aula de Planejamento Financeiro de Saúde-ParteII-MBA-Auditoria.pdf

Finanças Aplicadas em Saúde

Grupo Télos Educacional Especializada em especializa você!

Curso de MBA- Auditoria em Sistema de Saúde com ênfase de Gestão em Saúde

Prof.: Mauricio

EMENTA:

O valor do dinheiro no tempo.

Critérios de capitalização de juros.

Juros simples

Juros compostos.

Conversões de taxas de juros.

Fluxo de caixa.

Series simples e uniformes.

Series equivalentes.

Avaliação de investimento.

Descontos em operações comerciais.

Efeito de taxas e impostos em operações

financeiras.

O uso das funções financeiras no Excel.

Aplicações de engenharia econômica (payback, taxa interna de

retorno e VPL sobre equipamentos e metodologias hospitalares).

Finanças Aplicadas a Saude-Parte 2

Procedimentos Metodológicos:

Os alunos aprenderão, inicialmente, a raciocinar e resolver

problemas de matemática financeira com o conceito de fluxo de

caixa e a utilização de formulas.

Com o domínio desta ferramenta, aprenderão a utilizar outros

métodos, como resolução destes mesmos problemas com o uso

de tabelas financeiras especificas, e aprenderão a construir, com

o uso do Excel, tabelas de desconto e a resolver problemas mais

complexos. A teoria sera fartamente ilustrada com exercícios a

serem resolvidos em sala de aula e em casa.

Recursos Didáticos:

Retro-projetor, calculadora 12-C, e micro-computador

(laboratório,1 aula).

1. Introdução: Formação da taxa de juros

1.3 Fatores que influenciam, do ponto de vista microeconomico,

as taxas de juros

Alguns fatores influenciam a formação da taxa de juros:

Custo de captação (taxa paga aos investidores + rateio de despesas

administrativas);

Margem de lucro, taxa para remunerar o capital investido;

Taxa de risco (inadiplencia) que é calculada pela relação entre volume

empréstimos não honrados e volume total de empréstimos concedidos;

Inflação, taxa embutida para compensar a perda de poder aquisitivo da

Moeda;

Impostos.

Finanças Aplicada a Saúde I

Prof. Mauricio

Visão Geral da Administração Financeira

1. Mercado Financeiro

-Mercado Monetário

-Mercado de Crédito

-Mercado de Capitais

-Mercado Cambial

2. Finanças Corporativas

– Investimento

– Financiamento & dividendos

– Curto Prazo

3. Finanças Pessoais

Conceitos financeiros fundamentais

1. Valor do dinheiro no tempo

Matemática financeira com HP 12C

Juros simples e juros compostos

2. Orçamento de Capital

Técnicas de orçamento de capital

Riscos e refinamentos em orçamento de capital

Visão Geral da Administração Financeira

Vamos conversar sobre Finanças Aplicada a Saúde I

Professor Mauricio

Uma visão simples de uma organização

0RÇAMENTO

Nossa ferramenta

Fundamentos da Matemática Financeira

Por que estudar?

• A Matemática Financeira pode ser sua maior ferramenta na tomada de decisões do ponto de vista financeiro.

•As decisões financeiras podem ser consideradas em termos pessoais e organizacionais.

• O nosso foco inicialmente será compreender os elementos da taxa de corte ou taxa mínima de atratividade.

Habilidades a serem desenvolvidas

O estudo adequado o habilitará a:

• Identificar as principais diferenças entre juros simples e compostos.

• Nomear os principais componentes de uma operação financeira.

• Representar graficamente uma operação financeira básica, tanto do ponto de vista do tomador como do financiador.

Por que estudar?

Olhar do consumidor

• O mercado está preparado para vender cada vez mais por “impulso”.

• Nem sempre as operações são claras e bem explicadas, e isso faz com que, em certas situações, o consumidor não saiba como decidir o que é melhor para ele.

• Cálculos financeiros, muitas vezes básicos, são muito úteis; eles ajudarão você a fazer bons negócios e a economizar seu dinheiro.

Aplicações no cotidiano

• A capitalização simples está mais relacionada às operações com períodos de capitalização inferiores a 1. Por exemplo: a taxa de juros do cheque especial cobrada dentro de um mês e o desconto de cheques pré-datados nos bancos.

• O regime de capitalização composta está mais ligado aos casos em que o período de capitalização é superior a 1. Por exemplo: um empréstimo de CDC (crédito direto ao consumidor) disponibilizado pelos bancos, o financiamento de um imóvel, de eletrodomésticos ou de veículos, assim como a remuneração das aplicações capitalizadas mensalmente dentro de um ou mais anos.

• Em ambos os casos, mais exemplos poderiam ser adicionados. Tenha em mente que esses dois regimes de capitalização estão presentes em sua vida financeira pessoal.

Objetivos

• Demonstrar a diferença básica entre juros simples e compostos, ressaltando a tamanha importância de se estudar principalmente a capitalização composta, que é o foco central deste módulo.

• Apresentar um método simples que fundamentará a resolução de qualquer exercício de matemática financeira.

Olhar do conumidor

A REGRA GERAL É :

A MELHOR APLICAÇÃO É NO PAGAMENTO DE DÍVIDAS

APLICADOR

+ spread

TOMADOR

O banco empresta mais caro do que paga ao aplicador

Por que estudar? Olhar da organização

- Alavancagem financeira e operacional

APLICADOR

+ spread

TOMADOR

Vamos começar a Matemática Financeira Aplicada

Contextualização

• As operações financeiras, em sua maioria, apoiam-se em duas formas de capitalização: a simples e a composta.

• A taxa básica de juros divulgada a cada reunião do COPOM (Conselho de Política Monetária) representa o custo básico do dinheiro na economia.

• Quanto mais alta for esta taxa, maior será o custo do dinheiro, tanto para o consumidor quanto para as empresas.

• A contrapartida está na remuneração das aplicações, que também se eleva. Isso pode desestimular o consumo e os investimentos na produção.

Utilização em outras disciplinas

• Os conceitos de matemática financeira podem ser aplicados a algumas disciplinas acadêmicas. Seu entendimento facilitará outras abordagens. Por exemplo: Administração Financeira Pessoal, Administração Financeira e Orçamentária, Contabilidade de Custos, Marketing, Produção, Mercado de Capitais, Mercado de Derivativos e Macroeconomia, entre outras.

