Post on 07-Apr-2016
Capítulo 4
Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões
2ª Edição
Análise de Sensibilidade
Capítulo 4
Conteúdos do Capítulo
Análise de Sensibilidade Interpretação Econômica do Problema Dual Preço de Sombra – Shadow Price Custo Reduzido – Reduced Cost
Caso Motorela Celulares Caso Agropecuária Coelho
Capítulo 4
Conteúdos do Capítulo Continuação
Intervalos de validação Preço Sombra ( Shadow Price ou Dual Price ) Custo Reduzido (Reduced Cost)
Análise de Sensibilidade Solução Degenerada Solução Gráfica Análise dos Coeficientes da Função Objetivo A análise do Excel
Capítulo 4
Conteúdos do CapítuloContinuação
O Limite dos coeficientes das Restrições Excel
Analisando todas as respostas do Excel Answer Report Análise Econômica Sensitivity Report Limits Report Solução Degenerada
Capítulo 4
Interpretação Econômicado Problema Dual
Cada variável yi do Dual está diretamente relacionada com a restrição i do problema Primal;
O valor ótimo desta variável, yi* recebe diversas denominações, entre elas: Preço-Sombra (Shadow Price); Preço-Dual (Dual Price);
Portanto, cada restrição i possui um preço-sombra yi*
Capítulo 4
Preço de Sombra
O preço-sombra para o recurso i (yi*) mede o valor
marginal deste recurso em relação ao lucro total;
Isto é, a quantidade que o Lucro Total (Z) seria melhorado, caso a quantidade do recurso i (bi) fosse
aumentado de uma quantidade igual à unidade.
Capítulo 4
Preço de Sombra Solução Gráfica
0,21
5 20
s.r.3040Max
21
2103
153
251
221
152
21
xxxx
xxx
xxZ
(0;25)
(0;0)
(18,75;25)
(35;0)
16003040 21 xxSolução Ótima
(25;20)
Vamos medir o efeito de aumentar essa constante em 3 unidades, até 24?
Capítulo 4
0,21
5 20
s.r.3040Max
21
2103
153
251
221
152
21
xxxx
xxx
xxZ
0,24
5 20
s.r.3040Max
21
2103
153
251
221
152
21
xxxx
xxx
xxZ
Preço de SombraSolução Gráfica
Capítulo 4
O conjunto de soluções viáveis foi alterado A solução ótima também foi alterada
0,24
5 20
s.r.3040Max
21
2103
153
251
221
152
21
xxxx
xxx
xxZ
Preço de Sombra Solução Gráfica
(0;25)
(0;0)
(18,75;25)
(35;0)
(25;20)
(40;0)
340
3100 ;
Solução Ótima
352003040 21 xx
Capítulo 4
Na primeira situação tínhamos Dado o acréscimo de 3 unidades na segunda restrição obtivemos:
Portanto: Alteração da Função-objetivo:
Logo, preço de sombra : 44,443
3400
34001600
35200
1600Z
35200
Z
Preço de Sombra Solução Gráfica
Capítulo 4
0,21
6 20
s.r.3040Max
21
2103
153
251
221
152
21
xxxx
xxx
xxZ
0,21
520
s.r.3040Max
21
2103
153
251
221
152
21
xxxx
xxx
xxZ
Preço de Sombra Solução Gráfica
Capítulo 4
0,21
620
s.r.3040Max
21
2103
153
251
221
152
21
xxxx
xxx
xxZ
(0;25)
(0;0)
(18,75;25)
(35;0)
16003040 21 xxSolução Ótima
(25;20)
(0;30)
O conjunto de soluções viáveis foi alterado Essa restrição não limitava à solução ótima inicial, que não foi alterada. Qual é o preço de sombra desta restrição? ZERO
Preço de Sombra Solução Gráfica
Capítulo 4
Cada variável de folga/excesso do Dual está diretamente relacionada a uma determinada variável original do problema Primal;
Esse valor é chamado de Custo Reduzido ou Reduced Cost;
Portanto, cada variável do problema original possui um determinado custo reduzido.
Interpretação Econômica do Problema Dual Custo Reduzido
Capítulo 4
Custo Reduzido
O custo reduzido de uma variável é: o total que o seu coeficiente na função-objetivo deve
melhorar para que ela deixe de ser zero na solução ótima; quanto a função-objetivo irá piorar para cada unidade que a
variável aumente a partir de zero;
O custo reduzido só se aplica a variáveis que, na solução ótima, assumem o valor zero.
