Cálculo Vetorial

Campos Vetoriais

Definição

Um campo vetorial em um plano é uma função que associa a cada ponto P um único vetor F(P) paralelo ao plano.

Um campo vetorial no espaço tridimensional é uma função que associa a cada ponto P um único vetor F(P)

Definição

Em 2D:

Em 3D:

F x , y= f x , y ig x , y j

F x , y , z = f x , y , z ig x , y , z jh x , y , z k

Campos Vetoriais

Representação Gráfica

F x , y =x

F x , y=x i y j

F x , y , z=x i y jz k

Nesta visualização, os eixos de referências não passam pela origem.

Exemplo 1:

Represente graficamente o seguinte campo vetorial:

F x , y = j.

Exemplo 1: solução

Represente graficamente o seguinte campo vetorial:

Neste caso temos:

Trata-se de um campo constante, que a cada associa o vetorx , y ∈ℝ2 0,1.

F x , y = j.

Campos Escalares

Definição

Um campo escalar em um plano é uma função que associa a cada ponto P um valor escalar f(P).

Um campo escalar no espaço tridimensional é uma função que associa a cada ponto P um valor escalar f(P)

Campos Escalares

Exemplos

2D: Temperatura em uma placa metálica.

3D: Temperatura em uma sala de aula.

Parametrização

Estudaremos integral de linha (caminho). É preciso saber parametrizar caminhos!

Como parametrizamos caminhos?

Parametrização

Associe os gráficos com as expressões:

Parametrização

Associe os gráficos com as expressões:

Parametrização

Segmento de reta

Descrevendo parametricamente um segmento reta cujas extremidades são conhecidas:

A=1,3, 4

B=5,5,7

Parametrização

Segmento de reta

A=1 i3 j4 k

B=5 i5 j7 k

r t =At B−A , 0≤t≤1

B−At B−A

Parametrização

Segmento de Parábola

Parametrização

Segmento de Parábola

Fazemos , o que nos leva a .

Observando que deduzimos então que

r t =t it2 j ,−2≤t≤3

x=t y=t2

−2≤x≤3−2≤t≤3

Parametrização

Como se parametriza uma circunferência?

Parametrização

Descrevendo parametricamente um segmento de circunferência de raio 1:

r t =cos t isin t j ,0≤t≤43

t=0Sentido Anti-horário!

Parametrização

Descrevendo parametricamente um segmento de circunferência de raio 1:

r t =sin t icos t j ,0≤t≤43

Sentido Horário!

Integral de Linha

Suponha que f(x,y) seja uma função real a ser integrada sobre a curva C dada por:

r t =gt iht j , a≤t≤b

O que significa integrar sobre a curva?

Que motivação teríamos para calcular esta integral?

Integral de Linha

A integral de f(x,y) sobre a curva C.

∫Cf x , y ds

Observe que não usamos simplesmente dx ou dy

Sendo f(x,y) sempre positiva, esta integral fornece a área sob a curva.

Integral de Linha

Um caminho

Sendo C caminho que une (0,b) a (0,c)

∫Cf x , y ds = ∫C

f 0, y dy

cf y dy

A integral de linha transformou-se em uma integral unidimensional.

Integral de Linha

Suponha que f(x,y,z) seja uma função real a ser integrada sobre a curva C dada por:

r t =gt iht jk t k , a≤t≤b

∫Cf x , y , z ds

Integral de Linha

Uma motivação

f(x,y,z) pode ser a densidade linear de massa no ponto (x,y,z) e podemos estar interessados em calcular a massa total de uma determinada linha.

r t =gt iht jk t k , a≤t≤b

Integral de Linha

Definição

Sn=∑k=1

nf xk , yk , zk sk

Sn=∫Cf x , y , z ds

“Integral de f sobre C”

Integral de Linha

Calcule as integrais abaixo (como escrevê-las?):

f x , y =10 f x , y =100

∫C1∪C2

f x , y ds ∫C3∪C4

f x , y ds

-2 0 2

Integral de Linha

A função: vista superior A função: perspectiva. Observe o caminho C

2 na cor branca.