• O motivo de tamanha aplicabilidade é bem simples. O dinheiro tem seu valor no tempo e este deve ser considerado em qualquer tomada de decisão, seja em sua vida pessoal ou profissional.

Fundamentos

• a “adição e subtração percentual”. Como definição básica, deve-se notar que:

10,0100

10%10 1

100%100

• Se ao número 1 for adicionado 10%, o resultado será:

10,110,01100

101%101

• Conclui-se que: Se qualquer número multiplicado por 1 resulta nele mesmo, conseqüentemente qualquer número multiplicado por 1,10 resulta nele mais 10% de seu valor original.

Fundamentos da

Matemática Financeira

Conceitos e Operações mais Utilizados em Juros Simples

Conceitos e Operações a Juros Simples

Por que estudar?

• Os juros simples podem fazer parte de sua vida em algumas situações.

• O montante calculado pelos juros simples é maior que o montante dos juros compostos.

• Para as pessoas que utilizam o cheque especial, é por meio dos juros simples que se calcula quanto será pago de juros dentro do mês.

• Basta atrasar um dia o pagamento da fatura do cartão de crédito, por exemplo, que o cliente poderá pagar juros simples dentro do mês pelos dias em atraso.

• A troca de cheques ou duplicatas em um banco é realizada com base em juros simples.

Objetivo deste tópico

• Mostrar que o estudo de juros simples é importante, se direcionado à aplicação real em problemas do dia-a-dia.

Habilidades a serem desenvolvidas

O estudo adequado deste capítulo o habilitará a:

• Identificar onde deverão ser aplicadas operações a juros simples.

• Calcular os juros pagos dentro do mês no cheque especial.

• Identificar outras situações em que os juros simples possam ser aplicados.

1) P = 100.000 S = 100.000 (1 + 12 x 0,02) = 100.000 (1,24) i = 2% / mês S = 124.000

n = 12 mesesS = ?

1) P = 100.000 S = 100.000 (1 + 12 x 0,10) = 100.000 (2,20) i = 10% /mês S = 220.000

n = 12 mesesS = ?

1) P = 300.000 S = 300.000 (1 + 12 x 0,025) = 300.000 (1,30)

i = 2,5% / mês S = 390.000n = 1 ano = ? meses

12) S = 150.000 150.000 = P (1 + 12 x 0,05)i = 5% / mês 150.000 = P (1,60)

n = 12 meses P = 93.750P = ?

12) S = 150.000 150.000 = P (1 + 10 x 0,02)i = 2% / mês 150.000 = P (1,20)

n = 10 meses P = 125.000P = ?

12) S = 150.000 150.000 = P (1 + 6 x 0,0936)i = 9,36% / mês 150.000 = P (1,5616)

n = 6 meses P = 96.055,33P = ?

S= 10.000

I= 4,2

10.000 = P ( 1+2 X 0,042)‏

10.000 = P ( 1,084)‏

P = 9.225,09

1.Uma fatura foi paga com um atraso de 12 dias. O banco cobra de você uma taxa de 13% a.m. Se o valor da fatura é de R$ 3.000,00 quanto você deverá pagar considerando o atraso?

12/30= 0,40 ( pode ser feita uma regra de 3 simples)‏

FV= 3.000 X ( 1+( 0,13X 0,40))= 3.156,00

Se fosse calculado a juros compostos o valor seria = R$ 3.150,30

FV= 3000 X (1,13) elevado a 0,4

Moral da história num período inferior a 1 a taxa de juros simples é pior para o tomador.

Exercícios

2. Você tem uma conta no banco Super Juros que lhe cobra uma taxa de juros de 11% a.m. Com base no seu extrato determine quanto você pagará de juros?

Exercícios método hamburgues

Exercícios Método Hamburguês

- 4.200 4 0 1.050 31/07

- 1.500 2 D - 1.050 - 300 juros 27/07

- 2.550 3 D -750 100 Depósito 25/07

- 1.860 3 D -850 -230 Cheque 22/07

0 0 D -620 - 700 Saque 19/07

- 3.120 6 C 80 600 Depósito 16/07

-400 2 D -520 - 320 Deb.

Automático

0 0 D -200 - 400 cheque 08/07

X X C 200 - 1000 Saque 05/07

X X C 1.200 1.200 Depósito 01/07

N x saldo

devedor

N dias

devedor

d/c saldo Valor d/c Histórico DATA

2. Continuação

J1= 200 x 0,11/30 x 2= 1,4667

J2= 520 x 0,11/30 x 6 = 11,44

J3= 620 x 0,11/30 x 3 = 6,82

J4= 850 x 0,11/30 x 3 = 9,35

J5= 750 X 0,11/30 X 2 = 5,50

J6 = 1.050 X 0,11/30 X 4 = 15,40

Somatório de R$ 49,97

Importante

O regime de capitalização simples é também chamado de juros simples, e o regime de capitalização composta é chamado de juros compostos. Esses termos devem ser vistos como sinônimos no decorrer das aulas e de toda a explicação.

Calculadora financeira HP12c

Calculadora financeira HP 12C

n i PV FV CHS

Cálculos Financeiros com HP 12C

PV = Valor do capital aplicado

CHS = Tecla para troca de sinal

n = Tempo da aplicação ou número de períodos

i = Taxa de desconto composta

FV = Valor do montante

Teclas

Cálculos Financeiros com HP 12C

PV: Present Value ,valor presente. É o valor inicial de uma operação. Está no momento zero. É tambem chamado de valor inicial ,de origem, principal ou

capital .

I : taxa de juros periódicas. Vem do inglês interest rate ( taxa de juros). Pode ser diária, semanal, mensal. Expressa na forma percentual. Exemplo: 10%, i

minúscula é a taxa I dividida por cem . Exemplo: 0,01

N: É o tempo da operação, o número de períodos . É imprescindível que esteja de acordo com a taxa de juros. Nas teclas financeira da calculadora HP

12C corresponde ao PMT.

FV : Future Value,Valor futuro, montante, valor de resgate.

Fluxo de Caixa

0 1 2 3 4

PV PMT n i CHS g END BEG

Teclas da HP 12C

• Se a série for de pagamentos postergados no visor da calculadora não aparece qualquer mensagem.

• Se a série for antecipada devemos informar à calculadora digitando g <BEG> e no visor aparecerá, na parte inferior, a palavra BEGIN.

• Caso a calculadora esteja programada para a série antecipada (BEGIN no visor) e se tenha uma série postergada, basta digitar g <END> e o BEGIN desaparecerá.

