,...,Xn) = R – S

A fiabilidade de uma estrutura pode também ser medida pelo índice de fiabilidade, , que representa a distância do ponto de rotura mais provável à origem, no espaço (R, S) de coordenadas normalizadas

onde é a função distribuição normal padrão

Conhecendo a probabilidade de colapso é dada por:

Método de Monte Carlo

onde ),,...,( 21 nXXXI é uma função definida por

0),,,( se 0

0),,,( se 1),,,(

nn XXXg

XXXgXXXI

......

Permite obter uma estimativa da probabilidade de colapso,

inc XXXI

121 ),,,(

1... (1)

de acordo com a equação (1), N amostras independentes de valores das variáveis aleatórias são obtidas com base nas distribuições de probabilidade dessas variáveis e a função de estado limite é calculada para cada amostra. Designando por NH o número de casos em que ocorreu o colapso, a probabilidade de colapso da estrutura é aproximada por :

A aplicação do método de Monte Carlo apresenta as seguintes

Vantagens :

Método probabilístico exacto, ou de nível 3 (cf. Eurocódigo 1), onde a probabilidade de colapso é avaliada a partir da distribuição conjunta de probabilidade das variáveis associadas às acções e às resistências

Permite avaliar a probabilidade de colapso de um sistema em que se consideram simultaneamente várias funções de estado limite

Desvantagens :

Requer um modelo estatístico de todas as variáveis aleatórias envolvidas

Tempo de cálculo muito elevado

Para estados limites últimos ( 104 PC 106 ) é necessário avaliar g(X) entre 105 e 107 vezes para obter resultados com uma aproximação aceitável

Redes Neuronais

Técnica de inteligência artificial inspirada no funcionamento dos neurónios biológicos

O uso de redes neuronais tem vindo a generalizar-se em vários domínios, entre os quais a mecânica estrutural e em particular a fiabilidade de estruturas

Neurónio artificial introduzido por McCulloch e Pitts (1943)

x1 wm1

kkmkm bxwa

mamm eafs

w131 b1

w142 w13

Rede neuronal multicamada ( 3 x 4 x 3 )

1 ssss

bwwwbwwwbwwwbwww

bwwwwbwwwwbwwww

w131 b1

w142 w13

O tempo necessário para calcular o valor das funções que uma rede neuronal multicamada aprendeu é muito reduzido

O cálculo corresponde apenas a algumas operações matriciais

O processo de obter os coeficientes wmk e bm de forma que a rede neuronal possa representar uma função designa-se por treino da rede

O treino mais comum, treino supervisionado, consiste em arbitrar valores iniciais para os coeficientes e em seguida ajustar esses valores de forma a minimizar o erro entre as saídas obtidas pela rede e o resultado exacto da função

Para proceder assim, é necessário construir um conjunto de treino, com valores das variáveis de entrada e os correspondentes valores da função. Após o treino, a rede deve ser testada com um conjunto de teste

Neste trabalho utilizou-se um algoritmo misto, minimizando-se inicialmente o erro com um algoritmo genético e em seguida com um algoritmo de gradientes conjugados

Exemplo

F(X,Y) = 0,3 + ( 2 Sin( X ) Cos ( Y ) + Sin ( X Y ) ) / 6

com X [3.5 , 5.5] e Y [2.0 , 4.0]

Função analítica

Conjunto de treino com

14 x 14 = 196 pontos

Conjunto de teste com

32 x 32 = 1024 pontos

s1 = 1 s1 = 6

s1 = 12 s1 = 18

jijij os

oosMAX )( máx

s1 Erro treino,E máx (%) médio (%) t (h:m:s)

1 1,5510-2 114 21 00:00:01

6 7,1510-4 32 3,9 00:02:30

12 9,2210-5 26 1,1 00:29:11

18 5,4910-6 2,5 0,38 02:09:32

24 1,7910-6 1,9 0,35 06:36:48

30 1,1910-6 1,5 0,23 18:32:06

36 1,9710-7 0,93 0,095 41:02:08

)(1médio 1

Medidas do erro

Resultados do treino

Trabalho Desenvolvido - III Utilização da rede neuronal para aprender o comportamento da estrutura

L1= 10 m

L2= 4 m

Pórtico intermédio de uma nave industrial com 20x10x4 m

Espaçamento de 5 m entre pórticos semelhantes

Definição das acções segundo o Eurocódigo 1, considerando-se os seguintes valores característicos :

Cargas permanentes – 0,5 kN/m2 correspondente ao peso próprio da estrutura acrescido do revestimento da cobertura e da fachada

