Aula…- Limite e continuidade

Bases MatematicasContinuidade

Limites de FuncoesPropriedades do Limite de Funcoes

Daniel Miranda

Bases Matematicas

Miranda Bases Matematicas

Continuidade

De modo intuitivo, uma funcao f : A → B , com A,B ⊂ R e ditacontınua se variacoes suficientemente pequenas em x resultam emvariacoes pequenas de f (x), ou equivalentemente, se para x

suficientemente proximo de a tivermos que f (x) e proximo de f (a).

Exemplo de Descontinuidade

1 2 3−1−2

Exemplo de Descontinuidade

−11 2 3 4−1

Vamos agora examinar um exemplo de funcao contınua, a funcaoh(x) = x2. Vamos nos concentrar em entender o porque dessafuncao ser contınua numa vizinhanca do ponto x = 1.

2 41.5 2.251.3 1.691.2 1.441.1 1.211.01 1.02011.001 1.002001

Intuitivamente, quando tomamos valores de x diferentes de 1porem cada vez mais proximos de 1, os valores de f (x) seaproximam de de f (1) = 1, e logo a funcao f (x) = x2 e continuanesse ponto.

−0.5

0.5 1.0 1.5−0.5−1.0

Outro modo de analisar a continuidade e tomando uma sequenciaan arbitraria que convirja a 1.Pela propriedade do limite da multiplicacao temos que paraf (x) = x2

f (an) = a2n → 1

Ou seja, independente de como nos aproximamos de a (an → a) osvalores de f se aproximam de f (a) (f (an) → f (a))

Continuidade: Uma funcao f : A → B e dita continua num

ponto a ∈ A se para toda sequencia xn ∈ A tal xn → a entaof (xn) → f (a)

f (an)

bc bcbc bcbc bcbc bcbc

bcbcbc

Uma funcao que e continua em todos os pontos do domınio e ditasimplesmente contınua. Vamos provar que algumas funcoessimples sao contınuas:

Exemplo 1 A funcao constante f (x) = c e contınua.

Uma funcao que e continua em todos os pontos do domınio e ditasimplesmente contınua. Vamos provar que algumas funcoessimples sao contınuas:

Exemplo 1 A funcao constante f (x) = c e contınua.

Solucao: Seja an uma sequencia tal que an → a. Como estamosconsiderando a funcao constante f (x) = c entao f (an) = c e logolimn→∞

f (an) = c para toda sequencia an ou seja:

limx→a

c = c .

Exemplo 2 A funcao f (x) = x e contınua.

Solucao: Seja an uma sequencia real tal que an → a. Comof (x) = x temos que: lim

n→∞

f (an) = limn→∞

an = a para toda

sequencia an ou seja:limx→a

x = a.

As seguintes funcoes sao contınuas:

Funcoes Polinomiais.

Funcoes Racionais.

Funcoes Trigonometricas: sen(x) , cos(x) , tan(x)

Funcoes Trigonometricas Inversas: arcsen(x) , arccos(x) ,arctan(x)

Funcoes Exponenciais: cx

Funcoes Logarıtmicas: loga(x)

De modo intuitivo dizemos que f (x) tende a L quando x tende a a

se quando nos aproximamos de x entao f (x) se aproxima de L.Podemos, de modo analogo a definicao de continuidade, formalizara definicao de limite funcao usando sequencias.

an → a

f (an) → L

Dada f : A → B com A e B intervalos dos numeros reais, e a umnumero real tal que f (x) esta definida em I\{a}, com I umintervalo aberto contendo a.

Definicao de Limite

Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a e L se paratoda sequencia an tal que an ∈ I\{a} e an → a tivermos quef (an) converge a L.

Denotaremos que o limite de f (x) quando x tende a a e L por:

limx→a

f (x) = L

Exemplo 1 limx→a

c = c Solucao: Seja an uma sequencia tal que

an → a e an 6= a. Como estamos considerando a funcao constantef (x) = c entao f (an) = c e logo lim

n→∞

f (an) = c para toda

sequencia an ou seja: limx→a

c = c .

Exemplo 2 limx→a

Solucao: Seja an uma sequencia real tal que an → a e an 6= a.Como f (x) = x temos que: lim

n→∞

f (an) = limn→∞

an = a para toda

sequencia an ou seja: limx→a

x = a. �

Exemplo 3 limx→1

x2 − 1

x − 1

Exemplo 3 limx→1

x2 − 1

x − 1

Solucao:

Observe inicialmente que a funcao f (x) =x2 − 1

x − 1= x + 1 se

x 6= 1 e nao esta definida em x = 1.O fato da funcao nao estar definida em x = 1 e indiferente para ocalculo do limite pois a definicao na definicao do mesmo soconsidera sequencias an cujos valores sao distintas de 1 e tais quean → 1. Assim

limn→∞

f (an) = limn→∞

a2n − 1

an − 1= lim

n→∞

(an + 1)(an − 1)

an − 1=

limn→∞

an + 1 = 2.

