PROBLEMA  PROPOSTO  DO  PROFESSOR  E    AMIGO  ANDERSON  –  POLIEDRO  DE  GUARULHOS  

SOLUÇÕES  DIFERENTES  PARA  UM    PROBLEMA  DE  ÁREA    DA  PROVA  DA  GV      Na  figura  abaixo  M  e  N  são  respectivamente  pontos  médios  dos  lados    AB  e  BC  de  um  quadrado  ABCD,  com  lado  medindo  x.  Calcule  a  área  da  região  plana  de  cor  vermelha  em  função  de  x.  

 

 

 

 

Resolução  2:    

 

   

A  área  pedida  é

€

ACAN + ABDM −2AROQT.    

Isto  é,  

€

x2

4+

x2

4−2(AROQ + AQTR ) =

x2

2−2 RQ ⋅ h1

2+

RQ ⋅ h22

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

x2

2−

x ⋅ h13

+x ⋅ h2

3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

x2

2−

x3

h1 +h2( )          (I)  Assim,  basta  achar  os  valores  de  

€

h1  e  

€

h2  em  função  de  x.  

Como  ΔROQ  é  retângulo  e  isósceles  de  base  

€

QR =x3  temos  

€

h1 =x6            (II)  

E  ainda,  como  Q  e  R  são  os  baricentros  dos  triângulos  ΔDAB  e  ΔCBA  (respectivamente),  ΔDPQ  ∼  ΔDAM,  ΔCSR  ∼  ΔCBM  e  

€

AM = MB =x2  temos  

€

RS = QR = PQ =x3

= PA = h2 +h3 ⇒h2h3

=23

⇒ h2 =25

PA =25

x3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

2x15

         (III)  

Daí,  (I),  (II)  e  (III)  concluímos  que  a  área  pedida  é  

€

x2

2−

x3

x6

+2x15

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

x2

2−

x2

10= 0,4x2