Cálculo Numérico Tema: Zeros Reais de Funções Reais

Professor: Nonato

Fortaleza, 02 de Setembro de 2015

Refinamento

“Método Interativo: é uma sequencia de instruções que são executadas passo a passo, sendo algumas

delas repetidas em ciclo”

Refinamento

Iteração: corresponde a execução do ciclo;

Funcionamento da Iteração: A partir das iterações executadas efetua alguns testes a fim de verificar se

foi atingido um resultado com o erro fixado.

Refinamento

Critérios de Parada

Diz-se que 𝑥 é uma raiz com precisão ε, se:

01- | 𝑥-ξ|<ε;

02- |f( 𝑥)|<ε;

Teste Para Condição 01

Reduz-se o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Construindo o intervalo [a,b] de forma que:

𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏]

𝑒𝑏 − 𝑎 < 𝜀

portanto para todo e qualquer 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏],

|𝑥 − 𝜉| < 𝜀. Portanto todo e qualquer 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , pode ser 𝑥

Graficamente

Método da Bissecção

Se f é uma função continua no intervalo [𝑎, 𝑏] de forma que f(a)f(b)<0

O Método

Reduz-se a amplitude do intervalo que contem a raiz de forma que (b-a) < 𝜀 , para tanto divide-se o

intervalo [a,b] ao meio sucessivamente.

O Método

𝑥0 =𝑎0 + 𝑏0

2

𝑓(𝑎0) < 0𝑓(𝑏0) > 0𝑓(𝑥0) > 0

⟹𝜉 ∈ (𝑎0, 𝑥0)𝑎1 = 𝑎0

𝑏1 = 𝑥0

𝑥1 =𝑎1 + 𝑏1

2

𝑓(𝑎1) < 0𝑓(𝑏1) > 0𝑓(𝑥1) > 0

⟹𝜉 ∈ (𝑎2, 𝑥2)

𝑎2 = 𝑥1

𝑏2 = 𝑏1

...............

Exemplo

Aplicar o método na função f(x)=xlog(x) - 1

Algoritmo

Passo 01: Dados inicias

a- intervalo inicial [a,b]

b- precisão 𝜀

Passo 02: Se (b-a)< 𝜀, escolhe-se 𝑥como sendo qualquer x ∈ (a,b). Fim

Passo 03: k=1

Passo 04:M=f(a)

Passo 05:x =𝑎+𝑏

2

Algoritmo

Passo 06: Se Mf(x)>0, a<-x. Pule para o passo 8

Passo 07: b = x

Passo 08: Se (b-a) <𝜀, 𝑥 assume qualquer x ∈[a,b]. Fim

Passo 09: k<-k+1 retorne ao passo 5

Ao fim do processo tem-se o intervalo [a,b] com a raiz, de forma que (b-a) <𝜀 e uma aproximação 𝑥 para

a raiz exata.

Exemplo

Encontre a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑙𝑛𝑥 com𝜖≪ 0,01

Exercícios

Encontre pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com 𝜀 ≤ 0,01

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 30 = 0

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 0

𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0