Logo, limx→1

x2 − 1

x − 1= 2

Exemplo 4 limx→0

sen(x) = 0

Exemplo 4 limx→0

sen(x) = 0

Solucao: Seja an uma sequencia convergindo a 0, i.e, an → 0entao temos:

− |an| ≤ sen(an) ≤ |an|e pelo teorema do confronto temos que; lim

n→∞

sen(an) = 0 para

toda sequencia an → 0. E logo temos que limx→0

sen(x) = 0 �

Propriedades Algebricas do Limite.

Seja c um numero real e f , g duas funcoes reais tais que tais quelimx→a

f (x) = A e limx→a

g(x) = B . Entao:

limx→a

(f (x) + g(x)) = A+ B . (Limite da Soma)

limx→a

(f (x)− g(x)) = A− B . (Limite da Diferenca)

limx→a

(f (x) · g(x)) = AB . (Limite do Produto)

limx→a

(cf (x)) = cA.

Se limx→a

g(x) = B 6= 0 entao limx→a

B. (Limite do

Quociente)

limx→a

|f (x)| = |A|. (Limite do Modulo )

limx→a

(f (x)n) = An (Limite de Potencias)

limx→a

f (x) =√A (Limite da Raiz)

Exemplo 1 Calcule limx→2

x3 + 3x + 2

Exemplo 1 Calcule limx→2

x3 + 3x + 2

Solucao:

limx→2

x3 + 3x + 2 = limx→2

x3 + limx→2

3x + limx→2

2 por 19 (1)

limx→2

+ 3 limx→2

x + limx→2

2 por 19 e 19(2)

= 8 + 6 + 2 = 16 (3)

Exemplo 2 Calcule limx→a

x4 + 2

x2 + 1

Exemplo 2 Calcule limx→a

x4 + 2

x2 + 1

Solucao: Se limx→a

x2 + 1 6= 0 entao

limx→a

x4 + 2

x2 + 1=

limx→a

x4 + 2)

limx→a

(x2 + 1)por 19 (4)

=limx→a

x4 + limx→a

limx→a

x2 + limx→a

1por 19 (5)

=a4 + 2

a2 + 1por 19 (6)

Exemplo 3 limx→2

2x2 − 8x + 8

x2 + x − 6

Exemplo 3 limx→2

2x2 − 8x + 8

x2 + x − 6

Solucao:

limx→2

x2 − 6x + 8

x2 + x − 6limx→2

(x − 2)(x − 4)

(x − 2)(x + 3)

Agora para o calculo do limite x 6= 2 e logo

limx→2

x2 − 6x + 8

x2 + x − 6= lim

(x − 2)(x − 4)

(x − 2)(x + 3)= lim

x − 4

x + 3= −2

Limite da Composta.

Seja f uma funcao contınua em b e limx→a

gx = b entao

limx→a

f (g(x) = f (b).

Exemplo 4 limx→0

sen(x2 + 4x + π) + 2

cos(x3 + x5)= 2

Exemplo 4 limx→0

sen(x2 + 4x + π) + 2

cos(x3 + x5)= 2

Solucao: Como ja dissemos as funcoes sen(x) e cos(x) saocontınuas em todos os pontos. Alem disso temos:

limx→0

x2 + 4x + π)

= π e limx→0

x3 + x5 = 0

limx→0

sen(x2+4x+π)+2 = sen( limx→0

x2+4x+π)+2 = sen(π)+2 = 2

limx→0

cos(x3 + x5) = cos( limx→0

x3 + x5) = cos(0) = 1

E assim temos que:

limx→0

sen(x2 + 4x + π) + 2

cos(x3 + x5)=

limx→0

sen(x2 + 4x + π) + 2)

limx→0

cos(x3 + x5)= 2

�Miranda Bases Matematicas

Teorema (do Confronto)

Dadas f , g , h funcoes definidas num intervalo contendo o ponto a

e tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) nesse intervalo. Se

limx→a

f (x) = L = limx→a

h(x), entao

limx→a

g(x) = L

Exemplo 6 Mostre que limx→0

x2 sen 1x= 0

Exemplo 6 Mostre que limx→0

x2 sen 1x= 0

y = x2

y = −x2

y = x2 sen 1x

Solucao: Como

−1 ≤ sen1

x≤ 1

temos que

−x2 ≤ x2 sen1

x≤ x2

Como limx→0

x2 = limn→∞

0− x2 = 0, pelo teorema do confronto temosque

limx→0

x2 sen1

Exemplo 7 Mostre que

limx→0

sen(x)

x= 1 (Limite Fundamental)

Exemplo 7 Mostre que

limx→0

sen(x)

x= 1 (Limite Fundamental)

Solucao: Como ja demonstramos para 0 < x <π

2 valem asdesigualdades:

0 < cos(x) <sen x

cos(x).

E como limx→0

cos(x) = 1 = limx→0

1cos(x) pelo Teorema do Confronto

temos o limite desejado.�

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