Capítulo 4
Exemplo
A tabela abaixo sintetiza o problema de um pecuarista: São três alimentos diferentes que contribuem com alguns nutrientes para a alimentação do gado. Qual é o custo mínimo diário para estabelecer uma dieta com o requerimento mínimo?
Ingrediente
Nutritivo
Quilode
milho
Quilode
ração
Quilode
alfafa
Requerimentomínimodiário
carboidratos 90mg 20mg 40mg 200mgproteínas 30mg 80mg 60mg 180mgvitaminas 10mg 20mg 60mg 150mgcusto ($/kg) 21 18 15
Capítulo 4
Modelagem no Excel
Capítulo 4
Os Parâmetros do Solver
Capítulo 4
Resultado do Excel
Mesmo resultado apresentado pelo Lindo
Capítulo 4
Os Reduced Costs
Os preços de sombra
A Análise do Excel
Capítulo 4
Análise de SensibilidadeInterpretação no Excel
Para o Excel, os conceitos de Preço-Sombra estão relacionados ao valor nominal do efeito na função-objetivo, isto é, quanto a função-objetivo aumenta ou diminui.
Capítulo 4
Análise de Sensibilidade
As quantidades informadas pelas grandezas Preço-Sombra e Custo Reduzido refletem as conseqüências de alterações unitárias; Alterações diferentes da unidade provocaram conseqüências
proporcionais.
Entretanto, estes valores só podem ser garantidos dentro de intervalos apontados nos relatórios, se a solução ótima não for degenerada.
Capítulo 4
Preço de SombraLimite
s.r.
0, 21 xx21210
315
3 xx525
1 x2022
115
2 xx
3040Max 21 xxZ
(0;25)
(0;0) (35;0)
16003040 21 xx
Solução Ótima
(25;20)
Partindo do problema:
(18,75;25)
Capítulo 4
s.r.3040Max 21
0, 21 xx21210
315
3 xx525
1 x2022
115
2 xx
xxZ
s.r.
21
242103
153
0, xxxx
5251 x
20221
152 xx
3040Max 21 xxZ
Preço de SombraLimite
Capítulo 4
(0;25)
(0;0) (35;0)
16003040 21 xxSolução Ótima
(25;20)(18,75;25)
34001600
35200
Alteração
da Função= Objetivo:
(0;25)
(0;0)
(18,75;25)
(35;0)
(25;20)
(40;0)
340
3100 ;
Solução Ótima
352003040 21 xx
Logo, preço de sombra : 44,44
33
400
Preço de SombraLimite
Capítulo 4
Preço Sombra:Limite no Excel
Problema Original
Problema Alterado
Capítulo 4
Preço Sombra:Limite no Excel
Problema Original
Problema Alterado
MesmoPreço-Sombra
Capítulo 4
30
s.r.
0, 21 xx21210
315
3 xx525
1 x2022
115
2 xx
3040Max 21 xxZs.r.
0, 21 xx210
315
3 xx
5251 x
20221
152 xx
3040Max 21 xxZ
Preço de SombraLimite
Capítulo 4
Logo, preço de sombra : 44,44
9400
40016002000 Alteração da
Função- Objetivo:
(0;0) (35;0) (50;0)
(0;25) (18,75;25)(25;20)
Solução Ótima20003040 21 xx
O valor do preço de sombra permaneceu constante
Preço de Sombra: Limite
(0;25)
(35;0)
16003040 21 xxSolução Ótima
(25;20)(18,75;25)
Capítulo 4
Preço Sombra:Limite no Excel
Problema Original
Problema Alterado
Capítulo 4
Preço Sombra:Limite no Excel
Problema Original
Problema Alterado
MesmoPreço-Sombra
Capítulo 4
Caso Motorela Celulares
Para produzir 3 tipos de telefones celulares, a fábrica da Motorela utiliza três processos diferentes, o de montagem, a configuração e a verificação. Para fabricar o celular Multi-Tics, são necessárias 0,1 h de montagem, 0,2 h de configuração e 0,1 h de verificação. O mais popular Star Tic Tac requer 0,3 h de montagem, 0,1 h de configuração e 0,1 h de verificação. Já o moderno Vulcano necessita de 0,4 h de montagem, 0,3 h para configuração, porém, em virtude de seu circuito de última geração, não necessita de verificação. A fábrica dispõe de capacidade de 290 hs/mês na linha de montagem, 250 hs/mês na linha de configuração e 110 hs/mês na linha de verificação. Os lucros unitários dos produtos Multi-Tics, Star Tic-Tac e Vulcano são R$ 100, R$ 210 e R$ 250, respectivamente e a Motorela consegue vender tudo o que produz. Sabe-se ainda que o presidente da Motorela exige que cada um dos três modelos tenha produção mínima de 100 unidades e quer lucrar pelo menos R$ 25.200/mês com o modelo Star Tic-Tac. O presidente também exige que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo Star Tic-Tac. Resolva utilizando o Solver do Excel:
Capítulo 4
Caso Motorela Celulares Variáveis de Decisão
x1- Número de celulares Multi-Tics produzidos mensalmente.
