ECO018: MODELAGEM E

ANÁLISE DE SISTEMAS

DINÂMICOS

Professor: Msc. André Chaves Magalhães

Dr. Dair José de Oliveira 1

IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS: MODELO

MATEMÁTICO DE UM SISTEMA DINÂMICO DE

QUARTA ORDEM

Amanda de Souza Limas

Clara Duarte de Sant Anna

Luan Carlos de Almeida Silva

Zélia Gabriela Ferreira Gomes

2

Modelo Matemático

• “Modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como o conjunto

de equações que representa a dinâmica do sistema com precisão, ou pelo

menos, razoavelmente bem.” Ogata (2010)

• Pode ser representado de muitas maneiras diferentes e, portanto, pode ter

vários modelos matemáticos (Função de Transferência, Variáveis de Estados,

Diagrama de Blocos, Método dos Mínimos Quadrados).

3

Modelo Matemático

• Objetivo: analisar o comportamento de uma variável contínua de interesse,

analisando se ocorre:

o A tendência a um valor finito após a aplicação de uma excitação;

o Possibilidade de diminuir o tempo do regime transitório.

4

Modelo Matemático

• A dinâmica de muitos sistemas pode ser descrita através de equações

diferenciais;

• Conhecidos os valores de entrada e saída de um sistema, é possível obter um

modelo matemático que descreve o comportamento do sistema

5

Modelo Matemático

6

• O modelo matemático é do tipo:

Com n≥m, onde y representa a saída e x é a entrada

xbxbxbxbxbyayayayaya mmmmm

nnnnn

1)2(

2)1(

1)(

01)2(

2)1(

1)(

0 ......

Modelo Matemático

7

• O sistema trabalhado neste trabalho é de quarta ordem e a equação a qual

pretende-se encontrar é do tipo:

ubyat

ya

t

ya

t

ya

t

y0012

2

23

3

34

4

Modelo Matemático

• Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação,

encontramos a equação equivalente:

(Função de Transferência)

8

sasasasas

b

sU

sYsGs

0123

4

0

²³)(

)()(

Modelo Matemático

• Esse é um procedimento que exemplifica a identificação de sistemas de

modo que, para tanto, se faz necessário determinar os parâmetros reais a0, a1,

a2, a3 e b0.

9

Objetivos

• Projetar e construir um sistema físico de quarta ordem (Filtro ativo de quarta

ordem, topologia Sallen Key e formato de resposta Chebyshev do tipo 1);

• Obter uma representação por função de transferência de quarta ordem;

10

Objetivos

• Validar FT a partir de um conjunto de dados, empregando a teoria de

modelagem e análise de sistemas dinâmicos;

• Encontrar outras três formas de representações matemáticas – Modelo por

Variáveis de Estados, Diagrama de Blocos e Método dos Mínimos Qua-

drados.

11

Softwares utilizados

• MATLAB;

• PSIM

12

Teoria sobre identificação de sistemas

• A identificação de sistemas dinâmicos pode ser definida como a utilização de

procedimentos numéricos;

• Visam obter modelos de sistemas dinâmicos, a partir de medidas das suas

entradas e saídas.

13

Teoria sobre identificação de sistemas

• Os procedimentos para identificação de sistemas:

I. Coleta de dados;

II. Escolha da representação do modelo;

III. Escolha da estrutura do modelo;

IV. Estimação de parâmetros;

V. Testes de validação do modelo.

14

Métodos dos mínimos quadrados

• Basicamente, para um sistema representado na forma de uma tabela com N

medidas (dados de entradas e saídas anteriores φ, deseja-se determinar os

coeficientes θ de uma equação que represente o sistema de maneira mais

adequada possível.

• O erro ξ da aproximação obtida é minimizado conforme um critério

quadrático J

15

Métodos dos mínimos quadrados

16

• As equações seguintes expressam a conceituação:

)()'()( mmly

N

i

iJ1

')²(

Métodos dos mínimos quadrados

• Denotando F o vetor transposto dos regressores, E o vetor de erro e y os

valores reais, tem-se a expressão de erro :

E = y – Fq

• Dessa forma, a função de custo pode ser escrita como

J = [y-Fq]’[y-Fq]

17

Métodos dos mínimos quadrados

• Desenvolvendo a equação anterior, obtém-se:

J = y’y - 2q’F’y + q’F’Fq

• O vetor coeficientes que minimiza a função de custo é obtido derivando J em

relação à θ e igualando a expressão obtida a zero, resultando em:

-2F’y + 2F’Fq=0

18

Métodos dos mínimos quadrados

• Assim, os valores estimados dos coeficientes da equação de modelagem são

dados por:

19

yFFF ']'[ 1

Filtros

• Filtros são circuitos elétricos que permitem passagem de corrente elétrica ou

tensão elétrica em uma faixa de frequências e inibem a passagem em outras

frequências.

