Area Na Gv-Anderson (Gae Solução 2)
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PROBLEMA PROPOSTO DO PROFESSOR E AMIGO ANDERSON – POLIEDRO DE GUARULHOS
SOLUÇÕES DIFERENTES PARA UM PROBLEMA DE ÁREA DA PROVA DA GV Na figura abaixo M e N são respectivamente pontos médios dos lados AB e BC de um quadrado ABCD, com lado medindo x. Calcule a área da região plana de cor vermelha em função de x.
Resolução 2:
A área pedida é
€
ACAN + ABDM −2AROQT.
Isto é,
€
x2
4+
x2
4−2(AROQ + AQTR ) =
x2
2−2 RQ ⋅ h1
2+
RQ ⋅ h22
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
x2
2−
x ⋅ h13
+x ⋅ h2
3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
x2
2−
x3
h1 +h2( ) (I) Assim, basta achar os valores de
€
h1 e
€
h2 em função de x.
Como ΔROQ é retângulo e isósceles de base
€
QR =x3 temos
€
h1 =x6 (II)
E ainda, como Q e R são os baricentros dos triângulos ΔDAB e ΔCBA (respectivamente), ΔDPQ ∼ ΔDAM, ΔCSR ∼ ΔCBM e
€
AM = MB =x2 temos
€
RS = QR = PQ =x3
= PA = h2 +h3 ⇒h2h3
=23
⇒ h2 =25
PA =25
x3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
2x15
(III)
Daí, (I), (II) e (III) concluímos que a área pedida é
€
x2
2−
x3
x6
+2x15
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
x2
2−
x2
10= 0,4x2