Equacoes diferenciais de ordem n

Calculo II

Departamento de Matematica Universidade de Aveiro

2018-2019

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1. Equacoes diferenciais de1a ordem

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1. Equacoes diferenciais de 1a ordem

Vamos considerar uma equacao diferencial de 1a ordem na forma

F (x , y , y ′) = 0

ou, mais frequentemente, na forma normal, explicitada usando a derivadade maior ordem

y ′ = f (x , y).

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1. Equacoes diferenciais de 1a ordem

1.0 Equacoes diferenciais de 1a ordem cujo termo independente dependeapenas de x

1.1 Equacoes diferenciais de 1a ordem de variaveis separaveis

1.2 Equacoes diferenciais de 1a ordem, homogeneas de grau zero

1.3 Equacoes diferenciais de 1a ordem, redutıveis a homogeneas de grauzero

1.4 Equacoes diferenciais de 1a ordem exatas

1.5 Equacoes diferenciais de 1a ordem lineares

1.6 Equacoes diferenciais de 1a ordem de Bernoulli

1.7 Aplicacao ao estudo das trajectorias ortogonais

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1.0. termo independente e apenas funcao de x,f (x , y) = g(x)

No caso em que f (x , y) e apenas funcao de x , f (x , y) = g(x), a equacaoresolve-se facilmente por primitivacao da funcao g(x). O integral geraldesta equacao diferencial e a famılia das primitivas de g :

y =

∫g(x)dx = F (x) + c, c ∈ R.

Resolva a equacao y ′ = ex .

y =

∫exdx = ex + c, c ∈ R.

E quando f (x , y) nao depende apenas de x?

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1.1. Equacoes diferenciais de 1a ordem

de variaveis separaveis

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EDO’s variaveis separaveis f (x , y) = p(x)q(y)

Nas equacoes de variaveis separaveis a funcao f (x , y) escreve-se comoquociente entre duas funcoes, uma na variavel x e outra na variavel yf (x , y) = p(x)

q(y) sendo p e q funcoes contınuas nos seus domınios, I ⊂ R um

intervalo e q(y) 6= 0.Seja P(x) uma primitiva de p(x) e Q(y) uma primitiva de q(y).

Tem-se y ′ = p(x)q(y) ⇔

dydx = p(x)

q(y) ⇔ q(y)dy = p(x)dx .

Primitivando tem-se∫

q(y)dy =∫

p(x)dx ⇔ Q(y) = P(x) + c, c ∈ R.

O integral geral e Q(y) = P(x) + c, c ∈ R.

Verificar se as funcoes q(y) = 0 sao solucoes singulares.

A solucao geral e constituıda pelo integral geral e pelas solucoes singulares.

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Exercıcios

1 y ′ = 2xy

2 xy ′ − y = 0

3

{y ′ − eax = 0y(0) = 0

4 y + y ′cosec(x) = 0

5 x + y y ′ = 0

6 y sin( x2 )− cos( x2 )y ′ = 0

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1.2. Equacoes diferenciais de 1a ordem

homogeneas de grau zero

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EDO’s homogeneas de grau zero

Uma EDO de 1a ordem na forma normal

y ′ = f (x , y) ⇔ dy

dx= f (x , y)

e uma EDO homogeneas (de grau zero) se a funcao f (x , y) for umafuncao homogenea de grau zero, i.e. se

λ0f (x , y) = f (λx , λy), ∀λ ∈ R, (x , y), (λx , λy) ∈ D ⊆ R2.

Verifica se as funcoes seguintes sao homogeneas de grau zero.

1 f (x , y) = x2+y2

2x2−3y2

2 f (x , y) = xy2−x3

yx2

3 f (x , y) = xy+y2+x

4 f (x , y) = yx + cos2( yx )

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EDO’s homogeneas de grau zero

Se f (x , y) e homogenea de grau zero

y ′ = f (x , y) = f (λx , λy).

Considere a mudanca de variavel λy = yx ⇔ λ = 1

x , x 6= 0. Temos

y ′ = f (x , y) = f (1,y

x) = ϕ(z),

com z = yx ⇔ y = xy ⇒ y ′ = xz ′ + z .

Portanto a equacao diferencial y ′ = f (x , y) pode ser escrita do seguintemodo

xz ′ + z = ϕ(z)

que e separavel.Depois de obtido o seu integral geral efetua-se a substituicao inversa.