20

Filtros

• São classificados em função da banda passante e em função da ordem dofiltro, podendo ser:

Passa Baixa;

Passa Alta;

Passa Faixa;

Rejeita Faixa;

Defasador ;

Variável de Estado.

21

Filtros

• Os filtro também pode ser classificado quanto ao formato da resposta:

Bessel: faixa de passagem e de rejeição planas e região de transição suave

Butterworth: faixa de passagem e de rejeição planas e região de transição moderada

Chebyshev 1: faixa de passagem com oscilação, região de transição moderada e faixa derejeição plana

Chebyshev 2: faixa de passagem plana, região de transição moderada e faixa de rejeiçãocom oscilação

Elíptico: faixa de passagem e rejeição com oscilações e região de transição abrupta

22

Filtros

• E de acordo com a sua topologia, sendo:

Cauer: Indutores e capacitores (passivo)

Sallen Key: Resistores e capacitores (ativo)

Realimentação múltipla: Resistores e capacitores (ativo)

Variáveis de estado: Resistores e capacitores (ativo)

Biquadrático: Resistores e capacitores (ativo)

23

Filtros

• A Figura 1a seguir apresenta

a resposta característica de

cada tipo de filtro:

24Figura 1: Respostas de diferentes filtros

Sistema físico

• Filtro ativo de quarta ordem, topologia Sallen Key e formato de resposta

Chebyshev tipo 1:

25

Figura 2: Sistema físico montado no software PSIM

Sistema físico

• Os valores de frequência de corte fc e fator de qualidade Q escolhidos foram:

-Primeira parte (1° amp-op): -Segunda parte (2° amp-op):

fc = 999,66 Hz fc = 1003,28 Hz

Q = 0,541525622 Q = 1,305756486

26

Sistema físico

• Para o filtro de quarta ordem desejado, temos a frequência de corte e o fatorde qualidade:

fc = 1000 Hz

Q = Q2 – Q1 = 1,305756486 - 0,541525622 = 0,764230864 (Q > 0,707 -característico do filtro Chebyshev).

27

Sistema físico

• Os valores dos resistores foram escolhidos e os valores de capacitância foram

determinados resolvendo-se o sistema de equações formado pelas equações:

28

21212

1

CCRRf c

)( 211

2121

RRC

CCRRQ

Sistema físico

• Para uma simulação feita usando o software PSIM, o sinal de entrada é o da

figura a seguir:

29Figura 3: Sinal de entrada no PSIM

Sistema físico

• O sinal de saída obtido está apresentado na figura a seguir:

30Figura 4: Sinal de saída no PSIM

Sinal de entrada do sistema físico

• O sinal de entrada foi obtido no gerador de funções visto na Figura 5:

31Figura 5: Osciloscópio

Sinal de saída do sistema físico

32Figura 6: Sinal de saída dado no osciloscópio

Sinal de saída do sistema físico

• Comparando-se a Figura 6 com a Figura 1 pode-se concluir que a saída do

sistema físico se assemelha a saída característica do filtro Chebyshev tipo 1.

33

Sinal de saída do sistema físico

• O fator de qualidade Q determina o formato da resposta do filtro, sendo:

Bessel: Q = 0,5

Butterworth: Q = 0,707

Chebyshev: Q > 0,707

• Como já mostrado previamente, os cálculos comprovam o tipo de filtro:

Q = Q2 – Q1 = 1,305756486 - 0,541525622 = 0,764230864

(Q > 0,707 - característico do filtro Chebyshev).

34

Desenvolvimento matemático

• Função de transferência -G(s)- é a relação da transformada de Laplace da

saída para a transformada de Laplace da entrada.

• A estrutura básica do filtro utilizado é mostrada na Figura 7:

35Figura 7: Filtro Passa Baixa Sallen Key

Desenvolvimento matemático

• Denominando:

I1 a corrente no resistor 1;

I2 a corrente no capacitor 2;

I3 a corrente no resistor r;

I4 a corrente na entrada inversora do amplificador operacional;

Vi o sinal de tensão na entrada;

Vo o sinal da tensão na saída;

Va o sinal de tensão no ponto de nó entre R1 e R2(no ponto de introdução de C2 no circuito)

36

Desenvolvimento matemático

• Temos:

I² =

I³ = com I1 = I2 + I3

37

1

1R

VVI Ai

sC

VV oA

2

1

sCR

VA

12

1

Desenvolvimento matemático

• Desenvolvendo tem-se:

38

1R

VV Ai

sC

VV oA

2

1

sCR

VA

1

2

1

112

122

11

sCR

sCVsVCsVC

R

V

R

V AoA

Ai

o

i

A sVCR

VsC

RsCR

sCV 2

1

2

112

1 1

1

Desenvolvimento matemático

• A tensão em C1:

• Com o ganho unitário:

VA = Vo(R2C1s+1)

39

sCR

VsC

V

A

C

1

2

11 1

1

oAo

A

VsCR

VV

sCR

VsC

1

1)1(

1

1

12

1

2

1

Desenvolvimento matemático

Vo(R2C1s+1)

Vo(R2C1s+1)

40

sC

RsCR

sC2

112

1 1

1 oi sVC

R

V2

1

1

)1()1(

12

1212121

sCR

sCRsRCsCRsCo

i sVCR

V2

1

11

121221211211 ²1

R

V

R

sRCsRCsCCRRsCRsCRVo i

)(1)(

1

221211

sFsCRRRRsCV

V

i

o

Desenvolvimento matemático

• Como a topologia da segunda parte do circuito é igual à topologia do

primeiro, temos F(s) = H(s), em que:

G(s) = F(s) H(s)

e:

41

1)()²(

1 = F(s)

12112121 sCRCRRRCCs

1)()²(

1 = H(s)

34334343 sCRCRRRCCs

Desenvolvimento matemático

42

]1)()²([1]1)()²()[(]1)()²()[²(

1

]1)()²(][1)()²([

1)(

34334343343343431211343343432121

3433434312112121

CRCRsRRCCsCRCRsRRCCsCRCRsCRCRsRRCCsRRCCs

CRCRsRRCCsCRCRsRRCCssG

)²()³()(

1)(

43434231323141313131212121321421321321321432143214 RRCCRRCCRRCCRRCCRRCCRRCCsRRRCCCRRRCCCRRRCCCsRRRRCCCCs

sG

]1)(

1...

43332111 RCRCRCRCs

Desenvolvimento matemático

• Substituindo os valores de , tem-se:

43

43214321 RRRRCCCC

134.124²1048762104.25³10525248735.41024445107.6

1)(

512416

sssssG

15131134 10601421788.110991207852.1²10081643167.4³10246831922.7

1)(

sssssG

Validação do modelo por variáveis de estado

• Para o sistema de equações diferenciais que possui derivadas na função de

entrada, como:

44

xbxbxbxbxbyayayayaya mm

mmm

nn

nnn

1

)2(

2

)1(

1

)(

01

)2(

2

)1(

1

)(

0 ......

Validação do modelo por variáveis de estado

• Uma maneira de obter uma equação de estado e a equação de saída, para esse

caso, é definir as seguintes n variáveis como um conjunto de n variáveis de

estado:

45

Validação do modelo por variáveis de estado

46

Validação do modelo por variáveis de estado

47

Validação do modelo por variáveis de estado

48

Validação do modelo por variáveis de estado

49

Validação do modelo por variáveis de estado

50

• Para validar as equações de variáveis de estado, foi utilizada a seguinte rotina

no MATLAB:

den = [1 7.246831922x103 4.081643167x1011 1.991207852x1013 1.601421788x1015];

num = [0 0 0 0 1.601421788x1015];

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den);

ES = ss(A,B,C,D)

[y,t,x] = step(ES);

Validação do modelo por variáveis de estado

• Desse modo, a imagem gerada

está representada na Figura 7.5:

51

Figura 7.5: Resposta ao degrau para a

validação das equações de espaço de estados

Validação do modelo por variáveis de estado

• A Figura 7.5 representa a saída para o sinal de entrada como degrau. Esta

imagem é semelhante ao sinal esperado, como na Figura 8(b), comprovando

a validade da equação de espaços de estado.

52

Validação da Função de Transferência

• No Simulink, um sinal da foi aplicado (Figura 8 - a)a um bloco de função de

transferência com os dados da FT gerando a saída vista na Figura 8(b):

53Figura 8 - Validação da Função de Transferência com (a) sinal de excitação e (b) sinal de saída

Validação da Função de Transferência

• O sinal estabilizado na Figura 9(b) indica que a função de transferência é

coerente com o sistema em estudo:

54Figura 9 - Validação da função de transferência a partir de uma forma de onda quadrada com (a) entrada e (b) saída

Validação da Função de Transferência

• A Figura 10(a) mostra o sinal aplicado a FT referentes à Figura 8 e a Figura

10(b) mostra o sinal aplicado a FT referentes à Figura 9:

55

Figura 10(a) Figura 10(b)

Validação da Função de Transferência

• É notável que a Figura 6 (saída do sistema físico) é semelhante à Figura 9(b),

indicando a validade da função de transferência.