Teclas a serem utilizadas:

• PV = Valor do financiamento

• n = Número de pagamentos

• i = Taxa de desconto composto para o financiamento

• PMT = Valor de cada pagamento/recebimento

Exercícios

1) Dados: PV = 1.000 ( CHS) n = 9 meses; i = 2,5% a.m. Calcular FV.

R: FV = 1.248,86

2) Um hospital quer comprar um equipamento novo daqui a 20 meses (n). Se o preço máximo a ser desembolsado for de 22.000 (FV) quanto (PV) ele deverá depositar hoje num fundo de investimentos que se espera renda 1,5% ao mês ( i ) ?

R: VP = 16.334,34

3) Aplicando $ 10.000 ( PV) (CHS) em um Banco que paga 25% ao ano (i), quanto uma pessoa terá acumulado ao final de 5 anos (n) ?

R: VF = 30.517,57

4) Qual a melhor alternativa para quem tem condições de aplicar dinheiro a 30% ao ano: receber 100.000 hoje ou 400.000 daqui a 5 anos? A) Hoje = 100.000; B) 107.732

Valor Presente e Valor Futuro

Para que os valores monetários se tornem equivalentes em diferentes datas (períodos de tempo), é necessário adotar-se uma taxa de desconto (i) que pode ser entendida como um custo de oportunidade.

É indiferente falar-se em $100 hoje ou $ 110 daqui a um mês, se a taxa de

desconto for igual a 10% no mesmo período de um mês.

Valor do Dinheiro No Tempo

Exemplo:

0 Mês 1 i = 10% ao mês

Exercícios

1. Você aplicou R$ 10.000,00 a uma taxa de 1% a.m. Depois de algum tempo o valor disponível para o resgate era de R$ 12.697,34. Qual é o tempo dessa aplicação?

PV = 10.000 CHS ; I = 1; FV = 12.697,34; N = ?

2. Qual é a taxa mensal necessária para um capital de R$ 50.000 produzam juros de R$ 14.000,00 em 02 anos?

PV= 50.000 (CHS); FV = 64.000; N = 24 ; I = ?

50000 enter chs pv 64000fv24n aperte=

Resp.27 1º 2ª 1,05

Exercícios 3. O seu pai esqueceu em uma conta o valor de R$ 300,00 por

50 anos. Após esse tempo o banco lhe informou que o valor foi aplicado a 1% a.m. Qual é o saldo de que você tem direito?

PV= 300,00 CHS ; N = 600 ; I = 1 ; FV= ? 300 enter chs pv 600n1 fv 586,17

1. Você resolveu parar de fumar e resolveu aplicar o valor de

um maço de cigarro de R$ 3,00 numa conta a ser retirada daqui a 35 anos. O banco lhe prometeu uma taxa de 0,70% a.m Qual será o seu resgate?

PV= 0 ; PMT = 90 CHS ; I = 0,70 ; N = 420 ; FV= ?

Juros Compostos

Seqüência de Pagamentos

Por que estudar?

• As empresas estão sedentas para vender seus produtos e serviços, e o consumidor está apto a comprar. Essa relação merece considerável atenção.

• Nem sempre o consumo é racional e muitas vezes ocorre por impulso.

• No Brasil a compra financiada (ou a prazo) é uma questão cultural e fortemente enraizada. Desde o começo da abertura econômica, no início dos anos noventa, o brasileiro tem tido acesso a uma variedade grande de produtos, principalmente importados.

• Por esse motivo, seja qual for o produto ou serviço, as pessoas devem se valer do salutar hábito de pesquisar antes da compra.

Por que estudar?

• Em uma realidade na qual a taxa básica de juros é alta, a compra parcelada quase sempre tem juros embutidos e pode sair mais cara do que deveria para o consumidor.

Efeito do corte de um ponto percentual na taxa básica de juros sobre as prestações de crédito e linhas de financiamento é apenas discreto

O corte de um ponto percentual na Selic, a taxa básica de juros da economia, foi considerado agressivo pelos analistas, mas não trará grandes impactos no bolso do brasileiro - embora possa incentivar o consumo. A redução determinada pelo Copom (Comitê de Política Monetária), levando o índice de 13,75% para 12,75% anuais, promoverá uma economia de centavos nas parcelas de crediário, conforme apontam cálculos da Anefac (Associação Nacional dos Executivos de Finanças, Administração e Contabilidade).

Portanto, quem está empolgado com a redução e quer correr para tomar crédito pode se decepcionar. O corte na taxa é extremamente importante ao consumidor, mas é preciso ter consciência de que o barateamento na concessão de crédito não é um processo tão ágil.

Para atestar os reflexos da queda dos juros em modalidades de crédito como cheque especial e CDC (Crédito Direto ao Consumidor),

Anefac elaborou uma série de cálculos. Por exemplo:

Um consumidor pretende comprar uma geladeira no valor de R$ 1.500 à vista, mas prefere financiar a compra em 12 vezes, sem entrada. Antes do corte da Selic, os juros ficariam em 6,30% ao mês, e o consumidor pagaria 12 parcelas de R$ 181,87, para um total de R$ 2.182,44. Com a taxa atual, os juros cobrados pelos lojistas passam a 6,22%. Assim, a prestação cairia para R$ 181,08, totalizando R$ 2.172,96, uma redução de R$ 0,79 na prestação e de apenas R$ 9,48 no valor total do produto.

A economia também é de centavos no cheque especial, considerando um empréstimo de R$

1 mil por 20 dias. Antes do corte, a taxa era de 7,91% mensais, totalizando R$ 52,73. Com a nova Selic, a conta de juros por uso da modalidade seria de R$ 52,20 – redução de R$ 0,53 no período.

Nas financeiras a economia é maior, mas tais entidades praticam os juros mais caros do mercado – atualmente, a taxa média para tomar crédito nessas instituições chega a 11,44% ao mês, contra 11,52% antes da redução da Selic. Na compra de um veículo de R$ 25 mil em 60 meses, o consumidor pagará juros atuais de 2,97% ao mês (antes era de 3,05% mensais). Na comparação entre as duas taxas, o consumidor economizaria R$ 15,49 na prestação e R$ 929,40 no valor total do carro. Ao lado, conheça as taxas médias cobradas por cada modalidade.

• Exercícios • “Compre um equipamento médico de R$ 30.000,00 em 15

pagamentos mensais fixos `` esta é um propaganda num encarte. Se a taxa cobrada é de 2% a.m., qual é o valor das prestações?