A função: vista lateral

Integral de Linha

Definição

Seja uma parametrização para o caminho C.

Sabemos que

portanto:

∫Cf x , y , z ds=∫a

bf g t ,ht , k t ∣v t ∣dt

dsdt=∣v∣

ds=∣v∣dt

r t =gt iht jk t k

Integral de Linha

Integral de Linha em um Campo Escalar

Integral de Linha

Exemplo 1: Integre sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1):

f x , y , z=x−3y2z

Integral de Linha

f x , y , z=x−3y2z

Integral de Linha

Aditividade

∫Cf ds=∫C1

f ds∫C2

f ds⋯∫Cn

Integral de Linha

Exemplo 2: Integre sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1):

f x , y , z=x−3y2z

Integral de Linha

Exercícios

1. Calcule onde C é o

segmento de reta

∫Cx− yz−2ds

x=t , y=1−t , z=1

(2,−1,1) a (3,−2,1)

Exercícios

2. Calcule ao longo da curva∫C x2 y2ds

r=4 cos t i4 sent j3 t k −2 ≤ t ≤ 2

Trabalho

Definição

O trabalho realizado por uma força

através de uma curva lisa C com parametrização é

F=M iN jP k

W=∫CF⋅T ds

T é vetor tangente unitário.Integral de linha em um campo vetorial

Trabalho

Lembre-se:

W=∫CF⋅T ds

T=d rd s

d r=T d s

W=∫CF⋅d r

Como se usa isto?

W=∫CF⋅

Trabalho

Exemplo 1:

Encontre o trabalho realizado pela força

durante a trajetória

F= y−x2 iz− y2 jx−z2 k

r t =t it2 jt3 k , 0,0 ,0 a 1,1 ,1

Trabalho

Exercícios

1. Encontre o trabalho realizado pelo gradiente de

no sentido anti-horário ao redor de uma circunferência de raio 2 centrada na origem

do ponto (2,0) a ele mesmo.

f x , y =x y 2

Exercícios

2. Calcule , onde C é o caminho formado por um quarto de circunferência centrada na origem e com raio 1, partido de (1,0) até (0,1)

∫Cx4 dx+xy dy

Exercícios

3. Calcule , onde C é o segmento de reta que une os pontos (0,0,1) e (1,2,5)

∫Cy dx+xdy+xy dz

Função Potencial

Definição

Se F for um campo vetorial definido sobre D e

para alguma função escalar f em uma região aberta D no espaço, então

f é chamada função potencial para o campo vetorial F.

F=∇ f

Exemplo 1:

Verifique se a função é um potencial para .

f x , y =xyF= yixj

Campo Conservativo

Solução:

Tudo o que temos que verificar é se

Logo a função dada é um potencial para o campo em questão.

F=∇ f .

∇ f x , y =∂xy ∂ x

i∂xy ∂ y

j= y ixj=F x , y .

Campo Conservativo

Que outras funções seriam potenciais para F?Que outras funções seriam potenciais para F?

Exemplo 2:

é um campo conservativo. Encontre sua função potencial.

F x , y =2xi2y j

Campo Conservativo

Sabemos que:

O que implica:

F=∇ f=Px , y iQ x , y j=∂ f∂ xi

∂ f∂ y

P x , y =2x , Q x , y =2y .

∂ f∂ x=2x ⇒ f x , y =∫2x dxg y ,

Campo Conservativo

f x , y =x²g y ,

∂ f∂ y=2y=

⇒ g y =∫2y dyc ⇒ g y = y²c.

f x , y =x² y²c .

Campo Conservativo

Exercício 1:

Encontre o potencial associado à função:

F=2 x i3 y j4 z k

Campo Conservativo

Exercício 2:

Encontre o potencial associado à função:

F= y sen z ix sen z j x y cos z k

Campo Conservativo

Será sempre possível, para qualquer sempre encontrar uma função f tal que

F=∇ f

Campo Conservativo

Será sempre possível, para qualquer sempre encontrar uma função f tal que

F=∇ f

Campo Conservativo

Será possível encontrar uma função f tal que

apenas se for conservativo.

Situação para a qual f é chamada função potencial.