56

Diagrama de blocos

• O Diagrama de blocos da FT é apresentado a seguir dividido em duas

imagens para melhor visualização:

57

58

59

Diagrama de blocos

• Substituindo por valores reais o diagrama de blocos, temos a representação a

seguir:

60

61

62

Análise do comportamento dinâmico do

sistema

• Para fazer a análise do sistema, foi utilizado método de Routh de modo a

determinar a sua estabilidade, sendo:

s4 1 4.081643167 x 1011 1.601421788 x 1015

s³ 7.246831922 x 10³ 1.991207852 x 10³

s² 4.081643167x 1011 1.601421788 x 1015

s -2.843076016 x 106

s0 1.601421788 x 1015

Observa-se duas trocas de sinal na primeira coluna dos coeficientes. Essas duas trocas

de sinal mostram que o sistema é instável, com duas raízes no semi plano direito.63

Desenvolvimento do método dos mínimos

quadrados

• Código do MATLAB e resposta ao degrau:

A0 = 1.601421788e15;

A1 = 1.991207852e13;

A2 = 4.081643167e11;

A3 = 7.2468922e3;

A4 = 1;

B0 = 1.601421788e15;

64

Desenvolvimento do método dos mínimos

quadrados

• Função de transferência com os parâmetros encontrados pelo toolbox: G2=tf(B0,[A4 A3 A2 A1 A0])

figure

step(G2)

title('Resposta ao degrau')

xlabel('Tempo')

ylabel('Amplitude')

grid on;

hleg3 = legend('Modelo mínimos quadrados','Modelo toolbox','Location','SouthOutside');

%características da resposta ao degrau para G1 e G2

S1=stepinfo(G1)

S2=stepinfo(G2)65

Desenvolvimento do método dos mínimos

quadrados

S1 =

RiseTime: 0.0109

SettlingTime: 0.0195

SettlingMin: 0.0806

SettlingMax: 0.0893

Overshoot: 0

Undershoot: 0

Peak: 0.0893

PeakTime: 0.0522 66

S2 =

RiseTime: 0.0233

SettlingTime: 0.1343

SettlingMin: 0.9298

SettlingMax: 1.2629

Overshoot: 26.2889

Undershoot: 0

Peak: 1.2629

PeakTime: 0.0565

Desenvolvimento do método dos mínimos

quadrados

• Função de transferência:

Transfer function:

1.601e015

---------------------------------------------------------------------------

s^4 + 7247 s^3 + 4.082e011 s^2 + 1.991e013 s + 1.601e015

67

Apêndice B

• Vide arquivo em anexo para mais

detalhes

z =

1.0e+005 *

-0.0005

-0.0360 + 6.3887i

-0.0360 - 6.3887i

68

p =

1.0e+005 *

-0.0360 + 6.3887i

-0.0360 - 6.3887i

-0.0002 + 0.0006i

-0.0002 - 0.0006i

k =

0

Conclusão

• À partir dos modelos matemáticos desenvolvidos no presente trablaho, foi

possível modelar e analisar um sistema físico de quarta ordem, bem como

comparar seus parâmetros (encontrados à partir dos diferentes modelos).

• Foi possível também estudar a estabilidade do sistema, sendo instável, com

dois polos no semi-plano direito.

69

Referências

• SOUZA, Antonio C. Zambroni de, PINHEIRO, Carlos A. M., Introdução a Modelagem, Analise e Simulação de Sistemas Dinâmicos, 1 Edição, Interciência, 2008.

• OLIVEIRA, Dair José de, BRAGA, Denis de Carvalho. Laboratório 9: Introdução ao Toolbox de Identificação de Sistemas. 04-04 de jun de 2012. 18 p. Notas de Aula.

• OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno, 5ª Edição, Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2010.

• PICHORIM, S. F. FILTROS ATIVOS. Notas de Aula

• http://www.clubedaeletronica.com.br/Eletronica/PDF/Amp-OP%20IV%20-%20filtros.pdf

• SILVA, J. T. L. e FILTROS ATIVOS: PROJETO. Notas de Aula

70

Referências

• RUEDA, D. E. IMPLEMENTAÇÃO DE UM CIRCUITO ELETRÓNICO UNIVERSAL DE SUPORTE À IMPLEMENTAÇÃO DE FILTROS ANALÓGICOS NA BANDA DO ÁUDIO. Tese de Obtenção de Grau em Engenharia Eletroeletrônica.

• http://www.elt09.unifei.edu.br/roteiroslab/AmpOp_Lab8.pdf

• MELGES, D. CIRCUITOS ELÉTRICOS III. Notas de Aula

• FABRIZZIO, P. FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA. Notas de Aula

• SOUZA, A. A. de COMPARAÇÃO DE EFICIÊNCIA DE FILTROS DIGITAIS IIR E FIR. Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina - CEFET-SC CST em Sistemas de Telecomunicações.2008<http://www.sj.cefetsc.edu.br/~moecke/DISCIPLINAS/PSD3606/2008_2/Prj_2008_2_Adriano_Aurelio.pdf>

• INPE. ANÁLISE DE RESPOSTA TRANSITÓRIA: SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (CONTINUAÇÃO).Notas de Aula

71