PV = 30.000 CHS ; N= 15; I= 2; PMT=?

2. Cinco medicamentos custam R$ 100,00 cada. Você pagará um à vista e os outros em 4 parcelas, calcule o valor de cada parcela, com uma taxa de juros de 1,5% a.m.

PV= 400 CHS ; N = 4; I= 1,5; PMT= ?

• Exercícios

3. Um imóvel para um novo consultório custa R$ 180.000,00 poderá ser financiado em 240 pagamentos .Calcule o valor das parcelas sabendo que o banco cobra uma taxa de 1% a.m. e que não existem intermediárias.

PV = 180.000 CHS; N= 240; I= 1; PMT=? R: 2.574,49

1. Um equipamento cirurgico custa R$ 4.500,00. Se uma entrada de 30% for efetuada e o restante financiado a 4% a.m. , supondo 03 parcelas, qual será o valor das parcelas?

PV= 3.150 CHS; N = 3; I = 4; PMT =?

• Exercícios 1. Você resolveu fazer uma reforma no consultório e gastará R$ 12.000,00 .

Quanto você deverá depositar ao final do último dia do mês num fundo de investimento de alto risco, para que, ao completar 10 depósitos, tenha esse dineiro. ( taxa de remuneração do fundo: 5% a.m.)

PV= 0; N=10; I= 5; FV=12.000; PMT=? 1. Se você depositar mensalmente R$ 1.000,00 em um banco durante dez

anos, quanto você terá ao final do período se a taxa for de 0,6% a.m.? PV=0; PMT= 1.000 CHS; N= 120; I= 0,6; FV=? 1. Após os dez anos você para de fazer os depositos e deixa o dinheiro por

mais dez anos, quanto terá? PV= 175.003 CHS, N= 120 ; I = 0,6; FV=?

Juros Compostos

Amortização de Empréstimos

Por que estudar?

• Este assunto é um dos mais importantes para a maioria das pessoas: a amortização de um empréstimo. A razão é simples, e está intimamente relacionada à aquisição de um imóvel.

• Existem várias formas de se comprar um imóvel. Saiba escolher a que melhor se adapta a seu perfil, e o principal: a que lhe custe o menos possível.

• Muitas pessoas compram imóveis como forma de aplicação de recursos, enquanto outras necessitam de uma residência própria. Tal situação tem gerado novos lançamentos imobiliários, principalmente nos grandes centros urbanos.

Por que estudar?

• Ao se imaginar um imóvel como forma de investimentos, vários aspectos podem ser considerados, tais como rentabilidade das aplicações financeiras de baixo risco, liquidez, depreciação, valorização do imóvel e localização, entre outros.

• Não há muitos trabalhos sobre a valorização imobiliária, enquanto há vários estudos sobre produtos disponíveis no mercado financeiro.

• A taxa básica de juros da economia (taxa SELIC) normalmente é o ponto de partida para qualquer análise de investimento.

• Por outro lado, nem sempre uma família dispõe de toda a quantia para adquirir um imóvel à vista. Quando isso ocorre, o financiamento pode ser uma alternativa.

Sistema de Amortização Convencional : é o plano livre.

Sistema de Amortização Constante (SAC): É um sistema de fácil compreensão e bem utilizado, principalmente para empréstimos ao setor produtivo da economia.

Sistema de Amortização Crescente (SACRE): Desenvolvido pela Caixa Econômica Federal. Tem muita aplicabilidade em financiamentos de imóveis. Na verdade, este sistema é o SAC um pouco modificado. Um estudo complementar sobre ele será apresentado no anexo deste capítulo.

Sistema Francês (PRICE). Também é muito utilizado para o financiamento de imóveis, principalmente nas construtoras e em alguns bancos. Este item se resume à sua explicação teórica a partir de alguns exemplos. O anexo deste capítulo traz um estudo específico sobre o sistema PRICE e a correção monetária das parcelas.

Estrutura de assuntos

Primeiro conceito :Toda parcela (pmt) é formada por uma parte referente à amortização e outra referente a juros, ambos pagos em um período específico. De maneira simples, pode se afirmar que a parcela (pmt) é igual a soma de uma parcela de amortização (A) mais uma parcela de juros (J)

PMT = A + J

Segundo conceito: A parte referente aos juros é calculada com base no período anterior, em função da taxa periódica acertada.

J = Sd X I

Noções básicas

Um equipamento médico de R$ 100.000,00 foi financiado para você em 2% a.m durante 120 meses. Tal financiamento, pelo sistema de pagamentos uniformes gera uma parcela fixa de R$ 2.204,80. Quanto foi pago de juros e quanto foi amortizado na primeira parcela?

PMT = A +J

2.204,80= A+J -------J = Sd x I = 100.000 x 0,02= 2.000 logo

2.204,80 = A+ 2.000

A= 204,81.

Moral da história: você pagou R$ 2.204,80 e ainda deve R$ 99.795,19

Noções básicas

Sistema de Amortização Convencional:

• Um médico amigo lhe empresta R$ 1.000,00 que devem ser pagos em 05 parcelas. Com intuito de pagar menos juros, você propõe as seguintes amortizações : R$ 500,00 na primeira parcela, R$ 150,00 na segunda, R$ 100,00 na terceira , R$ 150 na quarta e R$ 100,00 na quinta. Com juros de 10%

1.220 220 1.000 Total

110 10 100 0 5

175 25 150 100 4

135 35 100 250 3

200 50 150 350 2

600 100 500 500 1

1.000 0

PMT J A Sd N

Na HP 12c ( comprovação pela TIR)‏

1.000 CHS G PV

600 G PMT

200 G PMT

135 G PMT

175 G PMT

110 G PMT

F FV = 10 , é a TIR da operação

Um amigo médico lhe pede emprestado R$ 800,00 que será pago em 05 parcelas mensais de R$ 150,00 mais uma parcela ao final do período com uma taxa de juros de 10%a.m.

PMT = Sd x i

409,90 37,26 Mais 01

150 47,51 102,48 372,64 5

150 56,83 93,17 475,13 4

150 65,3 84,7 568,3 3

150 73 77 653 2

150 80 70 730 1

PMT J A Sd N

Sistema de Amortização Constante (SAC):

• O saldo devedor inicial é dividido pelo número de períodos

• Um amigo médico lhe empresta R$ 1.000,00 que devem ser pagos em 05 parcelas. O sistema de amortização acertado foi o SAC. Faça uma planilha, sabendo que a taxa contratada foi de 10% a.m.