F=∇ f

Campo Conservativo

Definições

será conservativo se for independente do caminho. F ∫ F °d r

Campo Conservativo

∫CF°d r=f r B−f r A

Campo Conservativo

Teste para Campos Conservativos

Campo Conservativo

Exemplo 1: Mostre que

é conservativo e encontre uma função potencial para ele.

F=ex cos y yz ix z−ex sen y jx yz k

Campo Conservativo

Exemplo 1: Solução – Parte 1

Campo Conservativo

Exercício 1:

Quais dos campos abaixo são conservativos?

F= yz ixz jxy k

F= y sen z ix sen z jxy cos z kF=−y ix jF=z y iz j yx k

Campo Conservativo

Exercício

1. Calcule a integral de linha da função abaixo abaixo no segmento de reta que une os pontos (1,2,2) e (2,2,3):

F= yz ixz jxy k

Diferencial Total

Definições

Diferencial Total

Teste de Exatidão

Diferencial Total

Exemplo 1:

Mostre que y dx + x dy + 4 dz é exata e calcule a integral:

Sobre o segmento de reta de (1,1,1) até (2,3,-1)

∫1,1 ,1

2,3 ,−1ydxx dy4 dz

Diferencial Total

Exemplo 1: Solução

Diferencial Total

Exercício 1:

Calcule as seguinte integrais:

∫0,0 ,0

2,3 ,−62x dx2ydy2z dz

∫1,1 ,2

3,5 ,0yz dxxz dyxy dz

Qual é o caminho de integração?

Teorema de Green

Teorema de Green Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos, orientada positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, então

∮CPdxQdy=∬D ∂Q

∂ x−∂P∂ y dA

Teorema de Green

Curvas Planas

Simples Não Fechada

Não Simples Não Fechada

Simples Fechada

Não Simples Fechada

Teorema de Green

Regiões Conectadas

Região conectada simplesmente

Regiões não conectadas simplesmente

Região não conectada

Teorema de Green

Exemplo 1:

Calcule , onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) e de (0, 1) a (0, 0).

∮Cx4 dxxy dy

Teorema de Green

Exemplo 2: Calcule

onde C é o círculo .

∮C3y−esen xdx7x y41dy

x2 y2=9

Teorema de Green

Exercício 1:

Calcule a Integral

Onde C é o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x=1 e y=1.

∮Cxydy− y2dx

Teorema de Green

Exercício 1: Solução

Teorema de Green

Exercício 2

Aplique o teorema de Green para calcular as integrais abaixo (curvas c/ orientação positiva):

∮C6yx dx y2x dy

∮C3y dx2x dy

C :x−22 y−32=4

C : 0≤x≤ , 0≤ y≤sin x A fronteira de

Teorema de Green

Exercício 3

Calcule a integral abaixo (verifique orientação antes de calcular a integral).

∮CF⋅d r

F=⟨exx2 y , e y−x y2⟩

C : x2 y2=25 Sentido Horário

Aplicações

Cálculo de Áreas

Como a área de uma região D é , desejamos escolher P e Q tais que

Existem várias possibilidades

∫∫d1dA

∂Q∂ x−∂P∂ y=1

P x , y =0

Q x , y =x

P x , y =− y

Q x , y =0

P x , y =−12

Q x , y =12

Aplicações

Exemplo 1

Determine a área delimitada pela elipse abaixo utilizando o teorema de Green:

Aplicações

Exercício 1

Determine a área delimitada por uma circunferência de raio R utilizando o teorema de Green.