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Exercıcios

1 y ′ = x2+y2

2x2

2 x eyx y ′ = y e

yx + x

3 (x3 + y 3)dx − 3y 2x dy = 0

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1.3. Equacoes diferenciais de 1a ordem

redutıveis a homogeneas de grau zero

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EDO’s redutıveis a homogeneas

As equacoes da forma

y ′ = φ(a1x + b1y + c1

a2x + b2y + c2)

com a1, a2, a3, b1, b − 2, b3 ∈ R tais que a1b2 − a2b1 6= 0 sao redutıveis a EDO’shomogeneas.

Efetuando a mudanca de variaveis

{x = u + αy = v + β

para coordenadas (u, v), onde

v = v(u) e α e β sao constantes. Escolhemos α e β tais que{a1α + b1β + c1 = 0a2α + b2β + c2 = 0

e teremos

{a1x + b1y + c1 = a1u + b1va2x + b2y + c2 = a2u + b2v

obteremos a

nova equacao diferencial

v ′ =dv

du= φ(

a1u + b1v

a2u + b2v)

que e homogenea.

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Exercıcios

1 y ′ = x+y−1x−2y+1

2 y ′ = y−2xx+1 + tg( y−2x

x+1 ) + 2

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1.4. Equacoes diferenciais de 1a ordem

exatas

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EDO’s exatas

Tomemos uma EDO de 1a ordem

y ′ = f (x , y)

que se pode reescrever na forma diferencial como

M(x , y) + N(x , y) y ′ = 0 ⇔

M(x , y) dx + N(x , y) dy = 0

Quando e que uma equacao diferencial de 1a ordem se diz exata em D?

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EDO’s exatas

Definicao

Uma eq. dif. de 1a ordem diz-se exata em D se existir uma funcao F (x , y)de classe C 1 em D cujo diferencial total e exatamente a expressaoM(x , y) dx + N(x , y) dy , ou seja,

dF (x , y) = M(x , y) dx + N(x , y) dy

e que e equivalente a afirmar que

M(x , y) = ∂F

∂x

N(x , y) = ∂F∂y

em D.

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EDO’s exatas

Criterio para verificar se uma EDO e exata

Se D e um aberto simplesmente conexo, e sendo as funcoes M e Nfuncoes com derivadas parciais contınuas (i. e. de classe C 1), entao a EDOda forma M(x , y) dx + N(x , y) dy = 0 e diferencial exata se e so se

∂M

∂y(x , y) =

∂N

∂x(x , y), ∀(x , y) ∈ D.

Verifique se as seguintes EDO’s sao exatas.

1 (y + 2xey )dx + (x2ey + x − 2y)dy = 0

2 (y 2)dx + (2xy)dy = 0

3 (3xy + y 2)dx + (x2 + xy)dy = 0

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EDO’s exatas

Recorda:

A solucao destas EDO’s e uma funcao F (x , y) tal que

∂F (x , y) = M(x , y) dx + N(x , y) dy

e o conjunto de solucoes da EDO e da forma

F (x , y) = C , C ∈ R.

Exercıcios

1 (y 2)dx + (2xy)dy = 0

2 (y + 2xey )dx + (x2ey + x − 2y)dy = 0

3 2x + y 2 + 2xyy ′ = 0

4 (y cos x + 2xey ) + (sen x + x2ey − 1)y ′ = 0

5 2xy + y 2 + (x2 + 2xy)y ′ = 0Calculo II | 2018-2019 EDO 20 / 34

EDO’s exatas

Fator Integrante

Existem certas funcoes auxiliares que permitem transformar uma dadaEDO nao exata numa eq. exata.Chama-se fator integrante da eq. M(x , y) dx + N(x , y) dy = 0 a toda afuncao µ(x , y) nao nula tal que a eq.

µ(x , y) M(x , y) dx + µ(x , y) N(x , y) dy = 0

e diferencial exata.

Ora µ(x , y) M(x , y) dx + µ(x , y) N(x , y) dy = 0⇔ µM + µNy ′ = 0⇔µMdx + µNdy = 0.Esta eq. dif. e exata se ∂µM

∂y = ∂µN∂x ⇔

∂µ∂y M + ∂M

∂y µ = ∂µ∂x N + ∂N

∂x µ⇔µyM − µxN + (My − Nx)µ = 0

A solucao desta eq. dif. e difıcil, pelo que e habitual simplificar o problemaassumindo que o fator integrante depende somente de x ou somente de y .