Sobrecarga – 2 kN/m2, correspondente a uma utilização normal

Vento – considera-se uma pressão dinâmica do vento igual a 0,456 kN/m2

/1,1 /1,1y SdSd

y pl y y

MNAf W f

/1,1 /1,1y SdSd

z y LT pl y y

MNAf W f

Função Descrição

H L2/150 Deslocamento horizontal máximo do pilar

V L1/300 Deslocamento vertical máximo da viga

Resistência à flexão compostacom compressão do pilar

Resistência à flexão composta com compressão da viga considerando a possibilidade de encurvadura lateral

Funções de estado limite

Um pórtico com pilares HEA 260 e uma viga HEA 300 verifica a segurança aos estados limites. Os deslocamentos e esforços de dimensionamento são :

H = 1,32 mm ; V = 16,8 mm

NSd(Pilar) = 98,6 kN (topo do pilar direito – secção C)

My,Sd(Pilar) = 122,5 kNm (topo do pilar direito – secção C)

NSd(Viga) = 46,7 kN (extremidade direita – secção C)

My,Sd(Viga) = 122,5 kNm (extremidade direita – secção C)

Variável Distribuição Média Desvio Padrão

Coefic.Variação

Valor Característico

Módulo de Young (GPa) Normal 210 10,5 0,05 210

Carga permanente (kN/m2) Normal 0,50 0,05 0,10 0,50

Sobrecarga (kN/m2) LogNormal 1,06 0,366 0,35 2,0

Pressão do vento (kN/m2) LogNormal 0,241 0,084 0,35 0,456

Tensão de cedência (MPa)

LogNormal 280 28 0,10 235

Distribuição probabilística

Numa análise preliminar, verificou-se que os valores dos deslocamentos H e V são muito inferiores aos admissíveis, pelo que a probabilidade de colapso associada aos estados limites de utilização é desprezável. Como os esforços na estrutura não dependem do módulo de Young, esta variável foi retirada do modelo probabilístico

s1 - número de neurónios da camada

intermédia

Erro obtido com o conjunto de treino

Erro obtido com o conjunto de teste

4 6,2810-6 2,9710-6

6 3,8510-7 3,4410-7

8 1,0110-7 8,2710-8

10 3,2010-9 2,2010-9

12 1,7710-9 1,5310-9

jijij os

Rede neuronal com 3 x s1 x 3 neurónios

Resultados do treino – Erro quadrático médio

Considerou-se um conjunto de treino com 6 x 6 x 6 = 216 pontos e um conjunto de teste com 12 x 12 x 12 = 1728 pontos.

s1 - número de neurónios

da camada intermédia

máx(%)

N (pilar) N (viga) M (pilar e viga)

4 1,42 2,14 1,11

6 0,771 1,11 0,711

8 0,545 0,516 0,503

10 0,105 0,107 0,071

12 0,067 0,069 0,067

Resultados do treino – Erro relativo máximoi

oosMAX )( máx

Número de amostras Probabilidade de colapso Tempo de cálculo (segundos)

106 1,43105 22

107 1,39105 189

108 1,28105 1865

Função de Estado Limite

Monte Carloc/ rede neuronal

Monte Carlodirecto

FORM( COMREL-TI)

SORM(COMREL-TI)

Resistência à flexão composta

com compressão do pilar

Pc = 1,277 105

= 4,21

Pc = 1,255 105

= 4,21

Pc = 1,229 105

= 4,22

Pc = 1,285 105

= 4,21

Resistência à flexão composta

com compressão da viga, considerando a possibilidade de

encurvadura lateral

Pc = 8,630 106

= 4,30

Pc = 8,607 106

= 4,30

Pc = 8,275 106

= 4,31

Pc = 8,650 106

= 4,30

Resultados da análise de fiabilidade

Trabalho Desenvolvido - IV Utilização da rede neuronal para aprender a função de estado limite g(X)

HEB220

31.7 kN/m

10.2 kN

49.1 kN/m20.4 kN

20.4 kN

49.1 kN/m

2 x 6.00 m

6 x 3.75 m

E = 205 GPa

fy = 235 MPa

0 = 1/450

0 0IPE400

IPE360

IPE240

IPE300

IPE330

HEB220

HEB180

HEB200

HEB240

HEB260

HEB180

HEB220

Pórtico metálico com 6 andares

Dimensões : 12 x 22,5 m

As cargas verticais, horizontais e a tensão de cedência do aço foram consideradas variáveis aleatórias

Comportamento geometricamente e fisicamente não-linear

Análises elasto-plásticas considerando a formação de zonas plásticas

Considerou-se uma única função de estado limite, associada ao colapso elasto-plástico do pórtico.