Aplicações

Exercício 2

Use o teorema de Green para achar a área sob um arco da cicloide abaixo:

x=t−sin t

y=1−cos t

Teorema de Green

União de Regiões Simples

∮C1∪C3

PdxQ dy=∬D1 ∂Q∂ x

−∂ P∂ y dA

∮C2∪−C3

PdxQ dy=∬D2 ∂Q∂ x−∂P∂ y dA

Teorema de Green

∮C1∪C3

P dxQ dy=∫C1

PdxQ dy∫C3

P dxQ dy

∮C2∪−C3

PdxQ dy=∫C 2

PdxQ dy∫−C3

P dxQ dy

∮C1∪C2

P dxQ dy

∮C1∪C2

P dxQ dy=∬D1∪D2 ∂Q∂ x−∂P∂ y dA

P dxQ dy∫C2

P dxQdy

Teorema de Green

Regiões Não Conectadas Simplesmente

∮∂D'PdxQ dy=∬D ' ∂Q

∂ x−∂P∂ y dA

∮∂D' 'P dxQdy=∬D ' ' ∂Q

∂ x−∂ P∂ y dA

PdxQdy∮C2

PdxQ dy=∬D ∂Q∂ x−∂P∂ y dA

Teorema de Green

Exemplo 1

Calcule a integral abaixo se C for uma curva simples fechada lisa por partes orientada no sentido anti-horário, de modo que

(a) não envolva a origem

(b) envolva a origem.

−y dxx dy

Teorema de Green

Se não incluirmos a origem: para qualquer caminho a integral de linha é igual a zero (o teorema de Green garante!).

Teorema de Green

Se incluirmos a origem: Qualquer caminho a integral de linha é igual a 2π (o teorema de Green garante!).

Superfícies Parametrizadas

Curvas Parametrizadas

t0 2π

r t =a cost ia sin t j

r ,=a sin cos iasin sin jacosk

Domínio de r(t)

Domínio de r(φ, θ) Esfera de raio a

Circunferência de raio a (Sentido Anti-horário)

Exemplo 1

Determine a parametrização do cilindro

x2 y2=4, 0≤z≤1

O cilindro tem representação .

Sabemos que em coordenadas cilíndricas:

como: obtemos

r=2, 0≤z≤1

x=2cos y=2sin z=z

r=x i y jz k

r , z =2cos i2sin jz k

Domínio de r(θ,z)

Exemplo 2

Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elíptico z=x22 y2 .

Podemos escolher x e y para parâmetros livres.

r=x i y jz k

r x , y =x i y jx22 y2k

D : x , y ∈ ℝ2

Parametrizando Superfícies de Revolução

Seja S uma superfície criada a partir da rotação de uma dada função f(x) em torno do eixo x.

y=f x cos

z=f x sin

r x , y =x if x cos jf x sin k 0≤≤2

Exemplo 3:

Determine as equações paramétricas da superfície gerada pela rotação da curva abaixo em torno do eixo x:

y=sin x , 0≤x≤2

D : 0≤x≤2 , 0≤≤2

r x , y =x if x cos jf x sin k

r x , y =x isin x cos jsin x sin k

Planos Tangentes

Equação do Plano Tangente

Sabemos determinar a equação do plano tangente a uma superfície quando essa é dada em forma de função escalar.

Exemplo

Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto z=x22 y2 1,1 ,3.

Planos Tangentes

Solução:

z=x22 y2 1,1 ,3

f x , y , z=x22 y2−zFunção para a qual a superfície é uma simples superfície de nível.

Superfície. Ponto em questão.

∇ f x , y , z=2x i4y j−1k

∇ f 1,1 ,3=2 i4 j−1 k

n⋅r−r0=0Eq. do Plano.

2x−14 y−1−1z−3=0Eq. do Plano Tangente

n=∇ fVetor normal ao plano.

Planos Tangentes

Solução:

Plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto (1,1,3) observado de dois lugares distintos. O plano e o paraboloide foram desenhados parcialmente para facilitar visualização.

Planos Tangentes

Equação do Plano Tangenter u , v =f u , v ig u , v jhu , v k

Planos Tangentes

Equação do Plano Tangente

r u , v =f u , v ig u , v jhu , v k

ru=∂ f∂uu0 , v0 i

∂ g∂uu0 , v0 j

∂h∂uu0 , v0k

r v=∂ f∂ vu0 , v0 i

∂ g∂ vu0 , v0 j

∂h∂ vu0 , v0k

n = ru × rv

Planos Tangentes

Exemplo 1:

Calcule o plano tangente à superfície abaixo no ponto (1,1,3):

r x , y =x i y jx22 y2k

Planos Tangentes

r x , y=x i y jx22 y2k

r x=∂ r∂ x

r y=∂ r∂ y

r x=1 i2 x k

r y=1 j4 y k

Planos Tangentes

r x=∂ r∂ x

r y=∂ r∂ y

r x=1 i2 x k

r y=1 j4 y k

Planos Tangentes

r x=1 i2 x k r y=1 j4 y k

n⋅r−r0=0Eq. do Plano.