A= Sd dividido por n

PMT = A+J / j=Sd x i

1.300 300 1.000 Total

220 20 200 0 5

240 40 200 200 4

260 60 200 400 3

280 80 200 600 2

300 100 200 800 1

1.000 0

PMT J A Sd N

• Comprovação pela TIR

• 1.000 CHS G PV

• 300 G PMT

• 280 G PMT

• 260 G PMT

• 240 G PMT

• 220 G PMT

• F FV

Sistema de Amortização Crescente (SACRE):

• A Caixa Econômica Federal ofereceu entre 1999 e 2005 esse sistema. Não oferece mais esse sistema, só oferece o SAC menos vantajoso para o tomador.

Sistema Francês (PRICE).

• Neste sistema as prestações são constantes e a taxa nominal. Muito utilizado nos financiamentos em geral ( carros, elétrodomésticos, empréstimo pessoal) é fácil identicar se o vendedor utilizar uma tabela de fatores é Price.

• Um amigo médico lhe empresta R$ 1.000,00 que devem ser pagos em 05 parcelas. O sistema Price foi escolhido. Com taxa de 10%

• PV = 1.000,00

• N = 5

• I = 10

• PMT = ?

PMT = A+ J / J= Sd x i Sistema Francês (PRICE).

1.318,9

318,99 1.000 Total

263,79 23,80 239,82 0 5

263,79 45,78 218,01 239,82 4

263,79 65,60 198,19 457,83 3

263,79 83,62 180,18 656,03 2

263,79 100 163,8 836,20 1

1.000 0

PMT J A Sd N

Calcule o saldo devedor por exemplo no quarto período

• Na HP12c com a função amortização

• 1.000 CHS PV

• 0 FV

• 5 N

• 10 I

• PMT = ? Cálculo das parcelas R$ 263,79

• 4 F N =? total de juros pago R$ 295,00

• RCL PV =? saldo devedor ( Sd 4)‏ R$ 239,81

Calcule o saldo devedor por exemplo no quarto período

• Na HP12c com a função amortização

• 1.000 CHS PV

• 0 FV

• 5 N

• 10 I

• PMT = 263,79 Cálculo das parcelas

• 3 F N = 249,22 total de juros pago no terceiro período

• XY = 542,16 total amortizado no terceiro período

• RCL PV = 457,83 saldo devedor ( Sd 4)‏

• 1 F N = 45,78 juros (4)‏

• XY = 218,01 amortização (4)‏

• RCL PV = 239,81 saldo devedor (4)

Equivalência de capitais a juros compostos

Equivalência de capitais

a juros compostos

Por que estudar?

1. Estabelecer com facilidade a equivalência entre dois capitais.

2. Comparar e calcular a equivalência entre duas sequências de pagamentos uniformes ou não.

3. Estudar propostas que lhe forem feitas quando os pagamentos não forem uniformes e surgirem prestações intermediárias.

a juros compostos

1. Um amigo deve a uma empresa R$ 5.000,00 a serem pagos daqui a 06 meses. Devido a dificuldades financeiras, você propõe que o pagamento seja adiado por 05 meses. Quanto deverá ser pago à empresa se a taxa de juros combinada foi de 2% a.m.?

PV = 5.000 CHS ; N= 5; I=2; PMT = O; FV= ?

1. Uma dívida de R$ 10.000,00 tem o vencimento em 06 meses com pagamento único. Um mês antes do final do contrato o credor paga R$ 2.000,00 e renegocia o restante para 02 meses. Quanto o credor deve pagar, considerando uma taxa de juros de 5% a.m.?

FV = 10.000 CHS; I= 5; N=1; PMT=O; PV=? 9.523,80

PV= 7.523,80 CHS; I=5; N=2; PMT= O ; FV=? 8.295,00

a juros compostos

1. Você tem R$ 50.000,00 aplicado a 2%a.m. para abrir um consultório. Surge uma outra oportunidade em que você deverá investir R$ 50.000,00 e somente após 15 meses receberá o montante da aplicação. Quanto deverá ser este montante para que valha a pena?

PV= 50.000 CHS; I= 2; N= 15 ; PMT=0; FV=?

1. Uma revendedora de equipamentos está anunciando um veículo em condições especiais. O valor é de R$ 39.000,00 à vista, ou em 24 parcelas de R$ 2.276,58, sendo o primeiro pagamento para daqui a 06 meses. A taxa é de 2% a.m.. Recalcule o valor das parcelas e verifique se a loja está informando os valores corretos.

PV= 39.000 CHS; PMT= 0; N= 5; I=2; FV=? 43.059,15

PV= 43.059,15; FV=0; N=24; I= 2; PMT=?

a juros compostos

1. A Casa do Médico Ltda. anunciam um equipamento por R$ 899,99 à vista. Você pode pagar em nove prestações mensais, ao final de cada mês. Considerando ainda que existam 03 meses de carência para o primeiro pagamento ( que será feito no quarto mês), calcule o valor das parcelas sabendo que a loja cobra 3% de juros ao mês.

Procedimento

1. Corrija o valor do equipamento até o mês 3

2. Com o valor encontrado, calcule o valor das parcelas

PV=899,99 CHS; I=3; N=3;PMT=O; FV=?

PV= 983,44 CHS; I=3; N=9; FV=0; PMT=126,30

a juros compostos

1. Você tem o direito de receber 04 parcelas de R$ 7.000,00 vencíveis nos meses 7, 8,9 e 10 . Entretanto o devedor lhe procura e solicita que a tal dívida seja antecipada e o número de parcelas seja ampliado para 8 parcelas vencíveis a partir do quinto mês. Se a taxa de juros é de 2% a.m., qual o valor das parcelas?

PMT= 7.000; FV=O; N= 4; I=2; PV=? 26.654,10

FV= 26.654,10; PMT=O; N=2;I=2; PV=25.619,08

PV= 25.619,08; FV=0; N=8; I=2;PMT=? 3.497,25

Noções sobre Inflação

Por que estudar?

• Desde 1994, o Brasil tem obtido êxito na luta contra sua grande e mais perniciosa doença macroeconômica: a inflação.

• É importante ressaltar que o descontrole gerado pela inflação impede a instituição de um sólido patamar de crescimento econômico, almejado por uma nação em desenvolvimento.

