Prof.Dr. Edmilson J.T. Manganote

Aula 05 – Matemática Financeira

Seqüências de Capitais

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Introdução

• Vimos de que forma conjuntos de capitais podiam ser transformados em outros equivalentes, para efeito de comparação.

• Na prática, é comum que esses conjuntos tenham algumas características como periodicidade, uniformidade, crescimento, etc. de acordo com certas leis matemáticas

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Seqüência Uniforme

• Consideremos a seqüência de capitais y1, y2, ..., yn, respectivamente nas datas 1, 2, 3, ..., n. Dizemos que este conjunto constitui uma seqüência uniforme se

• Isto é, se todos os capitais forem iguais

Ryyy n 21

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Seqüência Uniforme

• Por definição, o valor atual (na data 0) da seqüência uniforme, a uma taxa de juros i, na unidade de tempo considerada, é:

n

n

iiiiRV

i

R

i

R

i

R

i

RV

1

1

1

1

1

1

1

1

1111

321

321

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Seqüência Uniforme

• Simplificações podem ser feitas se notarmos que a expressão entre colchetes é a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) cujo primeiro termo (a1) é igual a

E cuja razão éi1

1

iq

1

1

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Seqüência Uniforme

• A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, em que a razão é diferente de 1, é dada por

1

11

q

qaS

n

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Seqüência Uniforme

• Logo, a expressão do valor atual fica:

1

1

1

11

1

1

1

i

iiRV

n

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Seqüência Uniforme

• E, após algumas manipulações, chegamos a seguinte expressão

ii

iRV

n

n

1

11

Fator de Valor Atual (pode ser indicado pelo símbolo an|i)

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Seqüência Uniforme

Exemplo:

• Um eletrodoméstico é vendido a prazo,em quatro pagamentos mensais e iguaisde $ 550,00 cada, vencendo o primeiroum mês após a compra. Se a loja opera auma taxa de juros de 5% a.m., qual o seupreço a vista?

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Seqüência Uniforme

Exemplo:

n = 4, i = 5% a.m. e R = 550, assim:

27,950.105,005,1

105,1550

4

4

V

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• Exercícios– Um automóvel usado é vendido à vista por $

30.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12prestações mensais iguais, vencendo a primeira ummês após a compra. Sabendo-se que a taxa de jurosdo financiamento é de 2% a.m., obtenha o valor daprestação.

– Um terreno é vendido em quatro prestaçõesmensais e iguais a $ 150.000,00 cada uma, sendo aprimeira dada como entrada. Se a taxa dofinanciamento for 4% a.m., qual o preço a vista?

Seqüência Uniforme

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Montante de Seqüência Uniforme

• Chamamos de montante da seqüência, na data n, a soma dos montantes de cada capital R, aplicado desde a data considerada até a data n.

RiRiRSnn

21

11

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Montante de Seqüência Uniforme

• O segundo membro da expressão é a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) finita. Fazendo as manipulações necessárias chegamos a,

i

iRS

n11

Fator de Acumulação de Capital sn|i

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Montante de Seqüência Uniforme

Exemplo:• Um investidor aplica mensalmente $ 2.000,00

em um fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 2% a.m. Se o investidor fizer sete aplicações, qual o montante no instante do último depósito?

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Montante de Seqüência Uniforme

Exemplo:• R = 2.000, i = 2% a.m. e n = 7, assim

57,868.14

02,0

102,1000.2

7

S

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Montante de Seqüência Uniforme

Exercícios• Uma pessoa deposita mensalmente, durante

sete meses, $ 3.500,00 em um fundo que remunera seus depósitos à taxa de 2,1% a.m. Qual o montante no instante do último depósito

• Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente, durante 15 meses, em um fundo de investimentos que rende 1,8% a.m., para que, no instante do último depósito, tenha um montante de $ 60.000,00

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Seqüência Uniforme Diferida

• Chamamos de seqüência uniforme diferida de m períodos toda seqüência de capitais nas datas (m+1), (m+2), ..., (m+n), em que todas as parcelas são iguais.

• Ocorrem situações como essa em vendas a prazo em que o comprador só começa a pagar após um período de carência.

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Seqüência Uniforme Diferida

Cálculo do Valor Atual (V)• Capital único equivalente à seqüência na data m

• Calculamos o capital V (na data 0) equivalente a Vm

ii

iRV

n

n

m

1

11

m

mm

m

i

VVViV

11

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Seqüência Uniforme Diferida

Exemplo:

• Um terreno é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a prazo em seis prestações mensais iguais, vencendo a primeira três meses após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 2% a.m., qual o valor de cada prestação?

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Seqüência Uniforme Diferida

Exemplo:

91,286.9601431,5020.52

02,002,1

102,1

020.5202,1000.50

6

6

2

2

2

RR

RV

V

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Seqüência Uniforme Diferida

Exercícios:• A venda de uma moto é anunciada em dez prestações

mensais e iguais a $ 2.000,00 cada, vencendo a primeira dois meses após a compra. Qual o preço à vista se a taxa de financiamento for de 3,5% a.m.

• O preço à vista de um carro é de $ 36.000,00. No entanto, há um plano de venda a prazo em que se exige 30% de entrada, financiando o saldo em 24 parcelas mensais iguais, com três meses de carência, isto é, a primeira prestação vence daqui a quatro meses. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% a.m., qual o valor de cada prestação?

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Seqüência Uniforme com Parcelas Adicionais

• Muitas vezes ocorrem situações de financiamento em que, além da seqüência uniforme de prestações, existem prestações extra (ou de reforço). Nesse caso o valor atual do conjunto é a soma do valor atual da seqüência uniforme com o valor atual das prestações de reforço.

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Seqüência Uniforme com Parcelas Adicionais

Exemplo:• Um terreno é vendido a prazo em 12

prestações mensais de $ 5.000,00 cada uma, postecipadas, mais duas prestações de reforço vencíveis em seis e doze meses após a compra, cada uma $ 20.000,00. Qual o preço à vista se a taxa de juros do financiamento for de 3,2% a.m.

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Seqüência Uniforme com Parcelas Adicionais

Exemplo:

71,441.7983,704.1386,555.1602,181.49

032,1

000.20

032,1

000.20

032,0032,1

1032,1000.5

12612

12

V

V

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Seqüência Uniforme com Parcelas AdicionaisExercícios:• Um financiamento de $ 60.000,00 deve ser pago em

18 prestações mensais iguais postecipadas, mais seis prestações trimestrais postecipadas de $ 5.000,00 cada uma. Determine o valor das prestações mensais, sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 1,5% a.m.

• Um terreno é vendido à vista por $ 30.000,00. A prazo, o pagamento poderá ser feito em doze prestações mensais sem entrada, sendo cada uma das seis primeiras de valor X e cada uma das seis últimas iguais a 2X. Calcule as prestações para uma taxa de 3,5% a.m.