2x−14 y−1−1z−3=0Eq. do Plano Tangente

n=r x×r y n=−2 i−4 j1k

−2x−1−4 y−11z−3=0

Área de Superfície

Definição: Se uma superfície parametrizada lisa S é dada pela equação

e S é coberta uma única vez quando (u,v) varre todo o domínio D dos parâmetros, então a área da superfície S é

r u , v =f u , v ig u , v jhu , v k u , v ∈D

A S =∬D∣ru×r v∣dA

A origem desta expressão será investigada após o estudo de seu uso.

Exemplo 1:

Calcule a área da esfera de raio a.

A parametrização de uma esfera de raio a é dada por

r ,=a sin cos ia sin sin ja cos k

r=acoscos iacos sin j−a sin k

r=−asin sin iasin cos j

∣r×r∣=a2sin

∬D∣r×r∣dA=∬D

a2 sin dA

2a2 sin dd =4 a2

Não se deixe enganar pelas aparências. Trata-se de uma integral dupla no sistema de coordenadas cartesianas.

2Domínio de r(φ, θ)

Exemplo 2

Determine a área da parte do plano

que está no primeiro octante.

3x2yz=6

Podemos parametrizar a região

no primeiro quadrante da seguinte forma:

3x2yz=6

r x , y =⟨ x , y ,−3 x−2 y6⟩

Domínio da parametrizaçãoSuperfície cuja área está sendo calculada.

r x×r y=∣i j k1 0 −30 1 −2∣=3 i2 j1 k

∣r x×r y∣=322212=14

r x=⟨1,0 ,−3⟩

r y=⟨0,1 ,−2⟩

∣r x×r y∣=14

∬D∣r x×r y∣dA=14∬D

dA=314

Exemplo 3:

Determine a área da parte do plano

que está dentro do cilindro

2x5yz=10

x2 y2=9.

A imaginem a superfície!

Área da Superfície

A superfície cuja área está sendo calculada está dentro do cilindro.

Plano mais cilindro.

O plano dentro do cilindro pode ser parametrizado da seguinte forma.

2x5yz=10

r x , y =⟨ x , y ,10−2 x−5 y ⟩

Domínio da parametrização

r x , y =⟨ x , y ,10−2 x−5 y ⟩

r x=⟨1,0 ,−2⟩ r y=⟨0,1 ,−5⟩

r x×r y=2 i5 j1k

∣r x×r y∣=30

∬D∣r x×r y∣dA=30∬D

dA=9 30

Caso Particular

Superfície dada por z = f(x,y) pode ser parametrizada da seguinte forma

r x , y =⟨ x , y , f x , y ⟩

r x=⟨1,0 ,∂ f x , y ∂ x ⟩

r y=⟨0,1 ,∂ f x , y ∂ y ⟩

r x×r y=⟨−∂ f∂ x

,−∂ f∂ y

Caso Particular

r x×r y=⟨−∂ f∂ x

,−∂ f∂ y

A S =∬D ∂ z∂ x

∂ z∂ y

∣r x×r y∣= ∂ f∂ x

∂ f∂ y

1 = ∂ z∂ x

∂ z∂ y

Exemplo 4:

Determine área do paraboloide que está abaixo do plano

z=x2 y2

Determine área do paraboloide que está abaixo do plano

z=x2 y2

A S =∬D12x 22y 2dA

A S =63737−1

Exemplo 5:

Calcule a área do paraboloide hiperbólico que está entre os cilindros x2 y2=1

x2 y2=4z= y2−x2

z= y2−x2

A superfície cuja área está sendo calculada está entre os cilindro.

Paraboloide mais cilindros.

Integral de Superfície

Suponha que cada ponto de uma superfície S tenha um determinada densidade superficial f.