• A duros golpes, o Brasil aprendeu que deveria combater a inflação, deixando-a ao menos em níveis aceitáveis.

• O governo do presidente Fernando Henrique Cardoso conseguiu triunfo na diminuição da inflação a um custo passível de críticas. O Plano Real foi economicamente bem estruturado.

Por que estudar?

• No entanto, pode ter faltado ao Plano Real um suporte político mais adequado logo no início de sua implementação. As reformas tributária e fiscal, se realizadas de modo eficiente na época, poderiam ter dado um melhor futuro econômico ao País.

• Todo esse passado fez com que surgisse uma cultura relacionada à inflação no País. Atualmente, alguns detentores dos meios de produção ou representantes de classe ainda tentam valer-se de velhas práticas inflacionárias do mercado em benefício próprio.

• A verdade é que ninguém quer perder participação na renda nacional, e quem sofre mais com isso é o cidadão comum, que trabalha e contribui ao fisco, diretamente ou não. A sociedade pagou muito por conviver com a inflação e ainda paga para viver sem ela.

Por que estudar?

• É comum o anúncio dos índices de inflação por alguns institutos de pesquisa, e o consumidor deve estar atento a eles.

• Seus salários e rendimentos familiares devem ser corrigidos de modo a protegê-lo da inflação. Alimentos, vestuário e serviços públicos em geral, como energia, água, gás e telefone, fazem parte de uma lista que o consumidor deve acompanhar.

Exercícios

1.Você aplicou em um fundo de renda fixa por 12 meses. O rendimento nesse período, descontado o IR, foi de 25%. No entanto, a inflação acumulada nesse mesmo período foi de 9%. Qual é o rendimento real dessa aplicação?Seria 16%?

(1,25/ 1,09) -1 = 1,146789 -1= 0,146789 , ou seja, 14,67%

2. Nos últimos dez anos seu salário subiu 18%, enquanto a inflação, nesse período, foi de aproximadamente 130%. Qual foi a perda real do valor do seu salário?

1,18/2,30= 0,513043 – 1= - 0,486956, ou seja, - 48,69%

Exercícios

3. Um pacote de luvas custava R$ 12,00 em janeiro. Em março do mesmo ano o preço estava em R$ 15,00. Qual foi a variação?

Variação percentual ( (R$ novo/ R$ velho) – 1) x 100

Há uma tecla na HP ao lado esquerdo da tecla % que faz a operação facilmente.

4. Um jaleco custa em média R$ 49,50. Com as promoções passa a custar R$ 35,50. Calcule a variação percentual no período.

((35,5/ 49,90) – 1 ) x 100= -28,28% faça via hp.

Avaliação de Investimentos

Objetivos de aprendizagem • Compreender o papel das técnicas no processo de orçamento de

capital.

• Calcular, interpretar e avaliar o período de payback.

• Calcular, interpretar e avaliar o valor presente líquido (VPL).

• Calcular, interpretar e avaliar o indice de lucratividade (IL)

• Calcular, interpretar e avaliar a taxa interna de retorno (TIR).

Período de payback • O período do payback mede simplesmente quanto tempo (em anos e/ou meses) é

necessário para a empresa recuperar o investimento inicial em um projeto.

• O período de payback máximo aceitável é fixado pela administração da empresa.

• Se o período de payback for menor do que o período máximo aceitável de

recuperação, o projeto deverá ser aceito.

• Se o período de payback for maior do que o período máximo aceitável de

recuperação, o projeto deverá ser rejeitado.

Prós e contras dos períodos

de payback

• O período de payback é largamente utilizado por empresas de grande porte para

avaliar pequenos projetos, e por empresas de pequeno porte para avaliar a maioria

de seus projetos.

• É simples, intuitivo e leva em conta fluxos de caixa, e não lucros contábeis.

• Também leva implicitamente em conta a distribuição de fluxos de caixa no tempo,

sendo usado como complemento de outros métodos, como os de valor presente

líquido e taxa interna de retorno.

Prós e contras dos períodos

de payback • Uma importante deficiência do período de payback é que o período apropriado de

recuperação é um número determinado subjetivamente.

• Também ignora o objetivo de maximização de riqueza, pois não se baseia em fluxos

de caixa descontados, e, assim, não fornece qualquer indicação de que um projeto

acrescenta ou não valor à empresa.

• Portanto, o payback não considera integralmente o valor do dinheiro no tempo.

Prós e contras dos períodos de payback

Valor presente líquido (VPL)‏

• O valor presente líquido (VPL) é obtido subtraindo-se o investimento

inicial de um projeto, depois do imposto de renda, do valor presente

de suas entradas de caixa, depois do imposto de renda.

Valor presente líquido (VPL)‏ • O valor presente líquido (VPL) é obtido subtraindo-se o investimento inicial de um

projeto, depois do imposto de renda, do valor presente de suas entradas de caixa,

depois do imposto de renda.

Critérios de decisão

Se VPL > 0, o projeto deverá ser

aceito.

Se VPL < 0, o projeto deverá ser

rejeitado.

Se VPL = 0, é indiferente aceitar ou

rejeitar o projeto.

Valor presente líquido (VPL)‏

• A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa de desconto que iguala o valor presente

líquido das saídas ao valor presente das entradas.

• A TIR é a taxa intrínseca de retorno do projeto.

Taxa interna de retorno (TIR)‏

• A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa de desconto que iguala o valor presente

líquido das saídas ao valor presente das entradas.

• A TIR é a taxa intrínseca de retorno do projeto.

Critérios de decisão

Se TIR > k, o projeto deverá ser

aceito.

Se TIR < k, o projeto deverá ser

rejeitado.

Se TIR = k, é indiferente aceitar ou

rejeitar o projeto.

Taxa interna de retorno (TIR)‏

Que enfoque é melhor?

• Em bases puramente teóricas, o VPL é melhor, porque:

– O uso do VPL implicitamente supõe que as entradas intermediárias de

caixa são reaplicadas ao custo de capital da empresa, e a TIR supõe

que são reaplicadas à geralmente elevada taxa por ela especificada.

– Algumas propriedades matemáticas podem fazer com que um projeto

com séries não convencionais de fluxos de caixa não tenha TIR igual a

zero ou tenha mais de uma TIR real.

• A despeito da superioridade teórica do VPL, porém, os administradores financeiros

preferem usar a TIR por causa de sua preferência por taxas de retorno.

