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Murilo Raphael de Souza LiraRafael Alberto Gomes Pereira LimaRafael Brandão LoboRafael Loureiro de CarvalhoTiago Carneiro Pessoa CantoVinicius Miranda Cesar

Árvore AVLEm 1962, os matemáticos Russos G.M. Adelson-

Velskki e E. M. Landis descreveram procedimentos para inserção e eliminação de nós em árvores: os algoritmos de balanceamento são chamados algoritmos AVL e as árvores são chamadas árvores AVL.

Uma árvore AVL é uma árvore binária de busca (ABB), auto-balenceada, construída de tal modo que a altura de sua subárvore direita difere da altura da subárvore esquerda de no máximo 1.

balance(nó) = | altura(dir) - altura(esq) | ≤ 1

Representação do nó

BalanceamentoUma árvore AVL é dita balanceada quando, para

cada nó da árvore, a diferença entre as alturas das suas sub-árvores (direita e esquerda) não é maior do que um. Caso a árvore não esteja balanceada é necessário seu rebalanceamento através de rotação simples ou rotação dupla.

O rebalanceamento pode ser requerido para as operações de inserção e remoção de elementos.

InserçãoEm Árvores AVL uma inserção sempre cria

uma nova folha, tal fato pode alterar a altura da árvore e por conseqüência desbalancear a mesma, exigindo um rebalanceamento para restauração da propriedade AVL.

Qualquer que seja a inserção em uma Árvore AVL, será necessário no máximo uma rotação para restauração do equilíbrio.

RotaçõesHá diversos casos de inserção que não

requerem rotação. Caso seja necessário fazer alguma rotação, há quatro situações diferentes a considerar. Supondo que A é o nó crítico, B é o seu filho à esquerda e C seu filho à direita, temos:

Balance de A

Lado da inserção

Sub-árvore do filho

Tipo de rotação

-1 esquerda

de A esquerda

de BSIMPLES 

+1 direita de

A direita de C SIMPLES 

-1 esquerda

de A direita de B DUPLA 

+1 direita de

A esquerda

de CDUPLA 

A

CB

Rotação simples para direitaInserção dos elementos 50, 30 e 20:

50

30

20

30

20

0

0

-1

0

-1

-20

0 0

Rotação simples para esquerdaInserção dos elementos 50, 60 e 70:

50

70

60

70

60

0

0

1

0

1

2

0

0

0

Rotação dupla para direita(Rotação simples para esquerda + Rotação simples para direita)

Inserção dos elementos 40, 20 e 30:

30

2030

20

40

0-1

0

0

1

-2

-1

0

0

00

Rotação dupla para esquerda(Rotação simples para direita + Rotação simples para esquerda)

Inserção dos elementos 50, 70 e 60:

50

70

60

70

60

0

0

1

0

-1

2

0

10

0

0

Rotação simples – de novo

X

Y

a b

c

-2

-1

h+1 h

h+2 h

a

Rotação simples – de novo

b

h

X

c

h

Y

h+1

a

0

0

h+1

Rotação dupla – de novoX

Y

b

d

-2

1

h

h

aZ

c

h+1

-1/0/1

h(b)

h(c)

Bal(z) = -1 h h-1

Bal(z) = 0 h h

Bal(z) = 1 h-1 h

Max( h(b) , h(c) ) = h

h+2

Rotação dupla – de novoX

Y

b

d

-2

1

h

h

aZ

c

h+1

-1

h(b)

h(c)

Bal(z) = -Bal(z) = -11

hh h-1h-1

Bal(z) = 0 h h

Bal(z) = 1 h-1 h

Max( h(b) , h(c) ) = h

h+2

h h-1

Rotação dupla – de novoX

Y

b

d

-2

1

h

h

aZ

c

h+1

1

h(b)

h(c)

Bal(z) = -1 h h-1

Bal(z) = 0 h h

Bal(z) = Bal(z) = 11

h-1h-1 hh

Max( h(b) , h(c) ) = h

h+2

h-1 h

Rotação dupla – de novoX

Y

b

d

-2

1

h

h

aZ

c

h+1

0

h(b)

h(c)

Bal(z) = -1 h h-1

Bal(z) = Bal(z) = 00

hh hh

Bal(z) = 1 h-1 h

Max( h(b) , h(c) ) = h

h+2

h h

Rotação dupla – de novoX

Y

b

d

-2

1

h

h

aZ

c

h+1

-1/0/1

h(b)

h(c)

Bal(z) = -1 h h-1

Bal(z) = 0 h h

Bal(z) = 1 h-1 h

Max( h(b) , h(c) ) = h

h+2

Rotação dupla – de novoX

d

h

Y

h

aZ

b c

h(b)

h(c)

Bal(z) = -1 h h-1

Bal(z) = 0 h h

Bal(z) = 1 h-1 h

Max( h(b) , h(c) ) = h

h / h-1 h / h-1

0/-1 0/1

h+1 h+1

0

RemoçãoEm Árvores AVL a retirada de um nó é uma

operação mais complexa que a inserção e pode resultar no desbalanceamento da árvore.

Em situações específicas durante uma remoção podem ser necessárias log(n) rotações para restauração da propriedade AVL(uma para cada nível da árvore).

40

45

Considere a Árvore AVL acima.

Ela está balanceada???

50 7

038

30

39

45

35

20

15

25

42

17

32

60

75

65

55

80

90

99

88

77

74

+1+1

+1+1

-1-1

00

+1+1

-1-1+1+1

-1-1

+1+1 00

+1+1 -1-1

00

00

00

0000

+1+1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

-1-1

O que acontece se removermos o nó 39 ???

42

00

-2-2

Nó 40 fica desbalanceado (rde)Nó 38 fica desbalanceado (rse)

56

76

78

79

89

54

57

64

00 00

00

00 +1+1

+1+1 0000

73

40

-1-1

+1+1+200

Outras rotações são necessárias até a árvore recuperar a propriedade AVL