Se quisermos determinar a massa da superfície S, calculamos:

f=f x , y , z

∬Sf x , y , zdS

AtençãodS: elemento de superfície.Já utilizamos dS para elemento de arco.

Integral de superfície de um campo escalar

É possível mostrar que o elemento de superfície é dado por

O que nos leva a

∬Sf x , y , zdS=∬D

f x , y , z∣ru×r v∣dA

dS=∣ru×r v∣dA

Atenção para esta mudança sutil.S: superfície. D: Domínio da parametrização da superfície.

Exemplo 1:

Calcule a integral de superfície abaixo:

∬Sx2dS S : x2 y2z2=1

Um exercício anterior nos forneceu as seguintes relações:

∬Sx2dS=∬D

sin cos 2sin dA

r ,=sin cos isin sin jcosk

∣r×r∣=sin

∬Sx2dS=∬D

sin cos 2sin dA

sin 3cos2dd

2cos2d∫0

sin 3d

2cos 2d∫0

sin 2sin d

2cos 2d∫0

sin 2sin d

2cos 2d∫0

1−cos2sin d

2cos2d∫0

sin −cos2 sin d

Exemplo 2:

∬Sxz dS S : x yz=1 No primeiro octante.

∫Sxz dS S : x yz=1 No primeiro octante.

Superfície na qual a integral está sendo calculada.

A superfície pode ser escrita como função de x e y:

∬Sxz dS

z=1−x− y

=∬Dxz∣ru×r v∣dA=∬D

xz 1 ∂ z∂ x

∂ z∂ y

=∬Dxz 1 −1

2dA=∬D

xz3 dA

∬Dxz3dA=∬D

x 1−x− y 3dA

z=1−x− y

Região de Integração

1−xx 1−x− y 3dy dx=3

Exemplo 3:

∬Sy2 z2dS S : z=x2 y2

Entre os planos z =1 e z=2.

∬Sy2 z2dS

=∬Dy2 z2

∣ru×r v∣dA=∬Ry2 z21 ∂ z

∂ x 2

∂ z∂ y

=∬Ry2x2 y2

Qual é o domínio?

=∬Ry2x2 y2

=∬Rr sin 2 r2

2 r dr d

=2∫0

2r5 sin 2dr d=

Campo Vetorial

A definição de integral de superfície para este tipo de campo necessita de superfícies orientadas.

∬SF x , y , z ⋅d S

AtençãodS: elemento de superfície orientado.

Fluxo do campo vetorial F através da superfície S.

Orientação de Superfície

Utilizamos um vetor unitário normal à superfície para definir sua orientação positiva.

Nem toda superfície é orientável.

n=ru×r v

∣ru×r v∣

Exemplo 1:

Determine uma orientação para a superfície abaixo:

n=ru×rv

∣ru×rv∣3

Não é preciso utilizar a fórmula abaixo.

n=ru×r v

∣ru×r v∣

n=2 i3 j3 k

Todos os pontos da superfície apresentam igual vetor orientação.

Exemplo 2:

Determine uma orientação para a esfera de raio a (sentido positivo para fora) centrada na origem.

r ,=a sin cos ia sin sin ja cos k

r=acoscos iacos sin j−a sin k

r=−asin sin iasin cos j

⟨a2sin2cos , a2 sin2sin , a2cos sin ⟩

∣r×r∣=a2sin

⟨a2sin2cos , a2 sin2sin , a2cos sin ⟩

∣r×r∣=a2sin

n=r×r∣r×r∣

=⟨sin cos , sin sin ,cos⟩

Exemplo 3:

Determine a orientação para uma superfície cilíndrica de raio a.

r , z =a cos iasin jz k

r=−asin iacos j r z=k

r×r z=acos iasin j

∣r×r z∣=a

n=r×r∣r×r∣

n=cos isin j

Calculando

O cálculo da integral de superfície pode ser feito utilizando os seguintes fatos:

∬SF⋅d S=

∬SF⋅n dS=∬S

F⋅ru×r v

∣ru×r v∣dS=∬D

F⋅ru×r v

∣ru×r v∣∣ru×r v∣dA=

∬DF⋅ ru×rvdA

Exemplo 1:

Encontre o fluxo do campo vetorial dado abaixo através de uma esfera de raio a centrada na origem.