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EDO’s exatas

Assumindo que µ(x , y) depende apenas de uma variavel:

µ(x , y) funcao de x : µ(x , y) = µ(x), entao µy = 0 logo

µx = My−Nx

N µ⇔ µ′ = g(x)µ com g(x) = My−Nx

N e

µ(x) = e∫

g(x)dx

µ(x , y) funcao de y : µ(x , y) = µ(y), entao µx = 0 logo

−µy = My−Nx

M µ⇔ −µ′ = h(x)µ com h(y) = My−Nx

M e

µ(y) = e∫−h(y)dy

Exercıcios

1 3xy + y 2 + (x2 + xy) y ′ = 0, µ(x) = x

2 y 2 cos xdx + (4 + 5y sen x)dy = 0, µ(y) = y 3

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1.5. Equacoes diferenciais de 1a ordem

lineares

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EDO’s lineares

As EDO’s lineares podem escrever-se da forma

a0(x) y ′ + a1(x) y = b(x)

com a0, a1, b funcoes definidas num intervalo I e tais quea0(x) 6= 0 para todo x ∈ I;se b(x) = 0 a equacao diz-se homogenea, senao diz-se completa;pode ser de coeficientes constantes ou de coeficientes variaveis.

Como a0(x) 6= 0 para todo x ∈ I, dividindo por a0(x) podemos escrever aequacao da forma

y ′ + p(x) y = g(x)

com p(x) = a1(x)a0(x) e g(x) = b(x)

a0(x) .

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EDO’s lineares

Para resolver a EDOy ′ + p(x) y = g(x)

procuramos um fator integrante µ(x) tal que

µ(x)(y ′ + p(x) y) = (µ(x) y)′︸ ︷︷ ︸ou seja, tal que

(µ(x) y)′ = µ(x) g(x).

Primitivando, obtemos

µ(x) y =

∫µ(x) g(x) dx .

Como obter µ(x)?

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EDO’s lineares

Temos µ(x)(y ′ + p(x) y) = (µ(x) y)′ ⇔

µ(x) y ′ + µ(x) p(x)︸ ︷︷ ︸µ′(x)

y = (µ(x) y)′ ⇔

µ(x) y ′ + µ′(x) y = (µ(x) y)′.

Portantoµ′(x) = µ(x) p(x)

ou seja, µ e solucao de

1

µµ′ − p(x) = 0 ⇔ µ′ =

p(x)1µ

Calculo II | 2018-2019 EDO 26 / 34

EDO’s lineares

logo o integral geral / a solucao e

µ(x) = c eP(x), c ∈ R

sendo P(x) =

∫p(x) dx .

E agora

y =1

µ(x)

∫µ(x) g(x)dx .

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Exercıcios

1 y ′ − y = ex

2 y ′ + tg(x) y = sec(x) = 1cos(x)

3

{y ′ + 2y = x e−2x

y(0) = 12

Nota: Problema de Cauchy

se p e g sao contınuas em I, o problema

{y ′ + p(x) y = g(x)y(x0) = y0

tem

exatamente uma solucao

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1.6. Equacoes diferenciais de 1a ordem

de Bernoulli

Calculo II | 2018-2019 EDO 29 / 34

EDO’s Bernoulli

Uma EDO de Bernoulli e da forma

y ′ + a(x) y = b(x) yα, α ∈ R

se α = 0 ou α = 1 temos uma equacao linearse α 6= 0, 1 a equacao e nao linear.

Multiplicando a equacao por y−α obtemos

y ′ y−α + a(x) y 1−α = b(x)

fazer a mudanca de variavel de y para z y 1−α = z pelo que

z ′ = (1− α) y−α y ′ ⇔ y ′ y−α =z ′

1− α.

Portanto temosCalculo II | 2018-2019 EDO 30 / 34

z ′

1− α+ a(x) z = b(x) ⇔ z ′ + (1− α)a(x)z = (1− α)b(x)

que e uma equacao linear.

Exercıcios

1 y ′ + y = ex y 2

2 “crescimento de uma populacao” :

{p′(t) = λp(x)(k − p(t))p(0) = p0

3 x y ′ + y = y 2 ln(x), x > 0

4 y ′ − y2x = 5x2y 5, x 6= 0

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1.7. Aplicacao ao estudo das trajetorias ortogonais

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Considere uma famılia de curvas planas admitindo em cada ponto (x0, y0)uma reta tangente com declive f (x0, y0).Em cada um destes pontos passa uma unica curva e, localmente, estacurva representa graficamente a funcao y = φ(x) que e o integral geral daequacao diferencial y ′ = f (x , y).

Uma trajetoria ortogonal e uma curva que intersecta ortogonalmentetodas todas as curvas desta famılia.

Portanto tem declive − 1

f (x0, y0)

A famılia das trajetorias ortogonais e dada pelo integral geral daequacao

y ′ = − 1

f (x , y).

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Exercıcios

Determine a famılia de trajetorias ortogonais associadas a

1 famılia de retas y = kx , k ∈ R

2 famılia de parabolas y = kx2, k ∈ R

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