x2- Número de celulares Star Tic-Tacs produzidos mensalmente.
x3- Número de celulares Vulcanos produzidos mensalmente.
Capítulo 4
Caso Motorela Celulares:Função-Objetiva
Maximizar o Lucro da Motorela
321 250210100 xxxMax
Capítulo 4
Caso Motorela Celulares:Restrições
Produção
Linha de Montagem
Linha de Configuração
Linha de Verificação 1101,01,0 21 xx
2503,01,02,0 321 xxx
2904,03,01,0 321 xxx
Capítulo 4
Produção Mínima
Lucro Mínimo Star Tic-Tac
Produção Vulcano
Não Negatividade
100; 100; 100 321 xxx
25200210 2 x
23 2xx
0;; 321 xxx
Caso Motorela Celulares:Restrições
Capítulo 4
0;;2
25200210100; 100; 100
1101,01,02503,01,02,02904,03,01,0
250210100
32123
2321
21321321
321
xxxxx
xxxx
xxxxxxxx
stxxxMax
Caso Motorela Celulares:Modelo
Capítulo 4
Caso Motorela Celulares:Modelo no Excel
Capítulo 4
Caso Motorela Celulares:Parametrização do Solver
Capítulo 4
Caso Motorela Celulares:Relatórios
Marcar os Relatórios Desejados
Capítulo 4
Caso Motorela Celulares:Solução
Capítulo 4
Que restrições limitam a solução ótima?
Caso Motorela Celulares:análise dos Relatórios
Capítulo 4
Quanto deve ser melhorado no lucro unitário para que se produza o modelo Star Tic-Tac?
Caso Motorela Celulares:análise dos Relatórios
Capítulo 4
Caso Motorela Celulares:análise dos Relatórios
Até quanto você pagaria por uma hora de verificação terceirizada?
Capítulo 4
Alterando o Problema Para Verificar Resultado
Problema Alterado - Mesmo Valor Ótimo
Capítulo 4
Caso Motorela CelularesAnálise dos Relatórios
Até quanto você pagaria por uma hora de montagem terceirizada?
Capítulo 4
Alterando o Problema Para Verificar Resultado
=204200+480
Capítulo 4
O que significa o shadow price de -20 na última restrição?
Caso Motorela Celulares:análise dos Relatórios
Cada unidade adicional de Vulcano provoca perda de lucratividade de R$20,00, isto é, a função-objetivo diminui de 20.
Capítulo 4
=204200-20
Alterando o Problema Para Verificar Resultado
Capítulo 4
Caso Agropecuária Coelho
Milho Ração AlfafaCarboidratos 10 20 20Proteínas 10 20 40Vitaminas 40 30 20
O Sr. Coelho possui uma fazenda de criação de porcos para abate, e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requerimentos básicos diários de nutrientes: 200 u.m. de carboidratos, 250 u.m. de proteínas e 120 u.m. vitaminas. Considere que os alimentos disponíveis do mercado são milho, ração e alfafa, ao custo por quilo de R$20,00, R$30,00 e R$35,00, respectivamente. A tabela abaixo resume a quantidade de cada nutriente (u.m.) presente em um quilo de cada alimento:
Capítulo 4
Caso Agropecuária Coelho:Variáveis de Decisão
Variáveis de decisão: x1 – quantidade de quilos de milho na alimentação diária x2 – quantidade de quilos de ração na alimentação diária x3 – quantidade de quilos de alfafa na alimentação diária Função-objetivo: minimizar custos da alimentação diária
Min 20x1 + 30x2 + 35x3
Restrições do modelo: Carboidratos: 10x1 + 20x2 + 20x3 200 Proteínas: 10x1 + 20x2 + 40x3 250 Vitaminas: 40x1 + 30x2 + 20x3 120
Capítulo 4
0;;
120203040
250402010
200202010
353020
321
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
st
xxxMin
Caso Agropecuária Coelho:Modelo
Capítulo 4
Caso Agropecuária Coelho:Modelo no Excel
Capítulo 4
Caso Agropecuária Coelho:Solução no Excel
Capítulo 4
Que tipos de nutrientes são limitantes da dieta básica?