F=z k=a cos k

⟨a2sin2cos , a2 sin2sin , a2cos sin ⟩r×r=

∬DF⋅ ru×rvdA

O valor de z foi copiado da parametrização da esfera.

∬Da3cos2

sin dA

∬DF⋅ ru×rvdA =∬D

a3cos2sin dA

= ∫0

a3cos2 sin dd

Exemplo 2:

Calcule a integral de superfície para e S sendo o cubo .

∬SF⋅d S±1,±1,±1F=x i2y j3z k

Para o plano x = 1

Para o plano x = -1

F=1 i2y j3z k n=i

∬SF x , y , z ⋅ndS=∬S

F⋅n=1

F=−1 i2y j3z k n=−i

∬SF x , y , z ⋅ndS=∬S

F⋅n=1

F n ∬SF⋅ndSF⋅n

1 i2y j3z k

x=−1

y=−1

z=−1

−1 i2y j3z k

−i 1 4

x i2 j3z k

x i−2 j3z k

−j 2 8

x i2y j3 k

x i2y j−3 k

k 3 12

−k 3 12

Caso Particular

Uma superfície dada por pode ser considerada uma superfície de nível de uma função de três variáveis:

G x , y , z =z−f x , y

G x , y , z =0 z=f x , y

z=f x , y

Caso Particular

Nesta situação, nos fornece um vetor perpendicular à superfície.

É possível provar que

∇G=r x×r y

∫SF⋅d S=∫D

F⋅ r x×r ydA= ∫DF⋅∇G dA

∇G = r x×r y

G x , y , z =z−f x , y

z=f x , y Superfície

r x , y =x i y jf x , y k

r x=1 i∂ f∂ x

r y=1 j∂ f∂ y

r x×r y=−∂ f∂ xi−∂ f∂ y

j1 k∇G=−∂ f∂ xi−∂ f∂ y

Exemplo 3:

∫SF⋅d S

F=xy i4x2 j yz k S : z=x e y 0≤x≤1, 0≤ y≤1

Teorema da Divergência

Teorema da Divergência: Seja G um sólido cuja superfície S

1 é orientada para fora. Se

onde f, g e h possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo G, e se dS for o elemento de superfície orientado para fora, então

F x , y , z =f x , y , z ig x , y , z jhx , y , z k

F⋅d S=∭G∇⋅F dV

Operador Nabla e suas aplicações

∇⋅F=div F=∂ f∂ x∂ g∂ y∂h∂ z

∇=∂

∂ xi

∂ yj

∂ zk

∇ f=∂ f∂ xi

∂ f∂ y

j∂ f∂ zk

f x , y , z

F x , y , z =f igjhk

Gradiente

Divergente

Exemplo 1:

Calcule a integral de superfície para e S sendo o cubo .

∬SF⋅d S±1,±1,±1F=x i2y j3z k

Exemplo 2:

Calcule a integral de superfície para e S a superfície esférica

∫SF⋅d S

x2 y2z2=4F=x2 ixz j3z k

Exemplo 3:

Calcule a integral de superfície para , onde S são as superfícies do cilindro sólido entre o plano z =0, do paraboloide e do círculo em z=0 que fecha a região.

∫SF⋅d S

x2 y2=4F= y ixy j−z k

z=x2 y2

Exemplo 3:

x2 y2=4, 0≤z≤4z=x2 y2

Exemplo 3:

Superfície do exemplo 3: Lateral do cilindro + paraboloide + círculo inferior.

Teorema de Stokes

Teorema de Stokes: Seja S1 uma superfície orientada

lisa por partes limitada por uma curva C lisa por partes, fechada, simples e com orientação positiva. Se as componentes do campo vetorial

forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo S

então:

F x , y , z =f x , y , z ig x , y , z jhx , y , z k

∮CF⋅d r=∬S1

∇×F⋅d S

Teorema de Stokes

Rotacional de um Campo Vetorial

∇×F=

Teorema de Stokes

Orientação Relativa de Curvas e Superfícies

O caminhante deve andar com a cabeça na direção dos vetores que orientam a superfície.