Distribuição probabilística (*: valores para último piso)

variável média

desvio padrão

coeficiente variação

valor característico

carga vertical (kN/m) 33.3 (21.5*)

6.66 (4.30*) 0.20 49.1 (31.7*)

carga horizontal (kN) 10.76 (5.38*) 3.76 (1.88*) 0.35 20.4 (10.2*)

tensão de cedência (MPa) 280 28 0.10 235

nº neurónios - s1 Erro treino,E Respostas erradas no treino

Respostas erradas no teste

tempo treino (s)

4 4.036103 2 1 506

8 2.763103 0 1 5830

12 1.867103 0 0 23517

Resultados do treino

A análise de fiabilidade foi realizada pelo método de Monte Carlo com 107 amostras.

nº neurónios - s1 pf (média) pf (desvio p.) (média) tempo simulação (s)

4 2.726104 3.326106 3.46 81

8 2.489104 7.062106 3.48 113

12 2.426104 3.910106 3.49 141

Resultados da análise de fiabilidade

Trabalho Desenvolvido - V Optimização com constrangimentos de fiabilidade

Na optimização com constrangimentos de fiabilidade, pelo menos um dos constrangimentos c(X) está relacionado com a fiabilidade da estrutura

A metodologia normalmente empregue para resolver este tipo de problema recorre a algoritmos baseados em gradientes e aos métodos FORM ou SORM, baseados na determinação do índice de fiabilidade, .

Optou-se por considerar uma estratégia combinando um algoritmo genético, o método de Monte Carlo e uma rede neuronal

Esta estratégia implica a utilização do método de Monte Carlo para todos os elementos da população considerados pelo algoritmo genético

Função objectivo :

- Massa da treliça

Variáveis de projecto :

- Àrea da secção das barras, A.

- Coordenada X e Y do nó 4, nX

Exemplo

Treliça plana com 6 barras

Na configuração inicial

indicada, nX = nY = 3 m

E = 206 GPa

Massa específica, = 7,8 x 103 kg/m3

(Burton & Hajela, 2003)

Variáveis aleatórias :

- Carga concentrada P aplicada no nó 3

- Tensão de cedência do aço utilizado, C

Distribuição probabilística

Variável Distribuição Média Desvio padrão

Coefic.variação

Carga concentrada, P (kN) Normal 30 3 0,10

Tensão de cedência, C (MPa) Normal 172 8,6 0,05

Verificou-se que as barras 3, 4 e 5 eram as mais solicitadas, e definiram-se três funções de estado limite

g1 = C 3

g2 = C 4

g3 = C 5

Considerou-se que o colapso da estrutura ocorre quando em pelo menos uma das barras se atinge C Sistema em série sendo a respectiva probabilidade de colapso, Pc, calculada pelo método de Monte Carlo

Definiu-se um único constrangimento :

impondo-se Pmax = 0,001 , a que corresponde = 3,090

Constrangimento :

Resultados do treino – Erro quadrático médio

Nº neurónios - s1 Erro obtido com o conjunto de treino

Erro obtido com o conjunto de teste

6 1,296710-3 7,829510-4

12 1,921810-5 1,835210-5

24 1,600510-6 2,060810-6

Nº neurónios – s1 máx(%)

M 3 4 5

6 1,167 2,240 2,949 2,949

12 0,238 0,529 0,399 0,399

24 0,0775 0,199 0,148 0,148

Resultados do treino – Erro relativo máximo

Variável / Função

objectivo

Algoritmo genético +

Rede neuronal

Burton & Hajela Diferença (%)

A (m2) 2,359 2,366 0,28

nx (m) 1,563104 1,557104 0,36

Massa (kg) 22,512 22,450 0,28

Algoritmo genético

Cromossomas com 40 genes binários (20 por variável), populações com 40 indivíduos e um total de 60 gerações.

A probabilidade de colapso da estrutura foi estimada com 105 amostras

Resultados da optimização

Tempo total de cálculo durante a optimização : 6394 s ( 1 H 47 m )

Conclusões

Demonstrou-se a viabilidade da aplicação das metodologias desenvolvidas :

Algoritmos Genéticos para optimização de estruturas com secções normalizadas

Método de Monte Carlo + Redes Neuronais para análise de fiabilidade

Algoritmos Genéticos + Método de Monte Carlo + Redes Neuronais para optimização de estruturas com constrangimentos de fiabilidade

Algoritmos genéticos para optimização de funções com vários mínimos globais e/ou locais

Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural

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