Carboidratos e Proteínas
Caso Agropecuária Coelho:Análise dos Relatórios
Capítulo 4
Quanto deveríamos exigir de redução no custo do milho para que ele participasse como matéria prima da alimentação diária?
Caso Agropecuária Coelho:Análise dos Relatórios
Capítulo 4
Qual o custo marginal que uma 1 u.m. adicional de vitaminas traria à agropecuária?
Caso Agropecuária Coelho:Análise dos Relatórios
Capítulo 4
Qual a variação de custo que uma exigência de 1 u.m. adicional de carboidratos na dieta diária?
Caso Agropecuária Coelho:Análise dos Relatórios
O custo adicional é de R$ 1,25 (valor positivo)
Capítulo 4
Intervalos de Validação do Preço-Sombra e do Custo Reduzido
A análise de sensibilidade determina os intervalos em que o Custo Reduzido e o Preço-Sombra são válidos
Uma razão para se estabelecer esses intervalos está ligada a hipótese de certeza assumida em modelos de programação linear.
Capítulo 4
Análise de SensibilidadeSolução Degenerada
A solução de um problema de Programação Linear algumas vezes apresenta uma anomalia conhecida como degeneração.
Uma solução de uma PL é dita degenerada quando o valor de incremento ou decremento de uma restrição é igual a zero.
A presença de degeneração altera a interpretação da análise de sensibilidade em um certo número de maneiras.
Capítulo 4
Análise de Sensibilidade
A análise de sensibilidade serve também para amenizar a hipótese de certeza nos coeficientes e constantes.
Em uma análise de sensibilidade queremos responder basicamente a duas perguntas: Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da função-
objetivo? Qual o efeito de uma mudança numa constante de uma
restrição?
Capítulo 4
Análise de Sensibilidade
Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade:1. Estabelece limites inferiores e superiores para todos os
coeficientes da função-objetivo e constantes das restrições: Excel; Hipótese de uma alteração a cada momento;
2. Verifica se uma ou mais mudanças em um problema alteram a sua solução ótima: Mais Complicado Pode ser feito através da alteração do problema e sua
nova resolução.
Capítulo 4
A Análise de SensibilidadeAtravés de Limites
Vamos nos dedicar ao primeiro tipo de análise.
A análise dos limites dos coeficientes da função-objetivo e das constantes das restrições do problema.
Vamos entender o processo da análise dos coeficientes da função-objetivo primeiro.
Capítulo 4
Análise de Sensibilidade Solução Gráfica
Max Z x 40 30x1 2
x x 0 01 2,21
520
2103
153
251
221
152
xxxxx
Solução Ótima16003040 21 xx
(0;0)
(0;25)(18,75;25)
(35;0)
(25;20)
x2
x1
Capítulo 4
Análise de Sensibilidade Solução Gráfica
2Max Z x 40 30x1
x x 0 01 2,21520
2103
153
251
221
152
xxxxx
(0;25)
(0;0) (35;0)
(25;20)
Função-Objetivo
(18,75;25)
Capítulo 4
Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo
(0;0) (35;0)
(25;20)
Função-Objetivo
212103
153 xx
20221
152 xx
As três retas pertencem a uma mesma família de retas, pois têm o ponto (25;20) em comum.
Uma diferença entre elas é no coeficiente angular.
A mudança de um coeficiente da função objetivo causará uma alteração no coeficiente angular da função-objetivo.
(0;25)(18,75;25)
Capítulo 4
Análise dos Coeficientes da Função Objetivo
Portanto, enquanto o coeficiente angular da função-objetivo estiver entre os das retas limites a solução ótima não se alterará.