Revisão

Professor Mauricio

Solução Alternativa pela HP 12C

• O diagrama do Fluxo de Caixa é o seguinte:

150.000 CHS g CF0 (valor de I)‏

57.900 g CFj (valor FL CX)‏

5 g Nj (número de FL CX)‏

18 i (taxa de desconto)‏

f NPV = 31.063

Como VPL > 0, o projeto será aceito

57.900 57.900 57.900 57.900 57.900

0 1 2 3 4 5

- 150.000

Usando a Calculadora Financeira HP 12 C

150.000 CHS g CF0 (valor de I)‏

57.900 g CFj (valor FLC 1)‏

18,0 i (taxa de desconto)‏

f NPV 31.063

Como VPL > 0, o projeto deve ser aceito

CÁLCULO DO VPL

Manualmente VPL = FLC(1) + FLC(2) + FLC(3) + FLC(4) + FLC(5) -

150.000

(1+0,18)1 (1+0,18)2 (1+0,18)3 (1+0,18)4 (1+0,18)5

Onde FLC = 57.900

VPL = 49.068 + 41.583 + 35.240 + 29.864 + 25.309 - 150.000

VPL = 31.063

Fundamentos

4) Taxa Interna de Retorno (TIR) ou (IRR)‏

• A Taxa Interna de Retorno representa a taxa de um fluxo de caixa, seja ou não composto por pagamentos uniformes.

• A calculadora HP 12c tem a função fluxo de caixa, em que os valores de entrada e de saída são inseridos. Após tal procedimento, basta que se calcule o IRR do fluxo.

Taxa Interna de Retorno (TIR )‏

• É a taxa de desconto que torna o VPL dos Fluxos de Caixa igual a zero

É a taxa de retorno do Investimento a ser realizado em função dos Fluxos de

Caixa projetados para o futuro.

1 ‏( )0

VPL FL CX = 0

Critério de Aceitação do Projeto

•TIR = Taxa Mínima:

A empresa estaria obtendo uma taxa de retorno exatamente igual à taxa de retorno mínima exigida; seria indiferente em relação ao projeto;

TIR > Taxa Mínima:

A empresa estaria obtendo uma taxa de

retorno maior que a taxa de retorno mínima

exigida; aprovaria o projeto;

Critério de Aceitação do Projeto

•TIR < Taxa Mínima:

A empresa estaria obtendo uma taxa de retorno menor que a taxa de retorno mínima exigida; reprovaria o projeto.

Observação: A utilização da TIR produz resultados equivalentes à do VPL na grande maioria dos casos. No entanto, o cálculo da TIR pode apresentar problemas algébricos e depende de hipóteses que nem sempre são verdadeiras. Por essa razão, a teoria considera o VPL como método superior à TIR.

Exemplo

• Solução pela HP-12-C: o diagrama do Fluxo de Caixa é o seguinte: 57.900 57.900 57.900 57.900 57.900

0 1 2 3 4 5 tempo

- 150.000

a) 150.000 PV (valor de I)‏

57.900 CHS PMT (valor de FL CX)‏

5 n (número de FL CX)‏

i = 26,8% (TIR)‏

Como TIR > 18%, o projeto será aceito.

I = 150.000

FL CX = 57.900 para os períodos de 1 a 5 anos

i = 18% por período ( custo de capital)‏

a) 150.000 CHS g CF0 (valor de I)‏

57.900 g CFj (valor de FL CX)‏

5 g Nj (número de FL CX)‏

f IRR = 26,8% (= TIR)‏

Outra forma de se calcular a TIR:

Como TIR > 18%, o projeto será aceito.

Juntando as Técnicas de orçamento de capital

Refinamentos das técnicas de orçamento de capital

Objetivos de aprendizagem

1. Compreender a importância do reconhecimento explícito do risco na

análise de projetos de orçamento de capital.

2. Discutir a análise de equilíbrio de fluxos de caixa e de sensibilidade e

a análise de cenários e a simulação como enfoques

comportamentais ao tratamento do risco.

3. Discutir os riscos especiais enfrentados pelas empresas

multinacionais.

4. Descrever a determinação e o uso de taxas de desconto ajustadas

por risco (TDARs), seus efeitos de carteira e seus aspectos práticos.

Objetivos de aprendizagem

1. Reconhecer o problema causado por projetos mutuamente exclusivos que

possuem durações diferentes e discutir o uso de valores presentes líquidos

anualizados (VPLAs) para resolver esse problema.

2. Explicar o papel de opções reais, o objetivo e os enfoques básicos da seleção de

projetos em condições de racionamento de capital.

Introdução a risco

em orçamento de capital

• Até este ponto, em nossa discussão sobre orçamento de capital, supôs-se que todos

os projetos tinham o mesmo risco.

• A aceitação de qualquer projeto não alteraria o risco geral da empresa.

• Na realidade, tais situações são raras – os fluxos de caixa de projetos em geral

possuem níveis distintos de risco e a aceitação de um projeto afeta o risco geral da

empresa.

• Neste capítulo serão enfocados modos de lidar com o risco.

Introdução a risco em orçamento de capital

Enfoques comportamentais

para lidar com o risco

• No contexto dos projetos de investimento discutidos neste capítulo, o

risco resulta quase inteiramente da incerteza a respeito das entradas

futuras de caixa, porque a saída inicial de caixa geralmente é

conhecida.

• Esses riscos resultam de diversos fatores, entre eles, a incerteza a

respeito de receitas, despesas e impostos futuros.

• Portanto, para aferir o risco de um projeto, o analista precisa medir o

risco das entradas de caixa.

Análise de sensibilidade

O hospital XYZ com custo de capital de 10% e está analisando a

possibilidade de investir em um de dois projetos mutuamente

exclusivos, A ou B. Cada um deles exige investimento inicial de $

10.000 e ambos devem gerar entradas de caixa anuais iguais

durante quinze anos.

Como administrador financeiro, você recebeu a estimativa

pessimista, a mais provável e a otimista das entradas anuais de

caixa de cada projeto, de acordo com a tabela a seguir.

Enfoques

comportamentais

para lidar

com o risco

Simulação

• Simulação é um enfoque comportamental com base estatística que aplica

distribuições de probabilidades predeterminadas, juntamente com a geração

de números ao acaso, para estimar resultados com risco.

• O uso de computadores tornou economicamente viável o emprego da

simulação, e o resultado obtido é uma excelente base de tomada de decisões.