Orientação positiva: a superfície fica a esquerda do caminhante.

Teorema de Stokes

Exemplo 1:

Verifique o teorema de Stokes para a situação abaixo:

z=1− x2 y2

F=⟨ y , z , x ⟩

Teorema de Stokes

z=1− x2 y2

F=⟨ y , z , x ⟩

∮CF⋅d r=∬S1

∇×F⋅d S

r t =⟨cos t , sin t ,0⟩ 0≤t≤2

∮CF⋅d r=−

A integral de linha

Teorema de Stokes

F=⟨ y , z , x ⟩

∮CF⋅d r=∬S1

∇×F⋅d S

G=z−1x2 y2

A integral de superfície

∇×F⋅d S=∬D∇×F ⋅∇GdA

∬D−2x−2y−1dA=∫0

1−2r cos−2r sin−1r dr d =−

∇×F⋅d S=−

Teorema de Stokes

Exemplo 2:

Calcule , onde e C é a curva da intersecção do plano com o cilindro (oriente C no sentido anti-horário quando visto de cima.)

F=−y2 ix jz2k∫CF⋅d r

yz=2x2 y2=1

Imagine a situação.

Teorema de Stokes

Exemplo 2:

Calcule , onde e C é a curva da intersecção do plano com o cilindro (oriente C no sentido anti-horário quando visto de cima.)

F=−y2 ix jz2k∫CF⋅d r

yz=2x2 y2=1

Teorema de Stokes

∇×F=12y k

∇×F⋅d S=∬D∇×F ⋅∇GdA

G=z2− y

∬D∇×F⋅∇GdA=∬D

12y dA

112 r sinr dr d =

∫CF⋅d r=

Teorema de Stokes

Exemplo 3:

Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde

e S é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem que está dentro do cilindro e acima do plano xy.

F=xz i yz jxy k

x2 y2=1

∇×F⋅d S

Imagine a situação.

Teorema de Stokes

Exemplo 3:

Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde

e S é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem que está dentro do cilindro e acima do plano xy.

F=xz i yz jxy k

x2 y2=1

∇×F⋅d S

Teorema de Stokes

Vamos utilizar o teorema de Stokes para calcular uma integral de superfície.

∇×F⋅d S=∮CF⋅d r

F=xz i yz jxy k

r=cos t isin t j3 k

2−3cos t sin t3sin t cos t dt=0

Teorema de Stokes

Exemplo 4:

Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial numa partícula que percorre o retângulo C no plano z = y, mostrado na figura abaixo:

F x , y , z =x2 i4xy3 j y2 x k

Teorema de Stokes

O trabalho é dado por

Vamos aplicar o Teorema de Stokes para evitar o cálculo de quatro integrais de linha.

W=∮CF⋅d r=∬S1

∇×F⋅d S

∇×F=2 xy i− y2 j4y3k

Teorema de Stokes

Como z=f(x,y) (Caso particular)

∇×F=2 xy i− y2 j4y3k

W=∬S1

∇×F⋅d S=∬D∇×F⋅∇G dA

G x , y , z = y−z

∇G x , y , z = j−kObserve que invertemos isso! Foi necessário para conservar a orientação

positiva.

Teorema de Stokes

∇G⋅∇×F=− y2−4y3

W=∬D∇×F⋅∇G dA=∫0

3−y2−4 y3dy dx

−∫0

1 [ y3

3 y4 ]

dx=−∫0

190dx= −90

Teorema de Stokes

Exemplo 5:

Use o Teorema de Stokes para calcular a

integral , onde

onde C é o círculo no plano xy, no sentido anti horário quando vista de cima.

F=2y i3x j−z2 k

x2 y2=9∬C

F⋅d r

Teorema de Stokes

Exemplo 6:

Use o Teorema de Stokes para calcular a

integral , onde

onde C é a elipse no plano xy, no sentido anti horário quando vista de cima.

F=x2 i2x jz2k

4x2 y2=4

∬CF⋅d r

Cálculo Vetorial

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