A Linha dae Declividad
Objetivo-Função dae Declividad
B Linha dae Declividad
(0;0) (35;0)
(25;20)
2120
2103
153
221
152
xxxx
B
A
(0;25)(18,75;25)
Capítulo 4
Declividade da reta B Declividade da reta A
Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo
-2 < Declividade da Função-Objetivo < -0,8
12
153
310
2
153
2103
2103
153
2702121
21
xxxxxx
xx
12
154
2
152
221
221
152
8,04040
2020
xxxx
xxxx
Capítulo 4
A forma geral da função objetivo é dada por:
Que na Forma declividade-Interseção é dada por
2211 xcxcz
21
2
12 c
zxccx
Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo
Capítulo 4
Estudaremos uma variação por vez, portanto manteremos constante primeiramente c2=30. Logo, podemos dizer que:
temos30c para 8.02 22
1 cc
248.030
60 2308.0
302
11
11
1
cc
ccc
6024 1 c
Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo
Capítulo 4
Para estudarmos as variações possíveis de c2, manteremos c1 =40. Logo, temos:
temos40c para 8.02 12
1 cc
508.040
20 240
8.04022
2
22
2 cc
cc
c
5020 2 c
Análise dos Coeficientes da Função Objetivo
Capítulo 4
Análise dos Coeficientes da Função Objetivo
Poderíamos então criar uma tabela resumindo os limites dos coeficientes das variáveis na função-objetivo:
Mantendo esses limites, podemos garantir que a solução ótima (não degenerada) será a mesma!
503020x2
60 4024x1
MáximoAtualMínimo
Capítulo 4
A Análise do Excel
50=30+203020=30-10x2
60=40+20 4024=40-16x1
MáximoAtualMínimo
Capítulo 4
Análise de SensibilidadeConstantes das Restrições
As constantes das restrições também estão submetidas a limites;
Esses limites dizem respeito aos Preços-Sombra, e não à solução ótima; Veja que os Preços-Sombra equivalem à solução
ótima do Dual, onde as constantes das restrições são os coeficientes da Função-objetivo;
O estudo dos limites é feito de maneira similar.
Capítulo 4
O Limite dos Coeficientes das RestriçõesExcel
Variações permitidas às constantes das restrições!
= infinito
Capítulo 4
Analisando Todas asRespostas do Excel
Modelo
Max Z x 40 30x1 2
x x 0 01 2,21
520
2103
153
251
221
152
xxxxx
Capítulo 4
Solicitando os Relatórios
Marcar os relatórios desejados
Capítulo 4
Análise de SensibilidadeExcel
Valor das variáveis na solução ótima
Valor máximo da função-objetivo
Capítulo 4
Relatório de Respostas
Agrupar => LHS=RHSSem Agrupar => LHSRHS, quando a variável de folga for básica e diferente de zero.
Variáveis de Folga
Capítulo 4
Relatório de Respostas Observação Importante
O Excel determina que a restrição tem status “Sem Agrupar" quando a variável de folga daquela restrição é básica. Geralmente, isto significa que existe folga, e portanto LHS (diferente) RHS .
Entretanto, é possível acontecer da variável de folga ser básica e igual a zero. Neste caso, a restrição terá status Agrupar e LHS = RHS.
Capítulo 4
Análise Econômica do Excel
Valores ligados ao Problema Dual
Capítulo 4
Análise Econômica do Excel
As interpretações para o Preço-Sombra são as seguintes:
A quantidade pela qual a função-objetivo será modificada (valor nominal) dado um incremento de uma unidade na constante de uma restrição.
Quanto estaríamos dispostos a pagar por uma unidade adicional de um recurso.
Capítulo 4
Análise Econômica do Excel
Existem duas interpretações para o Custo Reduzido:
A quantidade que o coeficiente da função- objetivo de uma variável original deve ser modificada antes dessa variável se tornar básica.
A quantidade de penalização que será paga se quisermos tornar uma variável básica.
Capítulo 4
Análise de SensibilidadeExcel
Variações de incremento e decremento, aos quais cada coeficiente da Função-Objetivo, isoladamente, pode ter sem que a solução ótima (valores ótimos das variáveis) se altere.
Capítulo 4
Análise de SensibilidadeExcel
Variações de incremento e decremento, ao qual a constante de uma Restrição, isoladamente, pode ter sem que o seu Preço-Sombra (Dual Price) se altere.
Capítulo 4
Relatório de Limites
A coluna Inferior Limite indica o menor valor que cada variável pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.
Capítulo 4
Análise de SensibilidadeExcel – Limits Report
A coluna Superior Limite indica o maior valor que cada variável pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.
Capítulo 4
Análise de SensibilidadeSolução Degenerada
Quando a solução ótima é degenerada O valor do Custo Reduzido pode não ser único. O valor de incremento e decremento dos coeficientes da
função-objetivo permanecem válidos. De fato, os valores podem se alterar substancialmente acima desse valores, sem que a solução ótima se altere.
O valor do Preço-Sombra e seus intervalos podem continuar sendo interpretados da mesma maneira, contudo podem não ser únicos.