Enfoques comportamentais para lidar com o risco

Taxas de desconto ajustadas por risco

• Taxas de desconto ajustadas por risco (TADRs) são taxas de retorno que devem ser

obtidas em certos projetos para remunerar os proprietários da empresa

adequadamente, ou seja, para manter ou elevar o preço da ação.

• Quanto mais alto o risco de um projeto, mais alta a TDAR e menor o VPL de um

projeto.

Taxas de desconto ajustadas por risco

Refinamentos em orçamento de capital

Comparação de projetos com durações diferentes

• Se os projetos forem independentes, a comparação de projetos com durações

diferentes não é importante.

• Mas, quando projetos de durações diferentes são mutuamente exclusivos, o impacto

de durações diferentes deve ser levado em conta, porque não produzem benefícios

por períodos comparáveis.

• Isso é particularmente importante quando se exige a continuação dos serviços dos

projetos considerados.

Refinamentos em orçamento de capital Comparação de projetos com durações diferentes

O hospital ABC está avaliando dois projetos, X e Y. Os fluxos de caixa e

os VPLs dos projetos, ao custo de capital de 10%, são fornecidos a seguir.

Ignorando as diferenças de duração dos projetos, podemos verificar

que os dois são aceitáveis (têm VPLs positivos). Além disso, se os

projetos fossem mutuamente exclusivos, Y seria preferível a X.

Entretanto, é importante reconhecer que, ao final de sua duração de

três anos, Y deverá ser substituído ou renovado.

Embora diversos enfoques existam para lidar com a situação de

durações diferentes, apresentaremos a técnica mais eficiente: o VPL

anualizado.

Projeto X Projeto Y

0 (70.000)$ (85.000)$

1 28.000$ 35.000$

2 33.000$ 30.000$

3 38.000$ 25.000$

4 -$ 20.000$

5 -$ 15.000$

6 -$ 10.000$

VPL $11.277 $19.013

Fluxos de caixa

O hospital ABC está avaliando dois projetos, X e Y. Os fluxos de caixa e

os VPLs dos projetos, ao custo de capital de 10%, são fornecidos a seguir.

O enfoque do VPLA converte o VPL de projetos com durações diferentes

em uma quantia annual equivalente (em termos de VPL) que pode ser

usada para escolher o melhor projeto.

1. Calcular o VPL de cada projeto ao longo de sua duração usando

o custo de capital apropriado.

2. Dividir o VPL de cada projeto com VPL positivo pelo FVPA ao

custo de capital dado para chegar ao VPLA de cada projeto.

3. Escolher o projeto com o VPLA mais alto.

VPL anualizado (VPLA)‏

Refinamentos em orçamento de capital Comparação de projetos com durações diferentes

1. Calcular o VPL dos projetos X e Y a 10%.

VPLX = $ 11.277; VPLY = $ 19.013.

2. Calcular o VPLA dos projetos X e Y.

VPLX = $ 11.277

pv = 11.277 ; n = 3 ; I = 10 pmt= ? 4.534

VPLY = $ 19.013

pv = 19.013 ; n = 6 ; I = 10 ; pmt= ? 4.365

3. Escolher o projeto com o maior VPLA.

Escolher o projeto X.

VPL anualizado (VPLA)‏

Reconhecimento da existência

de opções reais

• Opções reais são oportunidades implícitas em projetos de investimento que

permitem aos administradores alterar seus fluxos de caixa e seu risco de modo a

afetar a viabilidade do projeto (VPL).

• Opções reais também são conhecidas, em certos casos, como opções estratégicas.

• Alguns dos tipos mais comuns de opções reais são descritas na tabela do próximo

slide.

Reconhecimento da existência de opções reais

Custo médio Ponderado de Capital

Custo de Capital

Empréstimos (D)‏

Capital Próprio (E)‏

Kd (%)‏

Ke (%)‏

Operacional

Líquido

Prentice Hall

Ke = Custo do Capital Próprio

D = Endividamento

Kd = Custo do Endividamento

E = Equity ( Patrimônio Líquido )‏

T = Alíquota de Imposto de Renda/Contribuição Social

Custo de Capital

WACC = Ke E + Kd D

D + E D + E

WACC - Weighted Average Cost of Capital

CMPC - Custo Médio Ponderado de Capital

Prentice Hall

Custo de Capital

WACC = 1.800/100 = 18,0%

(*) Líquido de Impostos

Fonte Part.(%)‏

Capital Próprio 60

Empréstimos 40

Total 100

Custo (%)‏

‏(*)15

Resultado

Custo de Capital (WACC)‏

• É a taxa referencial contra a qual a taxa

interna de retorno deve ser comparada

• É a taxa de desconto que deve ser

aplicada para se calcular o valor presente

de um Projeto ou Negócio

Custo de Capital (WACC)‏

A Empresa só proporciona retorno aos seus

proprietários quando a taxa interna de retorno ( TIR )

que seus Ativos Líquidos proporcionam for superior

ao WACC.

Exercícios sobre Descontos

1. Qual o valor atual de um título de valor de resgate de $ 90.000,00 com 4 meses a

vencer,

sabendo-se que a taxa de desconto é de 3,25% ao mes, com a) desconto simples e

desconto

composto.

R: a) $ 78.300,00 ; b) 78.852,12

2. Sabendo-se que o valor líquido creditado na conta de umcliente foi de $ 57.170,24,

correspondente a um título de $ 66.000,00 a taxa de 5,0% a.m. Determinar o prazo a

decorrer até o vencimento deste título com a) juros simples e juros compostos.

R: a) 2,67 meses e b) 2,8 meses.

BIBLIOGRAFIA:

BIBLIOGRAFIA BASICA:

MATEMATICA FINANCEIRA E SUAS APLICAÇÕES BASICAS,

Assaf, Alexandre Neto, Editora Atlas, 4a. Edição, 419 p., São Paulo, 1996.

MATEMATICA FINANCEIRA

Vieira, Jose Dutra Sobrinho, Editora Atlas, 7a. Edição, 409 p., São Paulo, 2000.

MATEMATICA FINANCEIRA

Puccini, 5a.Edição, 318p. São Paulo 1998.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:

MATEMATICA FINANCEIRA USANDO EXCEL 5 e 7,

Laponi, J. Carlos, Ed. Laponi Treinameto, São Paulo, 1996.

ENGINEERING ECONOMY.

Sullivan, W.G; Wicks, E. M., 12th edition, Prentice Hall, N.Jersey, 2003.

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